Как найти периметр треугольника на координатной плоскости

Как находить периметр геометрических фигур (треугольник, четырёхугольник, многоугольник) по известным координатам вершин?

Какая формула должна использоваться?

Формула для вычисления длины стороны АВ по известным координатам:

Аналогичным образом высчитываются остальные стороны, а затем полученные величины суммируются.

Периметр по координатам

Периметр фигуры – это сумма длин всех её сторон. Чтобы в нашем случае найти длины сторон, нужно воспользоваться формулой длины отрезка по заданным координатам (x1; y1) и (x2; y2):

Последовательно складываем все полученные значения и получаем периметр.

Если в задаче вид фигуры (квадрат, прямоугольник, равносторонний треугольник и т.п.) оговаривается заранее, то находить все длины может и не понадобиться.

Например, периметр квадрата ABCD будет равен 4 * AB, так как у этой фигуры все стороны равны. То есть будет достаточно вычислить, чему равна сторона AB и умножить её на 4.

Рассмотрим несколько примеров.

1) Треугольник ABC имеет координаты A(1,1); B(1,3); C(2,1).

P(ABC) = AB + AC + BC.

AB = √(0 + 2²) = √4 = 2.

AC = √(1² + 0) = √1 = 1.

BC = √(1² + (-2)²) = √5 ≈ 2,24.

Таким образом, P(ABC) ≈ 2 + 1 + 2,24 = 5,24.

2) Прямоугольник ABCD имеет координаты A(2,1); B(2,4); C(3,4); C(3,1).

P(ABCD) = 2AB + 2BC (так как по определению прямоугольника AB = CD и BC = AD).

AB = √(0 + 3²) = √9 = 3.

AC = √(1² + 0) = √1 = 1.

Таким образом, P(ABC) = 3 * 2 + 1 * 2 = 8.

**

Найти периметр по координатам можно и без использования формулы длины отрезка.

Порядок действий такой:

• Нужно взять лист бумаги в клетку (или даже миллиметровую бумагу) и начертить систему координат.

• Отмечаем на ней все точки и соединяем их линиями.

• Затем с помощью линейки измеряем длину каждой линии и складываем все значения.

Так как координаты вершин нам известны, то, для нахождения периметра, остаётся просто вычислить длину каждой стороны и сложить их.

Длина отрезка вычисляется так:

l=sqrt((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2);

Важно: вычитаем всегда начало из конца.

Нахождение на примере:

Найдём длины всех трёх сторон и сложим.

AB=sqrt((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2)=sqrt((12 – 1)^2 + ((-5) – 8)^2)=sqrt(121 + 169)=sqrt(290);

BC=sqrt((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2)=sqrt((-2 – 12)^2 + (1 – -(5))^2)=sqrt(196 + 36)=sqrt(232);

CA=sqrt((1 – (-2))^2 + (8 – 1)^2)=sqrt(9 + 49)=sqrt(58);

Далее просто складываем полученные результаты:

P=AB+BC+CA;

Ну вот и всё, так просто находится периметр по заданным координатам(для любой фигуры).

P.s извиняюсь за плохо подобранные координаты.

Давайте сначала вспомним, что такое периметр фигуры и как его вычислить.

Периметром называется сумма длин всех сторон данной фигуры. Таким образом, для вычисления периметра какой-либо фигуры нужно знать длину всех ее сторон. Затем дело останется за малым – просто сложить длины.

По сути, сторона любого многоугольника ( треугольника, четырехугольника, пятиугольника и так далее ) представляется собой отрезок. Для вычисления длины отрезка по координатом его концов используется следующая формула:

, где х1 и х2 – координаты концов отрезка по оси х, а y1 и y2 – координаты по оси у.

Подставляем в формулу значения, проводим вычисления. Находим длину каждой из сторон. Суммируем все длины.

Периметр геометрических фигур по координатам вершин можно найти при помощи формулы

Где x1,x2 это первая координата, y1,y2 это вторая координата. Данную формулу нужно применять к каждой паре соседних вершин многоугольника. После обхода и суммирования всех длин будет получен периметр.

Любая геометрическая фигура это совокупность отрезков, составляющих ее стороны, и вершин а ее периметр – сумма длин этих отрезков, сумма сторон, поэтому если мы найдем длины всех сторон и сложим их, то получим как раз периметр фигуры.

Для того, чтобы найти длину отрезка АВ, зная его координаты, есть такая вот формула:

где точка А имеет координаты (x1; y1), а точка В – координаты (x2; y2).

Итак, длину отрезка мы находить научились. Допустим теперь, что у нас есть треугольник АВС, мы знаем координаты его вершин, по указанной выше формуле мы находим длины отрезков АВ, ВС, АС и складываем их, получая периметр этого треугольника АВС: АВ + ВС + АС.

Периметр любого многоугольника вычисляется как сумма длин всех его сторон. Значит задача сводится к нахождению длины отрезка по координатам его концов.

А это известная формула из курса геометрии основной школы. Итак, длина отрезка d = sqrt(x2^2 – x1^2) + (y2^2 – y1^2), х1 и у1 координаты начала, х2,у2 – координаты конца отрезка.

Таким образом находим длины всех сторон многоугольника и суммируем эти значения.

Во-первых, вспомним, что такое периметр – это сумма длин сторон. То есть нам нужны длины сторон многоугольника. Чтобы их найти, зная координаты точек, воспользуемся формулой из геометрии для нахождения расстояния между двумя точками на плоскости: AB = √(xb – xa)2 + (yb – ya)2. То есть нужно вычислить корень квадратный из суммы квадратов разницы координат по х и по у. Если фигура в пространстве, то добавится еще разница координат по z.

AB = √(xb – xa)2 + (yb – ya)2 + (zb – za)2

Когда длины всех отрезков найдем остается их только сложить.

Периметром фигуры зовется сумма длин всех сторон. Для поиска длинны сторон воспользуйтесь формулой длинны отрезка согласно координатам, которые заданы. (x1; y1) и (x2; y2):

Так, если вы последовательно сложите значения, которые получите, то сможете получить периметр. Что касается примеров, при условии наличия координат по точкам А (4;2), В(-6;-3), С(0;8)

Следует сложить – получить.

Если геометрическая фигура находится в системе координат и координаты ее вершин известны, то длину сторон будем искать по такой формуле:

У нас есть треугольник. Координаты его точек- А (4;2), В(-6;-3), С(0;8)

Находим длины отрезков АВ, ВС и АС по формуле.

Складываем полученные результаты и получаем периметр.

Существует формула, по которой можно вычислить длину отрезка, если известны координаты. Делим нашу геометрическую фигуру на отрезки, считаем длину каждого отрезка и затем все значения длин складываем. Таким образом мы получаем периметр.