Выбирайте формулу в зависимости от известных величин.
1. Как найти периметр треугольника, зная три стороны
Просто посчитайте сумму всех сторон.
- P — искомый периметр;
- a, b, c — стороны треугольника.
2. Как найти периметр треугольника, зная его площадь и радиус вписанной окружности
Умножьте площадь треугольника на 2.
Разделите результат на радиус вписанной окружности.
- P — искомый периметр;
- S — площадь треугольника;
- r — радиус вписанной окружности.
3. Как вычислить периметр треугольника, зная две стороны и угол между ними
Сначала найдите неизвестную сторону треугольника с помощью теоремы косинусов:
- Умножьте одну сторону на вторую, на косинус угла между ними и на 2.
- Посчитайте сумму квадратов известных сторон и отнимите от неё число, полученное в предыдущем действии.
- Найдите корень из результата.
Теперь прибавьте к найденной стороне две ранее известные стороны.
- P — искомый периметр;
- b, c — известные стороны треугольника;
- ɑ — угол между известными сторонами;
- a — неизвестная сторона треугольника.
4. Как найти периметр равностороннего треугольника, зная одну сторону
Умножьте сторону на 3.
- P — искомый периметр;
- a — любая сторона треугольника (напомним, в равностороннем треугольнике все стороны равны).
5. Как вычислить периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и основание
Умножьте боковую сторону на 2.
Прибавьте к результату основание.
- P — искомый периметр;
- a — боковая сторона треугольника (в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны);
- b — основание треугольника (это сторона, которая отличается длиной от остальных).
6. Как найти периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и высоту
Найдите квадраты боковой стороны и высоты.
Отнимите от первого числа второе.
Найдите корень из результата и умножьте его на 2.
Прибавьте к полученному числу две боковые стороны.
- P — искомый периметр;
- a — боковая сторона треугольника;
- h — высота (перпендикуляр, опущенный на основание треугольника со стороны противоположной вершины; в равнобедренном треугольнике высота делит основание пополам).
7. Как вычислить периметр прямоугольного треугольника, зная катеты
Найдите квадраты катетов и посчитайте их сумму.
Извлеките корень из полученного числа.
Прибавьте к результату оба катета.
- P — искомый периметр;
- a, b — катеты треугольника (стороны, которые образуют прямой угол).
8. Как найти периметр прямоугольного треугольника, зная катет и гипотенузу
Посчитайте квадраты гипотенузы и катета.
Отнимите от первого числа второе.
Найдите корень из результата.
Прибавьте катет и гипотенузу.
- P — искомый периметр;
- a — любой катет прямоугольника;
- c — гипотенуза (сторона, которая лежит напротив прямого угла).
Периметр треугольника калькулятор онлайн умеет вычислять периметр восемью способами:
- По трем сторонам.
- По площади и радиусу вписанной окружности.
- По двум сторонам и углу между ними.
- По стороне равностороннего треугольника.
- По боковой стороне и основанию равнобедренного треугольника.
- По боковой стороне и высоте равнобедренного треугольника.
- По катетам прямоугольного треугольника.
- По одному катету и гипотенузе прямоугольного треугольника.
Сделав расчет периметра на этом онлайн калькуляторе Вы получите не только ответ, но и детальное, пошаговое решение с выводом формул и промежуточных действий.
Периметр треугольника- это сумма трех сторон.
Периметр может быть найден и по другим формулам, вывод которых основан на поиске длины неизвестной стороны.
Как найти периметр треугольника?
Найти периметр треугольника очень просто на нашем онлайн калькуляторе. Так же периметр может быть найден самостоятельно по формулам. Выбор нужной формулы зависит от того какие данные известны.
1) По трем сторонам
где a,b,c – стороны треугольника.
2) По площади и радиусу вписанной окружности
где S – площадь треугольника, r – радиус вписанной окружности.
3) По двум сторонам и углу между ними
где b,c – стороны треугольника, α° – угол между ними.
4) По стороне равностороннего треугольника
где a – сторона равностороннего треугольника.
5) По боковой стороне и основанию равнобедренного треугольника
где a – боковая сторона и b – основание равнобедренного треугольника.
6) По боковой стороне и высоте равнобедренного треугольника
где a – боковая сторона и h – высота равнобедренного треугольника.
7) По катетам прямоугольного треугольника
где a,b – катеты прямоугольного треугольника.
8) По одному катету и гипотенузе прямоугольного треугольника.
где а – катет и с – гипотенуза прямоугольного треугольника.
Скачать все формулы в формате Word
Как найти периметр треугольника
Содержание:
- Периметр треугольника
-
Способы нахождения
- По трем сторонам
- По площади и радиусу вписанной окружности
- По двум сторонам и углу между ними
- По боковой стороне и высоте (для равнобедренного)
- По двум катетам (для прямоугольного)
-
Примеры решения задач
- Задача №1
- Задача №2
- Задача №3
- Задача №4
- Задача №5
Учимся находить периметр треугольника разными способами, а также тренируем полученные знания на примерах задач.
Периметр треугольника
Определение
Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон.
Определение
Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек (вершин), не лежащих на одной прямой. Эти точки попарно соединены тремя отрезками, которые называются сторонами (ребрами) многоугольника.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Рассмотрим несколько способов нахождения периметра рассматриваемой фигуры. Каждая из предложенных формул опирается на те величины, которые нам уже известны.
Способы нахождения
По трем сторонам
Если мы уже знаем длину каждого ребра фигуры, расчет периметра будет проходить так:
(P = a+b+c)
где a, b и с — это стороны треугольника.
В случае, если нам известны стороны равнобедренного треугольника (у которого два ребра равны), формула для расчета периметра выглядит следующим образом:
(P=a+2b) или (P=a+2c )
где a — основание фигуры, а b и с — равные ребра.
Треугольник может также быть равносторонним (когда все стороны равны). Тогда P будем находить в соответствии с расчетами:
(P=3a)
где a — это любая сторона фигуры.
По площади и радиусу вписанной окружности
Когда нам известна площадь данного многоугольника и радиус вписанной в него окружности, расчет P выглядит так:
(P=frac{2S}r)
где S — площадь фигуры, r — радиус вписанной в нее окружности.
По двум сторонам и углу между ними
Так как нам известен угол и две стороны, которыми он образован, мы можем найти третью сторону треугольника по теореме косинусов. И потом уже вычислить сумму длин всех ребер фигуры.
Теорема косинусов выглядит так:
(a^2=b^2+c^2-2bctimescosalpha)
где α — известный угол.
Тогда формула для расчета периметра всей фигуры в этом случае:
(P=sqrt{b^2+c^2-2bctimescosalpha}+b+c)
По боковой стороне и высоте (для равнобедренного)
Возвращаясь к свойствам равнобедренного треугольника, вспоминаем, что высота, проведенная к основанию треугольника из противоположной вершины, является одновременно высотой, биссектрисой и медианой. Это значит, что оба прямоугольных треугольника, которые она образует, равны между собой.
Формула для поиска периметра нашего равнобедренного будет опираться на теорему Пифагора. Пусть 1/2 основания (с) = d. Тогда:
(d^2=a^2-h^2)
(d=sqrt{a^2-h^2})
где a — сторона равнобедренного треугольника и гипотенуза прямоугольного, h — высота равнобедренного и катет прямоугольного.
Не забываем, что d — это лишь половина основания равнобедренного треугольника, поэтому для поиска периметра результат нужно будет умножить на 2.
(P=2sqrt{a^2-h^2}+2a)
По двум катетам (для прямоугольного)
Еще раз вспомним теорему Пифагора для нахождения гипотенузы (обозначим ее буквой с).
(c^2=a^2+b^2)
(c=sqrt{a^2+b^2})
где a и b — катеты треугольника.
Подставляем значение c в формулу для нахождения периметра и получаем:
(P=sqrt{a^2+b^2}+a+b)
Примеры решения задач
Для тренировки полученных знаний, рассмотрим несколько примеров решения задач на поиск периметра треугольника.
Задача №1
Какой P треугольника, если его стороны равны 6 см, 7 см и 3 см.
Решение:
Подставляем в формулу P = a+b+c известные величины и получаем: P = 6+7+3=16 см.
Ответ: 16 см.
Задача №2
Известно, что основание равнобедренного треугольника равно 6 см, а его боковая сторона — 4 см. Найти P фигуры.
Решение:
Для данного случая подходит формула P=a+2b, подствляем значения: (P=6+4times2 = 14) см.
Ответ: 14 см.
Задача №3
Нам известно, что площадь треугольника — 24 см2, а радиус вписанной в него окружности — 8 см. Найти P.
Решение:
В данном случае рассчитывать P будем следующим образом: (P=frac{2S}r). С уже известными нам величинами получаем: (P=frac{2times24}8 = 6) см.
Ответ: 6 см.
Задача №4
Дан равнобедренный треугольник. Нам известна его боковая сторона (4 см) и высота, опущенная к основанию (2 см). Нужно вычислить периметр фигуры.
Решение:
Мы знаем, что в этом случае P вычисляется, как (P=2sqrt{a^2-h^2}+2a). С имеющимися значениями получается: (P=2sqrt{4^2-2^2}+2times2 = 4sqrt3+4) см.
Ответ: P=4sqrt3+4 см.
Задача №5
Дан прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 7 см. Определить периметр фигуры.
Решение:
В формулу (P=sqrt{a^2+b^2}+a+b) подставляем известные значения: (P=sqrt{5^2+7^2}+5+7 = sqrt{74}+12) см.
Ответ: (P=sqrt{74}+12) см.
Насколько полезной была для вас статья?
Рейтинг: 4.00 (Голосов: 1)
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
Поиск по содержимому
Основные определения
Наверное, каждый из нас сталкивался с треугольником. Это могло быть в школе, вузах, колледжах, на работе, во время помощи детям. Треугольник – это одна из самых простых геометрических фигур, но в то же время она выполняет очень важную роль. Множество свойств хранит треугольник. Но сегодня не будем вдаваться в подробности, а поговорим про периметр и порешаем задачи по нахождению его.
Если мы отметим на плоскости 3 точки и проведём к ним линии, то как раз получим треугольник.
Понятия
Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, которые соединены отрезками – сторонами. В зависимости от отношений между сторонами фигуры, то они бывают равносторонними, разносторонними и равнобедренными (р/б – равнобедренный, р/с – равносторонний).
Вершины треугольника – это точки, где соединяются 2 стороны фигуры.
Р/б треугольник – это треугольник у которого две стороны равны, но не равны третьей.
Р/с треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой.
Разносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны не равны между собой.
Прямоугольный треугольник — это треугольник, у у которого один угол равен 90о. Самая длинная сторона называется гипотенузой, а две другие катетами.
Формула нахождения периметра
Из определения следует, что периметр геометрической фигуры – это сумма длин всех сторон, и треугольник не стал исключением. Общая формула имеет вид: Р = а + b + с. Периметр будет обозначаться Р. а, b и с — стороны треугольника. Решим задачу №1.
Задача 1
Пусть нам дан треугольник со сторонами 13 см, 15 см, 12 см. Нужно найти периметр данного треугольника.
Решение: [P=13+15+12=40] см.
Ответ: 40 см.
Периметр разностороннего треугольника
В прошлой задаче мы как раз нашли периметр разностороннего треугольника. Решим похожую задачу №2
Задача 2
Дан треугольник со сторонами 25 дм, 30 дм, 15 дм. Найдите периметр треугольника. Ответ выразите в метрах.
Решение:
P = 30 + 25 + 15 = 70 дм
70 : 10 = 7 м
Ответ: 7 м.
Периметр равнобедренного треугольника
Так как в р/б треугольнике 2 стороны равны (боковые), то формулу нахождения можно представить как: P = 2a + b. Решим 2 задачи.
Задачи 3 — 4
Дан равнобедренный треугольник АВС с биссектрисой, проведённой к основанию и равной 4 см, а также с боковой
стороной, равной 5 см. Найдите периметр данного треугольника.
Решение:
Так как ВН – биссектриса р/б треугольника АВС, то она является как высотой, так и медианой. Следовательно, ΔАВН прямоугольный и АН = НС.
В ΔАВН по теореме Пифагора [A H^{2}=A B^{2}-B H^{2}=25-16=9]см
АН = НС = √9 = 3 см
АС = АН + НС = 3 + 3 = 6 см
Р = 6 + 2*5 = 16 см
Ответ: 16 см.
В треугольнике ДСВ ДС = СВ = 15 см, высота СК = 9 см. Найдите периметр этого треугольника.
Решение:
В ΔСКД по теореме Пифагора:
[text { ДК² }=text { ДС }^{2}-mathrm{CK}^{2}=225-81=144]см
ДК = √144 = 12 см.
Так как СК — высота в р/б треугольнике, проведённая к основанию, то она является медианой, следовательно, ДВ = ДК + КВ = 12 + 12 = 24 см.
Р = ДС + СВ + ДВ = 15 + 15 + 24 = 54 см.
Ответ: 54 см.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Периметр равностороннего треугольника
А это один из самых “хороших” треугольников, его ещё называют правильным, так как все стороны и углы равны между собой. Формула нахождения периметра будет иметь вид: P = 3a.
Задачи 5 — 6
Дан равносторонний треугольник со стороной а = 13. Найдите периметр этого треугольника.
Решение:
Р = 3а = 3 * 13 = 39
Ответ: 39.
В равностороннем треугольнике АВС есть стороны: АВ = АС = СВ = 15 см, Найдите периметр данного треугольника.
Решение:
Р = 3АВ = 15 * 3 = 45 см.
Ответ: 45 см.
Периметр прямоугольного треугольника
Вычисляем по стандартной формуле: Р = а + в + с. Но у такого вида треугольников есть огромное преимущество – применение теоремы Пифагора.
Задачи 7 — 8
Дан прямоугольный треугольник с катетами а = 6 и в = 8. Найдите периметр.
Решение:
По теореме Пифагора: [c^{2}=в^{2}+a^{2}=64+36=100]
с = √100 = 10
Р = а + в + с = 6 + 8 + 10 = 24
Ответ: 24.
В прямоугольном треугольнике АВС, [angle mathrm{A}=90^{circ}, mathrm{AB}=9 mathrm{~см}, mathrm{AC} = 12см]. Надо найти периметр и площадь АВС.
Решение
По теореме Пифагора в ΔАВС:
[mathrm{CB}^{2}=mathrm{AC}^{2}+A mathrm{C}^{2}=144+81=225 mathrm{~см}]
СВ = √225 = 15 см
S = (АС * АВ) : 2 = (9 * 12) : 2 = 54 см
P = 15 + 9 + 12 = 36 см
Ответ: 36 см; 54 см.
Ирина Алексеевна Антоненко
Эксперт по предмету «Геометрия»
Задать вопрос автору статьи
Предварительные сведения
Периметр любой плоской геометрической фигур на плоскости определяется как сумма длин всех его сторон. Исключением из этого не является и треугольник. Сначала приведем понятие треугольника, а также виды треугольников в зависимости от сторон.
Определение 1
Треугольником будем называть геометрическую фигуру, которая составлена из трех точек, соединенных между собой отрезками
(рис. 1).
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
Определение 2
Точки в рамках определения 1 будем называть вершинами треугольника.
Определение 3
Отрезки в рамках определения 1 будем называть сторонами треугольника.
Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершины, а также три стороны.
В зависимости от отношении сторон друг к другу, треугольники делятся на разносторонние, равнобедренные и равносторонние.
Определение 4
Треугольник будем называть разносторонним, если ни одна из его сторон не равняется никакой другой.
Определение 5
Треугольник будем называть равнобедренным, если две его стороны равны друг другу, но не равняются третьей стороне.
«Как найти периметр треугольника» 👇
Определение 6
Треугольник будем называть равносторонним, если все его стороны равняются друг другу.
Все виды этих треугольников Вы можете видеть на рисунке 2.
Как найти периметр разностороннего треугольника?
Пусть нам дан разносторонний треугольник, у которого длины сторон будут равняться $α$, $β$ и $γ$.
По определению периметра плоской геометрической фигуры, получим, что
$P=α+β+γ$
Вывод: Для нахождения периметра разностороннего треугольника надо все длин его сторон сложить между собой.
Пример 1
Найти периметр разностороннего треугольника равняются $34$ см, $12$ см и $11$ см.
Решение.
По рассмотренному выше примеру, видим, что
$P=34+12+11=57$ см
Ответ: $57$ см.
Пример 2
Найти периметр прямоугольного треугольника, у которого катеты равняются $6$ и $8$ см.
Решение.
Сначала найдем длину гипотенуз этого треугольника по теореме Пифагора. Обозначим ее через $α$, тогда
$α^2=6^2+8^2$
$α^2=100$
$α=10$
По правилу вычисления периметра разностороннего треугольника, получим
$P=10+8+6=24$ см
Ответ: $24$ см.
Как найти периметр равнобедренного треугольника?
Пусть нам дан равнобедренный треугольник, у которого длины боковых сторон будут равняться $α$, а длина основания равняется $β$.
По определению периметра плоской геометрической фигуры, получим, что
$P=α+α+β=2α+β$
Вывод: Для нахождения периметра равнобедренного треугольника надо удвоенную длину его сторон сложить с длиной его основания.
Пример 3
Найти периметр равнобедренного треугольника, если его боковые стороны равняются $12$ см, а основание $11$ см.
Решение.
По рассмотренному выше примеру, видим, что
$P=2cdot 12+11=35$ см
Ответ: $35$ см.
Пример 4
Найти периметр равнобедренного треугольника, если его высота, проведенная на основание, равняется $8$ см, а основание $12$ см.
Решение.
Рассмотрим рисунок по условию задачи:
Так как треугольник равнобедренный, то $BD$ также является и медианой, следовательно, $AD=6$ см.
По теореме Пифагора, из треугольника $ADB$, найдем боковую сторону. Обозначим ее через $α$, тогда
$α^2=6^2+8^2$
$α^2=100$
$α=10$
По правилу вычисления периметра равнобедренного треугольника, получим
$P=2cdot 10+12=32$ см
Ответ: $32$ см.
Как найти периметр равностороннего треугольника?
Пусть нам дан равносторонний треугольник, у которого длины всех сторон будут равняться $α$.
По определению периметра плоской геометрической фигуры, получим, что
$P=α+α+α=3α$
Вывод: Для нахождения периметра равностороннего треугольника надо длину стороны треугольника умножить на $3$.
Пример 5
Найти периметр равностороннего треугольника, если его сторона равняется $12$ см.
Решение.
По рассмотренному выше примеру, видим, что
$P=3cdot 12=36$ см
Ответ: $36$ см.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
