Как найти периметр в системе координат

Как находить периметр геометрических фигур (треугольник, четырёхугольник, многоугольник) по известным координатам вершин? Какая формула должна использоваться? Формула для вычисления длины стороны АВ по известным координатам: Аналогичным образом высчитываются остальные стороны, а затем полученные величины суммируются. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим Ксарф­акс [156K] 4 года назад  Периметр по координатам Периметр фигуры – это сумма длин всех её сторон. Чтобы в нашем случае найти длины сторон, нужно воспользоваться формулой длины отрезка по заданным координатам (x1; y1) и (x2; y2): Последовательно складываем все полученные значения и получаем периметр. Если в задаче вид фигуры (квадрат, прямоугольник, равносторонний треугольник и т.п.) оговаривается заранее, то находить все длины может и не понадобиться. Например, периметр квадрата ABCD будет равен 4 * AB, так как у этой фигуры все стороны равны. То есть будет достаточно вычислить, чему равна сторона AB и умножить её на 4. Рассмотрим несколько примеров. 1) Треугольник ABC имеет координаты A(1,1); B(1,3); C(2,1). P(ABC) = AB + AC + BC. AB = √(0 + 2²) = √4 = 2. AC = √(1² + 0) = √1 = 1. BC = √(1² + (-2)²) = √5 ≈ 2,24. Таким образом, P(ABC) ≈ 2 + 1 + 2,24 = 5,24. 2) Прямоугольник ABCD имеет координаты A(2,1); B(2,4); C(3,4); C(3,1). P(ABCD) = 2AB + 2BC (так как по определению прямоугольника AB = CD и BC = AD). AB = √(0 + 3²) = √9 = 3. AC = √(1² + 0) = √1 = 1. Таким образом, P(ABC) = 3 * 2 + 1 * 2 = 8. ** Найти периметр по координатам можно и без использования формулы длины отрезка. Порядок действий такой: Нужно взять лист бумаги в клетку (или даже миллиметровую бумагу) и начертить систему координат. Отмечаем на ней все точки и соединяем их линиями. Затем с помощью линейки измеряем длину каждой линии и складываем все значения. Sadne­ss [5.6K] 4 года назад  Так как координаты вершин нам известны, то, для нахождения периметра, остаётся просто вычислить длину каждой стороны и сложить их. Длина отрезка вычисляется так: l=sqrt((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2); Важно: вычитаем всегда начало из конца. Нахождение на примере: Найдём длины всех трёх сторон и сложим. AB=sqrt((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2)=sqrt((12 – 1)^2 + ((-5) – 8)^2)=sqrt(121 + 169)=sqrt(290); BC=sqrt((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2)=sqrt((-2 – 12)^2 + (1 – -(5))^2)=sqrt(196 + 36)=sqrt(232); CA=sqrt((1 – (-2))^2 + (8 – 1)^2)=sqrt(9 + 49)=sqrt(58); Далее просто складываем полученные результаты: P=AB+BC+CA; Ну вот и всё, так просто находится периметр по заданным координатам(для любой фигуры). P.s извиняюсь за плохо подобранные координаты. Давайте сначала вспомним, что такое периметр фигуры и как его вычислить. Периметром называется сумма длин всех сторон данной фигуры. Таким образом, для вычисления периметра какой-либо фигуры нужно знать длину всех ее сторон. Затем дело останется за малым – просто сложить длины. По сути, сторона любого многоугольника ( треугольника, четырехугольника, пятиугольника и так далее ) представляется собой отрезок. Для вычисления длины отрезка по координатом его концов используется следующая формула: , где х1 и х2 – координаты концов отрезка по оси х, а y1 и y2 – координаты по оси у. Подставляем в формулу значения, проводим вычисления. Находим длину каждой из сторон. Суммируем все длины. Hamst­er133­7 [28.6K] 2 года назад  Периметр геометрических фигур по координатам вершин можно найти при помощи формулы Где x1,x2 это первая координата, y1,y2 это вторая координата. Данную формулу нужно применять к каждой паре соседних вершин многоугольника. После обхода и суммирования всех длин будет получен периметр. Алиса в Стран­е [363K] 3 года назад  Любая геометрическая фигура это совокупность отрезков, составляющих ее стороны, и вершин а ее периметр – сумма длин этих отрезков, сумма сторон, поэтому если мы найдем длины всех сторон и сложим их, то получим как раз периметр фигуры. Для того, чтобы найти длину отрезка АВ, зная его координаты, есть такая вот формула: где точка А имеет координаты (x1; y1), а точка В – координаты (x2; y2). Итак, длину отрезка мы находить научились. Допустим теперь, что у нас есть треугольник АВС, мы знаем координаты его вершин, по указанной выше формуле мы находим длины отрезков АВ, ВС, АС и складываем их, получая периметр этого треугольника АВС: АВ + ВС + АС. габба­с [215K] 4 года назад  Периметр любого многоугольника вычисляется как сумма длин всех его сторон. Значит задача сводится к нахождению длины отрезка по координатам его концов. А это известная формула из курса геометрии основной школы. Итак, длина отрезка d = sqrt(x2^2 – x1^2) + (y2^2 – y1^2), х1 и у1 координаты начала, х2,у2 – координаты конца отрезка. Таким образом находим длины всех сторон многоугольника и суммируем эти значения. Лара Изюми­нка [59.8K] 3 года назад  Во-первых, вспомним, что такое периметр – это сумма длин сторон. То есть нам нужны длины сторон многоугольника. Чтобы их найти, зная координаты точек, воспользуемся формулой из геометрии для нахождения расстояния между двумя точками на плоскости: AB = √(xb – xa)2 + (yb – ya)2. То есть нужно вычислить корень квадратный из суммы квадратов разницы координат по х и по у. Если фигура в пространстве, то добавится еще разница координат по z. AB = √(xb – xa)2 + (yb – ya)2 + (zb – za)2 Когда длины всех отрезков найдем остается их только сложить. Периметром фигуры зовется сумма длин всех сторон. Для поиска длинны сторон воспользуйтесь формулой длинны отрезка согласно координатам, которые заданы. (x1; y1) и (x2; y2): Так, если вы последовательно сложите значения, которые получите, то сможете получить периметр. Что касается примеров, при условии наличия координат по точкам А (4;2), В(-6;-3), С(0;8) Следует сложить – получить. Бекки Шарп [71.2K] 3 года назад  Если геометрическая фигура находится в системе координат и координаты ее вершин известны, то длину сторон будем искать по такой формуле: У нас есть треугольник. Координаты его точек- А (4;2), В(-6;-3), С(0;8) Находим длины отрезков АВ, ВС и АС по формуле. Складываем полученные результаты и получаем периметр. Барха­тные лапки [382K] 3 года назад  Существует формула, по которой можно вычислить длину отрезка, если известны координаты. Делим нашу геометрическую фигуру на отрезки, считаем длину каждого отрезка и затем все значения длин складываем. Таким образом мы получаем периметр. Знаете ответ?

Как найти периметр треугольника, заданного координатами своих вершин

Периметр – это длина линии, ограничивающей занимаемую плоской геометрической фигурой площадь. Для треугольника, как и всех других многоугольников, это ломаная линия, составленная из его всех его сторон. Поэтому задача вычисления периметра треугольника, заданного координатами его вершин, сводится к вычислению длины каждой из сторон с последующим суммированием полученных величин.

Инструкция

Чтобы вычислить длину стороны, рассмотрите вспомогательный треугольник, составленный из самой стороны и двух ее проекций на оси абсцисс и ординат. В этой фигуре две проекции будут образовывать прямой угол – это вытекает из определения прямоугольных координат. Это означает, что они будут катетами в прямоугольном треугольнике, где гипотенузой будет сама сторона. Ее длину можно вычислить по теореме Пифагора, надо лишь найти длины проекций (катетов). Каждая из проекций представляет собой отрезок, начальная точка которого определена меньшей координатой, конечная – большей, а их разница и будет длиной проекции.

Рассчитайте длину каждой стороны. Если обозначить координаты точек, определяющих треугольник, как A(X₁,Y₁), B(X₂,Y₂) и C(X₃,Y₃), то для стороны АВ проекции на оси абсцисс и ординат будут иметь длины X₂-X₁ и Y₂-Y₁, а длина самой стороны в соответствии с теоремой Пифагора будет равна АВ = √((X₂-X₁)² + (Y₂-Y₁)²). Длины двух других сторон, рассчитанные через их проекции на оси координат, можно записать так: ВС = √(( X₃-X₂)² + (Y₃-Y₂)²), СА = √((X₃-X₁)² + (Y₃-Y₁)²).

При использовании трехмерной системы координат в подкоренное выражение, полученное на предыдущем шаге, добавьте еще одно слагаемое, которое должно выражать квадрат длины проекции стороны на ось аппликат. В этом случае координаты точек можно записать так: A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) и C(X₃,Y₃,Z₃). А формулы расчета длин сторон примут такой вид: АВ = √((X₂-X₁)² + (Y₂-Y₁)² + (Z₂- Z₁)²), ВС = √(( X₃-X₂)² + (Y₃-Y₂)² + (Z₃-Z₂)²) и СА = √((X₃-X₁)² + (Y₃-Y₁)² + (Z₃-Z₁)²).

Рассчитайте периметр (Р) треугольника, сложив полученные на предыдущих шагах длины сторон. Для плоской Декартовой системы координат формула в общем виде должна выглядеть так: Р = АВ + ВС + СА = √((X₂-X₁)² + (Y₂-Y₁)²) + √(( X₃-X₂)² + (Y₃-Y₂)²) + √((X₃-X₁)² + (Y₃-Y₁)²). Для трехмерных координат эта же формула должна иметь такой вид: Р = √((X₂-X₁)² + (Y₂-Y₁)² + (Z₂- Z₁)²) + √(( X₃-X₂)² + (Y₃-Y₂)² + (Z₃-Z₂)²) + √((X₃-X₁)² + (Y₃-Y₁)² + (Z₃-Z₁)²).

Источники:

• площадь треугольника заданного координатами вершин

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Периметр треугольника через вершины

Как найти периметр треугольника

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение

Периметром принято называть длину всех сторон многоугольника. Периметр обозначается заглавной латинской буквой P. Под «P» удобно писать маленькими буквами название фигуры, чтобы не запутаться в задачах и ходе решении.

Важно, чтобы все параметры были переданы в одной единице длины, иначе мы не сможем подсчитать результат. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

В чем измеряется периметр:

Как узнать периметр треугольника

Рассмотрим какие существуют формулы, и при каких известных исходных данных их можно применять.

Если известны три стороны, то периметр треугольника равен их сумме. Этот способ проходят во втором классе.

P = a + b + c, где a, b, c — длина стороны.

Если известна площадь и радиус вписанной окружности:

P = 2 * S : r, где S — площадь, r — радиус вписанной окружности.

Если известны две стороны и угол между ними, вычислить периметр треугольника можно так:

P = √ b 2 + с 2 — 2 * b * с * cosα + (b + с), где b, с — известные стороны, α — угол между известными сторонами.

Если известна одна сторона в равностороннем треугольнике:

P = 3 * a, где a — длина стороны.

Все стороны в равносторонней фигуре равны.

Если известна боковая сторона и основание в равнобедренном треугольнике:

P = 2 * a + b, где a — боковая сторона, b — основание.

Боковые стороны в равнобедренной фигуре равны.

Если известна боковая сторона и высота в равнобедренном треугольнике:

P = 2 * (√ a 2 + h 2 ) + 2 * a, где a — боковая сторона, h — высота.

Высотой принято называть отрезок, который вышел из вершины и опустился на основание. В равнобедренной фигуре высота делит основание пополам.

Если известны катеты в прямоугольном треугольнике:

P = √ a 2 + b 2 + (a + b), где a, b — катеты.

Катет — одна из двух сторон, которые образуют прямой угол.

Если известны катет и гипотенуза в прямоугольном треугольнике:

P = √ c 2 — a 2 + (a + c), где a — любой катет, c — гипотенуза.

Гипотенуза — сторона, которая лежит напротив прямого угла.

Скачать онлайн таблицу

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

Решить треугольник Онлайн по координатам

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

A ( ; ), B ( ; ), C ( ; )

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Периметр многоугольника по его координатам

Координаты многоугольника, разделенные пробелами в формате x+iy

В данной статье мы окажем помощь в расчете периметра многоугольника, заданного координатами его вершин. Несмотря на то, что сам принцип расчета прост, при большом количестве вершин, Вам придется делать несколько раз одни и те же вычисления, то есть выполнять рутинную операцию. А я страсть как не люблю рутину и Вам ей заниматься не советую.

Формула которая используется проста:

Если извеcтны две точки с координатами (x1,y1) и (x2,y2) то расстояние между ними

эту формулу необходиом применить к каждой паре координат соседних вершин многоугольника. И как только мы закончим обход и просуммировав все длины мы получим наш периметр.

Теперь что касается ввода данных. В предыдущем материале Площадь многоугольника по координатам онлайн ввод координат осуществляется через двоеточие и пробел, что не совсем удобно.

В этой статье, для упрощения и для обощения ( на комплексное представление) коодинаты будут задаватся в виде комплексных чисел.

Для тех кто с комплексными числами никогда не сталкивался, хочу успокоить — ничего страшного.

И если Вы координату раньше представляли как (x,y), то в комплексном представлении эта же координата видится уже как x+iy

Для ввода это немного проще, так как в дальнейшем при написании статьи про линейные преобразования фигуры на плоскости, это форма ввода нам пригодится, да и понимать ту статью Вам будет уже намного проще.

Теперь немного примеров:

Определим периметр многоугольника заданного координатами А (0; 0); В (8; 2); С (–2; 6).

Так как три вершины то это треугольник.

Введем данные в поле ввода( разделяя каждую координату вершины пробелом) в таком формате 0+0i 8+2i -2+6i

Расчет треугольника по координатам вершин

Этот онлайн калькулятор по введенным координатам вершин вычисляет параметры треугольника: длины сторон, углы, периметр и площадь.

Этот онлайн калькулятор предназначен для быстрого вычисления ряда характеристик треугольника по координатам его вершин. Вы вводите координаты вершин A, B и C. Калькулятор рассчитывает по координатам следующие величины:

Обозначения треугольника

• длину стороны a – стороны, противолежащей вершине А
• длину стороны b – стороны, противолежащей вершине B
• длину стороны c – стороны, противолежащей вершине C
• значение угла α при вершине A
• значение угла β при вершине B
• значение угла γ при вершине C
• периметр треугольника
• площадь треугольника

Если нужно что-то еще, пишите в комментариях, добавим. Формулы расчета значений треугольника описаны под калькулятором.

Решить треугольник Онлайн по координатам

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

Обзор основных сведений и формул для векторов в координатах

В координатной плоскости любой вектор  однозначно разлагается по векторам  и  

Числа  определяются единственным образом и называются координатами вектора  в данной системе координат (рис. 1).

Рис. 1. Координаты вектора

Если есть точка , то вектор с началом в начале координат, который называется радиус-вектором точки , имеет те же самые координаты: .

Основываясь на этом, мы рассмотрели 3 стандартные задачи:

Определение координат середины отрезка по координатам концов отрезка и  

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Определение длины вектора  с координатами .

 

Определение длины отрезка  по координатам концов  и .

Теперь применим эти сведения для решения задач.

Решение задач с использованием метода координат

Задача 1.

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Дан треугольник с вершинами . Найти медиану .     

Дано:

           ;

           

           

Найти: .

Решение:

Найдем координаты точки  как середины отрезка ВС:

Найдем длину отрезка :

.

Ответ: .

Задача 2.

Вершина  параллелограмма  лежит на положительной полуоси , вершина  имеет координаты ; . Найти координаты точки  сторону  диагональ .

Решение:

Построим данный параллелограмм в прямоугольной системе координат (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Так как , то координаты точки  . Пусть координаты точки .

Так как  параллелограмм, то ;

Координаты равны, следовательно,

Итак, ;

 так как вектор  имеет те же координаты, что и точка .

 так как координаты вектора  совпадают с координатами точки

Ответ: ;

Задача 3.

Найти периметр треугольника, если известны координаты его вершин (рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Дано: 

            

            ;

 .

Найти: периметр .

Решение:

Воспользуемся формулой вычисления расстояния между точками.

Найдем длину :

Найдем длину :

Найдем длину :

Найдем периметр:

Ответ:

Заключение

Мы сделали обзор сведений о координатах, о простейших задачах и применили эти сведения для решения конкретных геометрических задач.

Список литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. E-science.ru (Источник).
2. E-science.ru (Источник).
3. Mathematics.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010., №№ 943, 945, 947.