Как найти периметр внутреннего треугольника

Выбирайте формулу в зависимости от известных величин.

1. Как найти периметр треугольника, зная три стороны

Просто посчитайте сумму всех сторон.

• P — искомый периметр;
• a, b, c — стороны треугольника.

2. Как найти периметр треугольника, зная его площадь и радиус вписанной окружности

Умножьте площадь треугольника на 2.

Разделите результат на радиус вписанной окружности.

• P — искомый периметр;
• S — площадь треугольника;
• r — радиус вписанной окружности.

3. Как вычислить периметр треугольника, зная две стороны и угол между ними

Сначала найдите неизвестную сторону треугольника с помощью теоремы косинусов:

• Умножьте одну сторону на вторую, на косинус угла между ними и на 2.
• Посчитайте сумму квадратов известных сторон и отнимите от неё число, полученное в предыдущем действии.
• Найдите корень из результата.

Теперь прибавьте к найденной стороне две ранее известные стороны.

• P — искомый периметр;
• b, c — известные стороны треугольника;
• ɑ — угол между известными сторонами;
• a — неизвестная сторона треугольника.

4. Как найти периметр равностороннего треугольника, зная одну сторону

Умножьте сторону на 3.

• P — искомый периметр;
• a — любая сторона треугольника (напомним, в равностороннем треугольнике все стороны равны).

5. Как вычислить периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и основание

Умножьте боковую сторону на 2.

Прибавьте к результату основание.

• P — искомый периметр;
• a — боковая сторона треугольника (в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны);
• b — основание треугольника (это сторона, которая отличается длиной от остальных).

6. Как найти периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и высоту

Найдите квадраты боковой стороны и высоты.

Отнимите от первого числа второе.

Найдите корень из результата и умножьте его на 2.

Прибавьте к полученному числу две боковые стороны.

• P — искомый периметр;
• a — боковая сторона треугольника;
• h — высота (перпендикуляр, опущенный на основание треугольника со стороны противоположной вершины; в равнобедренном треугольнике высота делит основание пополам).

7. Как вычислить периметр прямоугольного треугольника, зная катеты

Найдите квадраты катетов и посчитайте их сумму.

Извлеките корень из полученного числа.

Прибавьте к результату оба катета.

• P — искомый периметр;
• a, b — катеты треугольника (стороны, которые образуют прямой угол).

8. Как найти периметр прямоугольного треугольника, зная катет и гипотенузу

Посчитайте квадраты гипотенузы и катета.

Отнимите от первого числа второе.

Найдите корень из результата.

Прибавьте катет и гипотенузу.

• P — искомый периметр;
• a — любой катет прямоугольника;
• c — гипотенуза (сторона, которая лежит напротив прямого угла).

Периметр треугольника калькулятор онлайн умеет вычислять периметр восемью способами:

1. По трем сторонам.
2. По площади и радиусу вписанной окружности.
3. По двум сторонам и углу между ними.
4. По стороне равностороннего треугольника.
5. По боковой стороне и основанию равнобедренного треугольника.
6. По боковой стороне и высоте равнобедренного треугольника.
7. По катетам прямоугольного треугольника.
8. По одному катету и гипотенузе прямоугольного треугольника.

Сделав расчет периметра на этом онлайн калькуляторе Вы получите не только ответ, но и детальное, пошаговое решение с выводом формул и промежуточных действий.

Периметр треугольника- это сумма трех сторон.
Периметр может быть найден и по другим формулам, вывод которых основан на поиске длины неизвестной стороны.
 

Как найти периметр треугольника?

Найти периметр треугольника очень просто на нашем онлайн калькуляторе. Так же периметр может быть найден самостоятельно по формулам. Выбор нужной формулы зависит от того какие данные известны.

1) По трем сторонам

где a,b,c – стороны треугольника.

2) По площади и радиусу вписанной окружности

где S – площадь треугольника, r – радиус вписанной окружности.

3) По двум сторонам и углу между ними

где b,c – стороны треугольника, α° – угол между ними.

4) По стороне равностороннего треугольника

где a – сторона равностороннего треугольника.

5) По боковой стороне и основанию равнобедренного треугольника

где a – боковая сторона и b – основание равнобедренного треугольника.

6) По боковой стороне и высоте равнобедренного треугольника

где a – боковая сторона и h – высота равнобедренного треугольника.

7) По катетам прямоугольного треугольника

где a,b – катеты прямоугольного треугольника.

8) По одному катету и гипотенузе прямоугольного треугольника.

где а – катет и с – гипотенуза прямоугольного треугольника.

Скачать все формулы в формате Word

Основные определения

Наверное, каждый из нас сталкивался с треугольником. Это могло быть в школе, вузах, колледжах, на работе, во время помощи детям. Треугольник – это одна из самых простых геометрических фигур, но в то же время она выполняет очень важную роль. Множество свойств хранит треугольник. Но сегодня не будем вдаваться в подробности, а поговорим про периметр и порешаем задачи по нахождению его.

Если мы отметим на плоскости 3 точки и проведём к ним линии, то как раз получим треугольник.

Формула нахождения периметра

Из определения следует, что периметр геометрической фигуры – это сумма длин всех сторон, и треугольник не стал исключением. Общая формула имеет вид: Р = а + b + с. Периметр будет обозначаться Р. а, b и с — стороны треугольника. Решим задачу №1.

Периметр разностороннего треугольника

В прошлой задаче мы как раз нашли периметр разностороннего треугольника. Решим похожую задачу №2

Периметр равнобедренного треугольника

Так как в р/б треугольнике 2 стороны равны (боковые), то формулу нахождения можно представить как: P = 2a + b. Решим 2 задачи.

Периметр равностороннего треугольника

А это один из самых “хороших” треугольников, его ещё называют правильным, так как все стороны и углы равны между собой. Формула нахождения периметра будет иметь вид: P = 3a.

Периметр прямоугольного треугольника

Вычисляем по стандартной формуле: Р = а + в + с. Но у такого вида треугольников есть огромное преимущество – применение теоремы Пифагора.

Формулы периметра треугольника

Как найти периметр любого треугольника? Существует
множество способов сделать это, но мы расскажем про
основные. В этой статье вы узнаете, как найти периметр
любого треугольника через известные величины, по формулам.

Ⅰ. Через площадь и радиус вписанной окружности

Известно: площадь и радиус вписанной окружности треугольника.

Чтобы найти периметр любого треугольника,
нужно две площади треугольника разделить
на радиус вписанной окружности.

Как видим, для этой формулы нужно знать всего
лишь радиус вписанной окружности и площадь.

Ⅱ. Через три стороны

Известно: три стороны треугольника.

Чтобы найти периметр любого треугольника,
нужно сложить все стороны треугольника.
Результатом и будет периметр.

Это самая простая формула.

Ⅲ. Через Теорему Косинусов

Известно: две стороны и угол между ними.

Чтобы найти периметр любого треугольника,
нужно для начала найти третью сторону треугольника,
затем косинус угла, если косинус неизвестен.

Это формулу удобней применить,
если вам известны две стороны
и косинус между ними.

Нахождение периметра треугольника: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно посчитать периметр треугольника и разберем примеры решения задач.

Формула вычисления периметра

Периметр (P) любого треугольника равняется сумме длин всех его сторон.

P = a + b + c

Периметр равнобедренного треугольника

Равнобедренным называют треугольник, у которого две боковые стороны равны (примем их за b). Сторона a, имеющая отличную от боковых длину, является основанием. Таким образом, периметр можно считать так:

P = a + 2b

Периметр равностороннего треугольника

Равносторонним или правильным называется треугольник, у которого все стороны равны (примем ее за a). Периметр такой фигуры вычисляется так:

P = 3a

Примеры задач

Задание 1
Найдите периметр треугольника, если его стороны равны: 3, 4 и 5 см.

Решение:
Подставляем в формулу известные по условиям задачи величины и получаем:
P = 3 см + 4 см + 5 см = 12 см.

Задание 2
Найдите периметр равнобедренного треугольника, если его основание равняется 10 см, а боковая сторона- 8 см.

Решение:
Как мы знаем, боковые стороны равнобедренного треугольника равны, следовательно:
P = 10 см + 2 ⋅ 8 см = 26 см.

Как найти периметр треугольника

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение

Периметром принято называть длину всех сторон многоугольника. Периметр обозначается заглавной латинской буквой P. Под «P» удобно писать маленькими буквами название фигуры, чтобы не запутаться в задачах и ходе решении.

Важно, чтобы все параметры были переданы в одной единице длины, иначе мы не сможем подсчитать результат. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

В чем измеряется периметр:

Как узнать периметр треугольника

Рассмотрим какие существуют формулы, и при каких известных исходных данных их можно применять.

Если известны три стороны, то периметр треугольника равен их сумме. Этот способ проходят во втором классе.

P = a + b + c, где a, b, c — длина стороны.

Если известна площадь и радиус вписанной окружности:

P = 2 * S : r, где S — площадь, r — радиус вписанной окружности.

Если известны две стороны и угол между ними, вычислить периметр треугольника можно так:

P = √ b 2 + с 2 – 2 * b * с * cosα + (b + с), где b, с — известные стороны, α — угол между известными сторонами.

Если известна одна сторона в равностороннем треугольнике:

P = 3 * a, где a — длина стороны.

Все стороны в равносторонней фигуре равны.

Если известна боковая сторона и основание в равнобедренном треугольнике:

P = 2 * a + b, где a — боковая сторона, b — основание.

Боковые стороны в равнобедренной фигуре равны.

Если известна боковая сторона и высота в равнобедренном треугольнике:

P = 2 * (√ a 2 + h 2 ) + 2 * a, где a — боковая сторона, h — высота.

Высотой принято называть отрезок, который вышел из вершины и опустился на основание. В равнобедренной фигуре высота делит основание пополам.

Если известны катеты в прямоугольном треугольнике:

P = √ a 2 + b 2 + (a + b), где a, b — катеты.

Катет — одна из двух сторон, которые образуют прямой угол.

Если известны катет и гипотенуза в прямоугольном треугольнике:

P = √ c 2 – a 2 + (a + c), где a — любой катет, c — гипотенуза.

Гипотенуза — сторона, которая лежит напротив прямого угла.

Скачать онлайн таблицу

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

[spoiler title=”источники:”]

http://skysmart.ru/articles/mathematic/perimetr-treugolnika

[/spoiler]

Как найти периметр треугольника

Содержание:

• Периметр треугольника
• Способы нахождения
  • По трем сторонам
  • По площади и радиусу вписанной окружности
  • По двум сторонам и углу между ними
  • По боковой стороне и высоте (для равнобедренного)
  • По двум катетам (для прямоугольного)
• Примеры решения задач
  • Задача №1
  • Задача №2
  • Задача №3
  • Задача №4
  • Задача №5

Учимся находить периметр треугольника разными способами, а также тренируем полученные знания на примерах задач.

Периметр треугольника

Определение

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон.

Определение

Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек (вершин), не лежащих на одной прямой. Эти точки попарно соединены тремя отрезками, которые называются сторонами (ребрами) многоугольника.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Рассмотрим несколько способов нахождения периметра рассматриваемой фигуры. Каждая из предложенных формул опирается на те величины, которые нам уже известны.

Способы нахождения

По трем сторонам

Если мы уже знаем длину каждого ребра фигуры, расчет периметра будет проходить так:

(P = a+b+c)

где a, b и с — это стороны треугольника.

В случае, если нам известны стороны равнобедренного треугольника (у которого два ребра равны), формула для расчета периметра выглядит следующим образом:

(P=a+2b) или (P=a+2c )

где a — основание фигуры, а b и с — равные ребра.

Треугольник может также быть равносторонним (когда все стороны равны). Тогда P будем находить в соответствии с расчетами:

(P=3a)

где a — это любая сторона фигуры.

По площади и радиусу вписанной окружности

Когда нам известна площадь данного многоугольника и радиус вписанной в него окружности, расчет P выглядит так:

(P=frac{2S}r)

где S — площадь фигуры, r — радиус вписанной в нее окружности.

По двум сторонам и углу между ними

Так как нам известен угол и две стороны, которыми он образован, мы можем найти третью сторону треугольника по теореме косинусов. И потом уже вычислить сумму длин всех ребер фигуры.

Теорема косинусов выглядит так:

(a^2=b^2+c^2-2bctimescosalpha)

где α — известный угол.

Тогда формула для расчета периметра всей фигуры в этом случае:

(P=sqrt{b^2+c^2-2bctimescosalpha}+b+c)

По боковой стороне и высоте (для равнобедренного)

Возвращаясь к свойствам равнобедренного треугольника, вспоминаем, что высота, проведенная к основанию треугольника из противоположной вершины, является одновременно высотой, биссектрисой и медианой. Это значит, что оба прямоугольных треугольника, которые она образует, равны между собой.

Формула для поиска периметра нашего равнобедренного будет опираться на теорему Пифагора. Пусть 1/2 основания (с) = d. Тогда:

(d^2=a^2-h^2)

(d=sqrt{a^2-h^2})

где a — сторона равнобедренного треугольника и гипотенуза прямоугольного, h — высота равнобедренного и катет прямоугольного.

Не забываем, что d — это лишь половина основания равнобедренного треугольника, поэтому для поиска периметра результат нужно будет умножить на 2.

(P=2sqrt{a^2-h^2}+2a)

По двум катетам (для прямоугольного)

Еще раз вспомним теорему Пифагора для нахождения гипотенузы (обозначим ее буквой с).

(c^2=a^2+b^2)

(c=sqrt{a^2+b^2})

где a и b — катеты треугольника.

Подставляем значение c в формулу для нахождения периметра и получаем:

(P=sqrt{a^2+b^2}+a+b)

Примеры решения задач

Для тренировки полученных знаний, рассмотрим несколько примеров решения задач на поиск периметра треугольника.

Задача №1

Какой P треугольника, если его стороны равны 6 см, 7 см и 3 см.

Решение:

Подставляем в формулу P = a+b+c известные величины и получаем: P = 6+7+3=16 см.

Ответ: 16 см.

Задача №2

Известно, что основание равнобедренного треугольника равно 6 см, а его боковая сторона — 4 см. Найти P фигуры.

Решение:

Для данного случая подходит формула P=a+2b, подствляем значения: (P=6+4times2 = 14) см.

Ответ: 14 см.

Задача №3

Нам известно, что площадь треугольника — 24 см², а радиус вписанной в него окружности — 8 см. Найти P.

Решение:

В данном случае рассчитывать P будем следующим образом: (P=frac{2S}r). С уже известными нам величинами получаем: (P=frac{2times24}8 = 6) см.

Ответ: 6 см.

Задача №4

Дан равнобедренный треугольник. Нам известна его боковая сторона (4 см) и высота, опущенная к основанию (2 см). Нужно вычислить периметр фигуры.

Решение:

Мы знаем, что в этом случае P вычисляется, как (P=2sqrt{a^2-h^2}+2a). С имеющимися значениями получается: (P=2sqrt{4^2-2^2}+2times2 = 4sqrt3+4) см.

Ответ: P=4sqrt3+4 см.

Задача №5

Дан прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 7 см. Определить периметр фигуры.

Решение:

В формулу (P=sqrt{a^2+b^2}+a+b) подставляем известные значения: (P=sqrt{5^2+7^2}+5+7 = sqrt{74}+12) см.

Ответ: (P=sqrt{74}+12) см.

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так