Как найти периметр вписанной в равносторонний треугольник

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны.

Другие виды треугольников:

• прямоугольные треугольники;
• равнобедренные треугольники.

Любой равносторонний треугольник характеризуется стороной a (см. рисунок). При решении задач могут понадобиться высота h, радиусы вписанной (r) и описанной (R) окружности. Именно эти характеристики используются в формулах равностороннего треугольника при вычислении площади, периметра, а также радиусов вписанной и описанной окружностей.

Формула радиуса вписанной окружности для равностороннего треугольника

Радиус вписанной окружности r можно вычислить, зная сторону равностороннего треугольника:

r = a/(2√3)

Формула радиуса описанной окружности для равностороннего треугольника

Радиус описанной окружности R можно вычислить, зная сторону равностороннего треугольника:

R = a/(√3)

Формула периметра равностороннего треугольника

Периметр P равностороннего треугольника можно получить, зная его сторону:

P = 3a

Формулы площади равностороннего треугольника

p>При вычислении площади равностороннего треугольника можно использовать формулы, которые применяются для вычисления площади произвольного треугольника, так как равносторонний треугольник является частным случаем произвольного треугольника.

Площадь равностороннего треугольника S можно вычислить, зная его сторону a:

S = (√3 ⋅ a²)/4

Площадь равностороннего треугольника S также можно вычислить, зная его высоту h:

S = h²/√3

Если в задаче присутствует окружность, вписанная в треугольник, площадь равностороннего треугольника можно вычислить через радиус окружности r:

S = 3√3 ⋅ r²

Если в задаче присутствует окружность, описанная вокруг треугольника, площадь равностороннего треугольника можно вычислить через радиус окружности R:

S = (3√3 ⋅ R²)/4

Формулы периметра треугольника

Как найти периметр любого треугольника? Существует
множество способов сделать это, но мы расскажем про
основные. В этой статье вы узнаете, как найти периметр
любого треугольника через известные величины, по формулам.

Ⅰ. Через площадь и радиус вписанной окружности

Известно: площадь и радиус вписанной окружности треугольника.

Чтобы найти периметр любого треугольника,
нужно две площади треугольника разделить
на радиус вписанной окружности.

Как видим, для этой формулы нужно знать всего
лишь радиус вписанной окружности и площадь.

Ⅱ. Через три стороны

Известно: три стороны треугольника.

Чтобы найти периметр любого треугольника,
нужно сложить все стороны треугольника.
Результатом и будет периметр.

Это самая простая формула.

Ⅲ. Через Теорему Косинусов

Известно: две стороны и угол между ними.

Чтобы найти периметр любого треугольника,
нужно для начала найти третью сторону треугольника,
затем косинус угла, если косинус неизвестен.

Это формулу удобней применить,
если вам известны две стороны
и косинус между ними.

Все формулы для радиуса вписанной окружности

Радиус вписанной окружности в треугольник

a , b , c – стороны треугольника

p – полупериметр, p=( a + b + c )/2

Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

a – сторона треугольника

r – радиус вписанной окружности

Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):

Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол

a – равные стороны равнобедренного треугольника

b – сторона ( основание)

α – угол при основании

О – центр вписанной окружности

r – радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :

2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота

a – равные стороны равнобедренного треугольника

b – сторона ( основание)

h – высота

О – центр вписанной окружности

r – радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :

Как найти периметр треугольника

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение

Периметром принято называть длину всех сторон многоугольника. Периметр обозначается заглавной латинской буквой P. Под «P» удобно писать маленькими буквами название фигуры, чтобы не запутаться в задачах и ходе решении.

Важно, чтобы все параметры были переданы в одной единице длины, иначе мы не сможем подсчитать результат. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

В чем измеряется периметр:

Как узнать периметр треугольника

Рассмотрим какие существуют формулы, и при каких известных исходных данных их можно применять.

Если известны три стороны, то периметр треугольника равен их сумме. Этот способ проходят во втором классе.

P = a + b + c, где a, b, c — длина стороны.

Если известна площадь и радиус вписанной окружности:

P = 2 * S : r, где S — площадь, r — радиус вписанной окружности.

Если известны две стороны и угол между ними, вычислить периметр треугольника можно так:

P = √ b 2 + с 2 – 2 * b * с * cosα + (b + с), где b, с — известные стороны, α — угол между известными сторонами.

Если известна одна сторона в равностороннем треугольнике:

P = 3 * a, где a — длина стороны.

Все стороны в равносторонней фигуре равны.

Если известна боковая сторона и основание в равнобедренном треугольнике:

P = 2 * a + b, где a — боковая сторона, b — основание.

Боковые стороны в равнобедренной фигуре равны.

Если известна боковая сторона и высота в равнобедренном треугольнике:

P = 2 * (√ a 2 + h 2 ) + 2 * a, где a — боковая сторона, h — высота.

Высотой принято называть отрезок, который вышел из вершины и опустился на основание. В равнобедренной фигуре высота делит основание пополам.

Если известны катеты в прямоугольном треугольнике:

P = √ a 2 + b 2 + (a + b), где a, b — катеты.

Катет — одна из двух сторон, которые образуют прямой угол.

Если известны катет и гипотенуза в прямоугольном треугольнике:

P = √ c 2 – a 2 + (a + c), где a — любой катет, c — гипотенуза.

Гипотенуза — сторона, которая лежит напротив прямого угла.

Скачать онлайн таблицу

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

[spoiler title=”источники:”]

http://www-formula.ru/2011-09-24-00-40-48

http://skysmart.ru/articles/mathematic/perimetr-treugolnika

[/spoiler]

Периметр треугольника калькулятор онлайн умеет вычислять периметр восемью способами:

1. По трем сторонам.
2. По площади и радиусу вписанной окружности.
3. По двум сторонам и углу между ними.
4. По стороне равностороннего треугольника.
5. По боковой стороне и основанию равнобедренного треугольника.
6. По боковой стороне и высоте равнобедренного треугольника.
7. По катетам прямоугольного треугольника.
8. По одному катету и гипотенузе прямоугольного треугольника.

Сделав расчет периметра на этом онлайн калькуляторе Вы получите не только ответ, но и детальное, пошаговое решение с выводом формул и промежуточных действий.

Периметр треугольника- это сумма трех сторон.
Периметр может быть найден и по другим формулам, вывод которых основан на поиске длины неизвестной стороны.
 

Как найти периметр треугольника?

Найти периметр треугольника очень просто на нашем онлайн калькуляторе. Так же периметр может быть найден самостоятельно по формулам. Выбор нужной формулы зависит от того какие данные известны.

1) По трем сторонам

где a,b,c – стороны треугольника.

2) По площади и радиусу вписанной окружности

где S – площадь треугольника, r – радиус вписанной окружности.

3) По двум сторонам и углу между ними

где b,c – стороны треугольника, α° – угол между ними.

4) По стороне равностороннего треугольника

где a – сторона равностороннего треугольника.

5) По боковой стороне и основанию равнобедренного треугольника

где a – боковая сторона и b – основание равнобедренного треугольника.

6) По боковой стороне и высоте равнобедренного треугольника

где a – боковая сторона и h – высота равнобедренного треугольника.

7) По катетам прямоугольного треугольника

где a,b – катеты прямоугольного треугольника.

8) По одному катету и гипотенузе прямоугольного треугольника.

где а – катет и с – гипотенуза прямоугольного треугольника.

Скачать все формулы в формате Word

Выбирайте формулу в зависимости от известных величин.

1. Как найти периметр треугольника, зная три стороны

Просто посчитайте сумму всех сторон.

• P — искомый периметр;
• a, b, c — стороны треугольника.

2. Как найти периметр треугольника, зная его площадь и радиус вписанной окружности

Умножьте площадь треугольника на 2.

Разделите результат на радиус вписанной окружности.

• P — искомый периметр;
• S — площадь треугольника;
• r — радиус вписанной окружности.

3. Как вычислить периметр треугольника, зная две стороны и угол между ними

Сначала найдите неизвестную сторону треугольника с помощью теоремы косинусов:

• Умножьте одну сторону на вторую, на косинус угла между ними и на 2.
• Посчитайте сумму квадратов известных сторон и отнимите от неё число, полученное в предыдущем действии.
• Найдите корень из результата.

Теперь прибавьте к найденной стороне две ранее известные стороны.

• P — искомый периметр;
• b, c — известные стороны треугольника;
• ɑ — угол между известными сторонами;
• a — неизвестная сторона треугольника.

4. Как найти периметр равностороннего треугольника, зная одну сторону

Умножьте сторону на 3.

• P — искомый периметр;
• a — любая сторона треугольника (напомним, в равностороннем треугольнике все стороны равны).

5. Как вычислить периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и основание

Умножьте боковую сторону на 2.

Прибавьте к результату основание.

• P — искомый периметр;
• a — боковая сторона треугольника (в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны);
• b — основание треугольника (это сторона, которая отличается длиной от остальных).

6. Как найти периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и высоту

Найдите квадраты боковой стороны и высоты.

Отнимите от первого числа второе.

Найдите корень из результата и умножьте его на 2.

Прибавьте к полученному числу две боковые стороны.

• P — искомый периметр;
• a — боковая сторона треугольника;
• h — высота (перпендикуляр, опущенный на основание треугольника со стороны противоположной вершины; в равнобедренном треугольнике высота делит основание пополам).

7. Как вычислить периметр прямоугольного треугольника, зная катеты

Найдите квадраты катетов и посчитайте их сумму.

Извлеките корень из полученного числа.

Прибавьте к результату оба катета.

• P — искомый периметр;
• a, b — катеты треугольника (стороны, которые образуют прямой угол).

8. Как найти периметр прямоугольного треугольника, зная катет и гипотенузу

Посчитайте квадраты гипотенузы и катета.

Отнимите от первого числа второе.

Найдите корень из результата.

Прибавьте катет и гипотенузу.

• P — искомый периметр;
• a — любой катет прямоугольника;
• c — гипотенуза (сторона, которая лежит напротив прямого угла).

Как найти периметр равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник наряду с квадратом является, пожалуй, самой простой и симметричной фигурой в планиметрии. Разумеется, все соотношения, справедливые для обычного треугольника, верны также и для равностороннего. Однако для правильного треугольника все формулы становятся намного проще.

Вам понадобится

• калькулятор, линейка

Инструкция

Чтобы найти периметр равностороннего треугольника измерьте длину одной из его сторон и умножьте результат измерения на три. В виде формулы это правило можно записать следующим образом:

Прт = Дс * 3,

где:

Прт – периметр равностороннего треугольника,
Дс – длина любой из его сторон.

Периметр треугольника получится в тех же единицах измерения, что и длина его стороны.

Пример.
Длина стороны равностороннего треугольника равна 10 мм. Требуется определить его периметр.
Решение.
Прт = 10 * 3 = 30 (мм)

Так как равносторонний треугольник обладает высокой степенью симметрии, то для вычисления его периметра достаточно одного из параметров. Например, площади, высоты, радиуса вписанной или описанной окружности.

Если известен радиус вписанной окружности равностороннего треугольника, то для вычисления его периметра воспользуйтесь следующей формулой:

Прт = 6 * √3 * r,

где: r – радиус вписанной окружности.
Это правило следует из того, что радиус вписанной окружности равностороннего треугольника выражается через длину его стороны следующим соотношением:
r = √3/6 * Дс.

Чтобы вычислить периметр правильного треугольника через радиус описанной окружности, примените формулу:

Прт = 3 * √3 * R,

где: R – радиус описанной окружности.
Данная формула легко выводится из того факта, что радиус описанной окружности правильного треугольника выражается через длину его стороны следующим соотношением: R = √3/3 * Дс.

Для вычисления периметра равностороннего треугольника через известную площадь воспользуйтесь следующим соотношением:
Sрт = Дст² * √3 / 4,
где: Sрт – площадь равностороннего треугольника.
Отсюда можно вывести: Дст² = 4 * Sрт / √3, следовательно: Дст = 2 * √(Sрт / √3).
Подставляя это соотношение в формулу периметра через длину стороны равностороннего треугольника, получаем:

Прт = 3 * Дст = 3 * 2 * √(Sрт / √3) = 6 * √Sст / √(√3) = 6√Sст / 3^¼.

Видео по теме

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?