Как найти период четной функции

Способы задания функции

Пусть функция задается формулой: y=2x^{2}-3. Назначая любые значения независимой переменной x, можно вычислить, пользуясь данной формулой соответствующие значения зависимой переменной y. Например, если x=-0,5, то, пользуясь формулой, получаем, что соответствующее значение y равно y=2 cdot (-0,5)^{2}-3=-2,5.

Взяв любое значение, принимаемое аргументом x в формуле y=2x^{2}-3, можно вычислить только одно значение функции, которое ему соответствует. Функцию можно представить в виде таблицы:

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

Пользуясь данной таблицей, можно разобрать, что для значения аргумента −1 будет соответствовать значение функции −3; а значению x=2 будет соответствовать y=0 и т.д. Также важно знать, что каждому значению аргумента в таблице соответствует лишь одно значение функции.

Еще функции возможно задать, используя графики. С помощью графика устанавливается какое значение функции соотносится с определенным значением x. Наиболее часто, это будет приближенное значение функции.

Четная и нечетная функция

Функция является четной функцией, когда f(-x)=f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно оси Oy.

Функция является нечетной функцией, когда f(-x)=-f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно начала координат O (0;0).

Функция является ни четной, ни нечетной и называется функцией общего вида, когда она не обладает симметрией относительно оси или начала координат.

Исследуем на четность нижеприведенную функцию:

f(x)=3x^{3}-7x^{7}

D(f)=(-infty ; +infty ) с симметричной областью определения относительно начала координат. f(-x)= 3 cdot (-x)^{3}-7 cdot (-x)^{7}= -3x^{3}+7x^{7}= -(3x^{3}-7x^{7})= -f(x).

Значит, функция f(x)=3x^{3}-7x^{7} является нечетной.

Периодическая функция

Функция y=f(x), в области определения которой для любого x выполняется равенство f(x+T)=f(x-T)=f(x), называется периодической функцией с периодом T neq 0.

Повторение графика функции на любом отрезке оси абсцисс, который имеет длину T.

Промежутки, где функция положительная, то есть f(x) > 0 – отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих выше оси абсцисс.

f(x) > 0 на (x_{1}; x_{2}) cup (x_{3}; +infty )

Промежутки, где функция отрицательная, то есть f(x) < 0 – отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x) < 0 на (-infty; x_{1} ) cup (x_{2}; x_{3} )

Ограниченность функции

Ограниченной снизу принято называть функцию y=f(x), x in X тогда, когда существует такое число A, для которого выполняется неравенство f(x) geq A для любого x in X.

Пример ограниченной снизу функции: y=sqrt{1+x^{2}} так как y=sqrt{1+x^{2}} geq 1 для любого x.

Ограниченной сверху называется функция y=f(x), x in X тогда, когда существует такое число B, для которого выполняется неравенство f(x) neq B для любого x in X.

Пример ограниченной снизу функции: y=sqrt{1-x^{2}}, x in [-1;1] так как y=sqrt{1+x^{2}} neq 1 для любого x in [-1;1].

Ограниченной принято называть функцию y=f(x), x in X тогда, когда существует такое число K > 0, для которого выполняется неравенство left | f(x) right | neq K для любого x in X.

Пример ограниченной функции: y=sin x ограничена на всей числовой оси, так как left | sin x right | neq 1.

Возрастающая и убывающая функция

О функции, что возрастает на рассматриваемом промежутке принято говорить как о возрастающей функции тогда, когда большему значению x будет соответствовать большее значение функции y=f(x). Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значения аргумента x_{1} и x_{2}, причем x_{1} > x_{2}, будет y(x_{1}) > y(x_{2}).

Функция, что убывает на рассматриваемом промежутке, называется убывающей функцией тогда, когда большему значению x будет соответствовать меньшее значение функции y(x). Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значений аргумента x_{1} и x_{2}, причем x_{1} > x_{2}, будет y(x_{1}) < y(x_{2}).

Корнями функции принято называть точки, в которых функция F=y(x) пересекает ось абсцисс (они получаются в результате решения уравнения y(x)=0).

а) Если при x > 0 четная функция возрастает, то убывает она при x < 0

б) Когда при x > 0 четная функция убывает, то возрастает она при x < 0

в) Когда при x > 0 нечетная функция возрастает, то возрастает она и при x < 0

г) Когда нечетная функция будет убывать при x > 0, то она будет убывать и при x < 0

Экстремумы функции

Точкой минимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0}, у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0}), и для них тогда будет выполняться неравенство f(x) > f(x_{0}). y_{min} – обозначение функции в точке min.

Точкой максимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0}, у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0}), и для них тогда будет выполняется неравенство f(x) < f(x^{0}). y_{max} – обозначение функции в точке max.

Необходимое условие

Согласно теореме Ферма: f'(x)=0 тогда, когда у функции f(x), что дифференцируема в точке x_{0}, появится экстремум в этой точке.

Достаточное условие

1. Когда у производной знак меняется с плюса на минус, то x_{0} будет точкой минимума;
2. x_{0} – будет точкой максимума только тогда, когда у производной меняется знак с минуса на плюс при переходе через стационарную точку x_{0}.

Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке

Шаги вычислений:

1. Ищется производная f'(x);
2. Находятся стационарные и критические точки функции и выбирают принадлежащие отрезку [a; b];
3. Находятся значения функции f(x) в стационарных и критических точках и концах отрезка. Меньшее из полученных результатов будет являться наименьшим значением функции, а большее — наибольшим.

Определение 1. Функцияназываетсячетной (нечетной),
если вместе с каждым значением переменнойзначение –хтакже принадлежити выполняется равенство

(11.1)

Таким образом, функция может быть четной
или нечетной только тогда, когда ее
область определения симметрична
относительно начала координат на
числовой прямой (числа х и –ходновременно принадлежат).
Например, функцияне является четной и нечетной, так как
ее область определенияне симметрична относительно начала
координат.

Функция
четная, так каксимметрична относительно начала
координат и.

Функция
нечетная, так каки.

Функция
не является четной и нечетной, так как
хотяи симметрична относительно начала
координат, равенства (11.1) не
выполняются. Например,.

График четной функции симметричен
относительно оси Оу, так как если
точкапринадлежит графику, то и точкатоже принадлежит графику. График нечетной
функции симметричен относительно начала
координат, так как еслипринадлежит графику, то и точкатоже принадлежит графику.

При доказательстве четности или
нечетности функции бывают полезны
следующие утверждения.

Теорема 1. а) Сумма двух четных
(нечетных) функций есть функция четная
(нечетная).

б) Произведение двух четных (нечетных)
функций есть функция четная.

в) Произведение четной и нечетной функций
есть функция нечетная.

г) Если f– четная
функция на множествеХ, а функцияg определена на
множестве,
то функция–
четная.

д) Если f– нечетная
функция на множествеХ, а функцияg определена на
множествеи четная (нечетная), то функция–
четная (нечетная).

Доказательство. Докажем, например,
б) и г).

б) Пусть
и–
четные функции. Тогда,
поэтому.
Аналогично рассматривается случай
нечетных функцийи.

г) Пусть f – четная
функция. Тогда.

Остальные утверждения теоремы доказываются
аналогично. Теорема доказана.

Теорема 2. Любую функцию,
заданную на множествеХ, симметричном
относительно начала координат, можно
представить в виде суммы четной и
нечетной функций.

Доказательство. Функциюможно записать в виде

.

Функция
– четная, так как,
а функция– нечетная, поскольку.
Таким образом,,
где–
четная, а–
нечетная функции. Теорема доказана.

Определение 2. Функцияназываетсяпериодической, если
существует число,
такое, что при любомчислаитакже
принадлежат области определенияи выполняются равенства

.

Такое число Tназываетсяпериодом функции.

Из определения 1 следует, что если Т
– период функции,
то и число –Т тоже является
периодом функции (так
как при заменеТ на –Т равенство
сохраняется). С помощью метода
математической индукции можно показать,
что еслиТ– период функцииf,
то и,
тоже является периодом. Отсюда следует,
что если функция имеет период, то она
имеет бесконечно много периодов.

Определение 3. Наименьший из
положительных периодов функции называется
ееосновным периодом.

Теорема 3. ЕслиТ– основной
период функцииf, то
остальные периоды кратны ему.

Доказательство. Предположим
противное, то есть что существует периодфункцииf (>0),
не кратныйТ. Тогда, разделивнаТ с остатком, получим,
где.
Поэтому

,

то есть
– период функцииf,
причем,
а это противоречит тому, чтоТ–
основной период функцииf.
Из полученного противоречия следует
утверждение теоремы. Теорема доказана.

Хорошо известно, что тригонометрические
функции являются периодическими.
Основной период
иравен,и.
Найдем период функции.
Пусть– период этой функции. Тогда

(так как.

Отсюда

илиилиили.

Значение T, определяемое
из первого равенства, не может быть
периодом, так как зависит отх, т.е.
является функцией отх, а не постоянным
числом. Период определяется из второго
равенства:.
Периодов бесконечно много, принаименьший
положительный период получается при:.
Это – основной период функции.

Примером более сложной периодической
функции является функция Дирихле

Заметим, что если T–
рациональное число, тоиявляются рациональными числами при
рациональномхи иррациональными
при иррациональномх. Поэтому

при любом рациональном числе T.
Следовательно, любое рациональное числоTявляется периодом
функции Дирихле. Ясно, что основного
периода у этой функции нет, так как есть
положительные рациональные числа, сколь
угодно близкие к нулю (например,
рациональное числоможно сделать выборомnсколь угодно близким к нулю).

Теорема 4. Если функцияf
задана на множествеХи имеет
периодТ, а функцияg
задана на множестве,
то сложная функциятоже имеет периодТ.

Доказательство. Имеем,
поэтому

,

то есть утверждение теоремы доказано.

Например, так как cos
x имеет период,
то и функцииимеют период.

Определение 4. Функции, не являющиеся
периодическими, называютсянепериодическими.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

В этой статье обсуждаем периодичность функций: как определить, периодична ли  функция, и каков ее период.

Функция периодична, если  некоторый набор ее значений повторяется раз за разом, и точки с одинаковыми значениями функции расположены на числовой оси с равными промежутками. Это расстояние и будем называть периодом. Периодичная функция может иметь и несколько периодов, самый маленький положительный из них будем называть основным.

Тогда, если мы знаем период, мы можем, зная все значения функции на протяжении данного периода, достроить функцию, либо узнать ее значения в любой точке числовой оси – то есть при любом аргументе.

Пример 1: функция имеет период, равный 2: и при . Найдите значение выражения .

Раз наша функция принимает форму части параболы на отрезке [-2; 0] при периоде, равном 2, значит, такую же форму она будет иметь и на следующем отрезке – [0;2], и на отрезке [2;4]. Изобразим ее:

Видно, что функция принимает одинаковые значения в точках, отстоящих друг от друга на 2, 4, 6  единиц и т.д., тогда . Найдем эти значения функции. В точке (-1) функция принимает значение , в точке (3,5) функция принимает значение .

Теперь найдем значение искомого выражения: .

Строго говоря, функция периодична, если есть такое число Т, что .

Попробуем научиться определять, периодична ли функция или нет. Для этого рассмотрим несколько примеров.

Пример 2. Проверим, периодична ли функция .

Установим, выполняется ли условие: , то есть ? Очевидно, что данное условие не выполняется. Значит, функция непериодична.

Пример 3. Проверим, периодична ли функция .

Функцию для удобства представим в виде: .

Установим, выполняется ли условие: , то есть ? Очевидно, что данное условие не выполняется: . Значит, функция непериодична.

Пример 4. Проверим, периодична ли функция . Если функция периодична, то будет выполняться условие: , то есть . Поскольку нам все равно, в какой точке числовой оси мы проведем свое исследование, то очень удобно начать с точки . Тогда  , или . Это означает, что либо  , либо ,  то есть либо ,  либо ,  а так как главным считается наименьший  положительный период, то .

В данном примере делать проверку необязательно, но проверка бывает очень полезна в более сложных задачах, поэтому сделаем ее здесь для тренировки: .

Пример 5. Определить периодичность функции .

Если Т – период, то .

В это равенство подставим какие-нибудь «удобные» точки, например, . Получим:

Далее есть два пути отыскания периода, первый – решение этого уравнения, второй – составление еще одного уравнения такого же вида. Если функция имеет период Т, то верно и следующее: . Подставим  «удобную» точку :

Пользуясь четностью косинуса  и нечетностью синуса можем записать:

Имеем систему:

Уравнения сложим, и получим

, откуда

, при получим  – ведь нам нужен наименьший период.

Теперь испробуем второй путь, решим это уравнение: . Из основного тригонометрического тождества:

Оставим в левой части только корень:

Возведем в квадрат:

Тогда либо , либо и .

Это уравнение имеет два решения, одно из которых (второе) – посторонний корень, появившийся при возведении в квадрат. Проверка подстановкой его в исходное уравнение позволит нам выявить его и отбросить. Таким образом, получаем:

и наименьшим будет период при , то есть .

Здесь также необходимо сделать проверку. Подставим полученный период в условие  :

, то есть

период данной функции – .

Пример 6. Определить периодичность функции и найти ее основной период.

Если Т – период, то

Подставим , имеем

,

Или , , наименьший период при , .

Проверим:

Пример 7. Определим период функции .

Запишем условие периодичности:

, если , то

, откуда  , . При , , при , . Проверкой можно показать, что периодом не является. Тогда . Действительно:

Пример 8. Доказать, что периодом функции является .

Тогда:

Пример 9. Доказать, что периодом функции является .

Тогда:

Если , то

, а  так как и –  одна и та же точка на единичной окружности, то равенство выполняется.

Удачи вам в учебе и надеюсь, эта статья вам помогла.

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №2 Чётность и нечётность тригонометрических функций. Периодичность.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

• Изучение чётности функции, 
• Построение периодичности функции,
• Определение четности или нечетности тригонометрических функций вида y=af(kx+b)+c и y=|f(k|x|+b)|,
• Объяснение зависимости четности или нечетность функции вида y=af(kx+b)+c и y=|f(k|x|+b)|,
• Определение периодичности тригонометрических функций вида y=af(kx+b)+c и y=|f(k|x|+b)|,
• Объяснение зависимости периодичности функции вида y=af(kx+b)+c и y=|f(k|x|+b)|,

Глоссарий по теме

Функцию y=f(x), x∈X называют чётной, если для любого значения xиз множества X выполняется равенство f(−x)=f(x).

Функцию y=f(x), x∈X называют нечётной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство f(−x)=−f(x).

Период функций, представляющих собой сумму непрерывных и периодических функций, равен наименьшему кратному периодов слагаемых, если он существует.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2010.–336 с.

Дополнительная литература:

Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].– Режим доступа: http://ege.fipi.ru/

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс].– Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Косинус (cos α) – это тригонометрическая функция от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |ОА| к длине гипотенузы |ОВ|.

Область. определения функции (D) — множество R всех действительных чисел

Множество значений функции (E) — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция —ограниченная.

Для того, чтобы определить чётность функции косинус проверим следующие определения: функция чётная,  f(−x)=f(x) и функцию   нечётная, f(−x)=−f(x).

Например, cos(60°) = ½ = cos(–60°)–это значит, что : cos(−x)=cos x для всех x∈R и у=сosx–чётная

Сиинус(sin α) – это тригонометрическая функция от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |АВ| к длине гипотенузы |ОВ|.

Область определения функции (D) — множество R всех действительных чисел.

Множество значений функции (E) — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция —ограниченная.

Для того, чтобы определить чётность функции синус проверим следующие определения: функция чётная,  f(−x)=f(x) и функцию  нечётная, f(−x)=−f(x).

Например, sin(30°) = ½ sin(–30°) = –½ –это значит, что : sin(−x)=–sin (x) для всех x∈R и y=sinx–нечётная

–нечётная

–нечётная

Период функций y=sin x, y=cos xравен 2π, период функций tgx, ctgx равен π.

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Выясним, является ли функция

чётной или нечётной?

Пример 2. Доказать, что число 2π является наименьшим положительным периодом функции y=cos x

Пусть Т>0 – период косинуса, т.е. для любого х выполняется равенство cos (x+T)= cos x. Положив х=0, получим cos T=1. Отсюда Т=2πk, x∈R. Так как Т>0, то может принимать значения 2π, 4π, 6π,…, и поэтому период не может быть меньше 2π