Как найти период функции по формуле

Тригонометрические функции периодичны , то есть повторяются через определенный период. Вследствие этому довольно изучать функцию на этом интервале и распространить обнаруженные свойства на все остальные периоды.

1. Если вам дано примитивное выражение, в котором присутствует лишь одна тригонометрическая функция (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec), причем угол внутри функции не умножен на какое-нибудь число, а она сама не возведена в какую-нибудь степень – воспользуйтесь определением. Для выражений, содержащих sin, cos, sec, cosec отважно ставьте период 2П, а если в уравнении есть tg, ctg – то П. Скажем, для функции у=2 sinх+5 период будет равен 2П.

2. Если угол х под знаком тригонометрической функции умножен на какое-нибудь число, то, дабы обнаружить период данной функции, поделите типовой период на это число. Скажем, вам дана функция у= sin 5х. Типовой период для синуса – 2П, поделив его на 5, вы получите 2П/5 – это и есть желанный период данного выражения.

3. Дабы обнаружить период тригонометрической функции, возведенной в степень, оцените четность степени. Для четной степени уменьшите типовой период в два раза. Скажем, если вам дана функция у=3 cos^2х, то типовой период 2П уменьшится в 2 раза, таким образом, период будет равен П. Обратите внимание, функции tg, ctg в всякий степени периодичны П.

4. Если вам дано уравнение, содержащее произведение либо частное 2-х тригонометрических функций, вначале обнаружьте период для всей из них отдельно. После этого обнаружьте минимальное число, которое умещало бы в себе целое число обоих периодов. Скажем, дана функция у=tgx*cos5x. Для тангенса период П, для косинуса 5х – период 2П/5. Минимальное число, в которое дозволено уместить оба этих периода, это 2П, таким образом, желанный период – 2П.

5. Если вы затрудняетесь делать предложенным образом либо сомневаетесь в результате, попытайтесь делать по определению. Возьмите в качестве периода функции Т, он огромнее нуля. Подставьте в уравнение взамен х выражение (х+Т) и решите полученное равенство, как если бы Т было параметром либо числом. В итоге вы обнаружите значение тригонометрической функции и сумеете подобрать наименьший период. Скажем, в итоге облегчения у вас получилось тождество sin (Т/2)=0. Минимальное значение Т, при котором оно выполняется, равно 2П, это и будет результат задачи.

Периодической функцией именуется функция, повторяющая свои значения через какой-то ненулевой период. Периодом функции именуется число, при добавление которого к доводу функции значение функции не меняется.

Вам понадобится

1. Обозначим период функции f(x) через число К. Наша задача обнаружить это значение К. Для этого представим, что функция f(x), пользуясь определением периодической функции, приравняем f(x+K)=f(x).

2. Решаем полученное уравнение касательно неведомой K, так, как словно x – константа. В зависимости от значения К получится несколько вариантов.

3. Если K>0 – то это и есть период вашей функции.Если K=0 – то функция f(x) не является периодической.Если решение уравнения f(x+K)=f(x) не существует ни при каком K не равном нулю, то такая функция именуется апериодической и у неё тоже нет периода.

Видео по теме

Обратите внимание!
Все тригонометрические функции являются периодическими, а все полиномиальные со степенью огромнее 2 – апериодическими.

Полезный совет
Периодом функции, состоящей из 2-х периодический функций, является Наименьшее всеобщее кратное периодов этих функций.

Тригонометрические уравнения – это уравнения, которые содержат в себе тригонометрические функции неведомого довода (для примера: 5sinx-3cosx =7). Дабы обучиться решать их – необходимо знать некоторые для этого способы.

1. Решение таких уравнения состоит из 2-х этапов.Первое – реформирование уравнения для приобретения его простейшего вида. Простейшими тригонометрическими уравнениями именуются такие: Sinx=a; Cosx=a и т.д.

2. Второе – это решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует основные способы решения уравнений такого вида:Решение алгебраическим способом. Данный способ классно знаменит из школы, с курса алгебры. По иному называют способом замены переменной и подстановки. Применяя формулы приведения, преобразуем, делаем замену, позже чего находим корни.

3. Разложение уравнения на множители. Вначале переносим все члены налево и раскладываем на множители.

4. Приведение уравнение к однородному. Однородными уравнениями называют уравнения, если все члены одной и той же степени и синус, косинус одного и того же угла.Дабы его решить, следует: вначале перенести все его члены из правой части в левую часть; перенести все всеобщие множители за скобки; приравнять множители и скобки нулю; приравненные скобки дают однородное уравнение меньшей степени, что следует поделить на cos ( либо sin ) в старшей степени; решить полученное алгебраическое уравнение касательно tan.

5. Дальнейший способ – переход к половинному углу. Скажем, решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.Переходим к половинному углу: 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ? ( x / 2 ) + 5 sin ? ( x / 2 ) = 7 sin ? ( x / 2 ) + 7 cos ? ( x/ 2 ) , позже чего все члены сводим в одну часть (отличнее в правую) и решаем уравнение.

6. Вступление вспомогательного угла. Когда мы заменяем целое значение cos(а) либо sin(а). Знак «а» – вспомогательный угол.

7. Способ реформирования произведения в сумму. Здесь нужно применять соответствующие формулы. Скажем дано: 2 sin x · sin 3x = cos 4x.Решим ее, преобразовав левую часть в сумму, то есть:cos 4x – cos 8x = cos 4x ,cos 8x = 0 ,8x = p / 2 + pk ,x = p / 16 + pk / 8.

8. Конечный способ, называемый многофункциональной подстановкой. Мы преобразовываем выражение и делаем замену, скажем Cos(x/2)=u, позже чего решаем уравнение с параметром u. При приобретении итога переводим значение в обратное.

Видео по теме

Если рассматривать точки на окружности, то точки x, x + 2π, x + 4π и т.д. совпадают друг с ином. Таким образом, тригонометрические функции на прямой периодически повторяют свое значение. Если знаменит период функции , дозволено возвести функцию на этом периоде и повторить ее на других.

1. Период – это число T, такое что f(x) = f(x+T). Дабы обнаружить период, решают соответствующее уравнение, подставляя в качестве довода x и x+T. При этом пользуются теснее знаменитыми периодами для функций. Для функций синуса и косинуса период составляет 2π, а для тангенса и котангенса – π.

2. Пускай дана функция f(x) = sin^2(10x). Разглядите выражение sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Воспользуйтесь формулой для понижения степени: sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2. Тогда получите 1 – cos 20x = 1 – cos 20(x+T) либо cos 20x = cos (20x+20T). Зная, что период косинуса равен 2π, 20T = 2&#960. Значит, T = π/10. Т – минимальный правильный период, а функция будет повторяться и через 2Т, и через 3Т, и в иную сторону по оси: -T, -2T и т.д.

Полезный совет
Пользуйтесь формулами для понижения степени функции. Если вам теснее знамениты периоды каких-нибудь функций, пробуйте свести имеющуюся функцию к вестимым.

Изыскание функции на четность и нечетность помогает строить график функции и постигать нрав ее поведения. Для этого изыскания нужно сравнить данную функцию, записанную для довода “х” и для довода “-х”.

1. Запишите функцию, изыскание над которой нужно провести, в виде y=y(x).

2. Замените довод функции на “-х”. Подставьте данный довод в функциональное выражение.

3. Упростите выражение.

4. Таким образом, вы получили одну и ту же функцию, записанную для доводов “х” и “-х”. Посмотрите на две эти записи.Если y(-x)=y(x), то это четная функция.Если y(-x)=-y(x), то это нечетная функция.Если же про функцию невозможно сказать, что y(-x)=y(x) либо y(-x)=-y(x), то по свойству четности это функция всеобщего вида. То есть, она не является ни четной, ни нечетной.

5. Запишите сделанные вами итоги. Сейчас вы можете их применять в построении графика функции либо же в будущем аналитическом изыскании свойств функции.

6. Говорить о четности и нечетности функции дозволено также и в том случае, когда теснее задан график функции. Скажем, график послужил итогом физического эксперимента.Если график функции симметричен касательно оси ординат, то y(x) – четная функция.Если график функции симметричен касательно оси абсцисс, то x(y) – четная функция. x(y) – функция, обратная функции y(x).Если график функции симметричен касательно начала координат (0,0), то y(x) – нечетная функция. Нечетной будет также обратная функция x(y).

7. Значимо помнить, что представление о четности и нечетности функции имеет прямую связь с областью определения функции. Если, скажем, четная либо нечетная функция не существует при х=5, то она не существует и при х=-5, чего невозможно сказать про функцию всеобщего вида. При установлении четности и нечетности обращайте внимание на область определения функции.

8. Изыскание функции на четность и нечетность коррелирует с нахождением множества значений функции. Для нахождения множества значений четной функции довольно разглядеть половину функции, правее либо левее нуля. Если при x>0 четная функция y(x) принимает значения от А до В, то те же значения она будет принимать и при x<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 нечетная функция y(x) принимает диапазон значений от А до В, то при x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

«Тригонометрическими» когда-то стали называть функции, которые определяются зависимостью острых углов в прямоугольном треугольнике от длин его сторон. К таким функциям относят в первую очередь синус и косинус, во вторую – обратные этим функциям секанс и косеканс, производные от них тангенс и котангенс, а также обратные функции арксинус, арккосинус и др. Положительнее говорить не о «решении» таких функций, а об их «вычислении», то есть о нахождении численного значения.

1. Если довод тригонометрической функции неведом, то вычислить ее значение дозволено косвенным методом исходя из определений этих функций. Для этого требуется знать длины сторон треугольника, тригонометрическую функцию для одного из углов которого требуется вычислить. Скажем, по определению синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение длины противолежащего этому углу катета к длине гипотенузы. Из этого вытекает, что для нахождения синуса угла довольно знать длины этих 2-х сторон. Схожее определение гласит, что синусом острого угла является отношение длины прилежащего к этому углу катета к длине гипотенузы. Тангенс острого угла дозволено вычислить, поделив длину противолежащего ему катета на длину прилежащего, а котангенс требует деления длины прилежащего катета к длине противолежащего. Для вычисления секанса острого угла нужно обнаружить отношение длины гипотенузы к длине прилежащего к необходимому углу катета, а косеканс определяется отношением длины гипотенузы к длине противолежащего катета.

2. Если же довод тригонометрической функции вестим, то знать длины сторон треугольника не требуется – дозволено воспользоваться таблицами значений либо калькуляторами тригонометрических функций. Такой калькулятор есть среди стандартных программ операционной системы Windows. Для его запуска дозволено нажать сочетание клавиш Win + R, ввести команду calc и щелкнуть кнопку «OK». В интерфейсе программы следует раскрыть раздел «Вид» и предпочесть пункт «Инженерный» либо «Ученый». Позже этого дозволено вводить довод тригонометрической функции. Для вычисления функций синус, косинус и тангенс довольно позже ввода значения щелкнуть по соответствующей кнопке интерфейса (sin, cos, tg), а для нахождения обратных им арксинуса, арккосинуса и арктангенса следует заблаговременно поставить отметку в чекбоксе Inv.

3. Есть и альтернативные методы. Один из них – перейти на сайт поисковой системы Nigma либо Google и ввести в качестве поискового запроса надобную функцию и ее довод (скажем, sin 0.47). Эти поисковики имеют встроенные калькуляторы, следственно позже отправки такого запроса вы получите значение введенной вами тригонометрической функции.

Видео по теме

Тригонометрические функции сначала появились как инструменты абстрактных математических вычислений зависимостей величин острых углов в прямоугольном треугольнике от длин его сторон. Теперь они дюже обширно используются как в научных, так и в технических областях человеческой деятельности. Для утилитарных вычислений тригонометрических функций от заданных доводов дозволено применять различные инструменты – ниже описано несколько особенно доступных из них.

1. Воспользуйтесь, скажем, устанавливаемой по умолчанию совместно с операционной системой программой-калькулятором. Она открывается выбором пункта «Калькулятор» в папке «Служебные» из подраздела «Типовые», размещенного в раздел «Все программы». Данный раздел дозволено обнаружить, открыв щелчком по кнопке «Пуск» основное меню операционной системы. Если вы используете версию Windows 7, то имеете вероятность примитивно ввести слово «Калькулятор» в поле «Обнаружить программы и файлы» основного меню, а после этого щелкнуть по соответствующей ссылке в итогах поиска.

2. Введите значение угла, для которого нужно рассчитать тригонометрическую функцию, а потом кликните по соответствующей этой функции кнопке – sin, cos либо tan. Если вас волнуют обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус либо арктангенс), то вначале кликните кнопку с надписью Inv – она меняет присвоенные руководящим кнопкам калькулятора функции на противоположные.

3. В больше ранних версиях ОС (скажем, Windows XP) для доступа к тригонометрическим функциям нужно раскрыть в меню калькулятора раздел «Вид» и предпочесть строку «Инженерный». Помимо того, взамен кнопки Inv в интерфейсе ветхих версий программы присутствует чекбокс с такой же надписью.

4. Дозволено обойтись и без калькулятора, если у вас есть доступ в интернет. В сети много сервисов, которые предлагают по-различному организованные вычислители тригонометрических функций. Один их особенно комфортных вариантов встроен в поисковую систему Nigma. Перейдя на ее основную страницу, примитивно введите в поле поискового запроса волнующее вас значение – скажем, «арктангенс 30 градусов». Позже нажатия кнопки «Обнаружить!» поисковик рассчитает и покажет итог вычисления – 0,482347907101025.

Видео по теме

Тригонометрия – раздел математики для постижения функций, выражающих разные зависимости сторон прямоугольного треугольника от величин острых углов при гипотенузе. Такие функции получили называние тригонометрических, а для облегчения работы с ними были выведены тригонометрические тождества .

Представление тождества в математике обозначает равенство, которое выполняется при всяких значениях доводов входящих в него функций. Тригонометрические тождества – это равенства тригонометрических функций, подтвержденные и принятые для упрощения работы с тригонометрическими формулами.Тригонометрическая функция – это элементарная функция зависимости одного из катетов прямоугольного треугольника от величины острого угла при гипотенузе. Почаще каждого применяются шесть основных тригонометрических функций: sin (синус), cos (косинус), tg (тангенс), ctg (котангенс), sec (секанс) и cosec (косеканс). Эти функции именуются прямыми, существуют также обратные функции, скажем, синус – арксинус, косинус – арккосинус и т.д.Первоначально тригонометрические функции обнаружили отражение в геометрии, после этого распространились в другие области науки: физику, химию, географию, оптику, теорию вероятностей, а также акустику, теорию музыки, фонетику, компьютерную графику и многие другие. Сейчас теснее сложно представить себе математические расчеты без этих функций, правда в дальнем прошлом они использовались только в астрономии и архитектуре.Тригонометрические тождества используются для упрощения работы с длинными тригонометрическими формулами и приведения их к удобоваримому виду. Основных тригонометрических тождеств шесть, они связаны с прямыми тригонометрическими функциями:• tg ? = sin ?/cos ?;• sin^2? + cos^2? = 1;• 1 + tg^2? = 1/cos^2?;• 1 + 1/tg^2? = 1/sin^2?;• sin (?/2 – ?) = cos ?;• cos (?/2 – ?) = sin ?.Эти тождества легко подтвердить из свойств соотношения сторон и углов в прямоугольном треугольнике:sin ? = BC/AC = b/c; cos ? = AB/AC = a/c; tg ? = b/a.Первое тождество tg ? = sin ?/cos ? следует из соотношения сторон в треугольнике и исключением стороны c (гипотенузы) при делении sin на cos. Таким же образом определяется тождество ctg ? = cos ?/sin ?, от того что ctg ? = 1/tg ?.По теореме Пифагора a^2 + b^2 = c^2. Поделим это равенство на c^2, получим второе тождество:a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2 ? + cos^2 ? = 1.Третье и четвертое тождества получает путем деления, соответственно, на b^2 и a^2:a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/sin^ ? либо 1 + ctg^2 ? = 1/sin^2 ?.Пятое и шестое основные тождества доказываются через определение суммы острых углов прямоугольного треугольника, которая равна 90° либо ?/2.Больше трудные тригонометрические тождества : формулы сложения доводов, двойного и тройного угла, понижения степени, реформирования суммы либо произведения функций, а также формулы тригонометрической подстановки, а именно выражения основных тригонометрических функций через tg половинного угла:sin ?= (2*tg ?/2)/(1 + tg^2 ?/2);cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).

Надобность обнаружить минимальное значение математической функции представляет собой фактический интерес в решении прикладных задач, скажем, в экономике. Огромное значение для предпринимательской деятельности имеет минимизация убытков.

1. Дабы обнаружить минимальное значение функции , необходимо определить, при каком значении довода x0 будет выполняться неравенство y(x0) ? y(x), где x ? x0. Как водится, эта задача решается на определенном промежутке либо во каждой области значений функции , если таковой не задан. Одним из аспектов решения является нахождение неподвижных точек.

2. Стационарной точкой именуется значение довода, при котором производная функции обращается в нуль. Согласно теореме Ферма, если дифференцируемая функция принимает экстремальное значение в некоторой точке (в данном случае – локальный минимум), то эта точка является стационарной.

3. Минимальное значение функция зачастую принимает именно в этой точке, впрочем ее дозволено определить не неизменно. Больше того, не неизменно дозволено с точностью сказать, чему равен минимум функции либо он принимает беспредельно малое значение . Тогда, как водится, находят предел, к которому она тяготится при убывании.

4. Для того дабы определить минимальное значение функции , надобно исполнить последовательность действий, состоящую из четырех этапов: нахождение области определения функции , приобретение неподвижных точек, обзор значений функции в этих точках и на концах промежутка, обнаружение минимума.

5. Выходит, пускай задана некоторая функция y(x) на промежутке с границами в точках А и В. Обнаружьте область ее определения и узнаете, является ли промежуток ее подмножеством.

6. Вычислите производную функции . Приравняйте полученное выражение нулю и обнаружьте корни уравнения. Проверьте, попадают ли эти стационарные точки в промежуток. Если нет, то на дальнейшем этапе они не учитываются.

7. Разглядите промежуток на предмет типа границ: открытые, закрытые, составные либо безмерные. От этого зависит, как вы будете искать минимальное значение . Скажем, отрезок [А, В] является закрытым промежутком. Подставьте их в функцию и рассчитайте значения. То же самое проделайте со стационарной точкой. Выберите наименьший итог.

8. С открытыми и безмерными промежутками дело обстоит несколько труднее. Тут придется искать односторонние пределы, которые не неизменно дают однозначный итог. Скажем, для промежутка с одной закрытой и одной выколотой рубежом [А, В) следует обнаружить функцию при х = А и односторонний предел lim y при х ? В-0.