Как найти период суммы периодических функций

Макеты страниц

Спасибо за ответ. То есть если у меня две функции и , то период первой равен , а второй . После приведения к общему знаменателю, 6, числители равны 4 и 3 соответственно НОК(4,3)=12. Следовательно, период суммы равен .

УДК 517.17+517,51

ПЕРИОД СУММЫ ДВУХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

А/О. Эвнин

В работе полностью решен вопрос, каким может быть основной период периодической функции, являющейся суммой двух периодических функций с известными основными периодами. Изучается также случай отсутствия основного периода у периодической суммы периодических функций.

Мы рассматриваем действительнозначные функции действительного переменного. В энциклопедическом издании [1] в статье «Периодические функции» можно прочитать: «Сумма периодических функций с разными периодами является периодической только тогда, когда их периоды соизмеримы». Это утверждение справедливо для непрерывных функций1, но не имеет места в общем случае. Контрпример весьма общего вида был построен в [4]. В данной статье мы выясняем, каким может быть основной период периодической функции, являющейся суммой двух периодических функций с известными основными периодами.

Предварительные сведения

Напомним, что функция / называется периодической, если для некоторого числа Т Ф О при любом х из области определения D(f) числа х + Т и х – Т принадлежат D(f) и выполняются равенства f(x + T) =f(x) =f(x ~ Т). При этом число Г называют периодом функции.

Наименьший положительный период функции (если, конечно, он существует) будем называть основным периодом. Известен следующий факт.

Теорема 1. Если у функции есть основной период То, то любой период функции имеет вид пТо, где п Ф 0 – целое число.

Числа Т и Т2 называют соизмеримыми, если существует такое число Т0, которое целое число раз «укладывается» и в Т, и в Т2: Т = Т2 = п2Т0, щ,п2е Z. В противном случае числа Т и Т2 называют несоизмеримыми. Соизмеримость (несоизмеримость) периодов означает, таким образом, что их отношение есть число рациональное (иррациональное).

Из теоремы 1 следует, что у функции, имеющей основной период, любые два периода соизмеримы.

Классическим примером функции, не имеющей наименьшего периода, является функция Дирихле, равная 1 в рациональных точках, и нулю – в иррациональных. Любое рациональное число, отличное от нуля, является периодом функции Дирихле, а любое иррациональное число не является ее периодом. Как видим, и здесь любые два периода соизмеримы.

Приведем пример непостоянной периодической функции, имеющей несоизмеримые периоды.

Пусть функция /(х) в точках вида /и + ла/2, m, п е Z, равна 1, а в остальных точках равна

нулю. Среди периодов этой функции есть 1 и л

Период суммы функций с соизмеримыми периодами

Теорема 2. Пусть fug- периодические функции с основными периодами тТ0 и «То, где тип

mnj

– взаимно простые числа. Тогда основной период их суммы (если он существует), равен –

к

где к – натуральное число, взаимно простое с числом тп.

Доказательство. Пусть h = / + g. Очевидно, что число тпТ0 является периодом h. В силу

тпр

теоремы 1 основной период h имеет вид-где к- некоторое натуральное число. Предполо-

к

жим, что к не является взаимно простым с числом m, то есть к – dku m = dm, где d> 1 – наи-

1 Красивое доказательство того, что сумма любого конечного числа непрерывных функций с попарно несоизмеримыми периодами непериодична, содержится в статье [2] См. также [3].

больший общий делитель чисел т и к. Тогда период функции к равен

а функция f=h-g

имеет период mxnTо, не являющийся кратным ее основного периода mTQ. Получено противоречие с теоремой 1. Значит, к взаимно просто с т. Аналогично, взаимно простыми являются числа к и п. Таким образом, А: взаимно просто с тп. □

Теорема 3. Пусть т, п и к ~ попарно взаимно простые числа, а Т0 – положительное число. Тогда существуют такие периодические функции fug, что основные периоды f, g и (f + g) рае-

тппТ

ны соответственно тТ$, nTQ и-

к

Доказательство. Доказательство теоремы будет конструктивным: мы просто построим соответствующий пример. Предварительно сформулируем следующий результат. Утверждение. Пусть т — взаимно простые числа. Тогда функции

fx – cos— + cos-—- и f2= cos— m n m

cos— имеют основным периодом число 2ктп. п

Доказательство утверждения. Очевидно, что число 2птп является периодом обеих функций. Легко можно проверить, что этот период основной для функции Найдем ее точки максимума.

х=1 ,

Х-2 5GZ

/,(*) = 2о<

cos— = 1 т

о

х 1

cos— -1

п

х = 2лМ, te Z.

Имеем = п!. Из взаимной простоты тип следует, что 5 кратно /г, т.е. я = I е Ъ . Значит, /х(х) = 2 о х = 2тстп1,1 е 2, а расстояние между соседними точками максимума функции / равно 2ктп, и положительный период/1 не может быть меньше числа 2 шпп.

Для функции^ применим рассуждения другого рода (которые подходят и для функции/ь но

2ктп

менее элементарны). Как показывает теорема 1, основной период Г функции/2 имеет вид -,

где к- некоторое натуральное число, взаимно простое с тип. Число Гбудет и периодом функции

( 2 ^ 2 хп г т т /2 + /2 = — -1 cos

V

п

J

п

все периоды которой имеют вид 2пп1. Итак,

2ктп

2nnl, т.е. т = kl. Так как т и к взаимно про-

сты, отсюда следует, что к= 1.

Теперь для доказательства теоремы 3 можно построить искомый пример. Пример. Пусть т, п и к – попарно взаимно простые числа и хотя бы одно из чисел п или к отлично от 1. Тогда пф к ив силу доказанного утверждения функции

/ (х) = cos-—- + cos— т к

. X X

И g(x) = cos—cos — п к

имеют основные периоды 2 лтк и 2 тк соответственно, а у их суммы

к(х) = f(x) + = cos— + cos—

m n

основной период равен 2 ттп.

Если же п = к = 1, то подойдет пара функций

х

f{x)-2 cos— + COS X и g(x) – COS X. m

Их основные периоды, а также период функции к(х) – 2 равны соответственно 2лм, 2/ги 2тип.

( X cos— + COS X

m J

как легко проверить.

Математика

Обозначим Т = 2лк. Для произвольных попарно взаимно простых чисел тп, п и к указаны функции/и £ такие, что основные периоды функций/, g и/ + g равны соответственно тТ, пТ и

. Условию теоремы удовлетворяют функции / — л;

V^o j

и g

-X

Т0 J

Период суммы функций с несоизмеримыми периодами

Следующее утверждение почти очевидно.

Теорема 4. Пусть fug- периодические функции с несоизмеримыми основными периодами Т} и Т2, а сумма этих функций h = f + g периодична и имеет основной период Т. Тогда число Т несоизмеримо ни с Т], ни с Т2.

Доказательство. С одной стороны, если числа ТнТ} соизмеримы, то функция g = h-f имеет период, соизмеримый с Г]. С другой стороны, в силу теоремы 1 любой период функции g кратен числу Т2. Получаем противоречие с несоизмеримостью чисел Т и Т2. Несоизмеримость чисел Т и Т2 доказывается аналогично, d

Замечательным, и даже в некотором роде удивительным, является тот факт, что справедливо и утверждение, обратное к теореме 4. Широко распространено заблуждение о том, что сумма двух периодических функций с несоизмеримыми периодами не может быть функцией периодической. На самом же деле это не так. Более того, период суммы может быть любым положительным числом, удовлетворяющим утверждению теоремы 4.

Теорема 5. Пусть Т, Т2иТ~ попарно несоизмеримые положительные числа. Тогда существуют такие периодические функции fug, что их сумма h =/+ g периодична, а основные периоды функцииf guhравны соответственно Th Т2 и Т.

Доказательство. Доказательство вновь будет конструктивным. Наши построения будут существенно зависеть от того, представимо или не представимо число Т в виде рациональной комбинации Т = аТ + рТ2 (а и Р – рациональные числа) периодов Т и Т2.

I. Т не является рациональной комбинацией Тг и J2-

Пусть А = {mT + пТ2 + kTm,n, k е Z} – множество целых линейных комбинаций чисел Гь Т2 и Т. Отметим сразу, что если число представимо в виде пгТ + пТ2 + кТ, то такое представление единственно. Действительно, если тхТ + пТг + кТ- m2Tx + п2Т2 + к2Т9 то

(к} – к2)Т- (от2 – т)Т] + (п2 – щ)Тъ и при к * к2 получаем, что Т рационально выражается через Т] и Т2. Значит, к = к2. Теперь из несоизмеримости чисел Т и Т2 непосредственно получаются равенства т = т2 и щ = п2.

Важным является тот легко проверяемый факт, что множества А и дополнение к нему А замкнуты относительно прибавления чисел из А: если х е А и у е А, то х + у е А; если х е А и у е А, тох + у е А.

Положим, что во всех точках множества А функции/и g равны нулю, а на множестве А зададим эти функции следующим образом:

f(mTi + пТ2 + кТ) = пТ2 + кТ g(mT1 + пТ2 + кТ) – гпТ – кТ.

Поскольку, как было показано, по числу х е А коэффициенты т,пик линейной комбинации периодов Гь Т2 и Г восстанавливаются однозначно, указанные задания функций/и g корректны.

Функция h =/ + g на множестве А равна нулю, а в точках множества А равна

h(mT + пТ2 + кТ) – тТ + пТ2.

Непосредственной подстановкой легко убедиться, что число Т – период функции f число Т2 – период g, а Т~ период h. Покажем, что эти периоды – основные.

Сначала отметим, что любой период функции /принадлежит множеству А. Действительно,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

если 0 фх в А,у е А, т ох + у е А и f(x + у) = 0 *f(x). Значит, у е А – не период функции /

Пусть теперь не равные друг другу числах, х2 принадлежат^ и f(x 1) ~f(x2). Из определения функции / отсюда получаем, что х – х2 = 1ТЬ где I- некоторое ненулевое целое число. Стало быть, любой период функции/кратен Т. Таким образом, Тх – действительно основной период/

Точно так же проверяются утверждения относительно Т2 и Т.

Замечание. В книге [4] на с. 172-173 приводится другая общая конструкция для случая I.

II. Т- рациональная комбинация Т и Т2.

Представим рациональную комбинацию периодов Т и Т2 в виде Г = — (кхТх + к2Т2), где кх и

Я

к2 ™ взаимно простые целые числа, к{Г + к2Т2 > 0, а/? и д – натуральные числа. Введем в рассмотри, лeZ>.

тТх+ пТ2

рение множество В——

I ?

Положим, что во всех точках множества В функцииfиg равны нулю, а на множестве В зададим эти функции следующим образом:

/

g

^ тТ + пТ2 Л Я

^ mTx + пТ2 Л

9

<“2

m

Р

m

h

Здесь, как обычно, [х] и {х} обозначают соответственно целую и дробную часть числах. Функция к =/+ д на множестве В равна нулю, а в точках множества В равна

h

fmTx +пТ: л Ч

п m

_Р_

+

Т2

J

‘2 Л1

Непосредственной подстановкой несложно проверить, что число Тх – период функции/, число Т2 – период g, а Т- период h. Покажем, что эти периоды – основные.

Любой период функции / принадлежит множеству В. Действительно, если 0 * х е В, у е В, то f(x) Ф 0, j{x + у) = 0 */(*)■ Значит, у е В _ Не период функции/

Итак, всякий период функции / имеет вид Ту =

, где 5i и 52 – целые числа. Пусть

777

х =—7] 4- —Г2, х е 5. Если я = 0, то /(я) – рациональное число. Теперь из рациональности числа /(х + 7}) вытекает равенство -I — I – 0. Значит, имеем равенство 52 = Хр, где X – некоторое целое

[Р)

число. Соотношение/(х + 7}) = /(х) принимает вид

О)

^ П + I + I ш +

к2 1 Я 1 1 Ч

Данное равенство должно выполняться при всех целых тип. При т-п~ 0 правая часть (1) рав-

Я

на нулю. Поскольку дробные части неотрицательны, получаем отсюда, что —<0, а при

к2

т = п = д – ] сумма дробных частей в правой части равенства (1) не меньше суммы дробных час-X

тей слева. Значит, — >0. Таким образом, X = 0 и 52 = 0. Поэтому период функции / имеет вид

Тг =

sT

а равенство (1) переходит в

п | [w + Jij^fwl | т

(2)

Математика

При т-п~ 0 получаем I — > = О, т.е. делится на д, а любой период функции/кратен Гь Дока-

Ы

зано, что Т – основной период функции/

Аналогичные рассуждения применимы и к функции g.

Перейдем теперь к функции к. Так же, как и выше, устанавливаем, что период функции к

должен быть вида Тн – ^ + , где 5] и 52 – целые числа. Из соотношений

Ч

й(0) = 0 = й(ГА) =

52 Л

.Р J .Р.

к2 кх

¡2

(3)

ч.Л IР^

получаем, что числа 51 и ^ должны быть кратны р, т.е. при некоторых целых Лх и Л2 имеем 51 = Лр, Э2 = Л2р. Тогда соотношение (3) можно переписать в виде

к2 к{

Из равенства Л2кх = к2Л и взаимной простоты чисел к и к2, вытекает, что Л2 делится на к2. Отсюда

Е я

для некоторого целого числа t справедливы равенства Л2 = k2t и Лх ~ kxt, т.е. Th ~—{кхТх + к2Т2).

Показано, что любой период функции h кратен периоду Т = — (к{Гх + к2Т2)9 который, таким обра-

Ч

зом, является основным. □

Отсутствие основного периода

Теорема 6. Пусть Тх и Т2~- произвольные положительные числа. Тогда существуют такие периодические функции fug, что их основные периоды равны соответственно Т и Т2, а их сумма h=f+g периодична, но не имеет основного периода.

Доказательство. Рассмотрим два возможных случая.

I. Периоды Тх и Т2 несоизмеримы.

Пусть A = + пТ2 +kT . Как и выше, легко показать, что если число

представимо в виде тТх + пТ2 + кТ , то такое представление единственно.

Положим, что во всех точках множества А функции / и g равны нулю, а на множестве А зададим эти функции следующим образом:

/от; + пТ2 + кТ) = пТ2 + кТ, g(mTx + пТ2 + кТ) = тТх – кТ.

Несложно убедиться в том, что число Тх – основной период функции / , число Т2 – основной период g , и при любом рациональном к число кТ – период функции h – f + g, у которой, таким образом, нет наименьшего периода.

II. Периоды Тх и Т2 соизмеримы.

Пусть Тх =тТ0,Т2 = пТ0, где Т0 > О, m и п – натуральные числа. Введем в рассмотрение множество Я = + .

Положим, что во всех точках множества В функции fug равны нулю, а на множестве В зададим эти функции так:

/((/ + ЩТ0) = Щ + Jit, g((/ + 4lk)T0) – Щ – 42к.

Функция h ~ / + g на множестве В равна нулю, а в точках множества В равна

Нетрудно проверить, что число 7j = mTQ – основной период функции / , число Т2 ~ пТ0 – основной период g, в то время как среди периодов функции h~ f + g есть все числа вида л/2кТ0, где к – произвольное рациональное число. □

В основе конструкций, доказывающих теорему 6, лежит несоизмеримость периодов функции h~ / + g с периодами функций / и g . Приведем в заключение пример таких функций fug, что все периоды функций /, g и / + g соизмеримы между собой, но у / и g есть основные периоды, а у f + g – нет.

Пусть m – некоторое фиксированное натуральное число, М – множество несократимых нецелых дробей, числители которых кратны m . Положим

1, если хеМ; 1

fix)

еслихе mZ;

g(x)

—, ecnuxeZXmZ; 2

О в остальных случаях; 1, если хеМU

~,еслихе2 2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

О, ecnnxgZ.

Тогда h(x)

[О в противном случае.

Легко видеть, что основные периоды функций fug равны соответственно m и 1, в то время как сумма / + g имеет периодом любое число вида m/n, где п – произвольное натуральное число, взаимно простое с m .

Литература

1. Математический энциклопедический словарь/Гл. ред. Ю.В. Прохоров – М.: Сов. энциклопедия, 1988.

2. Микаэлян Л.В., Седракян Н.М. О периодичности суммы периодических функций// Математическое образование. – 2000. – № 2(13). – С. 29-33.

3. Геренштейн A.B., Эвнин А.Ю. О сумме периодических функций// Математика в школе. -2002. – № 1. – С. 68-72.

4. Ивлев Б.М. и др. Сборник задач по алгебре и началам анализа для 9 и 10 кл. – М.: Просвещение, 1978.

Поступила в редакцию 18 августа 2004 г.

ВИДЕО УРОК

Периодические функции.

Функцию  у = f(х),  х ∈ Х, называют периодической,
если существует такое отличное от нуля число 
Т, что для любого  х  из области определения функции справедливо
равенство:

f(х + Т) = f(х) = f(х – Т).

Число  Т  называют периодом функции  у = f(х).

Из этого
определения сразу следует, что если  Т –
период функции 

у = f(х), то 

2Т, 3Т, 4Т, –Т, –2Т, –3Т,
–4Т

– также периоды
функций. Значит у периодической функции бесконечно много периодов.

Если  Т – период функции, то число вида  kТ,
где  k – любое целое
число, также является периодом функции.

Чаще всего (но не
всегда) среди множества положительных периодов функции можно найти наименьший.
Его называют основным периодом.

График периодической
функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

График каждой
периодической функции состоит из одинаковых линий повторяющихся и изолированных
друг от друга, как в рассматриваемом случае, или соединенных в одну общую линию
(синусоида и другие.)

Графики
периодических функций обладают следующей особенностью. Если  Т – основной период функции  у = f(х), то для построения её графика достаточно построить ветвь
графика на одном из промежутков оси  х  длиной 
Т, а затем осуществить параллельный перенос этой ветви по
оси  х  на

± Т, ±
2Т, ± 3Т, …

Чаще всего в
качестве такого промежутка длиной  Т  выбирают промежуток с концами в точках

(–^Т/₂; 0)  и  (^Т/₂; 0)  или

(0; 0)  и  (Т; 0).

ПРИМЕР:

Рассмотрим функцию

у = х – [х], где  [х] – целая часть числа. Если к
произвольному значение аргумента этой функции добавить 1, то значение функции от этого не изменится:

f(x + 1) = (x
+1) – [x + 1] = x + 1 – [x] – 1
= x – [x] = f (x).

Следовательно, при любом
значении  х

 f(x + 1) = f(x).  

А это значит, что рассматриваемая функция
периодическая, период которой равен 1. Любое целое число
также является периодом данной функции, но обычно рассматривают только
маленький положительный период функции.

График этой функции
приведен на рисунке. Он состоит из бесконечного множества равных отрезков, которые
повторяются.

Периодичность тригонометрических функций.

Возьмём произвольный угол  α  и построим
подвижной радиус  ОМ  единичной окружности такой, что угол,
составленный с осью  Ох  этим радиусом, равен  α.

Если мы к углу    прибавим 
2π  или  360° (то есть полный
оборот), то углу  α + 2π  или  α + 360°  будет соответствовать то же положение
подвижного радиуса  ОМ, что для угла  α.

Так как синус и косинус угла,
составленного с осью  Ох  подвижным радиусом  ОМ  единичной
окружности, по сути соответственно ордината 
у  и
абсцисса  х  точки  М, то

sin (α + 2π) = sin α  или 

sin (α + 360°) = sin α

и

cos (α + 2π)
= cos α  или 

cos (α + 360°) = cos α.

Таким образом, функции  sin α  и  cos α  от
прибавления к аргументу α   одного
полного оборота (2π  или  360°) не меняют своих значений.

Точно так же, прибавляя к
углу  α  любое целое
число полных оборотов, мы не изменим положения подвижного радиуса  ОМ, а потому:

sin (α + 2kπ) = sin α  или 

sin (α + 360°k) = sin α

и

cos (α + 2kπ) = cos α  или 

cos (α + 360°k) = cos α,

где  k – любое целое
число.

Функции, обладающие таким
свойством, что их значения не изменяются от прибавления к любому допустимому
значению аргумента определённого постоянного числа, называются периодическими.

Следовательно, функции  sin α  и  cos α – периодические.

Наименьшее положительное число,
от прибавления которого к любому допустимому значению аргумента не изменяется
значение функции, называется периодом функции.

Периодом функции  sin α  и  cos α 
является  2π  или  360°.

Функции  tg α  и  сtg α  также
периодические и их периодом является число 
π  или  180°.

В самом деле, пусть  α – произвольный угол, составленный с осью  Ох  подвижным
радиусом  ОМ  единичной окружности.

Построим точку  М‘,

симметричную точке  М  относительно
начала координат. Один из углов, образованных с осью  Ох  подвижным
радиусом  ОМ‘, будет равен  α + π.

Если  х  и  у – координаты точки 
М, то точки  М‘  будут  –х  и  –у. Поэтому

sin α = у, cos α = х,

sin (α + π) = –у,

cos (α + π) = –х.

Отсюда

и, следовательно,

tg (α + π) = tg α,

сtg (α + π)
= сtg α.

отсюда следует, что значения  tg α  и  сtg α  не
изменяются, если к углу  α  прибавить любое число полуоборотов:

tg (α + kπ) = tg α,

сtg (α + kπ) = сtg α.

где  k – любое целое
число.

Периоды функций

y = A sin (ωx + φ)  и

y = A cos (ωx + φ) 

вычисляются по формуле

T = ^2π/_ω,

а период функции

y = A tg (ωx + φ)

по формуле

T = ^π/_ω.

Если период функции  y = f(x)  равен  T₁, а период функции  y = g(x)  равен  T₂, то период функций

y = f(x) + g(x)  и

y = f(x) – g(x)

равен наименьшему числу, при делении которого
на  T₁  и  T₂  получаются целые числа.

ПРИМЕР:

Найти
период функции

y = 3 sin (x – 2) + 7 соs πx.

РЕШЕНИЕ:

Период
функции

y = 3 sin (x – 2)

равен

T₁ = ^2π/₁ = 2π.

Период
функции

y = 7 соs πx

равен

T₂ = ^2π/_π = 2.

Периода
у функции

y = 3 sin (x – 2) + 7 соs πx

не
существует, так как такого числа, при делении которого на  2π  и 
на  2  получались бы целые числа, нет.

ОТВЕТ:

Периода
не существует.

ПРИМЕР:

Доказать
следующее утверждение:

tg
3850° = tg 250°.

РЕШЕНИЕ:

Так как тангенс – периодическая функция с минимальным
периодом  20 ∙ 180°, то получим:

tg
3850° = tg (20 ∙ 180° + 250°) = tg 250°.

ПРИМЕР:

Доказать
следующее утверждение:

сos (–13π) = –1.

РЕШЕНИЕ:

Так как косинус – чётная и периодическая функция с
минимальным периодом  2π, то получим:

сos (–13π) = сos 13π = сos (π + 6 ∙ 2π) = сos π = –1.

ПРИМЕР:

Доказать
следующее утверждение:

sin (–7210°) = – sin 10°.

РЕШЕНИЕ:

Так как синус – нечётная и периодическая функция с
минимальным периодом  20 ∙ 360°, то получим:

sin (–7210°) = –sin 7210° = –sin (20 ∙ 360° + 10°) – sin 10°.

ПРИМЕР:

Найти основной период функции

sin 7х.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  Т  основной период функции, тогда:

sin 7х = sin 7(х + t) = sin (7х + 7t)

так как   2πk   период синуса, то получим:

sin (7х + 7t) = sin (7х + 2πk),

ОТВЕТ:

ПРИМЕР:

Найти основной период функции

соs 0,3х.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  Т  основной период функции, тогда:

соs 0,3х = соs 0,3(х + t)
= соs (0,3х + 0,3t)

так как   2πk   период косинуса, то получим:

соs (0,3х + 0,3t) = соs (0,3х + 2πk),

ОТВЕТ:

ПРИМЕР:

Найти период функции:

y = 5sin 2x + 2ctg 3х.

РЕШЕНИЕ:

Период функции

y = 5sin 2x

равен  Т₁ = ^2𝜋/₂ = π,

а период функции

y = 2ctg 3х

равен  Т₂ = ^𝜋/₃.

Наименьшее число, при делении которого на

Т₁ = π  и  Т₂ = ^𝜋/₃

– получаются целые числа будет число  π.
Следовательно, период заданной функции равен  Т = π.

ПРИМЕР:

Найти период функции:

y = 9sin (5x + ^π/₃) – 4cоs (7х + 2).

РЕШЕНИЕ:

Находим периоды слагаемых. Период функции

y = 9sin (5x + ^π/₃)

равен  Т₁ = ^2𝜋/₅,

а период функции

y = 4cоs (7х + 2)

равен   Т₂ = ^2𝜋/₇.

Очевидно, что период заданной функции равен

Т = 2π.

ПРИМЕР:

Найти период функции:

y = 3sin πx + 8tg (х + 5).

РЕШЕНИЕ:

Период функции

y = 3sin πx

равен  Т₁ = ^2π/_π = 2,

а период функции

y = 8tg (х + 5)

равен   Т₂ = ^𝜋/₁ = π.

Периода у заданной функции не существует, так как нет
такого числа, при делении которого на  2  и на  π  одновременно получались бы целые числа.

ПРИМЕР:

Найти период функции:

y = sin 3x + соs 5х.

РЕШЕНИЕ:

Период функции

y = sin 3x

равен  Т₁ = ^2π/₃,

а период функции

y = соs 5х

равен   Т₂ = ^2π/₅.

Приведём к общему знаменателю периоды:

Т₁ = ^10π/₁₅,  Т₂ = ^6π/₁₅.

Тогда наименьшее общее кратное (НОК) будет:

НОК (10π; 6π)
= 30π.

Теперь найдём период заданной функции:

Т = ^30π/₁₅ = 2π.