Как найти период треугольника - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a	=	b	=	c	= 2R
sin α	sin β	sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 – a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 – b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 – c 2

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√ bcp ( p – a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p – b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p – c ) a + b

где p = a + b + c 2 – полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b – c )( b + c – a )( c + a – b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k – коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Формулы определения периметра, площади и сторон треугольника

Треугольник — это элементарная геометрическая фигура, содержащая минимально возможное количество составляющих — три.

Точки соприкосновения сторон являются вершинами его углов, обозначаются заглавными латинскими символами A; B и C. Отрезки между вершинами являются сторонами или гранями треугольника и обозначаются названиями этих вершин: AB; BC; CA или прописной буквой противолежащего угла (вершины): AB=c; BC=a; CA=b.

Периметр равен длине всех сторон фигуры, у треугольника он равен сумме трех сторон:

Высота треугольника — это перпендикуляр от прямой, на которой лежит основание, до одноименной вершины, обозначается h.

Площадь составляет величину поверхности, заключенной внутри фигуры, обозначается S. Произведение основания на высоту дает значение площади. Ее можно определить и по формуле Герона:

Из этого видео вы узнаете, как найти площадь треугольника.

Классификация треугольников

Треугольник состоит из сторон и углов, сумма его углов всегда равна 180 градусов: A+B+C=180°.

Равноугольный: все вершины равны 60°, будет и равносторонним.
Равнобедренный: при равенстве двух граней углы на основании равны.
Разноугольный: все вершины разные, ребра у него тоже разные.
Прямоугольный: один угол равен 90°, примыкающие грани называются катеты, противолежащая — гипотенуза. Бывает равнобедренным (катеты равны) или разноугольным (катеты разные).
Тупоугольный: один угол больше 90°. Может быть равнобедренным или разноугольным.

Описание

Чтобы описать любой треугольник, достаточно указать:

Одну сторону и прилегающие к ней углы.
Две стороны и угол между ними.
Три стороны.

Данных из любого пункта достаточно для построения заданной фигуры и вычисления всех ее параметров, используя теорему косинусов:

Подставляя известные значения, получим уравнение, решив которое узнаем неизвестные величины.

Cos90°=0, поэтому для прямоугольного треугольника c*c=a*a+b*b, где a и b — катеты, c — гипотенуза, сторона, лежащая напротив прямого угла.

Примеры

Известно, что одна грань равна 9 см и прилегающие углы по 60 градусов. Тогда из того, что сумма углов всегда равна 180°, получаем: 180=60+60+x; x=180—120=60. Все три вершины по 60°, значит, все стороны равны. Периметр составляет P=9+9+9=27 см, полупериметр p=13,5 см. Чтобы найти высоту, нужно опустить перпендикуляр из вершины на основание, получим прямоугольный треугольник с гипотенузой 9 см, катетом 4,5 см и катетом неизвестной длины, равным искомой высоте: 9*9—4,5*4,5=60,75=h 2 .

Высота равна корню квадратному из 60,75 или 7,79422863406 см. Умножаем основание на высоту, делим пополам и получаем площадь: 7,79422863406*9/2=35,074028853 см 2 . Если находить площадь по формуле Герона через полупериметр и ребра, ответ будет одинаковый:

S=√(13,5·(13,5—9)·(13,5—9)·(13,5—9))=35,074028853 см 2 .

Следующий пример с разносторонним треугольником. Дано: AB=12 см, BC=10 см, CA=8 см. Требуется найти периметр и площадь фигуры. P=a+b+c=BC+CA+AB=10 см+8 см+12 см=30 см. Площадь находим по формуле Герона, подставляя в нее уже известные значения, учитывая, что p=0,5Р; p=15 см. S=√(p·(p—a)·(p—b)·(p—c))=√(15·(15—10)·(15—8)·(15—12))=√15·5·7·3=√1575=39,686269666 см 2 .

Рассмотрим пример, когда известны два катета прямоугольного треугольника. Допустим, они имеют значения два и четыре метра. Тогда гипотенуза будет равна корню квадратному из суммы квадратов катетов √2 2 +4 2 =4,472135955 м. Периметр 2+4+4,472135955=10,472135955. Площадь равна половине произведения катетов S=2·4=8м 2 .

Когда известны две стороны и угол между ними, остается найти только третью сторону по теореме косинусов. Пусть известные стороны составляют значения 16 и 28 метров, а угол между ними будет в 60 градусов, тогда третья сторона будет равна корню квадратному из этого выражения 16 2 +28 2 — 2·16·28·0,5, что составит значение в 24,3310501212 м. Периметр равен 16+28+24,3310501212=68,3310501212≈68,33 м. Полупериметр будет 34,165 м. Подставляя полученные значения в формулу Герона, найдем площадь S=√(34,165·(34,165—16)·(34,165—28)·(34,165—24,33))=193,982314238 м 2 .

Если известно три параметра любого треугольника — два угла и сторона или две стороны и угол между ними, то ничего особенно сложного в нахождении неизвестных параметров треугольника — периметра, площади или высоты — нет. Нужно только внимательно производить простые вычисления. Иногда можно проявить и смекалку, разбив фигуру на несколько более простых в вычислении, например, прямоугольных треугольников. В каждом конкретном случае все зависит от исходных данных. Все формулы и вычисления, приведенные выше, верны для плоских фигур; для расположенных на сферической поверхности ход вычислений будет иным.

Видео

Это видео поможет вам закрепить полученные знания.

Треугольник

Треугольник произвольный

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (тремя углами).

Виды треугольников :+ показать

Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые (то есть меньше 90˚).

Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов тупой (больше 90˚).

Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90˚).

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми , третья сторона называется основанием .

Равносторонний (правильный) треугольник – треугольник, у которого все три стороны равны.

Свойства

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

3. Сумма углов треугольника равна 180 º .

4. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
не смежных с ним:

(Внешний угол образуется в результате продолжения одной из сторон треугольника).

5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Признаки равенства треугольников

1. Треугольники равны, если у них соответственно равны две стороны и угол между ними.

2 . Треугольники равны, если у них соответственно равны два угла и прилегающая к ним сторона.

3. Треугольники равны, если у них соответственно равны три стороны.

Биссектриса, высота, медиана

Здесь подробно о биссектрисе, высоте, медиане треугольника.

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Вписанная окружность

Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис треугольника.

Описанная окружность

Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.

Соотношение сторон в произвольном треугольнике

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Площадь треугольника

Через сторону и высоту

Через две стороны и угол между ними

Через радиус описанной окружности

Через радиус вписанной окружности

, где – полупериметр

Смотрите также площадь треугольника здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Есть пара ошибок в формулах. В частности в формуле вычисления площади через 2 стороны и угол между ними, в теореме Синусов, в разделе “свойства”.
А вообще отличные статьи, очень выручают, всё понятно и доступно, премного благодарен 😉

Анатолий, спасибо!
В разделе “свойства” ошибок не нашла…
В теореме синусов, – да… не пропечаталась буква гамма. Подправила.
В формуле площади треугольника, вы правы – картинка не соответствовала формуле. Исправила.
К сожалению, ошибки сразу не всегда замечаются.
Благодарю еще раз!

В разделе свойства:

Да, не хватало значка «» у А. Спасибо! 😉

Здраствуйте! Мне нужна ваша помощь!
Задача: ВЕРШИНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ДЕЛЯТ ОПИСАННУЮ ОКОЛО НЕГО ОКРУЖНОСТЬ НА ТРИ ДУГИ, ДЛИНЫ КОТОРЫХ ОТНОСЯТСЯ КАК 6:7:33. НАЙДИТЕ РАДИУС ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ МЕНЬШАЯ ИЗ СТОРОН РАВНА 11.

Подозреваю, у вас опечатка в условии…
Если длины дуг (а значит и их градусные меры) находятся в отношении , то выходим на уравнение Откуда Значит угол треугольника, что напротив меньшей стороны, есть
Применяем теорему синусов: , откуда

спасибо я так и думал а то не могу решить и всё
СПАСИБО!

Здравствуйте. Пожалуйста, объясните, как решить задачу:
Вписанная в теругольник ABC окружность касается сторон AB, BC и AC в точках K,L и М соответственно.Найдите KL, если AM=2, МС=3 и угол С=π/3

Очевидно,
Примите за .
Примените к треугольнику теорему косинусов:

Найдете , далее можно найти угол и из треугольника найти

Спасибо большое за ваш сайт. Очень радует, тот факт, что когда люди не понимают какую-нибудь задачу, вы помогаете решить. Спасибо. Побольше бы таких сайтов, всё понятно и доступно

[spoiler title=”источники:”]

http://liveposts.ru/articles/education-articles/matematika/formuly-opredeleniya-perimetra-ploshhadi-i-storon-treugolnika

Треугольник

[/spoiler]

Источник

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a	=	b	=	c	= 2R
sin α	sin β	sin γ

Теорема косинусов

a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 – a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 – b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 – c 2

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√ bcp ( p – a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p – b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p – c ) a + b

где p = a + b + c 2 – полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b – c )( b + c – a )( c + a – b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k – коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Треугольник

Треугольник произвольный

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (тремя углами).

Виды треугольников :+ показать

Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые (то есть меньше 90˚).

Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов тупой (больше 90˚).

Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90˚).

Равносторонний (правильный) треугольник – треугольник, у которого все три стороны равны.

Свойства

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

3. Сумма углов треугольника равна 180 º .

4. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
не смежных с ним:

(Внешний угол образуется в результате продолжения одной из сторон треугольника).

5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Признаки равенства треугольников

1. Треугольники равны, если у них соответственно равны две стороны и угол между ними.

2 . Треугольники равны, если у них соответственно равны два угла и прилегающая к ним сторона.

3. Треугольники равны, если у них соответственно равны три стороны.

Биссектриса, высота, медиана

Здесь подробно о биссектрисе, высоте, медиане треугольника.

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Вписанная окружность

Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис треугольника.

Описанная окружность

Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.

Соотношение сторон в произвольном треугольнике

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Площадь треугольника

Через сторону и высоту

Через две стороны и угол между ними

Через радиус описанной окружности

Через радиус вписанной окружности

, где – полупериметр

Смотрите также площадь треугольника здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

В разделе свойства:

Да, не хватало значка «» у А. Спасибо! 😉

спасибо я так и думал а то не могу решить и всё
СПАСИБО!

Очевидно,
Примите за .
Примените к треугольнику теорему косинусов:

Найдете , далее можно найти угол и из треугольника найти

Треугольник вписанный в окружность

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = frac<1><2>ab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

Сторона треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

Средняя линия треугольника вписанного
в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Свойства

Центр вписанной в треугольник окружности
находится на пересечении биссектрис.
В треугольник, вписанный в окружность,
можно вписать окружность, причем только одну.
Для треугольника, вписанного в окружность,
справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
и Теорема Пифагора.
Центр описанной около треугольника окружности
находится на пересечении серединных перпендикуляров.
Все вершины треугольника, вписанного
в окружность, лежат на окружности.
Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
формуле Герона.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

Проведем серединные
перпендикуляры — HO, FO, EO.
O — точка пересечения серединных
перпендикуляров равноудалена от
всех вершин треугольника.
Центр окружности — точка пересечения
серединных перпендикуляров — около
треугольника описана окружность — O,
от центра окружности к вершинам можно
провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

[spoiler title=”источники:”]

Треугольник

http://colibrus.ru/treugolnik-vpisannyy-v-okruzhnost/

[/spoiler]

Источник

Выбирайте формулу в зависимости от известных величин.

1. Как найти периметр треугольника, зная три стороны

Просто посчитайте сумму всех сторон.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
a, b, c — стороны треугольника.

2. Как найти периметр треугольника, зная его площадь и радиус вписанной окружности

Умножьте площадь треугольника на 2.

Разделите результат на радиус вписанной окружности.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
S — площадь треугольника;
r — радиус вписанной окружности.

3. Как вычислить периметр треугольника, зная две стороны и угол между ними

Сначала найдите неизвестную сторону треугольника с помощью теоремы косинусов:

Умножьте одну сторону на вторую, на косинус угла между ними и на 2.
Посчитайте сумму квадратов известных сторон и отнимите от неё число, полученное в предыдущем действии.
Найдите корень из результата.

Теперь прибавьте к найденной стороне две ранее известные стороны.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
b, c — известные стороны треугольника;
ɑ — угол между известными сторонами;
a — неизвестная сторона треугольника.

4. Как найти периметр равностороннего треугольника, зная одну сторону

Умножьте сторону на 3.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
a — любая сторона треугольника (напомним, в равностороннем треугольнике все стороны равны).

5. Как вычислить периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и основание

Умножьте боковую сторону на 2.

Прибавьте к результату основание.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
a — боковая сторона треугольника (в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны);
b — основание треугольника (это сторона, которая отличается длиной от остальных).

6. Как найти периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и высоту

Найдите квадраты боковой стороны и высоты.

Отнимите от первого числа второе.

Найдите корень из результата и умножьте его на 2.

Прибавьте к полученному числу две боковые стороны.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
a — боковая сторона треугольника;
h — высота (перпендикуляр, опущенный на основание треугольника со стороны противоположной вершины; в равнобедренном треугольнике высота делит основание пополам).

7. Как вычислить периметр прямоугольного треугольника, зная катеты

Найдите квадраты катетов и посчитайте их сумму.

Извлеките корень из полученного числа.

Прибавьте к результату оба катета.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
a, b — катеты треугольника (стороны, которые образуют прямой угол).

8. Как найти периметр прямоугольного треугольника, зная катет и гипотенузу

Посчитайте квадраты гипотенузы и катета.

Отнимите от первого числа второе.

Найдите корень из результата.

Прибавьте катет и гипотенузу.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
a — любой катет прямоугольника;
c — гипотенуза (сторона, которая лежит напротив прямого угла).

Источник

Общие сведения

Любое пространство можно описать размерностью. В трёхмерном измерении плоская геометрическая фигура, состоящая из трёх отрезков и такого же количества точек, в которых они соединяются, называется треугольником. Отрезки называют сторонами или боковыми гранями, площадь, ограниченная ими — внутренней, а точки — вершинами. Фигура имеет 3 угла и является невырожденной.

Строгого требования к обозначениям элементов многоугольника нет. Но традиционно вершины подписывают заглавными буквами латинского алфавита A, B, C, а противолежащие им стороны — аналогичными строчными знаками. В качестве обозначений для углов используют греческие символы: α, β, γ. Например, если имеется треугольник ABC, у него будут углы A, B, C и стороны a, b, c. Боковые грани могут подписываться и как отрезки, тогда в их имени учитываются ограничивающие точки. Например, AB, BC, CA.

В зависимости от соотношения размеров сторон, все треугольники разделяют на 3 вида. Они бывают:

Равнобедренными — многоугольники, у которых одна сторона не равна двум другим. Эта грань называется основанием. Углы при этой стороне равны.
Разносторонние (неправильные) — длины всех граней разные.
Равносторонние — треугольники, имеющие одинаковые стороны. Часто эти фигуры называют правильными. По сути, они являются частным случаем равнобедренного многоугольника.

Существуют правила, позволяющие утверждать о равенстве или подобии двух и более треугольников. Они считаются идентичными, то есть их параметры полностью совпадают, если 2 стороны и угол равны или все грани имеют одинаковую длину. А также фигуры будут одинаковыми, когда у них совпадают 2 стороны и угол, располагающийся напротив большего отрезка.

Признаки подобия помогают определить вид треугольника при сравнении с известным. Если 2 любых угла равны в обеих фигурах, они считаются похожими. Когда же 2 стороны многоугольника пропорциональны двум отрезкам другого, причём углы, заключённые между этими гранями, равны, такие фигуры подобны.

Особые линии и точки

Медиана, высота и биссектриса — 3 замечательные линии любого треугольника. Представляют они собой внутренние отрезки, построенные из углов на противоположные стороны. Линия, соединяющая вершину с серединой противоположной грани, называется медианой. Луч, разделяющий угол на 2 равные части — это биссектриса, а перпендикуляр, построенный к стороне — высота.

В любом правильном треугольнике можно начертить 3 отрезка. Если отложить медиану, а потом биссектрису и высоту, можно заметить, что эти линии совпадут. Эта особенность и есть замечательным свойством равностороннего многоугольника, то есть если в любой другой трёхугольной фигуре можно построить 12 особых линий, то в рассматриваемом только 3.

Доказать это утверждение можно следующим образом: пусть имеется треугольник АВС, в котором проведена высота ВH. Далее, рассуждения нужно построить так:

Отрезок BH перпендикулярен прямой AC по построению.
Точка H разделяет отрезок AC на AD и CD. Если это утверждение будет верным, это означает, что построенная высота BH будет медианой треугольника.
Отрезок BH создаёт в многоугольнике 2 угла — ∠ABH и ∠CBH. При верности этого утверждения можно утверждать, что отрезок BH является биссектрисой.

Если создать зеркальное отражение треугольнику и совместить его с оригинальным, все углы попарно совместятся. Совпадут и стороны. Так как ВH — высота, она перпендикуляр. Значит, в точке H отрезок образует прямой угол с боковой гранью AC. Отсюда следует, что образованные треугольники AHB и CBH прямоугольные.

Они являются равными по общей гипотенузе и острому углу. Это следует из того, что правильный многоугольник — частный случай равнобедренного. Так как треугольники совпадают, у них одинаковые углы ABH и CBH. Причём они смежные, поэтому BH — биссектриса. В то же время точка H делит AC на 2 равных отрезка, значит, BH — медиана.

Точка, в которой пересекаются отрезки, будет центром тяжести фигуры. Её особенность в том, что она разделяет эту линию на 2 части в отношении 2 к 1, если считать от угла. Кроме этого, из-за равенства медианы и биссектрисы эта точка будет и ортоцентром.

Основные формулы

Для каждого треугольника существует набор формул, с помощью которых можно определить его элементы. Чаще всего приходится выяснять длины сторон, площадь, высоты и периметр. При этом если известны боковые грани, можно найти практически любые остальные параметры.

Вокруг правильной фигуры можно описать круг, причём окружность можно и вписать в середину. Что интересно, их центры совпадут между собой и с местом пересечения высот. В этом случае радиус внешнего круга равняется R = (a * √‎3) / 3 = a / 2 * sin (a), а внутреннего: r = (a * √‎3) / 6 = R / 2. Чтобы найти высоту, зная радиус, используют выражение: h = (3 *R) / 2. Кроме этой формулы, довольно часто применяют равенство, связывающее сторону и перпендикуляр: h = (a * √‎3) / 2.

Доказательство верности формулы для нахождения радиуса вписанной окружности можно построить исходя из выражения, справедливого к равнобедренной фигуре: r = b / 2 √(‎(2 a — b) / (2 a + b)). Так как стороны равны, то a = b. Получается, что r = a / 2 √‎(2a — a) / (2a + a) = (a / 2) * √‎(1 / 3) = a / (2 * √‎3) = (a √‎3) / 6.

Чтобы определить длину стороны, нужно знать высоту и теорему Пифагора. Согласно ей, квадрат гипотенузы находится как сумма квадратов высоты и длины разделённого основания. Применяя теорему к правильной фигуре, можно записать: AB² = h² + (AB / 2)². Это равенство решают следующим образом: AB² = h² + AB² / 2². Выражение можно преобразовать в вид: (3a² / 4) = h ² → a ² = (4 * h²) / 3 → a ² = √‎((4 * h²) / 3) → a = (2 * h) / √3.

Из других существующих формул можно перечислить те, что чаще всего применяют при решении примеров:

Площадь. Находят из выражения: S = (a ² * √3) / 4. Вывести эту формулу довольно просто. Если взять за основу, что равенство для площади верно, то исходя из свойств фигуры можно записать: S = ½ * a² * sin 60 = ½ * a² * √3 / 2 = (√3 / 4) * a². Что и следовало доказать.
Периметр. Чтобы его определить, нужно сложить длины всех сторон, но так как в правильной фигуре они равны, можно воспользоваться формулой: P = 3 * a.

Существуют ещё 2 значимые теоремы: косинусов и синусов. Согласно первой, квадрат стороны фигуры будет ранятся удвоенному произведению двух оставшихся отрезков и косинусу угла между ними, отнятому из суммы квадратов: a² = b² + c²— 2 * b * c * cos (a). Согласно же второй, длины отрезков пропорциональны синусам углов, лежащих напротив: a / sin (a) = b / sin (b) = c / sinс.

Решение задач

Чтобы уметь решать различные задания, связанные с треугольником, нужно помнить всего несколько формул. Но понадобится знать, что углы в фигуре равны друг другу и составляют 60 градусов. Часто придётся применять и теорему Пифагора. Вот некоторые из типовых заданий, используемые при обучении школьников в седьмом классе:

Какой будет радиус вписанной в правильный треугольник окружности, если его высота равняется 9 см. Зная свойство фигуры, решить задачу можно за пару секунд. Так как радиус равен 1/3 высоты, ответом на задачу будет: r = h / 3 = 9 / 3 = 3 см.
Сторона равностороннего треугольника равняется корню из трёх. Определить диаметр описанной окружности. Известно, что отношение синуса к противолежащему углу составляет 2R. Следовательно: R = a / 2 * sin (a) = √‎3 * 2 / 2 * √‎3 = 1.
Вокруг треугольной фигуры со стороной 8 √‎3 описан круг. Узнать его радиус. Эта задача в 2 действия. Используя формулу для нахождения вписанного радиуса и определение r = R / 2 можно записать: R = 2 * a * √‎3 / 6 = 2 * 8 * √‎3 * √‎3 / 6 = 2 * 4 = 8.
Пусть имеется квадрат, вокруг которого описана окружность. В ней так же располагается правильный треугольник. Периметр треугольной фигуры равен 9 √‎ 6. Нужно вычислить сумму всех сторон квадрата. На первом шаге необходимо определить длину боковой грани треугольника. Найти её можно по формуле: a = 3 √‎6. Теперь возможно рассчитать радиус описанной окружности: a = R * √‎3. Выполнив подстановку, найти ответ несложно: R = 3 √‎6 / √‎3 = 3 * √‎2. На третьем шаге можно выяснить, чему равняется сторона четырёхугольника. В этом поможет равенство: 3 √‎2 = (n √‎2) / 2. Отсюда n = 6. Значит, периметр квадрата равняется: P = 4 * 6 = 24.

Проверить правильность решения, возможно, используя онлайн-калькуляторы. Это сервисы, которые предлагают бесплатно вычислить элементы правильной фигуры. При этом от пользователя требуется лишь внести в специальную форму исходные данные и нажать кнопку «Рассчитать».

Следует отметить, что выучить наизусть все формулы сложно, поэтому обычно используют логическое мышление и теоремы синусов-косинусов. Учитывая, что любой угол в равностороннем треугольнике равен 60 градусов практически любую формулу вывести можно самостоятельно.

Источник

Треугольник

Рёбра	3
Символ Шлефли	{3}
Медиафайлы на Викискладе

Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Часть плоскости, ограниченная сторонами, называется внутренностью треугольника: нередко треугольник рассматривается вместе со своей внутренностью (например, для определения понятия площади)^[1].

Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла, поэтому треугольник можно также определить как многоугольник, у которого имеется ровно три угла^[2], т.е. как часть плоскости, ограниченную тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Треугольник является одной из важнейших геометрических фигур, повсеместно используемых в науке и технике, поэтому исследование его свойств проводилось начиная с глубокой древности.

Понятие треугольника допускает различные обобщения. Можно определить это понятие в неевклидовой геометрии (например, на сфере): на таких поверхностях треугольник определяется как три точки, соединённые геодезическими линиями. В -мерной геометрии аналогом треугольника является -й мерный симплекс.

Иногда рассматривают вырожденный треугольник, три вершины которого лежат на одной прямой. Если не оговорено иное, треугольник в данной статье предполагается невырожденным.

Основные элементы треугольника[править | править код]

Вершины, стороны, углы[править | править код]

Традиционно вершины треугольника обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: A,B,C , а противолежащие им стороны — теми же строчными буквами (см. рисунок). Треугольник с вершинами , и обозначается как . Стороны можно также обозначать буквами ограничивающих их вершин: , , .

Треугольник имеет следующие углы:

Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами ( alpha , beta , gamma ).

Внешним углом плоского треугольника ABC при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу треугольника при этой вершине

Внешним углом плоского треугольника ABC при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу треугольника при этой вершине (см. рис.). Если внутренний угол при данной вершине треугольника образован двумя сторонами, выходящими из данной вершины, то внешний угол треугольника образован одной стороной, выходящей из данной вершины и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины. Внешний угол может принимать значения от до $180^{circ }$ .

Периметром треугольника называют сумму длин трёх его сторон, а половину этой величины называют полупериметром.

Классификация треугольников[править | править код]

По виду наибольшего угла[править | править код]

Основной источник: ^[3]

Поскольку в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна $180^{circ }$ , то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими $90^{circ }$ ). Выделяют следующие виды треугольников^[2].

Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным.
Если один из углов треугольника прямой (равен $90^{circ }$ ), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.
Если один из углов треугольника тупой (больше $90^{circ }$ ), то треугольник называется тупоугольным, Остальные два угла, очевидно, острые (треугольников с двумя тупыми или прямыми углами быть не может).

По числу равных сторон (или по степени симметричности)[править | править код]

Разносторонним называется треугольник, у которого все три стороны не равны.
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием^[4]. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Равносторонним или правильным называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.

Треугольник	Количество осей симметрии	Количество пар равных сторон
Разносторонний	Нет	Нет
Равнобедренный	1	1
Равносторонний	3	3

Медианы, высоты, биссектрисы[править | править код]

Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Последнее название связано с тем, что у треугольника, сделанного из однородного материала, центр тяжести находится в точке пересечения медиан. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы. Треугольник с вершинами в серединах медиан называется срединным треугольником. Основания медиан данного треугольника образуют так называемый дополнительный треугольник.
Длину медианы ${displaystyle m_{c},}$ опущенной на сторону можно найти по формулам:

${displaystyle m_{c}={1 over 2}{sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}={1 over 2}{sqrt {a^{2}+b^{2}+2abcos gamma }};}$

для других медиан аналогично.

Высота в треугольниках различного типа
Высоты пересекаются в ортоцентре

Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Треугольник с вершинами в основаниях высот называется ортотреугольником.

Длину высоты $h_{c}$ , опущенной на сторону , можно найти по формулам:

${displaystyle h_{c}=bsin alpha =asin beta =c,{frac {sin alpha cdot sin beta }{sin(alpha +beta )}}}$

; для других высот аналогично.

Длины высот, опущенных на стороны. можно также найти по формулам:^[5]^:p.64

${displaystyle h_{c}={frac {ab}{2R}},quad h_{a}={frac {bc}{2R}},quad h_{b}={frac {ca}{2R}}}$

Биссектриса делит пополам угол

Биссектрисой (биссéктором) треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности (инцентром).

Если треугольник разносторонний (не равнобедренный), то биссектриса, проведённая из любой его вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины. Ещё одно важное свойство биссектрисы: она делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим к ней сторонам^[6].

Длину биссектрисы $l_{c}$ , опущенной на сторону , можно найти по одной из формул:

${displaystyle l_{c}={frac {sqrt {ab(a+b+c)(a+b-c)}}{a+b}}={frac {2{sqrt {abp(p-c)}}}{a+b}}}$

, где

— полупериметр.

${displaystyle l_{c}={frac {2abcos {frac {gamma }{2}}}{a+b}}={frac {c,sin alpha cdot sin beta }{sin(alpha +beta )cdot cos {frac {alpha -beta }{2}}}}}$

${displaystyle l_{c}={frac {h_{c}}{cos {frac {alpha -beta }{2}}}}}$

; здесь $h_{c}$

— высота.

Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный.

Описанная и вписанная окружности[править | править код]

Треугольник АВС и его окружности: вписанная (синяя), описанная (красная) и три вневписанные (зелёные)

Описанная окружность (см. рис. справа) — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Описанная окружность всегда единственна, её центр совпадает с точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины сторон. В тупоугольном треугольнике этот центр лежит вне треугольника^[6].

Вписанная окружность (см. рис. справа) — окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника. Она единственна. Центр вписанной окружности называется инцентром, он совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника.

Следующие формулы позволяют вычислить радиусы описанной и вписанной окружностей.

где

— площадь треугольника,

— его полупериметр.

${displaystyle r={sqrt {frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}}}}$

${displaystyle R={frac {a}{2sin alpha }}={frac {b}{2sin beta }}={frac {c}{2sin gamma }}}$

${displaystyle R={frac {abc}{4S}}={frac {abc}{4{sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}}}$

${displaystyle {frac {1}{r}}={frac {1}{r_{a}}}+{frac {1}{r_{b}}}+{frac {1}{r_{c}}}}$

где ${displaystyle r_{a},r_{b},r_{c}}$ — радиусы соответственных вневписанных окружностей

Ещё два полезных соотношения:

${displaystyle {frac {r}{R}}={frac {4S^{2}}{pabc}}=cos alpha +cos beta +cos gamma -1;}$

^[7]

$2Rr={frac {abc}{a+b+c}}$

Существует также формула Карно^[8]:

${displaystyle R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={frac {1}{2}}(d_{A}+d_{B}+d_{C})}$

где ${displaystyle k_{a}}$ , ${displaystyle k_{b}}$ , ${displaystyle k_{c}}$ — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон , , треугольника,
$d_{A}$ , $d_{B}$ , ${displaystyle d_{C}}$ — расстояния от ортоцентра соответственно до вершин , , треугольника.

Расстояние от центра описанной окружности например до стороны треугольника равно:

${displaystyle k_{a}=a/(2operatorname {tg} A)}$

;

расстояние от ортоцентра например до вершины треугольника равно:

${displaystyle d_{A}=a/operatorname {tg} A}$

Признаки равенства треугольников[править | править код]

Равенство по двум сторонам и углу между ними

Равенство по стороне и двум прилежащим углам

Равенство по трем сторонам

Треугольник на евклидовой плоскости однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:^[9]

, , (равенство по двум сторонам и углу между ними);
, , (равенство по стороне и двум прилежащим углам);
, , (равенство по трём сторонам).

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

по катету и гипотенузе;
по двум катетам;
по катету и острому углу;
по гипотенузе и острому углу.

Дополнительный признак: треугольники равны, если у них совпадают две стороны и угол, лежащий против большей из этих сторон^[10].

Дополнительный признак {по двум сторонам и углу не между ними, если этот угол прямой или тупой}.
Если в треугольниках и ${displaystyle {mathcal {A_{1}B_{1}C_{1}}}}$ имеют место равенства ${displaystyle {mathcal {AB}}={mathcal {A_{1}B_{1}}}}$ , ${displaystyle {mathcal {AC}}={mathcal {A_{1}C_{1}}}}$ , ${displaystyle angle {mathcal {ABC}}=angle {mathcal {A_{1}B_{1}C_{1}}}}$ , причём указанные углы НЕ являются острыми, то эти треугольники равны^[11].

В сферической геометрии и в геометрии Лобачевского существует признак равенства треугольников по трём углам.

Признаки подобия треугольников[править | править код]

Основные свойства элементов треугольника[править | править код]

Свойства углов[править | править код]

Во всяком треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы^[10].

Каждый внешний угол треугольника равен разности между 180° и соответствующим внутренним углом. Для внешнего угла также имеет место теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол равен сумме двух других внутренних углов, с ним не смежных^[10].

Неравенство треугольника[править | править код]

В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном — равна. Иначе говоря, длины сторон невырожденного треугольника связаны следующими неравенствами:

{displaystyle a<b+c,quad b<c+a,quad c<a+b}

Дополнительное свойство: каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон^[10].

Теорема о сумме углов треугольника[править | править код]

Сумма углов треугольника равна 180°

Сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°:

$alpha +beta +gamma =180^{circ }$

В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180°, а на сфере — всегда больше.

Теорема синусов[править | править код]

${frac {a}{sin alpha }}={frac {b}{sin beta }}={frac {c}{sin gamma }}=2R$

где — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Теорема косинусов[править | править код]

${displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos gamma ,quad b^{2}=a^{2}+c^{2}-2accos beta ,quad a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccos alpha }$

Является обобщением теоремы Пифагора.

Замечание. теоремой косинусов также называют следующие две формулы, легко выводимые из основной теоремы косинусов (см. с. 51, ф. (1.11-2))^[12].

${displaystyle a^{2}=(b+c)^{2}-4bccos ^{2}{frac {alpha }{2}},quad a^{2}=(b-c)^{2}+4bcsin ^{2}{frac {alpha }{2}}}$

Теорема о проекциях[править | править код]

Источник: ^[13].

{displaystyle c=acos beta +bcos alpha ,quad a=bcos gamma +ccos beta ,quad b=ccos alpha +acos gamma }

Теорема тангенсов (формулы Региомонтана)[править | править код]

${displaystyle {dfrac {a-b}{a+b}}={dfrac {operatorname {tg} {dfrac {alpha -beta }{2}}}{operatorname {tg} {dfrac {alpha +beta }{2}}}}={dfrac {operatorname {tg} {dfrac {alpha -beta }{2}}}{operatorname {ctg} {dfrac {gamma }{2}}}};quad {frac {b-c}{b+c}}={frac {operatorname {tg} [{frac {1}{2}}(beta -gamma )]}{operatorname {tg} [{frac {1}{2}}(beta +gamma )]}};{frac {a-c}{a+c}}={frac {operatorname {tg} [{frac {1}{2}}(alpha -gamma )]}{operatorname {tg} [{frac {1}{2}}(alpha +gamma )]}}.}$

Теорема котангенсов[править | править код]

${displaystyle {frac {p-a}{operatorname {ctg} (alpha /2)}}={frac {p-b}{operatorname {ctg} (beta /2)}}={frac {p-c}{operatorname {ctg} (gamma /2)}}=r}$

Формулы Мольвейде[править | править код]

${displaystyle {frac {a+b}{c}}={frac {cos {frac {A-B}{2}}}{sin {frac {C}{2}}}},quad {frac {a-b}{c}}={frac {sin {frac {A-B}{2}}}{cos {frac {C}{2}}}}}$

Решение треугольников[править | править код]

Вычисление неизвестных сторон, углов и других характеристик треугольника, исходя из известных, исторически получило название «решения треугольников». При этом используются приведенные выше общие тригонометрические теоремы, а также признаки равенства и подобия треугольников.

Площадь треугольника[править | править код]

Далее используются обозначения

Площадь треугольника связана с его основными элементами следующими соотношениями.

${displaystyle S_{triangle ABC}={dfrac {1}{2}}acdot h_{a}={dfrac {1}{2}}bcdot h_{b}={dfrac {1}{2}}ccdot h_{c}}$
${displaystyle S_{triangle ABC}={dfrac {1}{2}}absin gamma ={dfrac {a^{2}sin {beta }cdot sin {gamma }}{2sin {left(beta +gamma right)}}}={dfrac {b^{2}sin {alpha }cdot sin {gamma }}{2sin {left(alpha +gamma right)}}}={dfrac {c^{2}sin {alpha }cdot sin {beta }}{2sin {left(alpha +beta right)}}}}$
${displaystyle S_{triangle ABC}={dfrac {abc}{4R}}}$
${displaystyle S_{triangle ABC}=rcdot p}$
${displaystyle S_{triangle ABC}=r^{2}+2rcdot R}$
${displaystyle S_{triangle ABC}={sqrt {pcdot p_{a}cdot p_{b}cdot p_{c}}}={sqrt {pleft(p-aright)left(p-bright)left(p-cright)}}={1 over 4}{sqrt {left(a+b+cright)left(b+c-aright)left(a+c-bright)left(a+b-cright)}}}$ — формула Герона
${displaystyle S_{triangle ABC}=left(p-aright)r_{a}=left(p-bright)r_{b}=left(p-cright)r_{c}}$ ^[14]
${displaystyle S_{triangle ABC}={sqrt {p_{m}left(p_{m}-aright)left(p_{m}-bright)left(p_{m}-2mright)}}}$
${displaystyle S={sqrt {rcdot r_{a}cdot r_{b}cdot r_{c}}}}$ ^[15]
${displaystyle S_{triangle ABC}={Rcdot rcdot left(sin alpha +sin beta +sin gamma right)}}$
$S_{triangle ABC}={2R^{2}sin alpha sin beta sin gamma }$
${displaystyle S_{triangle ABC}={dfrac {c^{2}}{2left(operatorname {ctg} alpha +operatorname {ctg} beta right)}}}$
${displaystyle S_{triangle ABC}={dfrac {1}{2}}left({overrightarrow {CA}}wedge {overrightarrow {CB}}right)={dfrac {left(x_{A}-x_{C}right)left(y_{B}-y_{C}right)-left(x_{B}-x_{C}right)left(y_{A}-y_{C}right)}{2}}}$ — ориентированная площадь треугольника.
${displaystyle S_{triangle ABC}={dfrac {1}{displaystyle {sqrt {left({dfrac {1}{h_{a}}}+{dfrac {1}{h_{b}}}+{dfrac {1}{h_{c}}}right)left({dfrac {1}{h_{c}}}+{dfrac {1}{h_{b}}}-{dfrac {1}{h_{a}}}right)left({dfrac {1}{h_{a}}}+{dfrac {1}{h_{c}}}-{dfrac {1}{h_{b}}}right)left({dfrac {1}{h_{a}}}+{dfrac {1}{h_{b}}}-{dfrac {1}{h_{c}}}right)}}}}}$ — см. Аналоги формулы Герона
${displaystyle S_{triangle ABC}=r^{2}operatorname {ctg} left({dfrac {alpha }{2}}right)operatorname {ctg} left({dfrac {beta }{2}}right)operatorname {ctg} left({dfrac {gamma }{2}}right)}$
${displaystyle S_{triangle ABC}={dfrac {p}{displaystyle {{dfrac {1}{h_{a}}}+{dfrac {1}{h_{b}}}+{dfrac {1}{h_{c}}}}}}}$
${displaystyle S_{triangle ABC}={dfrac {1}{2}}{sqrt {2h_{a}h_{b}h_{c}R}}}$
${displaystyle S_{triangle ABC}=acdot {dfrac {r_{b}r_{c}}{displaystyle {r_{b}+r_{c}}}}=bcdot {dfrac {r_{a}r_{c}}{displaystyle {r_{a}+r_{c}}}}=ccdot {dfrac {r_{a}r_{b}}{displaystyle {r_{a}+r_{b}}}}}$

Частные случаи

${displaystyle S_{triangle ABC}={dfrac {ab}{2}}}$ — для прямоугольного треугольника ${displaystyle S={dfrac {a^{2}{sqrt {3}}}{4}}}$ — для равностороннего треугольника

Другие формулы[править | править код]

Существуют другие формулы, такие, как например,^[16]

${displaystyle S={dfrac {operatorname {tg} alpha }{4}}left(b^{2}+c^{2}-a^{2}right)}$

для угла ${displaystyle alpha neq 90^{circ }}$ .

В 1885 г. Бейкер (Baker)^[17] предложил список более ста формул площади треугольника. Он, в частности, включает:

${displaystyle S={dfrac {1}{2}}{sqrt[{3}]{abch_{a}h_{b}h_{c}}}}$

${displaystyle S={dfrac {1}{2}}{sqrt {abh_{a}h_{b}}}}$

${displaystyle S={dfrac {a+b}{2left({dfrac {1}{h_{a}}}+{dfrac {1}{h_{b}}}right)}}}$

${displaystyle S={dfrac {Rh_{b}h_{c}}{a}}}$

Неравенства для площади треугольника[править | править код]

Для площади справедливы неравенства:

${displaystyle 4{sqrt {3}}Sleqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

и ${displaystyle 4{sqrt {3}}Sleqslant {dfrac {9abc}{a+b+c}}}$

где в обоих случаях равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний (правильный).

История изучения[править | править код]

Свойства треугольника, изучаемые в школе, за редким исключением, известны с ранней античности. Зачатки тригонометрических знаний можно найти в математических рукописях Древнего Египта, Вавилона и Древнего Китая. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э.^[21]

Общая и достаточно полная теория геометрии треугольников (как плоских, так и сферических) появилась в Древней Греции^[22]. В частности, во второй книге „Начал“ Евклида теорема 12 представляет собой словесный аналог теоремы косинусов для тупоугольных треугольников^[23]. Следующая за ней теорема 13 — вариант теоремы косинусов для остроугольных треугольников. Свойствами элементов треугольников (углов, сторон, биссектрис и др.) после Евклида занимались Архимед, Менелай, Клавдий Птолемей, Папп Александрийский^[24].

В IV веке, после упадка античной науки, центр развития математики переместился в Индию. Сочинения индийских математиков (сиддханты) показывают, что их авторы были хорошо знакомы с трудами греческих астрономов и геометров^[25]. Чистой геометрией индийцы интересовались мало, но их вклад в прикладную астрономию и расчётные аспекты тригонометрии очень значителен.

В VIII веке учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами древнегреческих и индийских математиков и астрономов. Их астрономические трактаты, аналогичные индийским сиддхантам, назывались „зиджи“; типичный зидж представлял собой сборник астрономических и тригонометрических таблиц, снабжённый руководством по их использованию и (не всегда) изложением общей теории^[26]. Сравнение зиджей периода VIII—XIII веков показывает быструю эволюцию тригонометрических знаний. Самые ранние из сохранившихся трудов принадлежат ал-Хорезми и ал-Марвази (IX век).

Сабит ибн Курра (IX век) и ал-Баттани (X век) первыми открыли фундаментальную теорему синусов для частного случая прямоугольного сферического треугольника. Для произвольного сферического треугольника доказательство было найдено (разными способами и, вероятно, независимо друг от друга) Абу-л-Вафой, ал-Худжанди и ибн Ираком в конце X века^[27]. В другом трактате ибн Ирака сформулирована и доказана теорема синусов для плоского треугольника^[28].

Фундаментальное изложение тригонометрии (как плоской, так и сферической) дал персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси в 1260 году^[29]. Его „Трактат о полном четырёхстороннике“ содержит практические способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решённых самим ат-Туси^[30]. Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы, необходимые для практической работы с треугольниками.

В Европе развитие тригонометрической теории стало чрезвычайно важным в Новое время, в первую очередь для артиллерии, оптики и навигации при дальних морских путешествиях. В 1551 году появились 15-значные тригонометрические таблицы Ретика, ученика Коперника, с шагом 10»^[31]. Потребность в сложных тригонометрических расчётах вызвала в начале XVII века открытие логарифмов, причём первые логарифмические таблицы Джона Непера содержали только логарифмы тригонометрических функций.

Изучение треугольника продолжилось в XVII веке: была доказана теорема Дезарга (1636), открыта точка Торричелли (1640) и изучены её свойства. Джованни Чева доказал свою теорему о трансверсалях (1678). Лейбниц показал, как вычислять расстояние от центра тяжести треугольника до других его замечательных точек^[24]. В XVIII веке были обнаружены прямая Эйлера и окружность шести точек (1765).

В начале XIX века была открыта точка Жергонна. В 1828 году была доказана теорема Фейербаха. К концу XIX века относится творчество Эмиля Лемуана, Анри Брокара, Жозефа Нойберга. Окружность девяти точек исследовали Понселе, Брианшон и Штейнер, Были обнаружены ранее неизвестные геометрические связи и образы — например, окружность Брокара, точки Штейнера и Тарри. В 1860 году Шлёмильх доказал теорему: три прямые, соединяющие середины сторон треугольника с серединами его соответствующих высот, пересекаются в одной точке. В 1937 году советский математик С. И. Зетель показал, что эта теорема верна не только для высот, но и для любых других чевиан. Исследования перечисленных выше геометров превратили геометрию треугольника в самостоятельный раздел математики^[32].

Значительный вклад в геометрию треугольника внёс в конце XIX — начале XX века Фрэнк Морли. Он доказал, что геометрическое место центров кардиоид, вписанных в треугольник, состоит из девяти прямых, которые, взятые по три, параллельны трём сторонам равностороннего треугольника. Кроме того, 27 точек, в которых пересекаются эти девять прямых, являются точками пересечения двух трисектрис треугольника, принадлежащих к одной и той же его стороне. Наибольшую известность получил частный случай этой теоремы: внутренние трисектрисы углов треугольника, прилежащих к одной и той же стороне, пересекаются попарно в трёх вершинах равностороннего треугольника. Обобщение этих работ опубликовал Анри Лебег (1940), он
ввел -сектрисы треугольника и изучил их расположение в общем виде^[33].

С 1830-х годов в геометрии треугольника стали широко использоваться трилинейные координаты точек. Активно развивалась теория преобразований — проективное, изогональное, изотомическое и другие. Полезной оказалась идея рассмотрения задач теории треугольников на комплексной плоскости.
^[32].

Дополнительные сведения[править | править код]

Все факты, изложенные в этом разделе, относятся к евклидовой геометрии.

Отрезок, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне, называется чевианой. Обычно под чевианой понимают не один такой отрезок, а один из трёх таких отрезков, проведённых из трёх разных вершин треугольника и пересекающихся в одной точке. Они удовлетворяют условиям теоремы Чевы. Чевианы, соединяющие вершину треугольника с точками противоположной стороны, отстоящими на заданное отношение ${frac {1}{n}}$ от её концов, называют недианами.
Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника. Три средние линии треугольника разделяют его на четыре равных треугольника в 4 раза меньшей площади, чем площадь исходного треугольника.
Серединные перпендикуляры (медиатрисы) к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке, которая совпадает с центром описанной окружности.
Чевианы, лежащие на прямых, симметричных медианам относительно биссектрис, называются симедианами. Они проходят через одну точку — точку Лемуана.
Чевианы, лежащие на прямых, изотомически сопряжённых биссектрисам относительно оснований медиан, называются антибиссектрисами. Они проходят через одну точку — центр антибиссектрис.
Кливер треугольника — это отрезок, одна вершина которого находится в середине одной из сторон треугольника, вторая вершина находится на одной из двух оставшихся сторон, при этом кливер разбивает периметр пополам.
Некоторые точки в треугольнике — «парные». Например, существует две точки, из которых все стороны видны либо под углом в 60°, либо под углом в 120°. Они называются точками Торричелли. Также существует две точки, проекции которых на стороны лежат в вершинах правильного треугольника. Это — точки Аполлония. Точки и такие, что и называются точками Брокара.

Некоторые замечательные прямые треугольника[править | править код]

В любом треугольнике центр тяжести, ортоцентр, центр описанной окружности и центр окружности Эйлера лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера.
В любом треугольнике центр тяжести, центр круга, вписанного в него (инцентр), его точка Нагеля и центр круга, вписанного в дополнительный треугольник (или Центр Шпикера), лежат на одной прямой, называемой второй прямой Эйлера (прямой Нагеля)
Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку Лемуана, называется осью Брокара. На ней лежат точки Аполлония.
Также на одной прямой лежат точки Торричелли и точка Лемуана.
Если на описанной окружности треугольника взять точку, то её проекции на стороны треугольника будут лежать на одной прямой, называемой прямой Симсона данной точки. Прямые Симсона диаметрально противоположных точек описанной окружности перпендикулярны.

Трилинейные поляры треугольника[править | править код]

Бесконечно удалённая прямая — трилинейная поляра центроида

Построение трилинейной поляры точки

Ось Лемуана — трилинейная поляра точки Лемуана показана красным цветом

Трилинейная полярой точки Лемуана служит ось Лемуана (см. рис.)

Ось внешних биссектрис или антиортовая ось (antiorthic axis) — трилинейная поляра центра вписанной окружности (инцентра) треугольника ABC )

Ортоцентрическая ось (Orthic axis) — трилинейная поляра ортоцентра

Ортоцентрическая ось (Orthic axis) — трилинейная поляра ортоцентра (см. рис.)
Трилинейные поляры точек, лежащих на описанной конике, пересекаются в одной точке (для описанной окружности это — точка Лемуана, для описанного эллипса Штейнера — центроид).

Вписанные и описанные фигуры для треугольника[править | править код]

Преобразования[править | править код]

Ниже описаны 3 вида преобразований: 1) Изогональное сопряжение, 2) Изотомическое сопряжение, 3) Изоциркулярное преобразование.

Изогональное сопряжение[править | править код]

Если прямые, проходящие через вершины и некоторую точку, не лежащую на сторонах и их продолжениях, отразить относительно соответствующих биссектрис, то их образы также пересекутся в одной точке, которая называется изогонально сопряжённой исходной (если точка лежала на описанной окружности, то получившиеся прямые будут параллельны).
Изогонально сопряжёнными являются многие пары замечательных точек:
- Центр описанной окружности и ортоцентр (точка пересечения высот),
- Центроид (точка пересечения медиан) и точка Лемуана (точка пересечения симедиан),
- Центр девяти точек и точка Косниты треугольника, связанная с теоремой Косниты^[34];
- Две точки Брокара;
- Точки Аполлония и точки Торричелли.
Точка Жергонна и центр отрицательной гомотетии вписанной и описанной окружности.
Точка Нагеля и центр положительной гомотетии вписанной и описанной окружности (точка Веррьера).
Описанные окружности подерных треугольников изогонально сопряжённых точек совпадают.
Фокусы вписанных эллипсов изогонально сопряжены.
Изогональное сопряжение имеет ровно четыре неподвижные точки (то есть точки, которые сопряжены самим себе): центр вписанной окружности и центры вневписанных окружностей треугольника^[35].
Если для любой внутренней точки треугольника построить три точки, симметричные ей относительно сторон, а затем через три последние провести окружность, то ее центр изогонально сопряжен исходной точке^[36].

Изогональные сопряжения линий треугольника[править | править код]

Под действием изогонального сопряжения прямые переходят в описанные коники, а описанные коники — в прямые.
Так, изогонально сопряжены:
- гипербола Киперта и ось Брокара,
- гипербола Енжабека и прямая Эйлера,
- гипербола Фейербаха и линия центров вписанной и описанной окружностей.
Некоторые известные кубики — например, кубика Томсона — изогонально самосопряжены в том смысле, что при изогональном сопряжении всех их точек в треугольнике снова получаются кубики.

Изотомическое сопряжение[править | править код]

Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением. Оно также переводит прямые в описанные коники.

Изотомически сопряжены следующие точки:
- точка Жергонна и Нагеля,
- точка пересечения биссектрис (инцентр) и точка пересечения антибиссектрис,
- Точке Лемуана (точке пересечения симедиан) треугольника изотомически сопряжена его точке Брокара,
- Центроид (точка пересечения медиан) изотомически сопряжён сам себе.

При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера.

Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры[править | править код]

Изоциркулярное преобразование[править | править код]

Если в сегменты, отсекаемые сторонами треугольника от описанного круга, вписать окружности, касающиеся сторон в основаниях чевиан, проведённых через некоторую точку, а затем соединить точки касания этих окружностей с описанной окружностью с противоположными вершинами, то такие прямые пересекутся в одной точке. Преобразование плоскости, сопоставляющее исходной точке получившуюся, называется изоциркулярным преобразованием ^[39]. Композиция изогонального и изотомического сопряжений является композицией изоциркулярного преобразования с самим собой. Эта композиция — проективное преобразование, которое стороны треугольника оставляет на месте, а ось внешних биссектрис переводит в бесконечно удалённую прямую.

Тригонометрические тождества только с углами[править | править код]

{displaystyle operatorname {tg} alpha +operatorname {tg} beta +operatorname {tg} gamma =operatorname {tg} alpha operatorname {tg} beta operatorname {tg} gamma }

(первое тождество для тангенсов)

Замечание. Соотношение выше применимо только тогда, когда ни один из углов не равен 90° (в таком случае функция тангенса всегда определена).

${displaystyle operatorname {tg} {frac {alpha }{2}}operatorname {tg} {frac {beta }{2}}+operatorname {tg} {frac {beta }{2}}operatorname {tg} {frac {gamma }{2}}+operatorname {tg} {frac {gamma }{2}}operatorname {tg} {frac {alpha }{2}}=1}$

,^[40]

(второе тождество для тангенсов)

{displaystyle sin(2alpha )+sin(2beta )+sin(2gamma )=4sin alpha sin beta sin gamma }

(первое тождество для синусов)

${displaystyle sin ^{2}{frac {alpha }{2}}+sin ^{2}{frac {beta }{2}}+sin ^{2}{frac {gamma }{2}}+2sin {frac {alpha }{2}}sin {frac {beta }{2}}sin {frac {gamma }{2}}=1}$

,^[40]

(второе тождество для синусов)

${displaystyle cos ^{2}alpha +cos ^{2}beta +cos ^{2}gamma +2cos alpha cos beta cos gamma =1}$

,^[7]

(тождество для косинусов)

${displaystyle {frac {r}{R}}=4sin {frac {alpha }{2}}sin {frac {beta }{2}}sin {frac {gamma }{2}}=cos alpha +cos beta +cos gamma -1}$

(тождество для отношения радиусов)

Замечание. При делении обеих частей второго тождества для тангенсов на произведение ${displaystyle operatorname {tg} {frac {alpha }{2}}operatorname {tg} {frac {beta }{2}}operatorname {tg} {frac {gamma }{2}}}$ получается тождество для котангенсов:

${displaystyle operatorname {ctg} {frac {alpha }{2}}+operatorname {ctg} {frac {beta }{2}}+operatorname {ctg} {frac {gamma }{2}}=operatorname {ctg} {frac {alpha }{2}}operatorname {ctg} {frac {beta }{2}}operatorname {ctg} {frac {gamma }{2}}}$

по форме (но не по содержанию) очень похожее на первое тождество для тангенсов.

Разные соотношения[править | править код]

Метрические соотношения в треугольнике приведены для :

Где:

, и — стороны треугольника,
${displaystyle a_{L}}$ , ${displaystyle b_{L}}$ — отрезки, на которые биссектриса $l_{c}$ делит сторону ,
$m_{a}$ , $m_{b}$ , $m_{c}$ — медианы, проведённые соответственно к сторонам , и ,
$h_{a}$ , $h_{b}$ , $h_{c}$ — высоты, опущенные соответственно на стороны , и ,
— радиус вписанной окружности,
— радиус описанной окружности,
${displaystyle p={frac {a+b+c}{2}}}$ — полупериметр,
— площадь,
— расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.
Для любого треугольника, у которого стороны связаны неравенствами , а площадь равна , длины срединных перпендикуляров или медиатрис, заключённых внутри треугольника, опущенных на соответствующую сторону (отмеченную нижним индексом), равны^[41]^{:Corollaries 5 and 6}

${displaystyle p_{a}={frac {2aS}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}}}$

, ${displaystyle p_{b}={frac {2bS}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}}}$

и ${displaystyle p_{c}={frac {2cS}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}}}$

Формулы площади треугольника в декартовых координатах на плоскости[править | править код]

Обозначения

$(x_{A},y_{A});(x_{B},y_{B});(x_{C},y_{C})$ — координаты вершин треугольника.

Общая формула площади треугольника в декартовых координатах на плоскости[править | править код]

$S_{triangle ABC}={frac {1}{2}}{begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\x_{B}&y_{B}&1\x_{C}&y_{C}&1end{vmatrix}}={frac {left|x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})right|}{2}}={frac {left|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A})-(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{A})right|}{2}}$

В частности, если вершина A находится в начале координат (0, 0), а координаты двух других вершин есть B = (x_B, y_B) и C = (x_C, y_C), то площадь может быть вычислена в виде ¹⁄₂ от абсолютного значения определителя

$T={frac {1}{2}}left|det {begin{pmatrix}x_{B}&x_{C}\y_{B}&y_{C}end{pmatrix}}right|={frac {1}{2}}|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.$

Последнюю формулу площади треугольника в английской литературе именуют формулой площади, заключенной внутри ломаной натянутого на гвозди шнурка (shoelace formula), или геодезической формулой (surveyor’s formula^[42]), или формулой площади Гаусса.

Вычисление площади треугольника в пространстве с помощью векторов[править | править код]

Пусть вершины треугольника находятся в точках $mathbf {r} _{A}(x_{A},y_{A},z_{A})$ , $mathbf {r} _{B}(x_{B},y_{B},z_{B})$ , $mathbf {r} _{C}(x_{C},y_{C},z_{C})$ .

Введём вектор площади $mathbf {S} ={frac {1}{2}}[mathbf {r} _{B}-mathbf {r} _{A},mathbf {r} _{C}-mathbf {r} _{A}]$ . Длина этого вектора равна площади треугольника, а направлен он по нормали к плоскости треугольника:

$mathbf {S} ={frac {1}{2}}{begin{vmatrix}mathbf {i} &mathbf {j} &mathbf {k} \x_{B}-x_{A}&y_{B}-y_{A}&z_{B}-z_{A}\x_{C}-x_{A}&y_{C}-y_{A}&z_{C}-z_{A}end{vmatrix}}$

Положим ${displaystyle mathbf {S} =S_{x}mathbf {i} +S_{y}mathbf {j} +S_{z}mathbf {k} }$ , где $S_{x}$ , ${displaystyle S_{y}}$ , ${displaystyle S_{z}}$ — проекции треугольника на координатные плоскости. При этом

$S_{x}={frac {1}{2}}{begin{vmatrix}y_{B}-y_{A}&z_{B}-z_{A}\y_{C}-y_{A}&z_{C}-z_{A}end{vmatrix}}={frac {1}{2}}{begin{vmatrix}1&y_{A}&z_{A}\1&y_{B}&z_{B}\1&y_{C}&z_{C}end{vmatrix}}$

и аналогично

$S_{y}={frac {1}{2}}{begin{vmatrix}x_{A}&1&z_{A}\x_{B}&1&z_{B}\x_{C}&1&z_{C}end{vmatrix}},qquad S_{z}={frac {1}{2}}{begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\x_{B}&y_{B}&1\x_{C}&y_{C}&1end{vmatrix}}$

Площадь треугольника равна $S={sqrt {S_{x}^{2}+S_{y}^{2}+S_{z}^{2}}}$ .

Альтернативой служит вычисление длин сторон (по теореме Пифагора) и далее по формуле Герона.

Вычисление площади треугольника через комплексные декартовы координаты его вершин[править | править код]

Если обозначить комплексные декартовы координаты (на комплексной плоскости) вершин треугольника соответственно через ${displaystyle a=x_{A}+y_{A}i}$ , ${displaystyle b=x_{B}+y_{B}i}$ и ${displaystyle c=x_{C}+y_{C}i}$ и обозначить их комплексно сопряженные точки соответственно через , и , тогда получим формулу:

${displaystyle T={frac {i}{4}}{begin{vmatrix}a&{bar {a}}&1\b&{bar {b}}&1\c&{bar {c}}&1end{vmatrix}}}$

что эквивалентно формуле площади, заключенной внутри ломаной натянутого на гвозди шнурка (shoelace formula), или геодезической формуле (surveyor’s formula^[42]), или формуле площади Гаусса.

Треугольник в неевклидовых геометриях[править | править код]

На сфере[править | править код]

Свойства треугольника со сторонами , , и углами , , .

Сумма углов (невырожденного) треугольника строго больше $180^{circ }$ .

Любые подобные треугольники равны.

Теорема синусов (здесь и далее сторону сферического треугольника принято измерять не линейной мерой, а величиной опирающегося на неё центрального угла):

${displaystyle {frac {sin A}{sin a}}={frac {sin B}{sin b}}={frac {sin C}{sin c}}}$

Теоремы косинусов:

{displaystyle cos c=cos acos b-sin asin bcos C}

На плоскости Лобачевского[править | править код]

Для треугольника со сторонами , , и углами , , .

Сумма углов (невырожденного) треугольника строго меньше $180^{circ }$ .

Как и на сфере, любые подобные треугольники равны.

Теорема синусов

${displaystyle {frac {sin A}{operatorname {sh} a}}={frac {sin B}{operatorname {sh} b}}={frac {sin C}{operatorname {sh} c}}}$

Теоремы косинусов

{displaystyle operatorname {ch} c=operatorname {ch} aoperatorname {ch} b-operatorname {sh} aoperatorname {sh} bcos C}

{displaystyle cos C=-cos Acos B+sin Asin Boperatorname {ch} c}

Связь суммы углов с площадью треугольника[править | править код]

Значение для суммы углов треугольника во всех трёх случаях (евклидова плоскость, сфера, плоскость Лобачевского) является следствием формулы Гаусса — Бонне

${displaystyle int limits _{Omega }K,dsigma +sum _{i}varphi _{i}=2pi chi }$

В случае треугольника эйлерова характеристика . Углы $varphi _{i}$ — это внешние углы треугольника. Значение величины (гауссовой кривизны) — это K=0 для евклидовой геометрии, K=1 для сферы, для плоскости Лобачевского.

Этот раздел статьи ещё не написан.

Здесь может располагаться отдельный раздел. Помогите Википедии, написав его. (31 января 2017)

Треугольник в римановой геометрии[править | править код]

Этот раздел статьи ещё не написан.

Здесь может располагаться отдельный раздел. Помогите Википедии, написав его. (31 января 2017)

Обозначение[править | править код]

Символ	Юникод	Название
△	U+25B3	white up-pointing triangle

См. также[править | править код]

Глоссарий планиметрии
Тригонометрические тождества
Тригонометрия
Энциклопедия центров треугольника

Дополнительные статьи о геометрии треугольника можно найти в категориях:

Категория:Геометрия треугольника.
Категория:Теоремы евклидовой геометрии
Категория:Планиметрия
Категория:Теоремы планиметрии

Примечания[править | править код]

↑ Треугольник // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5.
↑ ¹ ² Справочник по элементарной математике, 1978, с. 218.
↑ Подходова Н. С. [и др.] Раздел II. Теория обучения математике. Глава 7. Математические понятия. Методика работы с ними (п. 7.5. Классификация понятий) // Методика обучения математике в 2 ч. Часть 1 : учебник для вузов / под ред. Н. С. Подходовой, В. И. Снегуровой. — М.: Издательство Юрайт, 2023. — С. 139. — 274 с. — ISBN 978-5-534-08766-6, ББК 74.202.5я73. — ISBN 978-5-534-14731-5.
↑ Основанием равнобедренного треугольника всегда называют сторону, не равную двум другим.
↑ ¹ ² Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007.
↑ ¹ ² Справочник по элементарной математике, 1978, с. 221.
↑ ¹ ² Longuet-Higgins, Michael S., «On the ratio of the inradius to the circumradius of a triangle», Mathematical Gazette 87, March 2003, 119—120.
↑ Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.: Учпедгиз, 1962. задача на с. 120—125. параграф 57, с.73.
↑ Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, § 41.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 219.
↑ Шарыгин И. Ф. Глава 3. (п. 3.2. Признаки равенства треугольников) // Геометрия. 7—9 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений / И. Ф. Шарыгин, ответств.ред. Т. С. Зельдман. — М.: Дрофа, 2012. — С. 79—80. — 462 с. — 3000 экз. — ISBN 978-5-358-09918-0, ББК 22.151я72, УДК 373.167.1:514.
↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973.
↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973, ф. 1.11-4.
↑ Sa ́ndor Nagydobai Kiss, «A Distance Property of the Feuerbach Point and Its Extension», Forum Geometricorum 16, 2016, 283—290. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201634.pdf Архивная копия от 24 октября 2018 на Wayback Machine
↑ Pathan, Alex, and Tony Collyer, “Area properties of triangles revisited, ” Mathematical Gazette 89, November 2005, 495—497.
↑ Mitchell, Douglas W., “The area of a quadrilateral, ” Mathematical Gazette 93, July 2009, 306—309.
↑ Baker, Marcus, “A collection of formulae for the area of a plane triangle, « Annals of Mathematics, part 1 in vol. 1(6), January 1885, 134—138; part 2 in vol. 2(1), September 1885, 11-18. The formulas given here are #9, #39a, #39b, #42, and #49. The reader is advised that several of the formulas in this source are not correct.
↑ Chakerian, G. D. „A Distorted View of Geometry.“ Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.
↑ Rosenberg, Steven; Spillane, Michael; and Wulf, Daniel B. „Heron triangles and moduli spaces“, Mathematics Teacher 101, May 2008, 656—663.
↑ Posamentier, Alfred S., and Lehmann, Ingmar, The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012.
↑ van der Waerden, Bartel Leendert. Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. — Springer, 1983. — ISBN 3-540-12159-5.
↑ Глейзер Г. И., 1982, с. 77.
↑ Глейзер Г. И., 1982, с. 94—95.
↑ ¹ ² Из истории геометрии треугольника, 1963, с. 129.
↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 40—44.
↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 51—55.
↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 92—96.
↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 111.
↑ Туси Насирэддин. Трактат о полном четырёхстороннике. Баку, Изд. АН АзССР, 1952.
↑ Рыбников К. А. История математики в двух томах. — М.: Изд. МГУ, 1960. — Т. I. — С. 105.
↑ История математики, том I, 1970, с. 320.
↑ ¹ ² Из истории геометрии треугольника, 1963, с. 130—132.
↑ Из истории геометрии треугольника, 1963, с. 132—133.
↑ Rigby, John (1997), Brief notes on some forgotten geometrical theorems. Mathematics and Informatics Quarterly, volume 7, pages 156—158 (as cited by Kimberling).
↑ В. В. Прасолов. Точки Брокара и изогональное сопряжение. — М.: МЦНПО, 2000. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-49-9.
↑ Математика в задачах. Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду. Под редакцией А. А. Заславского, Д. А. Пермякова, А. Б. Скопенкова, М. Б. Скопенкова и А. В. Шаповалова. Москва: МЦНМО, 2009.
↑ Kimberling, Clark. Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle (англ.) // Mathematics Magazine : magazine. — 1994. — June (vol. 67, no. 3). — P. 163—187. — doi:10.2307/2690608.
↑ Kimberling, Clark. Triangle Centers and Central Triangles. — Winnipeg, Canada: Utilitas Mathematica Publishing, Inc., 1998. — С. 285. Архивная копия от 10 марта 2016 на Wayback Machine
↑ Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника(Серия: «Библиотека „Математическое просвещение“») М.:МЦНМО,2002.с.14—17
↑ ¹ ² Vardan Verdiyan & Daniel Campos Salas, «Simple trigonometric substitutions with broad results», Mathematical Reflections no 6, 2007.
↑ Mitchell, Douglas W. (2013), «Perpendicular Bisectors of Triangle Sides», Forum Geometricorum 13, 53-59.
↑ ¹ ² Bart Braden. The Surveyor’s Area Formula (англ.) // The College Mathematics Journal (англ.) (рус. : magazine. — 1986. — Vol. 17, no. 4. — P. 326—337. — doi:10.2307/2686282. Архивировано 6 апреля 2015 года.

Литература[править | править код]

Адамар Ж. Элементарная геометрия. Часть 1: Планиметрия. Изд. 4-е, М.: Учпедгиз, 1957. 608 с.
Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
- Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 с.
Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902.
Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002.
Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 48-50. — ISBN 5-94057-170-0.

История

Гайдук Ю. М., Хованский А. М. Из истории геометрии треугольника // Вопросы истории физико-математических наук. — М.: Высшая школа, 1963. — С. 129—133. — 524 с.
Глейзер Г. И. История математики в школе. VII-VIII классы. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1982. — С. 76—95. — 240 с.
История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.
- История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
- Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
- Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии: Древняя Греция. Средневековый Восток. Позднее Средневековье. — Изд. 2-е. — М.: Либроком, 2012. — 160 с. — (Физико-математическое наследие: математика (история математики)). — ISBN 978-5-397-02777-9.

Ссылки[править | править код]

Расчёт элементов треугольника.
Расчёт параметров треугольника по координатам его вершин.

Источник