Как найти период тригонометрической функции тангенс - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Как найти период тригонометрической функции

Тригонометрические функции периодичны, то есть повторяются через определенный период. Благодаря этому достаточно исследовать функцию на этом промежутке и распространить найденные свойства на все остальные периоды.

Инструкция

Если вам дано простое выражение, в котором присутствует лишь одна тригонометрическая функция (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec), причем угол внутри функции не умножен на какое-либо число, а она сама не возведена в какую-либо степень – воспользуйтесь определением. Для выражений, содержащих sin, cos, sec, cosec смело ставьте период 2П, а если в уравнении есть tg, ctg – то П. Например, для функции у=2 sinх+5 период будет равен 2П.

Если угол х под знаком тригонометрической функции умножен на какое-либо число, то, чтобы найти период данной функции, разделите стандартный период на это число. Например, вам дана функция у= sin 5х. Стандартный период для синуса – 2П, разделив его на 5, вы получите 2П/5 – это и есть искомый период данного выражения.

Чтобы найти период тригонометрической функции, возведенной в степень, оцените четность степени. Для четной степени уменьшите стандартный период в два раза. Например, если вам дана функция у=3 cos^2х, то стандартный период 2П уменьшится в 2 раза, таким образом, период будет равен П. Обратите внимание, функции tg, ctg в любой степени периодичны П.

Если вам дано уравнение, содержащее произведение или частное двух тригонометрических функций, сначала найдите период для каждой из них отдельно. Затем найдите минимальное число, которое умещало бы в себе целое количество обоих периодов. Например, дана функция у=tgx*cos5x. Для тангенса период П, для косинуса 5х – период 2П/5. Минимальное число, в которое можно уместить оба этих периода, это 2П, таким образом, искомый период – 2П.

Если вы затрудняетесь действовать предложенным образом или сомневаетесь в ответе, попытайтесь действовать по определению. Возьмите в качестве периода функции Т, он больше нуля. Подставьте в уравнение вместо х выражение (х+Т) и решите полученное равенство, как если бы Т было параметром или числом. В результате вы найдете значение тригонометрической функции и сможете подобрать минимальный период. Например, в результате упрощения у вас получилось тождество sin (Т/2)=0. Минимальное значение Т, при котором оно выполняется, равно 2П, это и будет ответ задачи.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

ВИДЕО УРОК

Периодические функции.

Функцию у = f(х), х ∈ Х, называют периодической,
если существует такое отличное от нуля число
Т, что для любого х из области определения функции справедливо
равенство:

f(х + Т) = f(х) = f(х – Т).

Число Т называют периодом функции у = f(х).

Из этого
определения сразу следует, что если Т –
период функции

у = f(х), то

2Т, 3Т, 4Т, –Т, –2Т, –3Т,
–4Т

– также периоды
функций. Значит у периодической функции бесконечно много периодов.

Если Т – период функции, то число вида kТ,
где k – любое целое
число, также является периодом функции.

Чаще всего (но не
всегда) среди множества положительных периодов функции можно найти наименьший.
Его называют основным периодом.

График периодической
функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

График каждой
периодической функции состоит из одинаковых линий повторяющихся и изолированных
друг от друга, как в рассматриваемом случае, или соединенных в одну общую линию
(синусоида и другие.)

Графики
периодических функций обладают следующей особенностью. Если Т – основной период функции у = f(х), то для построения её графика достаточно построить ветвь
графика на одном из промежутков оси х длиной
Т, а затем осуществить параллельный перенос этой ветви по
оси х на

± Т, ±
2Т, ± 3Т, …

Чаще всего в
качестве такого промежутка длиной Т выбирают промежуток с концами в точках

(–^Т/₂; 0) и (^Т/₂; 0) или

(0; 0) и (Т; 0).

ПРИМЕР:

Рассмотрим функцию

у = х – [х], где [х] – целая часть числа. Если к
произвольному значение аргумента этой функции добавить 1, то значение функции от этого не изменится:

f(x + 1) = (x
+1) – [x + 1] = x + 1 – [x] – 1
= x – [x] = f (x).

Следовательно, при любом
значении х

f(x + 1) = f(x).

А это значит, что рассматриваемая функция
периодическая, период которой равен 1. Любое целое число
также является периодом данной функции, но обычно рассматривают только
маленький положительный период функции.

График этой функции
приведен на рисунке. Он состоит из бесконечного множества равных отрезков, которые
повторяются.

Периодичность тригонометрических функций.

Возьмём произвольный угол α и построим
подвижной радиус ОМ единичной окружности такой, что угол,
составленный с осью Ох этим радиусом, равен α.

Если мы к углу прибавим
2π или 360° (то есть полный
оборот), то углу α + 2π или α + 360° будет соответствовать то же положение
подвижного радиуса ОМ, что для угла α.

Так как синус и косинус угла,
составленного с осью Ох подвижным радиусом ОМ единичной
окружности, по сути соответственно ордината
у и
абсцисса х точки М, то

sin (α + 2π) = sin α или

sin (α + 360°) = sin α

cos (α + 2π)
= cos α или

cos (α + 360°) = cos α.

Таким образом, функции sin α и cos α от
прибавления к аргументу α одного
полного оборота (2π или 360°) не меняют своих значений.

Точно так же, прибавляя к
углу α любое целое
число полных оборотов, мы не изменим положения подвижного радиуса ОМ, а потому:

sin (α + 2kπ) = sin α или

sin (α + 360°k) = sin α

cos (α + 2kπ) = cos α или

cos (α + 360°k) = cos α,

где k – любое целое
число.

Функции, обладающие таким
свойством, что их значения не изменяются от прибавления к любому допустимому
значению аргумента определённого постоянного числа, называются периодическими.

Следовательно, функции sin α и cos α – периодические.

Наименьшее положительное число,
от прибавления которого к любому допустимому значению аргумента не изменяется
значение функции, называется периодом функции.

Периодом функции sin α и cos α
является 2π или 360°.

Функции tg α и сtg α также
периодические и их периодом является число
π или 180°.

В самом деле, пусть α – произвольный угол, составленный с осью Ох подвижным
радиусом ОМ единичной окружности.

Построим точку М‘,

симметричную точке М относительно
начала координат. Один из углов, образованных с осью Ох подвижным
радиусом ОМ‘, будет равен α + π.

Если х и у – координаты точки
М, то точки М‘ будут –х и –у. Поэтому

sin α = у, cos α = х,

sin (α + π) = –у,

cos (α + π) = –х.

Отсюда

и, следовательно,

tg (α + π) = tg α,

сtg (α + π)
= сtg α.

отсюда следует, что значения tg α и сtg α не
изменяются, если к углу α прибавить любое число полуоборотов:

tg (α + kπ) = tg α,

сtg (α + kπ) = сtg α.

где k – любое целое
число.

Периоды функций

y = A sin (ωx + φ) и

y = A cos (ωx + φ)

вычисляются по формуле

T = ^2π/_ω,

а период функции

y = A tg (ωx + φ)

по формуле

T = ^π/_ω.

Если период функции y = f(x) равен T₁, а период функции y = g(x) равен T₂, то период функций

y = f(x) + g(x) и

y = f(x) – g(x)

равен наименьшему числу, при делении которого
на T₁ и T₂ получаются целые числа.

ПРИМЕР:

Найти
период функции

y = 3 sin (x – 2) + 7 соs πx.

РЕШЕНИЕ:

Период
функции

y = 3 sin (x – 2)

равен

T₁= ^2π/₁ = 2π.

Период
функции

y = 7 соs πx

равен

T₂= ^2π/_π = 2.

Периода
у функции

y = 3 sin (x – 2) + 7 соs πx

не
существует, так как такого числа, при делении которого на 2π и
на 2 получались бы целые числа, нет.

ОТВЕТ:

Периода
не существует.

ПРИМЕР:

Доказать
следующее утверждение:

tg
3850° = tg 250°.

РЕШЕНИЕ:

Так как тангенс – периодическая функция с минимальным
периодом 20 ∙ 180°, то получим:

tg
3850° = tg (20 ∙ 180° + 250°) = tg 250°.

ПРИМЕР:

Доказать
следующее утверждение:

сos (–13π) = –1.

РЕШЕНИЕ:

Так как косинус – чётная и периодическая функция с
минимальным периодом 2π, то получим:

сos (–13π) = сos 13π = сos (π + 6 ∙ 2π) = сos π = –1.

ПРИМЕР:

Доказать
следующее утверждение:

sin (–7210°) = – sin 10°.

РЕШЕНИЕ:

Так как синус – нечётная и периодическая функция с
минимальным периодом 20 ∙ 360°, то получим:

sin (–7210°) = –sin 7210° = –sin (20 ∙ 360° + 10°) – sin 10°.

ПРИМЕР:

Найти основной период функции

sin 7х.

РЕШЕНИЕ:

Пусть Т основной период функции, тогда:

sin 7х = sin 7(х + t) = sin (7х + 7t)

так как 2πk период синуса, то получим:

sin (7х + 7t) = sin (7х + 2πk),

ОТВЕТ:

ПРИМЕР:

Найти основной период функции

соs 0,3х.

РЕШЕНИЕ:

Пусть Т основной период функции, тогда:

соs 0,3х = соs 0,3(х + t)
= соs (0,3х + 0,3t)

так как 2πk период косинуса, то получим:

соs (0,3х + 0,3t) = соs (0,3х + 2πk),

ОТВЕТ:

ПРИМЕР:

Найти период функции:

y = 5sin 2x + 2ctg 3х.

РЕШЕНИЕ:

Период функции

y = 5sin 2x

равен Т₁ = ²^𝜋/₂ = π,

а период функции

y = 2ctg 3х

равен Т₂ = ^𝜋/₃.

Наименьшее число, при делении которого на

Т₁ = π и Т₂ = ^𝜋/₃

– получаются целые числа будет число π.
Следовательно, период заданной функции равен Т = π.

ПРИМЕР:

Найти период функции:

y = 9sin (5x + ^π/₃) – 4cоs (7х + 2).

РЕШЕНИЕ:

Находим периоды слагаемых. Период функции

y = 9sin (5x + ^π/₃)

равен Т₁ = ²^𝜋/₅,

а период функции

y = 4cоs (7х + 2)

равен Т₂ = ²^𝜋/₇.

Очевидно, что период заданной функции равен

Т = 2π.

ПРИМЕР:

Найти период функции:

y = 3sin πx + 8tg (х + 5).

РЕШЕНИЕ:

Период функции

y = 3sin πx

равен Т₁ = ²^π/_π = 2,

а период функции

y = 8tg (х + 5)

равен Т₂ = ^𝜋/₁ = π.

Периода у заданной функции не существует, так как нет
такого числа, при делении которого на 2 и на π одновременно получались бы целые числа.

ПРИМЕР:

Найти период функции:

y = sin 3x + соs 5х.

РЕШЕНИЕ:

Период функции

y = sin 3x

равен Т₁ = ²^π/₃,

а период функции

y = соs 5х

равен Т₂ = ²^π/₅.

Приведём к общему знаменателю периоды:

Т₁ = ¹⁰^π/₁₅, Т₂ = ⁶^π/₁₅.

Тогда наименьшее общее кратное (НОК) будет:

НОК (10π; 6π)
= 30π.

Теперь найдём период заданной функции:

Т = ^30π/₁₅ = 2π.

Задания к уроку 5

Задание 1

Задание 2

Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

Урок 1. Градусное измерение угловых величин
Урок 2. Радианное измерение угловых величин
Урок 3. Основные тригонометрические функции
Урок 4. Натуральные тригонометрические таблицы
Урок 6. Область определения и область значения тригонометрических функций
Урок 7. Знаки тригонометрических функций
Урок 8. Чётность и нечётность тригонометрических функций
Урок 9. Тригонометрические функции некоторых углов
Урок 10. Построение угла по данному значению его тригонометрической функции
Урок 11. Основные тригонометрические тождества
Урок 12. Выражение всех тригонометрических функций через одну из них
Урок 13. Решение прямоугольных и равнобедренных треугольников с помощью тригонометрических функций
Урок 14. Теорема синусов
Урок 15. Теорема косинусов
Урок 16. Решение косоугольных треугольников
Урок 17. Примеры решения задач по планиметрии с применением тригонометрии
Урок 18. Решение практических задач с помощью тригонометрии
Урок 19. Формулы приведения (1)
Урок 20. Формулы приведения (2)
Урок 21. Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций
Урок 22. Формулы двойных и тройных углов (аргументов)
Урок 23. Формулы половинного аргумента
Урок 24. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение
Урок 25. Графики функций y = sin x и y = cos x
Урок 26. Графики функций y = tg x и y = ctg x
Урок 27. Обратные тригонометрические функции
Урок 28. Основные тождества обратных тригонометрических функций
Урок 29. Выражение одной из аркфункций через другие
Урок 30. Графики обратных тригонометрических функций
Урок 31. Построение графиков тригонометрических функций методом геометрических преобразований

Источник

Как найти период функции вида y=Af(kx+b), где A, k и b — некоторые числа? Поможет формула периода функции

где T — период функции y=f(x). Эта формула позволяет быстро найти период тригонометрических функций такого вида. Для функций y=sin x и y=cos x наименьший положительный период T=2п, для y=tg x и y=ctg x T=п. Рассмотрим на конкретных примерах, как найти период функции, используя данную формулу.

Найти период функции:

1) y=5sin(3x-п/8).

Здесь А=5, k=3, b=-п/8. Для нахождения периода нам нужно только k — число, стоящее перед иксом. Поскольку период синуса T=2п, то период данной функции

А=2/7, k=-1/11, b=п/5. Поскольку период косинуса T=2п, то

А=0,3, k=5/9, b=п/7. Период тангенса равен п, поэтому период данной функции

А=9, k=0,4, b=-7. Период котангенса равен п, поэтому период данной функции есть

Источник

Содержание:

Тригонометрические функции

Изучая материал этого параграфа, вы расширите свои знания о тригонометрических функциях и их свойствах, узнаете, что такое радианная мера угла, какие функции называют периодическими.

Ознакомитесь с формулами, связывающими различные тригонометрические функции, научитесь применять их для выполнения вычислений, упрощения выражений, доказательства тождеств.

Узнаете, какие уравнения называют простейшими тригонометрическими уравнениями; ознакомитесь с формулами корней простейших тригонометрических уравнений.

Радианная мера углов

До сих пор для измерения углов вы использовали градусы или части градуса — минуты и секунды.

Во многих случаях удобно пользоваться другой единицей измерения углов. Ее называют радианом.

Определение. Углом в один радиан называют центральный угол окружности, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.

На рисунке 8.1 изображен центральный угол АОВ, опирающийся на дугу А В , длина которой равна радиусу окружности. Величина угла АОВ равна одному радиану. Записывают:

Также говорят, что радианная мера дуги АВ равна одному радиану. Записывают:

Радианная мера угла (дуги) не зависит от радиуса окружности. Это утверждение проиллюстрировано на рисунке 8.2.

На рисунке 8.3 изображены окружность радиуса R и дуга MN, длина которой равна Тогда радианная мера угла MON (дуги MN) равна рад. Вообще, если центральный угол окружности радиуса R опирается на дугу, длина которой равна то говорят, что радианная мера этого центрального угла равна рад. Длина полуокружности равна Следовательно, радианная мера полуокружности равна рад. Градусная мера полуокружности составляет 180°. Сказанное позволяет установить связь между радианной и градусной мерами, а именно: (1) Отсюда

Разделив 180 на 3,14 (напомним, что ), можно установить: 1 рад Если обе части равенства (1) разделить на 180, то получим:

(2)

Из этого равенства легко установить, что, например, 15° = 15—– рад = — рад, 90° = Обычно при записи радианной меры угла обозначение «рад» опускают. Например, записывают: В таблице приведены градусные и радианные меры часто встречающихся углов:

Используя радианную меру угла, можно получить удобную формулу для вычисления длины дуги окружности. Поскольку центральный угол в 1 рад опирается на дугу, длина которой равна радиусу , то угол в рад опирается на дугу, длина которой равна . Если длину дуги, содержащей рад, обозначить через , то можно записать:

На координатной плоскости рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Такую окружность называют единичной. Пусть точка , начиная движение от точки , перемещается по единичной окружности против часовой стрелки. В некоторый момент времени она займет положение, при котором (рис. 8.4). Будем говорить, что точка получена в результате поворота точки вокруг начала координат на угол (на угол 120⁰)

Пусть теперь точка переместилась по единичной окружности по часовой стрелке и заняла положение, при котором (рис. 8.5). Будем говорить, что точка получена в результате поворота точки вокруг начала координат на угол .

Вообще, когда рассматривают движение точки по окружности против часовой стрелки (рис. 8.4), то угол поворота считают положительным, а когда по часовой стрелке (рис. 8.5) — то отрицательным.

Рассмотрим еще несколько примеров. Обратимся к рисунку 8.6.

Можно сказать, что точка А получена в результате поворота точки вокруг начала координат на угол (на угол 90°) или на угол (на угол -270°). Точка В получена в результате поворота точки на угол (на угол 180°) или на угол (на угол -180°). Точка С получена в результате поворота точки . на угол (на угол 270°) или на угол (на угол -90°).

Если точка , двигаясь по единичной окружности, сделает один полный оборот, то можно сказать, что угол поворота равен (то есть 360°) или (то есть -360°).

Если точка сделает полтора оборота против часовой стрелки, то естественно считать, что угол поворота равен (то есть 540°), если по часовой стрелке — то (то есть -540°).

Величина угла поворота как в радианах, так и в градусах может выражаться любым действительным числом.

Угол поворота однозначно определяет положение точки на единичной окружности. Однако любому положению точки на окружности соответствует бесконечно много углов поворота. Например, точке (рис. 8.7) соответствуют такие углы поворота: и т.д., а также и т.д. Заметим, что все эти углы можно получить с помощью формулы

Тригонометрические функции числового аргумента

В 9 классе, вводя определения тригонометрических функций углов от 0° до 180°, мы пользовались единичной полуокружностью. Обобщим эти определения для произвольного угла поворота . Рассмотрим единичную окружность (рис. 9.1).

Определение. Косинусом и синусом угла поворота называют соответственно абсциссу и ординату у точки единичной окружности, полученной в результате поворота точки (1; 0) вокруг начала координат на угол (рис. 9.1).

Записывают: Точки , А, В и С (рис. 9.2) имеют соответственно координаты (1; 0), (0; 1), (-1; 0), (0; -1). Эти точки получены в результате поворота точки . (1; 0) соответственно на углы Теперь, пользуясь данным определением, можно составить следующую таблицу¹:

Пример:

Найдите все углы поворота , при которых: 1) sin = 0; 2) cos = 0.

Решение:

1) Ординату, равную нулю, имеют только две точки единичной окружности: и В (рис. 9.2). Эти точки получены в результате поворотов точки на такие углы:

. Все эти углы можно записать с помощью формулы , где . Следовательно, sin = 0 при = , где

2) Абсциссу, равную нулю, имеют только две точки единичной окружности: А и С (рис. 9.2). Эти точки получены в результате поворотов точки на такие углы:

Все эти углы можно записать с помощью формулы , где . Следовательно, при

¹ На форзаце 3 приведена таблица значений тригонометрических функций некоторых углов.

Определение. Тангенсом угла поворота а называют отношение синуса этого угла к его косинусу:

Например,

Из определения тангенса следует, что тангенс определен для тех углов поворота , для которых cos , то есть при .

Вы знаете, что каждому углу поворота соответствует единственная точка единичной окружности. Следовательно, каждому значению угла соответствует единственное число, являющееся значением синуса (косинуса, тангенса для ) угла .

Поэтому зависимость значения синуса (косинуса, тангенса) от величины угла поворота является функциональной.

Функции , соответствующие этим функциональным зависимостям, называют тригонометрическими функциями угла поворота .

Каждому действительному числу поставим в соответствие угол рад. Это позволяет рассматривать тригонометрические функции числового аргумента. Например, запись «sin 2» означает «синус угла в 2 радиана». Из определений синуса и косинуса следует, что областью определения функций у = sin X и у = cos х является множество R.

Поскольку абсциссы и ординаты точек единичной окружности принимают все значения от -1 до 1 включительно, то областью значений функций у = sin х и у = cos х является промежуток [-1; 1].

Углам поворота и , где , соответствует одна и та же точка единичной окружности, поэтому

Область определения функции состоит из всех действительных чисел, кроме чисел вида . Областью значений функции является множество .

Можно доказать, что справедлива следующая формула:

Пример:

Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения .

Решение:

Поскольку , то . Следовательно, наименьшее значение данного выражения равно -3; выражение принимает его при . Наибольшее значение данного выражения равно 5; выражение принимает его при .

Знаки значений тригонометрических функций. Четность и нечетность тригонометрических функций

Пусть точка получена в результате поворота точки (1; 0) вокруг начала координат на угол . Если точка Р принадлежит I координатной четверти, то говорят, что является углом I четверти. Аналогично можно говорить об углах II, III и IV четвертей.

Например, и -300° — углы I четверти, и -185° — углы II четверти, и -96° — углы III четверти, 355° и — углы IV четверти. Углы вида , не относят ни к какой четверти.

Точки, расположенные в I четверти, имеют положительные абсциссу и ординату. Следовательно, если — угол I четверти, то .

Если а — угол II четверти, то sin а > 0, cos а < 0.
Если а — угол III четверти, то sin а < 0, cos а < 0.
Если а — угол IV четверти, то sin а < 0, cos а > 0.

Знаки значений синуса и косинуса схематически показаны на рисунке 10.1.

Поскольку , то тангенсы углов I и III четвертей являются положительными, а углов II и IV четвертей — отрицательными (рис. 10.2). Пусть точки получены в результате поворота точки (1; 0) на углы и – соответственно (рис. 10.3).

Для любого угла точки имеют равные абсциссы и противоположные ординаты. Тогда из определений синуса и косинуса следует, что для любого действительного числа

Это означает, что функция косинус является четной, а функция синус — нечетной.

Область определения функции симметрична относительно начала координат (проверьте это самостоятельно). Кроме того:

Следовательно, функция тангенс является нечетной.

Пример:

Какой знак имеет: 1) sin 280°; 2)tg(-140°)?

Решение:

1) Поскольку угол 280° является углом IV четверти, то sin 280° < 0.

2) Поскольку угол -140° является углом III четверти, то tg(-140°) > 0.

Пример:

Сравните sin 200° и sin (-200°).

Решение:

Поскольку угол 200° — угол III четверти, угол -200° — угол II четверти, то sin 200° < 0, sin (-200°) > 0. Следовательно, sin 200° < sin (-200°).

Пример:

Исследуйте на четность функцию: 1) • 2).

Решение:

1) Область определения данной функции, D(f) = , симметрична относительно начала координат.

Имеем:

Следовательно, рассматриваемая функция является четной.

2) Область определения данной функции, , симметрична относительно начала координат. Запишем:

Поскольку ни одно из равенств и не выполняется для всех из области определения, то рассматриваемая функция не является ни четной, ни нечетной.

Свойства и графики тригонометрических функций

Вы знаете, что для любого числа х выполняются равенства

Это указывает на то, что значения функций синус и косинус периодически повторяются при изменении аргумента на . Функции являются примерами периодических функций.

Определение. Функцию называют периодической, если существует такое число , что для любого из области определения функции выполняются равенства Число Т называют периодом функции .

Вы знаете, что для любого из области определения функции выполняются равенства

Тогда из определения периодической функции следует, что тангенс является периодической функцией с периодом .

Можно показать, что если функция имеет период , то любое из чисел …. а также любое из чисел … также является ее периодом. Из этого свойства следует, что каждая периодическая функция имеет бесконечно много периодов.

Например, любое число вида является периодом функций у = sin х и у = cos х; а любое число вида является периодом функции

Если среди всех периодов функции f существует наименьший положительный период, то его называют главным периодом функции f.

Теорем а 11.1. Главным периодом функций является число ; главным периодом функции — число .

Пример:

Найдите значение выражения:

1) 2) 3)

Решение:

На рисунке 11.1 изображен график некоторой периодической функции с периодом

Фрагменты графика этой функции на промежутках [0; Т], [Т; 2Т], [2Т; ЗТ] и т. д., а также на промежутках [-Т ; 0], [-2Т; -Т ], [-ЗТ ; -2Т] и т. д. являются равными фигурами, причем любую из этих фигур можно получить из любой другой параллельным переносом на вектор с координатами , где — некоторое целое число.

Пример:

На рисунке 11.2 изображен фрагмент графика периодической функции, период которой равен Т. Постройте график этой функции на промежутке .

Решение:

Построим образы изображенной фигуры, полученные в результате параллельного переноса на векторы с координатами (Т; 0), (2Т; 0) и (-Т; 0). Объединение данной фигуры и полученных образов — искомый график (рис. 11.3).

При повороте точки вокруг начала координат на углы от 0 до большему углу поворота соответствует точка единичной окружности с большей ординатой (рис. 11.4). Это означает, что функция возрастает на промежутке . При повороте точки на углы от до большему углу поворота соответствует точка единичной окружности с меньшей ординатой (рис. 11.4). Следовательно, функция убывает на промежутке

При повороте точки на углы от до большему углу поворота соответствует точка единичной окружности с большей ординатой (рис. 11.4). Следовательно, функция возрастает на промежутке . Функция на промежутке имеет три нуля:

Если то если то

Функция на промежутке достигает наибольшего значения, равного 1, при и наименьшего значения, равного -1 , при .

Функция на промежутке принимает все значения из промежутка [-1; 1].

Полученные свойства функции позволяют построить ее график на промежутке (рис. 11.5). График можно построить точнее, если воспользоваться данными таблицы значений тригонометрических функций некоторых углов, приведенной на форзаце 3.

На всей области определения график функции можно получить из построенного графика с помощью параллельных переносов на векторы с координатами (рис. 11.6).

График функции называют синусоидой.

График функции называют косинусоидой (рис. 11.8).

Рассмотрим функцию на промежутке , то есть на промежутке длиной в период этой функции (напомним, что функция в точках не определена).

Можно показать, что при изменении угла поворота от значения тангенса увеличиваются. Это означает, что функция возрастает на промежутке .

Функция на промежутке имеет один нуль: х = 0. Если , то ; если

Полученные свойства функции позволяют построить ее график на промежутке — (рис. 11.9). График можно построить точнее, если воспользоваться данными таблицы значений тригонометрических функций некоторых аргументов, приведенной на форзаце 3.

На всей области определения график функции можно получить из построенного графика с помощью параллельных переносов на векторы с координатами (рис. 11.10).

В таблице приведены основные свойства тригонометрических функций.

Пример:

Сравните: 1) и 2) и .

Решение:

1) Поскольку числа принадлежат промежутку на котором функция убывает, и , то

2) Поскольку углы 324° и 340° принадлежат промежутку [180°; 360°], на котором функция возрастает, и 324° < 340°, то cos 324° < cos 340°.

Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

В этом пункте установим тождества, связывающие значения тригонометрических функций одного и того же аргумента. Координаты любой точки единичной окружности удовлетворяют уравнению . Поскольку где — угол поворота, в результате которого из точки была получена точка , то

(1)

Обратим внимание на то, что точка Р на единичной окружности выбрана произвольно, поэтому тождество (1) справедливо для любого . Его называют основным тригонометрическим тождеством.

Используя основное тригонометрическое тождество, найдем зависимость между тангенсом и косинусом.

Пусть . Разделим обе части равенства (1) на . Получим:

Отсюда

Пример:

Упростите выражение:

1) 2 )

Решение:

Пример:

Известно, что Вычислите .

Решение:

Имеем:

Отсюда или 3 3 Рисунок 12.1 иллюстрирует эту задачу.

Пример:

Найдите , если

Решение:

Имеем:

Поскольку , то ; следовательно,

Формулы сложения

Формулами сложения называют формулы, выражающие через тригонометрические функции углов .

Докажем, что Пусть точки получены в результате поворота точки на углы соответственно.

Рассмотрим случай, когда . Тогда угол между векторами равен (рис. 13.1). Координаты точек и соответственно равны и . Тогда вектор имеет координаты , а вектор .

Выразим скалярное произведение векторов через их координаты:

В то же время по определению скалярного произведения векторов можно записать:

Отсюда получаем формулу, которую называют косинусом разности:

(1)

Формула (1) справедлива и в том случае, когда Докажем формулу косинуса суммы:

Имеем:

Формулы синуса суммы и синуса разности имеют вид:

Формулы тангенса суммы и тангенса разности имеют вид:

(2)

(3)

Тождество (2) справедливо для всех , при которых Тождество (3) справедливо для всех , при которых

Формулы, выражающие тригонометрические функции аргумента через тригонометрические функции аргумента а, называют формулами двойного аргумента.

В формулах сложения

положим Получим:

Эти формулы соответственно называют формулами косинуса, синуса и тангенса двойного аргумента.

Поскольку то из формулы получаем еще две формулы:

Иногда эти формулы удобно использовать в таком виде:

или в таком виде:

Две последние формулы называют формулами понижения степени.

Пример:

Упростите выражение:

Решение:

1) Применяя формулы синуса суммы и синуса разности, получаем:

2) Заменим данное выражение на синус разности аргументов и . Получаем:

Пример:

Докажите тождество

Решение:

Пример:

Найдите значение выражения .

Решение:

Используя формулу тангенса суммы углов 20° и 25°, получаем:

Пример:

Упростите выражение:

1) 2) .

Решение:

Формулы приведения

Периодичность тригонометрических функций дает возможность сводить вычисление значений синуса и косинуса к случаю, когда значение аргумента принадлежит промежутку . В этом пункте мы рассмотрим формулы, позволяющие в таких вычислениях I л п ограничиться лишь углами из промежутка

Каждый угол из промежутка можно представить в виде или , или где . Например, Вычисление синусов и косинусов углов вида можно свести к вычислению синуса или косинуса угла . Например:

Применяя формулы сложения, аналогично можно получить:

Эти формулы называют формулами приведения для синуса. Следующие формулы называют формулами приведения для косинуса:

Проанализировав записанные формулы приведения, можно заметить закономерности, благодаря которым не обязательно заучи вать эти формулы. Для того чтобы записать любую из них, можно руководствоваться следующими правилами.

В правой части равенства ставят тот знак, который имеет левая часть при условии, что
Если в левой части формулы аргумент имеет вид , или то синус заменяют на косинус и наоборот. Если аргумент имеет вид то замена функции не происходит.

Покажем, как действуют эти правила для выражения . Предположив, что приходим к выводу: является углом III координатной четверти. Тогда . По первому правилу в правой части равенства должен стоять знак « – ».

Поскольку аргумент имеет вид , то по второму правилу следует заменить синус на косинус. Следовательно, .

Пример:

Упростите выражение .

Решение:

Имеем:

Пример:

Замените значение тригонометрической функции значением функции острого угла: 1) 2) .

Решение:

1) . 2) .

Уравнение COS x=b

Уравнение

Поскольку областью значений функции является промежуток , то при уравнение не имеет решений. Вместе с тем при любом таком, что , это уравнение имеет корни, причем их бесконечно много. Сказанное легко понять, обратившись к графической интерпретации: графики функций и , где , имеют бесконечно много общих точек (рис. 15.1).

Понять, как решать уравнение в общем случае, поможет рассмотрение частного случая. Например, решим уравнение . На рисунке 15.2 изображены графики функций .

Рассмотрим функцию на промежутке (красная часть кривой на рисунке 15.2), то есть на промежутке, длина которого равна периоду этой функции. Прямая пересекает график функции на промежутке в двух точках и , абсциссы которых являются противоположными числами.

Следовательно, уравнение на промежутке имеет два корня. Поскольку , то этими корнями являются числа . Функция у = cos х — периодическая с периодом . Поэтому каждый из остальных корней уравнения отличается от одного из найденных корней или на число вида .

Итак, корни рассматриваемого уравнения можно задать формулами . Как правило, эти две формулы заменяют одной записью:

Вернемся к уравнению , где . На рисунке 15.3 показано, что на промежутке это уравнение имеет два корня и , где а (при b = 1 эти корни совпадают и равны нулю).

Тогда все корни уравнения имеют вид

Эта формула показывает, что корень играет особую роль: зная его, можно найти все остальные корни уравнения . Корень имеет специальное название — арккосинус.

Определение. Арккосинусом числа , где , называют такое число из промежутка , косинус которого равен . Для арккосинуса числа используют обозначение . Например,

Вообще, , если Теперь формулу корней уравнения , можно записать в следующем виде:

(1)

Заметим, что частные случаи уравнения (для ) были рассмотрены ранее (см. п. 9).

Напомним полученные результаты:

Такие же ответы можно получить, используя формулу (1). Имеет место равенство

Пример:

Решите уравнение:

1) 2 ) 3)

Решение:

1) Используя формулу (1), запишем:

Далее получаем:

Ответ: 2) Имеем:

Ответ:

3) Перепишем данное уравнение следующим образом:

Отсюда Тогда

Ответ:

Уравнения sin x=b и tg x=b

Уравнения

Поскольку областью значений функции является промежуток [-1; 1], то при | b | > 1 уравнение не имеет решений. Вместе с тем при любом таком, что , это уравнение имеет корни, причем их бесконечно много. Отметим, что частные случаи уравнения (для ) были рассмотрены ранее (см. п. 9). Напомним полученные результаты:

Для того чтобы получить общую формулу корней уравнения , где , обратимся к графической интерпретации.

На рисунке 16.1 изображены графики функций и ,

Рассмотрим функцию на промежутке (красная часть кривой на рисунке 16.1), то есть на промежутке, длина которого равна периоду этой функции. На этом промежутке уравнение имеет два корня и , где (при эти корни совпадают и равны ).

Поскольку функция — периодическая с периодом , то каждый из остальных корней уравнения отличается от одного из найденных корней на число вида

Тогда корни уравнения можно задать формулами

Эти две формулы можно заменить одной записью:

(1)

Действительно, если — четное число, то есть то получаем если — нечетное число, то есть ,Z, то получаем

Формула (1) показывает, что корень играет особую роль: зная его, можно найти все остальные корни уравнения . Корень имеет специальное название — арксинус.

Определение. Арксинусом числа , где , называют такое число из промежутка, синус которого равен .

Для арксинуса числа используют обозначение .

Например,

Вообще, , если

Теперь формулу корней уравнения можно записать в следующем виде:

(2) Имеет место равенство

Пример:

Решите уравнение: 1) 2)

Решение:

1) Используя формулу (2), запишем:

Далее получаем:

Ответ :

2) Перепишем данное уравнение следующим образом:

Тогда

Ответ:

Поскольку областью значений функции является множество , то уравнение имеет решения при любом значении.

Для того чтобы получить формулу корней уравнения , обратимся к графической интерпретации. На рисунке 16.2 изображены графики функций

Рассмотрим функцию на промежутке (красная кривая на рисунке 16.2), то есть на промежутке, длина которого равна периоду данной функции. На этом промежутке уравнение при любом имеет единственный корень .

Поскольку функция — периодическая с периодом , то каждый из остальных корней уравнения отличается от найденного корня на число вида

Тогда корни уравнения можно задать формулой

Полученная формула показывает, что корень играет особую роль: зная его, можно найти все остальные корни уравнения . Корень имеет специальное название — арктангенс.

Определение. Арктангенсом числа называют такое число из промежутка, тангенс которого равен .

Для арктангенса числа используют обозначение Например,

Вообще,

Теперь формулу корней уравнения можно записать в следующем виде:

Имеет место равенство

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Имеем:

Ответ :

Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим

В пунктах 15, 16 мы получили формулы для решения уравнений вида Эти уравнения называют простейшими тригонометрическими уравнениями. С помощью различных приемов и методов многие тригонометрические уравнения можно свести к простейшим.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Выполним замену Тогда данное уравнение принимает вид Отсюда Поскольку то уравнение не имеет корней. Следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению Окончательно получаем: Ответ:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Используя формулу преобразуем данное уравнение:

sin х – 3(1 – 2 sin2x) – 2 = 0; 6 sin2 х + sin x – 5 = 0.

Пусть . Получаем квадратное уравнение Отсюда .

Итак, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Имеем:

Ответ:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Поскольку то данное уравнение можно записать следующим образом:

Отсюда Пусть . Имеем: Тогда Получаем, что данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Отсюда

Ответ :

ГЛАВНОЕ В ПАРАГРАФЕ 2

Радианная мера угла

Углом в один радиан называют центральный угол окружности, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности. Радианная и градусная меры угла связаны формулами

Косинус, синус и тангенс угла поворота

Косинусом и синусом угла поворота называют соответственно абсциссу и ординату точки единичной окружности, полученной в результате поворота точки вокруг начала координат на угол .

Тангенсом угла поворота называют отношение синуса этого sin о угла к его косинусу:

Знаки значений тригонометрических функций

Периодические функции

Функцию называют периодической, если существует такое число что для любого из области определения функции выполняются равенства Число Т называют периодом функции

Если среди всех периодов функции существует наименьший положительный период, то его называют главным периодом функции

Связь тригонометрических функций одного и того же аргумента

Формулы сложения

Формулы приведения

Для того чтобы записать любую из формул приведения, можно руководствоваться следующими правилами:

1) в правой части равенства ставят тот знак, который имеет левая часть при условии, что

2) если в левой части формулы аргумент имеет вид или то синус меняют на косинус и наоборот. Если аргумент имеет вид то замена функции не происходит.

Формулы двойного аргумента

Арккосинус, арксинус и арктангенс

Арккосинусом числа , где называют такое число из промежутка косинус которого равен Арксинусом числа , где называют такое число из промежутка синус которого равен Арктангенсом числа называют такое число из промежутка , тангенс которого равен

Решение простейших тригонометрических уравнений

—–

Тригонометрические функции

Прежде чем рассматривать тригонометрические функции, напомним, что такое радианная мера угла.

Радианной мерой центрального угла называется отношение длины дуги, на которую он опирается, к радиусу окружности. Если —длина радиуса, —длина дуги, то радианная мера дуги выразится так:

Так как и измеряются линейными единицами, то из (1) следует, что —число отвлеченное. Из геометрии известно, что

где —градусная мера центрального угла, опирающегося на дугу . Поэтому радианная мера угла будет

Находя из формулы (2), получим выражение градусной меры угла через радианную:

Пример:

Найти радианную меру угла 30°.

Решение:

Подставляя в формулу (2) вместо число 30, найдем

Пример:

Найти градусную меру угла, радианная мера которого равна 0,8.

Решение:

Подставляя в формулу (3), находим

или приближенно, полагая , найдем . Так как —постоянное число, то формула (2) устанавливает прямую пропорциональность между числами и .

В тригонометрии, помимо положительных углов, вводятся и отрицательные, поэтому радианная мера угла может быть и отрицательной. Например, угол —90° имеет радианную меру .

График функции y=sin x

График функции

При построении графиков тригонометрических функций можно обойтись без таблиц. Для этого надо поступить так (рис. 26):

1. Возьмем окружность единичного радиуса и от точки отложим на окружности в направлении, противоположном движению часовой стрелки, дугу , длину которой обозначим . Тогда радианная мера угла будет численно равна . Построим линию синуса этого угла; она изобразится отрезком . Так как , то синус угла, найденный как отношение , численно равен длине отрезка .

2. Возьмем оси координат (рис. 26). На оси отложим отрезок , длина которого равна длине дуги . Отрезок , перпендикулярный оси, возьмем равным длине отрезка . Тогда . Следовательно, точка имеет координаты и . Проделав это построение для различных дуг, получим ряд точек, лежащих на графике функции . На рис. 26 построены точки, соответствующие дугам:

Функция периодическая и имеет период . Это значит, что для любого значения выполняется равенство^

График функции y=sin wx

График функции

При изменении аргумента от 0 до синус принимает все значения от до . При дальнейшем увеличении аргумента значения синуса в силу периодичности повторяются.

Если рассмотрим функцию , то при изменении аргумента от 0 до функция примет все значения от до . При дальнейшем увеличении аргумента сох значения sin сох будут повторяться. Найдем период функции . Так как значения функции начнут повторяться с того момента, когда аргумент станет равным , то период найдется из равенства .

Отсюда получаем, что . Следовательно, есть период функции . В самом деле,

Поэтому функция имеет график, изображенный на рис. 27. Если , то график сжимается по сравнению с графиком . Если же , то график растягивается (на рис. 27 ).

График функции y=sin (x-φ)

График функции

Перейдем от старых осей координат к новым, начало которых находится в точке . Старые координаты выражаются через новые так (см. § 2 гл. III):

Подставляя эти выражения в уравнение , получим, т. е. график функции в новой системе координат выглядит так же, как график функции

в старой системе координат. Следовательно, график функции в старой системе координат можно получить, сдвигая график на вправо, если , и влево, если (на рис. 28 ).

График функции y=A sin x

График функции

Если , то каждая ордината на графике имеет то же направление, что и ордината точки, лежащей на графике , только ее длина умножается на число . При этом, если , то ордината увеличивается, если же

, то уменьшается. При ордината изменяет направление на противоположное. На рис. 29 изображены графики функций .

Таким образом, уравнение определяет на плоскости кривую линию, называемую синусоидой. Коэффициент , называемый частотой, влияет на растяжение синусоиды в направлении оси . При этом, если , то синусоида растягивается, если же , то сжимается. Коэффициент называется фазой, его величина влияет на сдвиг синусоиды, как целого, вдоль оси . Если положителен, то сдвиг производится вправо, если же отрицателен, то — влево. Коэффициент называется амплитудой, его величина влияет на растяжение синусоиды в направлении оси .

На рис. 30 показано последовательное построение графика функции. Сверху изображен график функции , ниже—график функции , еще ниже—график и в самом низу —график функции . На всех четырех графиках точки, имеющие одну и ту же абсциссу, лежат на одной вертикальной прямой.

Указанный метод построения синусоид может быть использован и для построения косинусоид. Приведем пример.

Пример:

Построим график функции .

Решение:

Применяя формулы приведения, известные из тригонометрии будем иметь

Этот график уже построен на рис. 30, 4.

————-

Тригонометрические функции

Периодические функции

Многие события, происходящие в природе – восход и закат солнца, появление комет, сезонные изменения температуры воздуха, всплеск и затухание волн в океане и т.п., являются циклически повторяющимися событиями. Процесс по производству оборудования, движение частей машины и т.д., так же могут быть заданы периодической функцией. Исследуем периодические переменные на примере. Работа станка по нарезке ленты. В фирме по производству измерительной ленты имеется станок, при помощи которого тонкая лента разрезается на кусочки по 3 м и сворачивается. График работы станка и описание принципа работы висит на стене.

1. 0,5 см-наибольшая высота, на которую поднимается нож.

2. Нож бездействует 3 секунды, с 0-3, 4 -7 секунды и т.д.

3. Нож опускается вниз в интервале с 3 до 3,5 сек., отрезает ленту, и с 3,5 до 4 сек. нож поднимается вверх.

4. На один полный цикл тратится 4 секунды. На какой, по вашему секунде, нож снова отрежет ленту?

Станок по изготовлению измерительной ленты циклически повторяет работу. Один цикл длится 4 секунды. График зависимости высоты ножа от времени, также соответствует одному циклу. В следующий раз нож разрежет ленту на 11,5 секунде. Такие функции называются циклическими (периодическими) функциями. Значения периодических функций повторяются на определённом интервале.

Пусть существует такое число , что для произвольного х из области определения функции , также принадлежит области определения и удовлетворяют условию . Тогда называется периодической функцией и, если период равен Т, то также является периодом . На самом деле, например,.

Наименьший положительный период функции называется его основным периодом.

Периодичность тригонометрических функций

Можно увидеть , что при совпадении конечных сторон угла поворота, значения тригонометрических функций совпадают. Например, для всех значений х. Значит, значения тригонометрических функций повторяются. Значение синуса и косинуса повторяются с периодом , а тангенса и котангенса с периодом . Тригонометрическими функциями числового аргумента х называются одноименные тригонометрические функции угла равного х радиан. Все свойства функций для угла (четность и нечетность, периодичность и тд.) одинаковы для тригонометрических функций от числового аргумента. Чтобы построить график этой функции, достаточно изобразить его на отрезке, длина которого равна периоду, а затем повторить его.

График функций y= sin x и y=cos x

График функций

График функции y=sin x

График функции .

Периодическая функция ири движении по окружности при повороте на угол показывает высоту (расстояние по вертикали) от оси х. На единичной окружности координата каждой точки равна и удовлетворяют уравнению . Здесь угол угол между единичным радиусом и положительным направлением оси х. Значит, координата у определяется .

Между дугой, которую описывает точка, и значениями функции , существует однозначное соответствие.

Разобьём дугу, принадлежащую I четверти на три равных дуги и в точках деления проведём прямые, параллельные оси абсцисс. Через точки пересечения прямых с соответствующими параллельными прямыми проведём сплошную линию. Получим график, как показано на рисунке.

Известно, что единичная окружность совершает полный оборот за 360⁰ или радиана. Построим, аналогичным образом, график функции на промежутке:

Так как синус является периодической функцией, то на промежутке длиной : график будет повторятся заново. Если обозначить функцию через у, а аргумент через х, то можно записать . График функции на промежутке можно начертить, как показано ниже:

График функции называется синусоидой (с амплитудой, равной 1, и периодом ).

График функции можно построить при помощи таблицы значений. Так как синус является периодической функцией, то достаточно построить этот график на отрезке [0; ] длиной . Отметим значение точек из таблицы на графике и проведём сплошную линию. Полученный график, является графиком функции.

Как из таблицы значений, так и по графику видно, что график функции, проходит через точку (0; 0) начало координат.

При возрастании х от 0 до значения у возрастают от 0 до 1;

По таблице значений и графику функции перечислим её свойства:

Область определения множество всех действительных чисел.
Область значений отрезок [-1; 1].
Функция нечётная: , т.е. график симметричен относительно начала координат.
Функция периодическая с периодом .
Синусоида пересекает ось абсцисс в точках …, –, …, и т.д., т.е. при функция обращается в нуль. Синусоида проходит через начало координат.
Наибольшее значение равное 1 функция принимает при х … , ;; ….., т.е. при .
Наименьшее значение равное -1 функция принимает при ;т.е. при .

График функции y=cos x

График функции .

График функции на отрезке [0; ] можно построить аналогично графику функции геометрическим способом, используя единичную окружность, а также при помощи таблицы значений. Так как , т.е. график можно построить переместив график функции на влево. Получаем график функции .

По графику перечислим свойства функции :

Область определения: множество всех действительных чисел.
Область значений отрезок [-1; 1].
Функция чётная функция (график симметричен относительно оси у)
Функция периодическая с периодом
График пересекает ось абсцисс в точках … , ,… , т.д., т.е. при функция обращается в нуль. График пересекает ось ординат в точке (0; 1).
Наибольшее значение равное 1 функция принимает при х …, ,… , т.е. при .
Наименьшее значение равное – 1 функция принимает при ,… , т.е. при .

Строить графики функций у = sin х и у = cos х удобно при помощи пяти основных точек (точек пересечения с осью абсцисс и точками экстремума). Последовательность пяти точек для функции у = sin х на промежутке [0;] может быть задана так:

Последовательность пяти точек для функции у = cos х на промежутке [0; ] может быть задана так:

Преобразование графиков функций у = sin х и у = cos х.

Растяжение и сжатие.

Пример 1. Если на графики функции у = sinx абсциссы оставить без изменения, а ординаты увеличить в 2 раза, то получим точки, принадлежащие графику функции у = 2 sinх. Это говорит о том, что график функции у = 2 sinх может быть построен из графика функции у = sinх растяжением от оси абсцисс в 2 раза. График функции у = 0,5 sinх можно построить сжатием к оси абсцисс графика функции у = sinх в 2 раза.

Графики функций у = a sin х и у = a cos х получаются соответственно из графиков функций у = sin х и у = cos х растяжением от оси абсцисс при и сжатием, при . При а < 0 график функции отображается симметрично относительно оси х.

Пример 2. График функции у = sin 2х в 2 раза “обгоняет” график функции у = sin х. Если функция у = sin х принимает значения от 0 до 1 на промежутке то функция у = sin 2х эти же значения принимает на интервале в этом промежутке . Точки графика функции у = sin 2х можно получить, умножив абсциссы точек графика функции у = sin х на , при этом не меняя значения ординат. График функции у = sin 2х получается из графика у = sin х сжатием в 2 раза и целый период умещается в отрезке . График функции получается растяжением графика функции у = sin х в 2 раза и целый период умещается в отрезок .

Графики функций у = sin bx и у = cos bx соответственно получаются из графиков функций у = sin х и у = cos х сжатием к оси ординат, при b > 1 и растяжением при 0 < b < 1. В случае b < 0 с учётом того, что синус является нечётной функцией, а косинус чётной приводит к случаям, указанным выше.

Графики функций полученные растя-жснием(сжатием) вдоль координатных осей графиков также являются синусоидами (косинусоидами).

При увеличении значения амплитуда увеличивается, при уменьшении – уменьшается. При увеличении значения период уменьшается, при уменьшении – увеличивается.

Пример. Постройте график функции .

1.График функции строится растяжением в 2 раза графика функции от оси ординат.

2.Полученный график растягивается от оси абсцисс в 2 раза.

Исследование. Пусть материальная точка движется по окружности радиуса из начальной точки А (а; 0) с угловой скоростью .

1)Для этой точки запишите зависимость координаты от времени .

2)Найдите наибольшее и наименьшее значение абсцисс и ординат точки.

3)Обоснуйте, что положение точки не меняется при изменении

времени на .

Период и амплитуда функций у = a sin bx и у = a cos bx

Теорема. Если основной период функции равен Т, то основной период функции равен (здесь а и b числа, отличные от нуля).

Отсюда получаем, что является основным периодом для функций . На самом деле,

Число является амплитудой. Амплитуда равна половине разности наибольшего и наименьшего значения.

Пример. Для функции амплитуда равна |-3| или 3, основной 2л л период .

Сдвиг по горизонтали – фаза.

В функциях член с показывает смещение графика по горизонтали, которое называется фазой. Пример. Постройте график функции

Построим график функции растяжением графика

функции у = cos х в 2 раза от оси ординат. График функции

можно получить смещением графика

функции вправо на единиц, т.е. получаем

график функции

Смещение по вертикали

В функциях член d показывает смещение но вертикали: если d > 0 график функции сдвигается вверх, d < 0 график сдвигается вниз.

Пример. Постройте график функции у = 2 sin х – 1.

Решение: ниже показаны этапы преобразования графика функции

у = sin x в график функции у = 2 sin х – 1 по шагам.

1.Увеличиваем амплитуду в 2 раза получаем график у = 2 sinx.

2.Сдвигаем график вниз на одну единицу и получаем график функции у = 2 sinx – 1.

Множество значений функции .

График функции у= 2 sin х-1 изменяется относительно прямой у = -1 на 2 единицы вверх и вниз. Эта линия называется средней линией.

максимум = средняя линия + амплитуда

минимум = средняя линия – амплитуда

Пример. Постройте график функции .

1)График функции получается из графика функции

у = cos х сжатием к оси ординат в 2 раза.

2) Смещая график функции у = cos 2х влево на единицы получаем график функции , т.е. .

3) Растянем график функции вдоль оси ординат в 3 раза и получим график функции.

4) Сместим график функции по вертикали на 1 единицу вверх и получим график функции .

Построение синусоиды по пяти основным точкам

Преобразование при помощи движения и подобия сохраняет “форму” кривой. Поэтому не только график синуса, но в тоже время и кривая, полученная растяжением (сжатием) и последовательными смещениями, называется синусоидой. Свойства функций, заданных в виде и аналогичны свойствам функций синуса и косинуса, что помогает при их исследовании. В начале необходимо найти их период и точки, в которых значения функции равны 0 или ± а. График функции иможно легко построить по значениям пяти важных точек в промежутке по следующему алгоритму.

Определяем амплитуду графика.
Определяем основной период графика
Разбиваем отрезок [0; Т] на 4 равных части: .
Пять важных точек – точки пересечения с осью х, точки максимума и минимума. Для вышеупомянутых точек х находятся значения у.
Координаты 5-ти точек (х; у) отмечаются на координатной плоскости.
Эти точки соединяются. Полученная синусоидальная кривая является графиком для одного периода. Повторяя построенный график, можно получить график заданной функции на любом отрезке.

Пример 1. Постройте график функции по пяти основным точками.

Решение: амплитуда:

Основной период:

Отрезок, соответствующий одному периоду по оси х разделим на четыре равных части. Для целого периода равна . Начиная от точки , через каждые отметим справа последовательно точки через периода, через периода, через периода и, наконец,

через целый период.

Вычислим значения функции в указанных точках.

Отметим координаты этих точек на координатной плоскости, и соединим сплошной линией. Данный график является графиком функции на отрезке . Если параллельно перенести данный график вдоль оси абсцисс на то получим график функции на всей числовой оси (показано пунктиром).

Пример 2. Постройте график функции .

Решение. Амплитуда: . Значения у меняются от -2 до 2.

Основной период: .

Разделим отрезок (один период ) на 4 равные части. Найдём значения х и соответствующие значения функции. Построим график.

Пример 3. Для нахождения начальной и конечной точек периода функции надо решить неравенство

Здесь начальная точка — показывает и фазу тоже.

Разделив отрезок на 4 равные части необходимо определить пять основных точек. Значения х в этих пяти точках будут .

В этих точках х для функции получаем точки и строим график. Для функции имеем: амплитуда:

Тригонометрические функции и периодические события

В природе и в жизни мы достаточно часто сталкиваемся с периодическими процессами – вращение Земли, изменение времен года, дыхание, сердечный ритм сердца человека и т.д.. Также периодическими являются очень многие физические явления. Например, при исследовании колебания электрических и оптических волн используют периодические функции. Самые простые колебания называются гармоническими колебаниями и записываются в виде .

Пример 1. Биология. В биологии прогнозирование численности зверей и птиц моделируют с помощью периодических функций. Учёные исследуют численность сов и мышей в одном регионе. В результате моделируется функция численности особей (по месяцам).

Для сов эта функция записывается так: ,

для мышей так: .

По информации, представленной на графике, можно сделать выводы

о численности сов и мышей, которые являются нищей для сов.

а)Постройте графики каждой функции.

б)Какой вывод можно сделать об изменении численности сов и мышей?

в)Исследуйте отношение численности сов и мышей в зависимости от времени.

Решение:

а)

Для сов имеем: максимум функции 1100, минимум 900.

Амплитуда: 100. Сдвиг по вертикали: d = 1000 (начальное значение). Средняя линия = 1000. Период:, тогда

Т.е., основной период функции 24 месяца.

Для мышей имеем: максимум функции 24 000, минимум 16 000.

Амплитуда : 4000. Сдвиг по вертикали: d = 20000 (начальное значение). Средняя линия = 20000. Период:, , тогда .

То есть, основной период данной функции, также 24 месяца.

б) Если графики построены в одном масштабе, то их можно сравнить. Так как мыши являются пищей для сов, то при увеличении сов, численность мышей уменьшается и стремиться к минимальному значению. При уменьшении сов численность мышеи увеличивается и достигает наибольшего значения в то время, когда количество сов достигает минимума

в) В таблице показано отношение количества сов и мышей за каждые 6 месяцев.

Это отношение должно изменяться в определённой закономерности. Для того, чтобы увидеть эту закономерность, построим функцию соответствующую отношению при помощи граф калькулятора. Функцию введём в граф калькулятор как , а функцию как и построим график функции . Увидим, что в этом случае отношение двух периодических функций является

периодической функцией.

Графики функций y=tg x и y=ctg x

Графики функций .

Исследование. Изменение тангенса угла.

1) На листе в клетку изобразите координатную плоскость и единичную окружность, с центром в начале координат. К окружности проведите касательную в точке (1;0).

2)Обозначим через К точку пересечения конечной стороны угла поворота с касательной. Из . Значение , для острого угла поворота равно длине отрезка АК.

3)В какой точке пересекает конечная сторона угла 45° касательную?

4)При помощи транспортира изобразите ещё несколько разных углов и и найдите ординаты точек пересечения с касательной.

5)Как изменяется ордината точки К, при стремлении угла к 90″? Пересекается ли касательная с конечной стороной угла поворота при = 90°?

6)Известно, что для периодической функции с периодом Т достаточно изучить функцию на одном интервале длиной Т.

На каком интервале для целесообразно изучение функции?

7) не определён для = 90° и = -90°. В интервале (-90°; 90°) функция определена.

Заполните таблицу и постройте график функции тангенса.

8) Постройте график функции при помощи граф калькулятора.

Функция y = tg х

Функция х.

Значения тангенса для угла равно угловому коэффициенту прямой, проходящей через начало координат и точки с координатами (cos ; sin ), расположенной на единичной окружности. Как видно по рисунку, длина отрезка касательной AQ равна ординате точки Q. Координаты точки Q равны . Прямая AQ называется прямой тангенсов.

При график функции проходит через начало координат.

Если х, оставаясь меньше , стремит к нему, то значения увеличиваются и приближаются к . Прямые , так же как и

являются вертикальными асимптотами графика .

Разобьём I четверть единичной окружности и отрезок на 4 равные части. На линии тангенсов построим отрезки, равные значению соответствующих углов. На оси Ох отметим точки, соответствующие данным углам, и восстановим к каждой из них перпендикуляр. Через эти точки, параллельно оси Ох, проведём параллельные прямые. Полученную последовательность точек соединим сплошной линией.Получим график функции в промежутке . Учитывая, что , преобразуем полученный график симметрично относительно начала координат, получим график функции на интервале

Зная, что период функции равен , построенный график продолжим на вправо и влево. Получим график, который называется тангенсоида.

Основные свойства

График функции не является непрерывным, прерывается при х равных и кратных в нечетное количество раз

Функция не имеет максимумов и минимумов.

Область значений функции множество всех действительных чисел.

Основной период функции равен .

График функции пересекает ось х в точках

Функция не определена в точках . Пунктирные линии, проходящие через эти точки являются вертикальными асимптотами.

Область определения функций .

Функция возрастает между двумя соседними асимптотами.

Функция нечетная:

Функция y=ctg x

Функция :

Для построения графика функции – воспользуемся

тождеством

1)Переместим график функции влево вдоль оси абсцисс на

2)Отобразим полученную кривую симметрично относительно оси абсцисс.

При значения тангенса равны нулю, функция котангенса при данных значениях х не определена:

Как видно по графику, точки пересечения с осью х (нули) и асимптоты функций тангенса и котангенса меняются местами.

Основные свойства

График функции y= a tg bx

График функции .

Для построения графика функции , где а и b отличные от нуля различные числа, нужно определить следующее:

1.Период:Например, период функции равен:

2.Вертикальные асимптоты:

Асимптотами функции являются прямые:

3. Определяется средняя точка отрезка между точкой пересечения оси х с асимптотой. Соответствующие значения у равны или а, или -а.

Пример 1. Построим график функции .

Решение. период:

Точка пересечения с осью абсцисс: (0; 0) Самая близкая асимптота от начала координат: то есть и то есть

Средние точки: и на графике им соответствуют точки .

Пример 2.

Постройте график функции на одном периоде

Решение: Для функции значения х на одном периоде меняется в интервале. Соответствующий промежуток для функции для одного периода можно найти решив неравенство:

Асимптоты проходят через точки. Учитывая точки и построим схематично график функции.

Обратные тригонометрические функции

Точек, в которых синусоида пересекает прямую, параллельную оси абсцисс, бесконечно много. Значит, на всей числовой оси для

функции нет обратной функции.

Однако, на отрезке возрастает и от -1 до 1 принимает все значения, а также каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции. Значит, на отрезке функция sin х обратима и при уравнение на отрезке имеет единственный корень.

Угол, из промежутка синус которого равен а, называется арксинусом числа а и записывается как arcsin а. Равенство х = arcsin а эквивалентно двум условиям: 1) 2)

Примеры: так как и

так как и

Из определения имеем: .

Можно показать, что

При помощи арксинуса можно задать функцию , с областью определения [-1; 1] и множеством значений .

Функция также записывается как

График функции получается симметричным преобразованием графика функции на промежутке относительно прямой . Областью определения функции [- 1; 1], область значений .

Аналогично получаем, что на всей числовой оси не существует функции, обратной для . Однако на отрезке функция убывает и принимает все значения из отрезка [-1; 1]. То есть, на отрезке функция обратима и при уравнение имеет единственный корень на .

Угол, из промежутка косинус которого равен а, называется арккосинусом числа а и записывается как arccos а.

Равенство эквивалентно двум условиям: 1)

Примеры. , так как и

так как и

По определению:

Можно показать, что . Функция , определённая на отрезке [-1; 1] является обратной для функции , определённой на отрезке.

может быть записана как . График функции получается симметричным преобразованием графика функции на промежутке относительно прямой у = х. Область определения функции промежуток [- 1; 1], множество значений промежуток .

Функция возрастает на промежутке и на промежутке принимает все значения. Поэтому для любого числа а уравнение на промежутке имеет один корень.

Угол, из промежутка , тангенс которого равен а, называется арктангенсом числа а и записывается как arctg а.

Равенство эквивалентно двум условиям:

1) 2)

Примеры: , так как и .

так как . По определению: Можно показать, что

Функция является обратной для функции на промежутке .

График функции получается симметричным преобразованием графика функции на промежутке относительно прямой у = х.

Прямые и являются горизонтальными асимптотами функции .

По такому же правилу, вводится понятие арккотангенса.

Угол, из промежутка , котангенс которого равен а, называется арккотангенсом числа а и записывается как arcctg а.

Равенство эквивалентно двум условиям:

1) 2)

Примеры: так как и ,так как .

По определению:

Можно показать, что .

Функция является обратной для на промежутке

График функции получается симметричным преобразованием графика функции на промежутке относительно прямой у = х. Ось абсцисс и прямая являются горизонтальными асимптотами функции .

Функция может быть записана как , а функция может быть записана как .

На калькуляторе не предусмотрены кнопки , так как эти функции можно выразить через функции. Например, означает, и эту функцию можно выразить через косинус

Отсюда:

Значит, для вычисления надо вычислить . Внимание!

Пример. Найдите значение выражения .

Пусть . Тогда,

Простое Решение

Как найти период тригонометрической функции тангенс — Сайт, где вы сможете решить свои вопросы