Как найти период упругих колебаний

1

Формулы пружинного маятника в физике

Формулы пружинного маятника

Определение и формулы пружинного маятника

Допустим, что масса груза равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Масса пружины в таком маятнике обычно не учитывается. Если рассматривать вертикальные движения груза (рис.1), то он движется под действием силы тяжести и силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе.

Уравнения колебаний пружинного маятника

Пружинный маятник, совершающий свободные колебания является примером гармонического осциллятора. Допустим, что маятник совершает колебания вдоль оси X. Если колебания малые, выполняется закон Гука, то уравнение движения груза имеет вид:

[ddot{x}+{omega }^2_0x=0left(1right),]

где ${щu}^2_0=frac{k}{m}$ – циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (1) является функция:

[x=A{cos left({omega }_0t+varphi right)=A{sin left({omega }_0t+{varphi }_1right) } }left(2right),]

где ${omega }_0=sqrt{frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ – амплитуда колебаний; ${(omega }_0t+varphi )$ – фаза колебаний; $varphi $ и ${varphi }_1$ – начальные фазы колебаний.

В экспоненциальном виде колебания пружинного маятника можно записать как:

[Re tilde{x}=Releft(Acdot exp left(ileft({omega }_0t+varphi right)right)right)left(3right).]

Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника

Если в упругих колебаниях выполняется закон Гука, то период колебаний пружинного маятника вычисляют при помощи формулы:

[T=2pi sqrt{frac{m}{k}}left(4right).]

Так как частота колебаний ($nu $) – величина обратная к периоду, то:

[nu =frac{1}{T}=frac{1}{2pi }sqrt{frac{k}{m}}left(5right).]

Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника

Зная уравнение колебаний пружинного маятника (1 или 2) и начальные условия можно полностью описать гармонические колебания пружинного маятника. Начальные условия определяют амплитуда ($A$) и начальная фаза колебаний ($varphi $).

Амплитуду можно найти как:

[A=sqrt{x^2_0+frac{v^2_0}{{omega }^2_0}}left(6right),]

начальная фаза при этом:

[tg varphi =-frac{v_0}{x_0{omega }_0}left(7right),]

где $v_0$ – скорость груза при $t=0 c$, когда координата груза равна $x_0$.

Энергия колебаний пружинного маятника

При одномерном движении пружинного маятника между двумя точками его движения существует только один путь, следовательно, выполняется условие потенциальности силы (любую силу можно считать потенциальной, если она зависит только от координат). Так как силы, действующие на пружинный маятник потенциальны, то можно говорить о потенциальной энергии.

Пусть пружинный маятник совершает колебания в горизонтальной плоскости (рис.2). За ноль потенциальной энергии маятника примем положение его равновесия, где поместим начало координат. Силы трения не учитываем. Используя формулу, связывающую потенциальную силу и потенциальную энергию для одномерного случая:

[E_p=-frac{dF}{dx}(8)]

учитывая, что для пружинного маятника $F=-kx$,

тогда потенциальная энергия ($E_p$) пружинного маятника равна:

[E_p=frac{kx^2}{2}=frac{m{{omega }_0}^2x^2}{2}left(9right).]

Закон сохранения энергии для пружинного маятника запишем как:

[frac{m{dot{x}}^2}{2}+frac{m{{omega }_0}^2x^2}{2}=const left(10right),]

где $dot{x}=v$ – скорость движения груза; $E_k=frac{m{dot{x}}^2}{2}$ – кинетическая энергия маятника.

Из формулы (10) можно сделать следующие выводы:

• Максимальная кинетическая энергия маятника равна его максимальной потенциальной энергии.
• Средняя кинетическая энергия по времени осциллятора равна его средней по времени потенциальной энергии.

Примеры задач с решением

Читать дальше: формулы равноускоренного прямолинейного движения.

Для школьников.

Упругие колебания – такие колебания, когда колеблющаяся система стремится вернуться в состояние устойчивого равновесия под действием возникшей в ней силы упругости.

Например, упругие колебания возникают в пружинном маятнике, представляющем собой тело, подвешенное на пружине.

На рис. а) показано как упругая сила пружины уравновешивает силу тяжести подвешенного тела.

Если пружину оттянуть на расстояние х, то на тело будет действовать большая упругая сила, равная сумме двух сил упругости.

Изменение упругой силы пропорционально смещению х

При отпускании пружины тело станет совершать колебательные движения около точки О.

Сила упругости, вызвавшая колебание, всегда направлена к положению равновесия (в сторону противоположную смещению) – её называют возвращающей силой.

По второму закону Ньютона, эта сила вызывает ускорение тела

Пружинный маятник под действием силы упругости будет совершать гармонические колебания с собственной циклической частотой

Период этих колебаний

При гармонических упругих колебаниях дважды за период происходит переход кинетической энергии груза в потенциальную энергию упругой деформации пружины, и обратно.

Упругие колебания имеют место в любом твёрдом теле, в любой конструкции и характеризуются собственной частотой.

Важным случаем упругих колебаний являются крутильные колебания, при которых тело поворачивается вокруг оси, проходящей через его центр масс.

На рисунке ниже показаны крутильные колебания диска, подвешенного на проволоке.

Если диск повернуть так, чтобы проволока закрутилась, и отпустить, то диск начнёт раскручиваться, затем закручиваться в обратную сторону и т.д., то есть будет совершать крутильные колебания.

При этом два раза за период будет происходить переход кинетической энергии движущегося диска в потенциальную энергию упругой деформации закручивающейся проволоки, и обратно.

Крутильные колебания могут иметь место, например, в валах двигателей и приносить вред при условиях резонанса (о резонансе будет говориться позднее).

Крутильные маятники применяются, например, в ручных механических часах, где нельзя использовать подвесной маятник. Крутильный маятник в ручных часах называют балансиром.

Балансир – это колёсико, к оси которого прикреплена спиральная пружинка. При повороте балансира пружинка закручивается и раскручивается.

Период крутильных колебаний тем больше, чем больше масса колеблющейся системы.

Но при крутильных колебаниях важна не только масса колеблющейся системы, а и её распределение относительно оси вращения. Это можно продемонстрировать на опыте крутильных колебаний гантели.

Опыт показывает, что при раздвигании грузов 1 и 2 частота колебаний уменьшается.

Период крутильных колебаний находится по формуле:

где к – жёсткость колеблющейся системы, а I – её момент инерции.

Момент инерции – это мера инерции при вращательном движении.

Момент инерции характеризуется распределением масс внутри системы.

Для одного груза, который можно принять за материальную точку, момент инерции равен произведению массы груза на квадрат его расстояния до оси вращения:

Для двух грузов (для гантели) момент инерции будет в 2 раза больше.

Задача. Когда груз неподвижно висел на пружине, пружина была растянута на х = 5см. Затем груз оттянули и отпустили. Найти период колебаний груза.

Решение. Период колебаний пружинного маятника находится по формуле:

Когда груз неподвижно висел на пружине, то его сила тяжести уравновешивалась силой упругости пружины

Выразив отсюда коэффициент упругости и подставив его в формулу периода, получим

Ответ: период колебаний груза равен 0,45 с.

Задача

К.В. Рулёва, к. ф.-м. н., доцент. Подписывайтесь на канал. Ставьте лайки. Пишите комментарии. Спасибо.

Предыдущая запись: Нахождение периода колебаний математического маятника.

Следующая запись: Разные задачи на гармонические колебания.

Ссылки на занятия до электростатики даны в Занятии 1 .

Ссылки на занятия (статьи), начиная с электростатики, даны в конце Занятия 45 .

Ссылки на занятия (статьи), начиная с теплового действия тока, даны в конце Занятия 5 8.

Ссылки на занятия, начиная с переменного тока, даны в конце Занятия 70 .

Пружинный маятник – колебательная система, которая состоит из тела, подвешенного к пружине. Эта система способна к совершению свободных колебаний.

Подобные системы довольно широко распространены за счет своей функциональной гибкости. Механизмы на основе таких маятников часто используются как элементы средств автоматики. 

В том числе они нашли применение в контактных взрывателях различных боеприпасов, в качестве акселерометров в контурах управления ракет. Так же они активно используются в предохранительных клапанах, устанавливаемых в трубопроводах.

Что такое пружинный маятник

Пружинным маятником в физике называют систему, совершающую колебательные движения под действием силы упругости. 

Приняты следующие обозначения:

• m – масса тела;

• k – коэффициент жесткости пружины.

Общий вид маятника:

Особенностями пружинных маятников являются:

1. Сочетание тела и пружины. Массой пружины обычно в расчетах пренебрегают. Роль тела могут играть различные объекты. На них оказывают действие внешние силы. Груз может крепиться разными способами. Витки пружины, которыми она начинается и заканчивается, изготавливают с учетом повышенной нагрузки;

2. У любой пружины есть исходное положение, предел сжатия и растяжения. При максимальном сжатии зазора между витками нет. Когда она максимально растянута, возникает необратимая деформация;

3. Полная механическая энергия появляется с началом процесса обратимого деформирования. В этот момент на объект не оказывает действие сила упругости;

4. Колебательные движения происходят под влиянием силы упругости. Масштаб влияния определяется несколькими причинами (тип сплава, расположение витков и т. д.). Так как может происходить и сжатие и растяжение, можно сделать вывод, что сила упругости действует в двух противоположных направлениях;

5. От массы тела, величины и направления прикладываемой силы зависит скорость в плоскости его перемещения. Например, если подвесить груз к пружине и, растянув её, отпустить, то груз будет перемещаться в двух плоскостях: вертикально и горизонтально.

Виды пружинных маятников

Существует два типа данной системы:

1. Вертикальный маятник – на тело довольно сильно влияет сила тяжести. Это влияние обуславливает увеличение инерционных движений, которые совершает тело в исходной точке.

2. Горизонтальный – в таком варианте при движении на груз начинает действовать сила трения, возникающая по причине того, что груз лежит на поверхности.

Сила упругости в пружинном маятнике

До начала деформирования пружина находится в равновесном состоянии. Прикладываемое усилие может как растягивать, так и сжимать её. 

Применяя к пружинному маятнику закон сохранения энергии, мы можем рассчитать силу упругости в нем. Упругость прямо пропорциональна расстоянию, на которое сместился груз.

Расчёт силы упругости может быть проведен таким образом:

F_упр = – k*x

где k — коэффициент жесткости пружины (Нм),

x – смещение (м).

Уравнения колебаний пружинного маятника

Свободные колебания пружинного маятника описываются с помощью гармонического закона. 

Если допустить вероятность того, что колебания идут вдоль оси Х, и при этом выполняется закон Гука, то уравнение примет вид:

F(t) = ma(t) = – mw2x(t),

где w – радиальная частота гармонического колебания.

Для проведения расчета колебаний, учитывая все вероятности, применяют следующие формулы:

Период и частота свободных колебаний пружинного маятника

При разработке проектов всегда определяется период колебаний и их частота. Для их измерения используются известные в физике формулы.

Изменение циклической частоты покажет формула, приведенная на рисунке:

Факторы, от которых зависит частота:

1. Коэффициент упругости. На этот коэффициент влияет количество витков, их диаметр, расстояние между ними, длина пружины, жесткость используемого сплава и т. д.

2. Масса груза. От этого фактора зависит возникающая инерция и скорость перемещения.

Амплитуда и начальная фаза пружинного маятника

Учитывая начальные условия и рассчитав уравнение колебаний, можем точно описать колебания пружинного маятника. 

В качестве начальных условий используются: амплитуда (А) и начальная фаза колебаний (ϕ).

Энергия пружинного маятника

При рассмотрении колебания тел учитывают, что груз движется прямолинейно. Полная механическая энергия тела в каждой точке траектории является константой и равняется сумме его потенциальной энергии и кинетической энергии.

Потенциальная энергия:

Кинетическая энергия:

Полная энергия:

Расчет имеет особенности. При его проведении нужно учитывать несколько условий:

1. Колебания проходят в двух плоскостях: вертикальной и горизонтальной.

2. В качестве равновесного положения выбирается ноль потенциальной энергии. Находясь в этом положении пружина сохраняет свою форму.

3. Влияние силы трения при расчете не учитывают.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний пружинного маятника 

Отметим, что пружинный маятник — это обобщенное определение. Скорость движения груза (тела) напрямую зависит от комплекса условий, в том числе приложенного к нему усилия.

У маятника возвращающая сила обязана своим возникновением силе тяжести. Но для колебаний существенно только само наличие возвращающей силы, т. е. такой силы, которая всегда направлена к положению равновесия и, вообще говоря, увеличивается с удалением от этого положения. Такого рода силы возникают также при деформации твердых тел и представляют собой упругие силы (см. том I, § 58). Следовательно, эти упругие силы тоже могут вызывать колебания. По происхождению возвращающей силы такие колебания называются упругими. Выше мы уже приводили ряд примеров.

Колебания тела, подвешенного на пружине (такое устройство часто называют пружинным маятником), вагона на рессорах, пластинки, зажатой в тиски, колебания камертона, натянутой струны, моста, фундамента, фабричной трубы или высокого здания — все это упругие колебания. В соответствии с иным происхождением возвращающей силы потенциальная энергия упругих колебаний есть энергия деформации упругого тела, а не потенциальная энергия силы тяжести, как у маятника. В остальном динамика упругих колебаний та же, что и у маятника. И здесь мы имеем дважды за период переход кинетической энергии в потенциальную {энергию деформации) и обратно.

Особенно просто проследить все стадии этого процесса, наблюдая тело, например шарик, колеблющееся на пружинах. В этом случае можно считать, что энергия деформации имеется только у пружин, а не у шарика, деформацией которого можно пренебречь. Если же масса тела велика по сравнению с массой пружин, то можно считать, что кинетическая энергия имеется только у тела, а не у пружин, массой которых мы пренебрегаем. Таким образом, переход энергии из кинетической в потенциальную и обратно является вместе с тем переходом энергии от тела к пружинам и обратно.

Рис. 17. Колебания тела на пружинах

На рис. 17 показаны четыре положения такой колебательной системы, взятые через каждую четверть периода. В положении 1 тело наиболее сильно отклонено вправо, одна пружина сжата, другая растянута, скорость и кинетическая энергия равны нулю, вся энергия потенциальная. В положении 2 пружины не деформированы, тело с наибольшей скоростью проходит через положение равновесия, вся энергия кинетическая. В положении 3 происходит то же, что и в положении 1. В положении 4 отличие от положения 2 только в направлении скорости.

Взяв при тех же пружинах тело с большей массой, легко убедиться, что частота колебаний уменьшится. С помощью секундомера можно убедиться в том, что четырехкратное увеличение массы тела удлиняет период колебаний (т. е. уменьшает их частоту) в два раза. При массе, увеличенной в девять раз, период увеличится в три раза. Период упругих колебаний пропорционален квадратному корню из массы тела. Этот результат будет получаться на опыте тем точнее, чем лучше выполнены описанные условия, когда можно считать массу сосредоточенной в одной точке (центре тяжести тела) и не принимать во внимание массу пружин. Однако во всех случаях увеличение массы упругой колебательной системы влечет за собой замедление колебаний, увеличение их периода.

Проделаем теперь опыт, оставив тело прежней массы, но заменив пружину более жесткой. Мы тотчас же увидим, что период колебаний уменьшился. Таким образом, период упругих колебаний тем меньше, чем больше жесткость пружины, т.е. чем меньше упругость системы.

Исследование упругих колебаний груза на пружине показывают, что при не слишком больших амплитудах эти колебания являются гармоническими, причем период их выражается формулой математического маятника:

.

Здесь

 – масса колеблющегося груза,

 – жесткость пружины, т.е. сила, необходимаядля растяжения пружины на единицу длины.