Чтобы определить характер функции и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.
Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.
Возрастание и убывание функции на интервале
Функция y=f(x) будет возрастать на интервале x, когда при любых x1∈X и x2∈X , x2>x1неравенство f(x2)>f(x1) будет выполнимо. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Функция y=f(x) считается убывающей на интервале x, когда при любых x1∈X, x2∈X, x2>x1 равенство f(x2)>f(x1) считается выполнимым. Иначе говоря, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Замечание: Когда функция определенная и непрерывная в концах интервала возрастания и убывания, то есть (a;b), где х=а, х=b, точки включены в промежуток возрастания и убывания. Определению это не противоречит, значит, имеет место быть на промежутке x.
Основные свойства элементарных функций типа y=sinx – определенность и непрерывность при действительных значениях аргументах. Отсюда получаем, что возрастание синуса происходит на интервале -π2; π2, тогда возрастание на отрезке имеет вид -π2; π2.
Точки экстремума, экстремумы функции
Точка х0 называется точкой максимума для функции y=f(x), когда для всех значений x неравенство f(x0)≥f(x) является справедливым. Максимум функции – это значение функции в точке, причем обозначается ymax.
Точка х0 называется точкой минимума для функции y=f(x), когда для всех значений x неравенство f(x0)≤f(x) является справедливым. Минимум функции – это значение функции в точке, причем имеет обозначение вида ymin.
Окрестностями точки х0 считаются точки экстремума, а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Первый рисунок говорит о том, что необходимо найти наибольшее значение функции из отрезка [a;b]. Оно находится при помощи точек максимума и равняется максимальному значению функции, а второй рисунок больше походит на поиск точки максимума при х=b.
Достаточные условия возрастания и убывания функции
Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.
Первое достаточное условие экстремума
Пусть задана функция y=f(x), которая дифференцируема в ε окрестности точки x0, причем имеет непрерывность в заданной точке x0. Отсюда получаем, что
- когда f'(x)>0 с x∈(x0-ε; x0) и f'(x)<0 при x∈(x0; x0+ε), тогда x0 является точкой максимума;
- когда f'(x)<0 с x∈(x0-ε; x0) и f'(x)>0 при x∈(x0; x0+ε), тогда x0 является точкой минимума.
Иначе говоря, получим их условия постановки знака:
- когда функция непрерывна в точке x0, тогда имеет производную с меняющимся знаком, то есть с + на -, значит, точка называется максимумом;
- когда функция непрерывна в точке x0, тогда имеет производную с меняющимся знаком с – на +, значит, точка называется минимумом.
Алгоритм для нахождения точек экстремума
Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:
- найти область определения;
- найти производную функции на этой области;
- определить нули и точки, где функция не существует;
- определение знака производной на интервалах;
- выбрать точки, где функция меняет знак.
Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.
Найти точки максимума и минимума заданной функции y=2(x+1)2x-2.
Решение
Область определения данной функции – это все действительные числа кроме х=2. Для начала найдем производную функции и получим:
y’=2x+12x-2’=2·x+12’·(x-2)-(x+1)2·(x-2)'(x-2)2==2·2·(x+1)·(x+1)’·(x-2)-(x+1)2·1(x-2)2=2·2·(x+1)·(x-2)-(x+2)2(x-2)2==2·(x+1)·(x-5)(x-2)2
Отсюда видим, что нули функции – это х=-1, х=5, х=2, то есть каждую скобку необходимо приравнять к нулю. Отметим на числовой оси и получим:
Теперь определим знаки производной из каждого интервала. Необходимо выбрать точку, входящую в интервал, подставить в выражение. Например, точки х=-2, х=0, х=3, х=6.
Получаем, что
y'(-2)=2·(x+1)·(x-5)(x-2)2x=-2=2·(-2+1)·(-2-5)(-2-2)2=2·716=78>0, значит, интервал -∞; -1 имеет положительную производную. Аналогичным образом получаем, что
y'(0)=2·(0+1)·0-50-22=2·-54=-52<0y'(3)=2·(3+1)·(3-5)(3-2)2=2·-81=-16<0y'(6)=2·(6+1)·(6-5)(6-2)2=2·716=78>0
Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.
Получим, что в точке х=-1 функция будет непрерывна, значит, производная изменит знак с + на -. По первому признаку имеем, что х=-1 является точкой максимума, значит получаем
ymax=y(-1)=2·(x+1)2x-2x=-1=2·(-1+1)2-1-2=0
Точка х=5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид
ymin=y(5)=2·(x+1)2x-2x=5=2·(5+1)25-2=24
Графическое изображение
Ответ: ymax=y(-1)=0, ymin=y(5)=24.
Стоит обратить внимание на то, что использование первого достаточного признака экстремума не требует дифференцируемости функции с точке x0, этим и упрощает вычисление.
Найти точки максимума и минимума функции y=16×3=2×2+223x-8.
Решение.
Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:
-16×3-2×2-223x-8, x<016×3-2×2+223x-8, x≥0
После чего необходимо найти производную:
y’=16×3-2×2-223x-8′, x<016×3-2×2+223x-8′, x>0y’=-12×2-4x-223, x<012×2-4x+223, x>0
Точка х=0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:
lim y’x→0-0=lim yx→0-0-12×2-4x-223=-12·(0-0)2-4·(0-0)-223=-223lim y’x→0+0=lim yx→0-012×2-4x+223=12·(0+0)2-4·(0+0)+223=+223
Отсюда следует, что функция непрерывна в точке х=0, тогда вычисляем
lim yx→0-0=limx→0-0-16×3-2×2-223x-8==-16·(0-0)3-2·(0-0)2-223·(0-0)-8=-8lim yx→0+0=limx→0-016×3-2×2+223x-8==16·(0+0)3-2·(0+0)2+223·(0+0)-8=-8y(0)=16×3-2×2+223x-8x=0=16·03-2·02+223·0-8=-8
Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:
-12×2-4x-223, x<0D=(-4)2-4·-12·-223=43×1=4+432·-12=-4-233<0x2=4-432·-12=-4+233<0
12×2-4x+223, x>0D=(-4)2-4·12·223=43×3=4+432·12=4+233>0x4=4-432·12=4-233>0
Все полученные точки нужно отметить на прямой для определения знака каждого интервала. Поэтому необходимо вычислить производную в произвольных точках у каждого интервала. Например, у нас можно взять точки со значениями x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6. Получим, что
y'(-6)=-12×2-4x-223x=-6=-12·-62-4·(-6)-223=-43<0y'(-4)=-12×2-4x-223x=-4=-12·(-4)2-4·(-4)-223=23>0y'(-1)=-12×2-4x-223x=-1=-12·(-1)2-4·(-1)-223=236<0y'(1)=12×2-4x+223x=1=12·12-4·1+223=236>0y'(4)=12×2-4x+223x=4=12·42-4·4+223=-23<0y'(6)=12×2-4x+223x=6=12·62-4·6+223=43>0
Изображение на прямой имеет вид
Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что
x=-4-233, x=0, x=4+233, тогда отсюда точки максимума имеют значениx=-4+233, x=4-233
Перейдем к вычислению минимумов:
ymin=y-4-233=16×3-22+223x-8x=-4-233=-8273ymin=y(0)=16×3-22+223x-8x=0=-8ymin=y4+233=16×3-22+223x-8x=4+233=-8273
Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что
ymax=y-4+233=16×3-22+223x-8x=-4+233=8273ymax=y4-233=16×3-22+223x-8x=4-233=8273
Графическое изображение
Ответ:
ymin=y-4-233=-8273ymin=y(0)=-8ymin=y4+233=-8273ymax=y-4+233=8273ymax=y4-233=8273
Второй признак экстремума функции
Если задана функция f'(x0)=0, тогда при ее f”(x0)>0 получаем, что x0 является точкой минимума, если f”(x0)<0, то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x0.
Найти максимумы и минимумы функции y=8xx+1.
Решение
Для начала находим область определения. Получаем, что
D(y): x≥0x≠-1⇔x≥0
Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим
y’=8xx+1’=8·x’·(x+1)-x·(x+1)'(x+1)2==8·12x·(x+1)-x·1(x+1)2=4·x+1-2x(x+1)2·x=4·-x+1(x+1)2·x
При х=1 производная становится равной нулю, значит, точка является возможным экстремумом. Для уточнения необходимо найти вторую производную и вычислить значение при х=1. Получаем:
y”=4·-x+1(x+1)2·x’==4·(-x+1)’·(x+1)2·x-(-x+1)·x+12·x'(x+1)4·x==4·(-1)·(x+1)2·x-(-x+1)·x+12’·x+(x+1)2·x'(x+1)4·x==4·-(x+1)2x-(-x+1)·2x+1(x+1)’x+(x+1)22x(x+1)4·x==-(x+1)2x-(-x+1)·x+1·2x+x+12x(x+1)4·x==2·3×2-6x-1x+13·x3⇒y”(1)=2·3·12-6·1-1(1+1)3·(1)3=2·-48=-1<0
Значит, использовав 2 достаточное условие экстремума, получаем, что х=1 является точкой максимума. Иначе запись имеет вид ymax=y(1)=811+1=4.
Графическое изображение
Ответ: ymax=y(1)=4..
Третье достаточное условие экстремума
Функция y=f(x) имеет ее производную до n-го порядка в ε окрестности заданной точки x0 и производную до n+1-го порядка в точке x0. Тогда f'(x0)=f”(x0)=f”'(x0)=…=fn(x0)=0.
Отсюда следует, что когда n является четным числом, то x0 считается точкой перегиба, когда n является нечетным числом, то x0 точка экстремума, причем f(n+1)(x0)>0, тогда x0 является точкой минимума, f(n+1)(x0)<0, тогда x0 является точкой максимума.
Найти точки максимума и минимума функции yy=116(x+1)3(x-3)4.
Решение
Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что
y’=116x+13′(x-3)4+(x+1)3x-34’==116(3(x+1)2(x-3)4+(x+1)34(x-3)3)==116(x+1)2(x-3)3(3x-9+4x+4)=116(x+1)2(x-3)3(7x-5)
Данная производная обратится в ноль при x1=-1, x2=57, x3=3. То есть точки могут быть точками возможного экстремума. Необходимо применить третье достаточное условие экстремума. Нахождение второй производной позволяет в точности определить наличие максимума и минимума функции. Вычисление второй производной производится в точках ее возможного экстремума. Получаем, что
y”=116x+12(x-3)3(7x-5)’=18(x+1)(x-3)2(21×2-30x-3)y”(-1)=0y”57=-368642401<0y”(3)=0
Значит, что x2=57 является точкой максимума. Применив 3 достаточный признак, получаем, что при n=1 и f(n+1)57<0.
Необходимо определить характер точек x1=-1, x3=3. Для этого необходимо найти третью производную, вычислить значения в этих точках. Получаем, что
y”’=18(x+1)(x-3)2(21×2-30x-3)’==18(x-3)(105×3-225×2-45x+93)y”'(-1)=96≠0y”'(3)=0
Значит, x1=-1 является точкой перегиба функции, так как при n=2 и f(n+1)(-1)≠0. Необходимо исследовать точку x3=3. Для этого находим 4 производную и производим вычисления в этой точке:
y(4)=18(x-3)(105×3-225×2-45x+93)’==12(105×3-405×2+315x+57)y(4)(3)=96>0
Из выше решенного делаем вывод, что x3=3 является точкой минимума функции.
Графическое изображение
Ответ: x2=57 является точкой максимума, x3=3 – точкой минимума заданной функции.
Интервалы возрастания и убывания функции
С помощью данного сервиса можно найти интервалы возрастания и убывания функции в онлайн режиме с оформлением решения в Word.
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
Исследование функции с помощью производной
Определение: Точка х0 называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: f(x0)>f(x).
Определение: Точка х0 называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: f(x0)<f(x).
Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.
Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная f′(x) обращается в нуль или терпит разрыв.
Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью первой производной
- Найти производную функции f′(x).
- Найти критические точки по первой производной, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.
- Исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если на промежутке f′(x)<0, то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке f′(x)>0, то на этом промежутке функция возрастает.
- Если в окрестности критической точки f′(x) меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с «-» на «+», то точкой минимума.
- Вычислить значения функции в точках минимума и максимума.
С помощью приведенного алгоритма можно найти не только экстремумы функции, но и промежутки возрастания и убывания функции.
Пример №1: Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: f(x)=x3–3x2.
Решение: Найдем первую производную функции f′(x)=3x2–6x.
Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение 3x2–6x=0; 3x(x-2)=0 ;x = 0, x = 2
Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.
| x | (-∞, 0) | 0 | (0, 2) | 2 | (2, +∞) |
| f′(x) | + | 0 | – | 0 | + |
| f(x) | возрастает | max | убывает | min | возрастает |
f(0) = 03 – 3*02 = 0
f(2) = 23 – 3*22 = -4
Ответ: Функция возрастает при x∈(-∞ ; 0)∪(2; +∞); функция убывает при x∈(0;2);
точка минимума функции (2;-4); точка максимума функции (0;0).
Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью второй производной
- Найти производную f′(x).
- Найти стационарные точки данной функции, т.е. точки, в которых f′(x)=0.
- Найти вторую производную f″(x).
- Исследовать знак второй производной в каждой из стационарных точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то – минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.
- Вычислить значения функции в точках экстремума.
Отсюда следует, что дважды дифференцируемая функция f(x) выпукла на отрезке [a, b], если вторая производная f”(x) ≥ 0 при всех х [a, b].
Все вычисления можно проделать в онлайн режиме.
Пример №2. Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию: f(x) = x2 – 2x – 3.
Решение: Находим производную: f′(x) = 2x – 2.
Решая уравнение f′(x) = 0, получим стационарную точку х=1. Найдем теперь вторую производную: f″(x) = 2.
Так как вторая производная в стационарной точке положительна, f″(1) = 2 > 0, то при x = 1 функция имеет минимум: fmin = f(1) = -4.
Ответ: Точка минимума имеет координаты (1; -4).
Что такое возрастание функции
В начале прочитаем определение возрастания функции.
Запомните!
Функция « y(x) » называется возрастающей на некотором промежутке, если
для любых
« x1 » и « x2 »
принадлежащих данному промежутку, таких, что « x2 > x1 »
выполняется неравенство
« y( x2 ) > y( x1 )».
Определение сложно понять без наглядного примера.
Поэтому сразу перейдём к разбору задачи на возрастание функции.
По-другому можно сказать, что, если каждому бóльшему значению « x »
соответствует бóльшее значение « y », значит,
функция « y(x) » возрастает.
|
x2 > x1 |
Обязательное условие возрастания функции |
Давайте разберем определение возрастания функции на конкретном примере.
Разбор примера
Возрастающей или убывающей является функция « y = 9x − 4 » ?
Для начала определим
область определения функции
« y = 9x − 4 ».
y = 9x − 4
D(y): x ∈ R ,
то есть « x » —
любое действительное число.
Построим график функции
« y = 9x − 4 ».
Так как функция
« y = 9x − 4 »
линейная, ее график — прямая.
Используем правила построения графика линейной функции. Нам достаточно найти две точки, чтобы построить ее график.
Область определения функции
« y = 9x − 4 » — все действительные числа,
поэтому можно подставить любое число вместо « x » и вычислить « y » по
формуле функции
« y = 9x − 4 ». Например, возьмем
« x = 0 ».
x = 0
y(x) = 9x − 4
y(0) = 9 · 0 − 4 = −4
Для второй точки возьмем « x = 1 ».
x = 1
y(x) = 9x − 4
y(1) = 9 · 1 − 4 = 5
Отметим две полученные
точки «(0; −4)» и «(1; 5)» на
координатной плоскости
и проведем через них прямую.
Докажем, что функция
« y = 9x − 4 » возрастает на всей своей области определения двумя способами: по ее графику и
аналитически
(по ее формуле).
Как определить по графику, что функция возрастает
По определению возрастания функции мы знаем, что
если « x » увеличивается,
то « y » тоже должен увеличиваться.
На рисунке ниже видно, что график функции « y = 9x − 4 »
«идет в гору». Другими словами, при увеличении « x »
↑ растет
значение « y » ↑.
В этом можно убедиться, если взять две любые точки на графике. Например, точки, по
которым мы построили график функции. Назовем эти точки:
« (·)A » и « (·)B ».
У первой точки « (·)A »
координаты:
x1 = 0 ; y1 = − 4
У второй точки « (·)B » координаты:
x2 = 1 ; y2 = 5
На примере точек « (·)A » и « (·)B » видно, что
при увеличении
« x ↑ ( x2 > x1 )»
растет
« y ↑ ( y2 > y1 ) ».
Поэтому график зрительно «идет в гору».
Как по формуле доказать, что функция возрастает
Вернёмся к нашей функции
« y = 9x − 4 ».
По графику мы поняли, что
функция « y = 9x − 4 » возрастает,
так как ее график «идет в гору».
Но как доказать по формуле, что функция
возрастает на всей своей области определения?
Запомните!
Функция возрастает на всей области определения, когда при
« x2 > x1 »
выполняется условие
« y( x2 ) > y( x1 ) ».
Формулировка выше не самая простая для понимания. Давайте разберем ее на практике.
По определению возрастания функции нам нужно доказать, что при
« x2 > x1 » увеличивается значение функции
« y( x2 ) > y( x1 ) ».
Но как нам найти значения функции
« y( x1 )» и
«y( x2 ) »?
Для нахождения « y( x1 )» и
«y( x2 ) »
достаточно подставить « x1 » и
« x2 » в исходную формулу « y = 9x − 4 ».
y( x1 ) = 9x1 − 4
y( x2 ) = 9x2 − 4
Теперь запишем обязательное условие возрастания функции.
|
x2 > x1 |
Обязательное условие возрастания функции |
Подставим в неравенство
« y( x2 ) >
y( x1 ) » полученные формулы
« y( x1 ) = 9x1 − 4» и
« y( x2 ) = 9x2 − 4 » .
y( x2 ) > y( x1 )
9x2 − 4 > 9x1 − 4
Упростим полученное
неравенство.
9x2 − 9x1 > − 4 + 4
9x2 − 9x1 > 0
Вынесем общий множитель
в левой части неравенства.
9(x2 − x1) > 0
Разделим левую и правую часть на «9».
При делении нуля на любое число получается ноль.
x2 − x1 > 0
x2 > x1
Мы доказали, что выполняется исходное условие возрастания функции «x2 > x1».
Отсюда следует, что функция
« y = 9x − 4 » возрастает на всей области определения.
В завершении вместо ответа следует написать фразу:
«Что и требовалось доказать».
Посмотрим другой пример, где требуется доказать, что функция возрастает.
Разбор примера
Доказать, что функция возрастает на всей области определения: y = 13x − 1
По аналогии с предыдущим примером составим неравенства, которые доказывают, что функция возрастает.
|
x2 > x1 |
Обязательное условие возрастания функции |
Вместо « y( x1 )» и
«y( x2 ) » запишем
формулу функции « y = 13x − 1 » и упростим полученное неравенство.
y( x2 ) > y( x1 )
13x2 − 1 > 13x1 − 1
13x2 − 13x1 > 1 − 1
13(x2 − x1) > 0 |: 13
>
x2 − x1 > 0
x2 > x1
Что и требовалось доказать.
Что такое убывание функции
Запомните!
Функция « y(x) » называется убывающей на некотором промежутке, если для любых
« x1 » и « x2 »
принадлежащих данному промежутку, таких,
что « x2 > x1 »
выполняется неравенство « y( x2 ) < y( x1 )».
|
x2 > x1 |
Обязательное условие убывания функции |
Как по графику понять, что функция убывает
Разбор примера
Доказать, что функция убывает на всей области определения: y = 1 − 3x
По определению убывания функции мы знаем, что,
если « x »
↑ растет, то
« y » ↓ должен уменьшаться.
Построим график функции
« y = 1 − 3x ». Ее график — прямая, поэтому нам будет достаточно двух точек.
Область определения функции
« y = 1 − 3x » — все действительные числа,
поэтому можно поставить любое число вместо « x » и вычислить « у » по
формуле функции
« y = 1 − 3x ». Например, возьмем
« x = 0 »
и « x = 1 ».
x = 0
y(x) = 1 − 3x
y(0) = 1 − 3 · 0 = 1
(·) А (0; 1)
x = 1
y(1) = 1 − 3x
y(1) = 1 − 3 · 1 = 1 − 3 = −2
(·) B (1; −2)
Построим график функции
« y = 1 − 3x » по полученным точкам
« (·)A » и « (·)B ».
На графике функции видно, что зрительно график «спускается с горы», то есть функция убывает. Другими словами, при увеличении
« x »
↑ уменьшается
значение
« y » ↓.
Как по формуле доказать, что функция убывает
Вернёмся к нашей функции
« y = 1 − 3x ».
По ее графику мы поняли, что функция убывает, так как график «спускается с горы». Но как доказать по формуле,
что функция « y = 1 − 3x » убывает на всей области определения?
Запомните!
Чтобы доказать, что функция убывает требуется доказать, что при любых
« x2 > x1 » выполняется
« y( x2 ) < y( x1 ) ».
Давайте разберем на примере функции
« y = 1 − 3x ». Докажем, что она убывает
на всей своей области определения.
|
x2 > x1 |
Обязательное условие убывания функции |
Подставим « y( x1 )» и
«y( x2 ) » в
формулу функции « y = 1 − 3x » и упростим полученное неравенство.
y( x2 ) < y( x1 )
1 − 3x2 < 1 − 3x1
3x1 − 3x2 < 1 − 1
3(x1 − x2) < 0 | :3
<
x1 − x2 < 0
−x2 < −x1
Умножим на « −1 » левую и правую часть неравенства. При
умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства поменяется на
противоположный.
−x2 < −x1 | · (−1)
x2 > x1
Что и требовалось доказать.
Как по графику функции определить
возрастание и убывание
Потренируемся только по графику функции определять промежутки возрастания и убывания функции.
Разбор примера
На рисунке ниже изображён график функции, определенной на множестве действительных чисел.
Используя график, найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции.
Отметим с помощью штриховых линий промежутки, где график функции убывает
(«спускается с горы») и где он возрастает («идет в гору»).
Запишем через знаки неравенств,
какие значения принимает « x » на полученных промежутках.
Обратите внимание, что во всех случаях при указании промежутков, мы указываем, что их
концы входят в промежуток, то есть используем знаки нестрогого неравенства.
Остаётся записать полученные промежутки возрастания и убывания функции в ответ.
Ответ:
- функция убывает при
x ≤ −2; 0 ≤ x ≤ 3,5 - функция возрастает при
−2 ≤ x ≤ 0 ; x ≥ 3,5
Более грамотно будет записать ответ с помощью специальных
математических символов.
Ответ:
- функция убывает на промежутках
x ∈ (−∞ ; −2] ∪ [0; 3,5] - функция возрастает на промежутках x ∈ [−2 ; 0] ∪ [3,5 ; +∞]
При каких значениях
« m »
функция является убывающей или возрастающей
Ещё один тип заданий, в которых требуется определить,
при каких
« m » ( « а, b » или других буквах) функция убывает или возрастает.
Разбор примера
При каких значениях « m » функция
« y = mx − m − 3 + 2x » является убывающей?
Обратимся снова к определению убывания функции. Вспомним, как записать условия убывания функции с точки зрения формул.
|
x2 > x1 |
Обязательное условие убывания функции |
Запишем эти условия, используя формулу функции « y = mx − m − 3 + 2x », заданную в
задаче. Вместо
« x »
подставим « x1 » и « x2 ».
y( x2 ) < y( x1 )
mx2 − m − 3 + 2x2 < mx1 − m − 3 + 2x1
Упростим полученное неравенство. Перенесем из правой части все члены неравенства в левую часть с противоположными знаками.
mx2 − m − 3 + 2x2 − mx1
+ m
+ 3
− 2x1
< 0
Упростим полученное выражение. Некоторые члены неравенства взаимоуничтожатся.
mx2 − mx1
− m + m − 3 + 3 + 2x2 − 2x1
< 0
mx2 − mx1 + 2x2 − 2x1
< 0
Вынесем общие множители за скобки.
m( x2 − x1) + 2(x2 − x1)
< 0
Теперь
вынесем общий множитель
« ( x2 − x1 ) ».
( x2 − x1) (m + 2)
< 0
Вспомним обязательное условие убывания функции.
|
x2 > x1 |
Обязательное условие убывания функции |
Преобразуем исходное условие убывания функции « x2 > x1 ».
Перенесем все в левую часть.
x2 > x1
x2 − x1 > 0
По условию убывания функции
« x2 − x1 > 0 »,
значит, чтобы
произведение
«( x2 − x1) (m + 2)
» было меньше нуля, требуется, чтобы множитель «(m + 2)» был меньше нуля. Так как по
правилу знаков:
плюс на минус даёт минус.
| + | · | − | < 0 |
| (x2 − x1) | · | (m + 2) | < 0 |
Решим полученное неравенство.
m + 2 < 0
m < −2
Ответ: при «m < −2» функция
« y = mx − m − 3 + 2x »
является убывающей.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
Определение
возрастающей функции.
Функция y=f(x) возрастает
на интервале X,
если для любых 
и 
выполняется
неравенство 
.
Другими словами – большему значению
аргумента соответствует большее значение
функции.
Определение
убывающей функции.
Функция y=f(x) убывает
на интервале X,
если для любых 
и 
выполняется
неравенство 
.
Другими словами – большему значению
аргумента соответствует меньшее значение
функции.
ЗАМЕЧАНИЕ:
если функция определена и непрерывна
в концах интервала возрастания или
убывания (a;b),
то есть при x=a и x=b,
то эти точки включаются в промежуток
возрастания или убывания. Это не
противоречит определениям возрастающей
и убывающей функции на промежутке X.
К
примеру, из свойств основных элементарных
функций мы знаем, что y=sinx определена
и непрерывна для всех действительных
значений аргумента. Поэтому, из возрастания
функции синуса на интервале 
мы
можем утверждать о возрастании на
отрезке 
.
Точки экстремума, экстремумы функции.
Точку 
называют точкой
максимума функции y=f(x),
если для всех x из
ее окрестности справедливо неравенство 
.
Значение функции в точке максимума
называютмаксимумом
функции и
обозначают 
.
Точку 
называют точкой
минимума функции y=f(x),
если для всех x из
ее окрестности справедливо неравенство 
.
Значение функции в точке минимума
называютминимумом
функции и
обозначают 
.
Под
окрестностью точки 
понимают
интервал 
,
где 
–
достаточно малое положительное число.
Точки
минимума и максимума называют точками
экстремума,
а значения функции, соответствующие
точкам экстремума, называют экстремумами
функции.
Не
путайте экстремумы функции с наибольшим
и наименьшим значением функции.
На
первом рисунке наибольшее значение
функции на отрезке [a;b] достигается
в точке максимума и равно максимуму
функции, а на втором рисунке – наибольшее
значение функции достигается в точке x=b,
которая не является точкой максимума.
Достаточные условия возрастания и убывания функции.
На
основании достаточных условий (признаков)
возрастания и убывания функции находятся
промежутки возрастания и убывания
функции.
Вот
формулировки признаков возрастания и
убывания функции на интервале:
-
если
производная функции y=f(x) положительна
для любого x из
интервала X,
то функция возрастает на X; -
если
производная функции y=f(x) отрицательна
для любого x из
интервала X,
то функция убывает на X.
Таким
образом, чтобы определить промежутки
возрастания и убывания функции необходимо:
-
найти
область определения функции; -
найти
производную функции; -
решить
неравенства
и 
на
области определения; -
к
полученным промежуткам добавить
граничные точки, в которых функция
определена и непрерывна.
и 
на
Рассмотрим
пример нахождения промежутков возрастания
и убывания функции для разъяснения
алгоритма.
Пример.
Найти
промежутки возрастания и убывания
функции 
.
Решение.
Первым
шагом является нахождение
обрасти определения функции. В нашем
примере выражение в знаменателе не
должно обращаться в ноль, следовательно, 
.
Переходим
к нахождению производной функции:
Для
определения промежутков возрастания
и убывания функции по достаточному
признаку решаем неравенства 
и 
на
области определения. Воспользуемся
обобщением метода интервалов. Единственным
действительным корнем числителя
является x
= 2,
а знаменатель обращается в ноль при x=0.
Эти точки разбивают область определения
на интервалы, в которых производная
функции сохраняет знак. Отметим эти
точки на числовой прямой. Плюсами и
минусами условно обозначим интервалы,
на которых производная положительна
или отрицательна. Стрелочки снизу
схематично показывают возрастание или
убывание функции на соответствующем
интервале.
Таким
образом, 
и 
.
В
точке x=2 функция
определена и непрерывна, поэтому ее
следует добавить и к промежутку
возрастания и к промежутку убывания. В
точке x=0 функция
не определена, поэтому эту точку не
включаем в искомые интервалы.
Приводим
график функции для сопоставления с ним
полученных результатов.
Ответ:
функция
возрастает при 
,
убывает на интервале (0;2].
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Возрастание и убывания функции на промежутке
Содержание:
- Возрастание и убывания функции на промежутке
- Необходимое условие возрастания и убывания функций
- Достаточные условия возрастания и убывания функции
Возрастание и убывания функции на промежутке
Определение 1. Функция f (x) называется возрастающей на промежутке (a, b), если большему значению аргумента х соответствует большее значение функции. То есть, если 
то 
Если неравенство выполняется нестрого, 
то функция называется неубывающей.
Определение 2. Функция f (x) называется убывающей на промежутке (a, b), если большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции. То есть, если 
то 
Если неравенство выполняется нестрого, 
то функция называется невозрастающей.
Необходимое условие возрастания и убывания функций
ТЕОРЕМА. Если дифференцируемая функция на промежутке (a, b) возрастает, то ее производная неотрицательная, а если убывает, то ее производная неположительная.
Доказательство. Если функция y = f (x) возрастает, то из определения приращения 
и 
будут одинаковых знаков. Поэтому отношение 
А
В случае, когда функция y = f (x) убывает, приращения и 
разных знаков, их отношение отрицательное, а производная f ‘(x) ≤ 0.
Достаточные условия возрастания и убывания функции
ТЕОРЕМА. Если непрерывная на замкнутом промежутке [a, b] функция f (x) имеет внутри этого промежутка положительную производную, то функция возрастает, а если отрицательную, то функция убывает.
Доказательство. Пусть f ‘(x) > 0 при 
Возьмем две точки 
и 
из промежутка (a, b), и применим к функции f (x) теорему Лагранжа. Получим
Поскольку 
f ‘ (c) > 0 по условию теоремы, то это произведение также больше нуля, поэтому 
или 
Это означает, что функция f (x) возрастает.
Аналогично доказывается вторая часть теоремы.
Промежутки возрастания и убывания функций называются промежутками монотонности функций.
Для их определения находят производную функции, приравнивают ее к нулю и находят корни производной. Этими корнями разбивают область определения функции на промежутки. В каждом из промежутков берут внутри точку и устанавливают знак производной в них. В тех промежутках, где производные положительные, функция возрастает, а где отрицательные — убывает.
Примеры. Найти промежутки возрастания и убывания функций:
а) 
б) y = ln x.
Решение.
а) Область определения функции — вся числовая ось 
. Находим производную 
Ищем корни производной 
D = 4 + 4 ⋅ 3 = 16,
Рис. 7.
Наносим эти корни на числовую прямую. Область определения они делятся на три промежутка (рис. 7).
Находим знаки производной в каждом из указанных промежутков, вычислив значение производной в некоторых точках каждого промежутка:
Следовательно, функция возрастает на промежутках
убывает на промежутке (-1; 3).
б) Область определения — только положительные числа (0; 
).
Находим корни производной ln x – 1 = 0, ln x = 1, x = e.
Наносим этот корень на луч, изображающий область определения (рис. 8). Устанавливаем знаки производной в этих промежутках:
Рис. 8.
Следовательно, функция убывает на промежутке (0; e), возрастает на промежутке (e; ).
Лекции:
- Интегрирование заменой переменной по частям. Неопределенный интеграл
- Степенные ряды
- Найти неопределённый интеграл: пример решения
- Декартовы координаты на плоскости и в пространстве
- Наибольшее значение функции
- Нелинейные дифференциальные уравнения
- Собственные векторы матрицы
- Определенный интеграл
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Найти область определения функции
