Как найти длину перпендикуляра с точки на отрезок?
Есть точка A(x,y).
Есть отрезок с началом B(x1,y1) и концом C(x2,y2).
Требуется найти перпендикуляр, опущенный с точки на отрезок.
Я попробовал сделать по формуле высоты треугольника – www.fxyz.ru/%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D…
Но дело в том, что если точка лежит не над отрезком (то есть под точкой пустота), то результат будет таким, словно отрезок все равно под точкой. Иначе говоря, будто отрезок бесконечный.
-
Вопрос заданболее трёх лет назад
-
7376 просмотров
double L=(x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2);
double PR=(x-x1)*(x2-x1)+(y-y1)*(y2-y1);
bool res=true;
double cf=PR/L;
if(cf<0){ cf=0; res=false; }
if(cf>1){ cf=1; res=false; }
double xres=x1+cf*(x2-x1);
double yres=y1+cf*(y2-y1);
В (xres,yres) будут координаты ближайшей точки отрезка, а переменная res покажет, перпендикуляр получился, или нет.
Пригласить эксперта
Перпендикулярную к прямой прямую, проходящую через заданную точку, можно построить единственным способом. Если ваш отрезок не содержит точку пересечения с перпендикуляром, то перпендикуляр “к отрезку” построить невозможно.
-
Показать ещё
Загружается…
19 мая 2023, в 07:52
1000 руб./за проект
19 мая 2023, в 07:47
1000 руб./за проект
19 мая 2023, в 00:55
3000 руб./за проект
Минуточку внимания
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Перпендикуляр — это прямая, которая пересекает другую прямую под углом 90°. Перпендикуляры часто используются в геометрии, поэтому важно знать, как их строить. Чтобы быстро провести перпендикуляр, воспользуйтесь транспортиром. Также построить перпендикуляр можно с помощью циркуля и линейки.
-
1
Приложите линейку (прямую сторону) транспортира к данному отрезку. Нулевое деление транспортира совместите с точкой на отрезке. Совместите линейку транспортира с данным отрезком.
- Нулевое деление находится в центре линейки транспортира.
- Угломерная шкала находится на полукруглой стороне транспортира и служит для измерения углов (от 0° до 180°).
-
2
Поставьте точку у деления «90» на угломерной шкале. Это деление находится сверху на полукруглой стороне транспортира. Помните, что две перпендикулярные прямые образуют угол в 90°.[1]
Таким образом, чтобы провести перпендикуляр, нужно отложить угол в 90°. -
3
Соедините точку на отрезке с точкой, которую вы поставили у деления «90». Для этого воспользуйтесь линейкой транспортира. Получившийся отрезок является перпендикуляром к данному отрезку и проходит через заданную точку на отрезке.
Реклама
-
1
Проведите дуги с двух сторон от заданной точки. Для этого поставьте иглу циркуля в заданную точку на прямой. Затем проведите две дуги с обеих сторон от заданной точки. Дуги должны пересекать прямую.[2]
Отметьте точки пересечения дуг с прямой.- На данном этапе раствор циркуля может быть любым.
- Например, на прямой дана точка A. С помощью циркуля поставьте на прямой точку P (слева) и точку Q (справа).
-
2
Увеличьте раствор циркуля. Поставьте его иглу в точку слева от исходной точки. Теперь сделайте раствор циркуля таким, чтобы карандаш циркуля находился примерно посередине между исходной точкой и точкой справа от исходной.[3]
- Например, поставьте иглу циркуля в точку P, а затем увеличьте раствор так, чтобы карандаш находился примерно посередине между точками A и Q.
-
3
Нарисуйте дугу над или под прямой. Сделайте это, когда циркуль стоит в точке слева от исходной.[4]
- Например, если игла циркуля находится в точке P, проведите дугу над или под прямой.
-
4
Нарисуйте вторую дугу, пересекающую первую. Раствор циркуля не меняйте. Иглу циркуля поставьте в точке справа от исходной, а затем проведите вторую дугу над или под прямой; вторая дуга должна пересечь первую. [5]
Отметьте точку пересечения двух дуг.- Например, поставьте иглу циркуля в точку Q. Нарисуйте дугу, которая пересечет первую дугу в точке T.
-
5
Соедините точку пересечения дуг с исходной точкой. Для этого воспользуйтесь линейкой. Получившийся отрезок является перпендикуляром к данной прямой и проходит через заданную точку.[6]
- Например, проведите отрезок, соединяющий точки A и T.
-
6
Готово.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 36 870 раз.
Была ли эта статья полезной?
Перпендикуляр к прямой
Пусть задана прямая a и точка A, не лежащая на этой прямой (Рис.1).
Отметим на прямой a точку H и соединяющие точки A и H. Отрезок AH называется перпендикуляром проведенным от точки A к прямой a, если прямые a и AH перпендикулярны. Точка H называется основанием перпендикуляра.
Теорема 1. Из точки, не лежащей на данной прямой можно провести перпендикуляр к этой прямой, и причем единственный.
Доказательство. Пусть задана прямая BC и точка A, не лежащая на этой прямой (Рис.2).
Докажем, сначала, что из точки A можно провести перпендикуляр к прямой BC. Проведем луч BA и отложим от луча BC угол DBC, равной углу ABC (Рис.3). Поскольку ( small ∠ ABC=∠ DBC,) то первый из них можно наложить на вторую. При этом точка A наложится на некоторую точку A1 луча BD (Рис.4).
Обозначим через H точку пересечения прямых AA1 и BC. Таким образом при наложении угла ABC на угол DBC, точка A наложилась на точку A1. Тогда AH наложится на A1H, угол AHB наложится на угол A1HB. Следовательно ( small ∠ AHB=∠ A_1HB.) Но углы AHB и A1HB смежные, значит ( small ∠ AHB+∠ A_1HB=180°.) Таким образом ( small ∠ AHB=∠ A_1HB=90°.) Тогда AH пернпендикуляр к прямой BC от точки A, т.е. ( small AH⊥ BC.)
Докажем, далее, что из точки A можно провести только один перпендикуляр к прямой BC.
Предположим, что из точки A можно провести еще один перпендикуляр AH1 (Рис.5). Тогда получим, что две прямые AH и AH1 перпендикулярные к прямой BC пересекаются. Но это противоречит тому, что если две прямые перпендикулярны к третьей, то они не пересекаются (теорема 1 статьи Перпендикулярные прямые). Следовательно из точки A можно провести только один перпендикуляр к прямой BC.
Плоскость в математике можно сравнить с другими плоскостями, которые окружают нас в повседневной жизни: школьная доска, лист бумаги, экран планшета или смартфона и т.д. На них мы можем легко обозначить точки и линии. На школьной доске мы это делаем мелом, на листе бумаги можем нарисовать их ручкой или карандашом. Но размеры тетради не позволят нам нарисовать длинные линии. Представим, что лист растет до размера крышки стола, а затем до размера школьной доски и так далее. То есть мы можем представить себе модель плоскости, она чем-то ограничена. А сама плоскость бесконечна.
Прямая
Теперь представим, что проведенная на плоскости линия будет увеличиваться вместе с ней. Получается, что прямая тоже бесконечна. На бумаге мы изображаем только часть прямой. Прямую обозначают одной строчной буквой латинского алфавита. Например, b (рис.1). Так как через две точки на плоскости проходит одна прямая, то прямую можно обозначить двумя латинскими заглавными буквами, которыми обозначают точки на этой прямой (рис. 2), например, АС или СА.
Рисунок №1. Обозначение прямой одной строчной буквой. Прямая b.
Рисунок 2. Обозначение прямой двумя латинскими буквами. Прямая AB.
Луч
Если на прямой АС поставить еще одну букву, например, О, то получим, что точка О делит прямую на две части, каждая из которых называется лучом (рис.3).
Итак, луч – имеет начало, но не имеет конца. Называть лучи на рисунке 3 можно ОА или ОС (на первом месте ставится буква, которая обозначает начало луча).
Рисунок №3. Лучи OA и OC.
Рисунок 4
Определение
Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками. Точки, которые его ограничивают, называю концами отрезка. Обозначают концы отрезка заглавными латинскими буквами.
На рисунке изображен отрезок АВ, также можно сказать, что изображен отрезок ВА.
Перпендикуляр и наклонная
К любому отрезку можно провести перпендикулярную прямую. Вспомним, что перпендикулярной прямой называется прямая, проведенная под углом 90 градусов.
Определение
Серединным перпендикуляром является прямая, которая проходит через середину данного отрезка и перпендикулярна ему.
Серединный перпендикуляр к отрезку AB.
На данном рисунке мы видим, что отрезок разделен на две равные части (показаны штрихами), а через середину проведена прямая а под углом 900 к данному отрезку АВ. Следовательно, прямая а – серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
Свойство серединного перпендикуляра
Все точки серединного перпендикуляра равноудалены от концов данного отрезка.
На данном рисунке через середину О отрезка АВ проходит прямая m, которая является серединным перпендикуляром. На этой прямой взята некоторая точка М. По свойству серединного перпендикуляра к отрезку, расстояния от точки М до концов отрезка АВ будут равны, то есть АМ=МВ.
Если прямая, проведённая через данную точку, пересекает прямую (отрезок), но не перпендикулярна к ней, то ее называют наклонной. Наклонная всегда больше перпендикуляра.
На данном рисунке АВ – перпендикуляр, а АС – наклонная к прямой а. Видим, что действительно АС>ВС. Точку В называют основанием перпендикуляра, а точку С – основанием наклонной.
Даниил Романович | Просмотров: 2.2k
