Как найти перпендикуляр с помощью циркуля

Как найти перпендикуляр с помощью циркуля

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Треугольники
  5. Построения циркулем и линейкой
  6. Построение перпендикулярных прямых

Примеры:

1. Даны прямая и точка на ней. Построить прямую проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.

Дано: прямая m,  Mm.

Построить: МPm.

Решение:

Произвольно строим с помощью линейки прямую m и отмечаем на ней точку М.

На лучах прямой m, исходящих из точки М, с помощью циркуля откладываем равные отрезки МА и МВ (МА = МВ). Для этого строим окружность с центром в точке М, при этом всю окружность строить не обязательно, достаточно сделать пометки по разные стороны от точки М (смотри выделенное красным).

Затем строим две окружности с центрами в точках А и В радиуса АВ (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное фиолетовым и красным цветом).

Данные окружности пересекаются в двух точках, обозначим их Р и Q. Проведем с помощью линейки через точку М и одну из точек Р или Q прямую, например, МР.

Докажем, что прямая МР – искомая прямая, т.е. что МPm.

Рассмотрим треугольник АРВ.

АР = ВР, т.к. по построению это радиусы одинаковых окружностей, следовательно, АРВ – равнобедренный. По построению МА = МВ, т.е. МР – медиана равнобедренного треугольника, тогда по свойству равнобедренного треугольника МР и высота, т.е. МPm. Что и требовалось доказать.

2. Даны прямая и точка не лежащая на этой прямой. Построить прямую проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.

Дано: прямая m,  Mm.

Построить: МNm.

Решение:

Произвольно строим с помощью линейки прямую m и отмечаем точку М, не лежащую на прямой m.

Далее строим окружность с центром в данной точке М, пересекающую прямую m в двух точках, которые обозначим буквами А и В (всю окружность строить необязательно, смотри выделенное красным цветом).

Затем построим две окружности с центрами в точках А и В, проходящие через точку М (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное синим и зеленым цветом). Эти окружности пересекутся в точке М и еще в одной точке, которую обозначим буквой N. Проведем прямую МN.

Докажем что, прямая МN – искомая, т.е. МNm.

В АМN и ВМN: АМ = АN = ВМ = ВN – радиусы, МN – общая, следовательно,  АМN =ВМN (по трем сторонам), значит, углы ВМС и АМС равны (С точка пересечения прямых m и МN). Отсюда следует, что отрезок МС – биссектриса равнобедренного треугольника АМВ (АМ = ВМ – радиусы) с основанием АВ, тогда по свойству равнобедренного треугольника АМ – высота, значит, МNАВ, т.е. МNm.

Советуем посмотреть:

Построение угла, равного данному

Построение биссектрисы угла

Построение середины отрезка

Среднее пропорциональное

Треугольник

Равенство треугольников

Первый признак равенства треугольников

Перпендикуляр к прямой

Медианы треугольника

Биссектрисы треугольника

Высоты треугольника

Равнобедренный треугольник

Свойства равнобедренного треугольника

Второй признак равенства треугольников

Третий признак равенства треугольников

Окружность

Построения циркулем и линейкой

Треугольники


Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 416,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 475,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 627,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 7,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 737,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 827,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 871,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 876,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1145,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1283,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Источник

Перпендикуляр к прямой это

Использование транспортира

Одним из наиболее простых способов построения перпендикуляра к прямой является чертеж при помощи специального инструмента, который называется транспортир. Чтобы правильно начертить отрезок, необходимо по пунктам выполнить следующие действия:

Как провести перпендикуляр к прямой

  1. Выбранную точку на отрезке необходимо соединить с нулевым значением транспортира (оно находится непосредственно посередине нижней линейки инструмента).
  2. На угломерной шкале нужно поставить точку у деления 90°. Поскольку перпендикуляр образовывает прямой угол, то отложить нужно именно 90°.
  3. На завершающем этапе точку, отмеченную на отрезке, следует соединить с той, которая была отмечена по угломерной шкале.

Этот способ широко используется на уроках геометрии. Его преимущество заключается в быстром и простом построении. Для выполнения требуется только транспортир и простой карандаш.

Циркуль и линейка

Перпендикулярный луч можно опустить на отрезок при помощи еще одного незамысловатого способа. Для этого необходимы простой карандаш, линейка и циркуль. Построить прямой угол можно, выполнив следующие действия:

Перпендикуляр к прямой

  1. На отрезке от заданной точки необходимо, используя циркуль, провести две одинаковые дуги. Чтобы расстояние было идентичным с каждой стороны, нужно иглу циркуля поставить в отмеченную точку и при помощи линейки раствор циркуля отодвинуть на какое-то расстояние (это индивидуальный показатель). Таким образом нужно начертить две дуги.
  2. Затем необходимо увеличить раствор циркуля и сделать так, чтобы карандаш находился посередине между точкой справа (слева) и исходной.
  3. Так нужно нарисовать две дуги: одну над прямой, а другую — под ней.
  4. Потом необходимо нарисовать вторую такую дугу. При этом раствор циркуля изменять не требуется. Отметку пересечения двух дуг (правой и левой) нужно обозначить.
  5. Точку пересечения этих двух дуг нужно состыковать с точкой на исходном отрезке. Соединять и проводить линию лучше с использованием линейки. Так рисунок получится ровным и аккуратным.

В результате этих действий должен получиться перпендикуляр, составляющий с прямой линией угол в 90°. Метод более сложный, если сравнивать его с первым. Его целесообразно использовать в том случае, если под рукой не оказалось транспортира.

Теорема Пифагора

Чтобы построить перпендикуляр по этому способу, мало знать одного определения, поскольку потребуется теорема Пифагора и ее доказательство. Наиболее распространенный вариант — свойство египетского треугольника со сторонами 5, 4 и 3.

Что такое перпендикуляр к прямой

От основной точки А необходимо отмерить и отметить отрезок, равный 3. В результате получается точка В. Далее необходимо построить две одинаковые окружности. При этом центр первой будет располагаться в А, а центр второй — в В. Отметка пересечения этих окружностей обозначается как С. Значит, искомый перпендикуляр — это линия, соединяющая две точки (А и С). Конечно, этот способ лучше посмотреть наглядно на картинке или показать в виде чертежа.

Эту тему проходят на геометрии в 7 классе. Школьники должны дать определение перпендикуляра к прямой. А на его основании построить линию его под углом 90°.

Источник


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Перпендикуляр — это прямая, которая пересекает другую прямую под углом 90°. Перпендикуляры часто используются в геометрии, поэтому важно знать, как их строить. Чтобы быстро провести перпендикуляр, воспользуйтесь транспортиром. Также построить перпендикуляр можно с помощью циркуля и линейки.

  1. Изображение с названием Construct a Perpendicular Line to a Given Line Through Point on the Line Step 1

    1

    Приложите линейку (прямую сторону) транспортира к данному отрезку. Нулевое деление транспортира совместите с точкой на отрезке. Совместите линейку транспортира с данным отрезком.

    • Нулевое деление находится в центре линейки транспортира.
    • Угломерная шкала находится на полукруглой стороне транспортира и служит для измерения углов (от 0° до 180°).

  2. Изображение с названием Construct a Perpendicular Line to a Given Line Through Point on the Line Step 2

    2

    Поставьте точку у деления «90» на угломерной шкале. Это деление находится сверху на полукруглой стороне транспортира. Помните, что две перпендикулярные прямые образуют угол в 90°.[1]
     Таким образом, чтобы провести перпендикуляр, нужно отложить угол в 90°.

  3. Изображение с названием Construct a Perpendicular Line to a Given Line Through Point on the Line Step 3

    3

    Соедините точку на отрезке с точкой, которую вы поставили у деления «90». Для этого воспользуйтесь линейкой транспортира. Получившийся отрезок является перпендикуляром к данному отрезку и проходит через заданную точку на отрезке.

    Реклама

  1. Изображение с названием Construct a Perpendicular Line to a Given Line Through Point on the Line Step 4

    1

    Проведите дуги с двух сторон от заданной точки. Для этого поставьте иглу циркуля в заданную точку на прямой. Затем проведите две дуги с обеих сторон от заданной точки. Дуги должны пересекать прямую.[2]
     Отметьте точки пересечения дуг с прямой.

    • На данном этапе раствор циркуля может быть любым.
    • Например, на прямой дана точка A. С помощью циркуля поставьте на прямой точку P (слева) и точку Q (справа).

  2. Изображение с названием Construct a Perpendicular Line to a Given Line Through Point on the Line Step 5

    2

    Увеличьте раствор циркуля. Поставьте его иглу в точку слева от исходной точки. Теперь сделайте раствор циркуля таким, чтобы карандаш циркуля находился примерно посередине между исходной точкой и точкой справа от исходной.[3]

    • Например, поставьте иглу циркуля в точку P, а затем увеличьте раствор так, чтобы карандаш находился примерно посередине между точками A и Q.

  3. Изображение с названием Construct a Perpendicular Line to a Given Line Through Point on the Line Step 6

    3

    Нарисуйте дугу над или под прямой. Сделайте это, когда циркуль стоит в точке слева от исходной.[4]

    • Например, если игла циркуля находится в точке P, проведите дугу над или под прямой.

  4. Изображение с названием Construct a Perpendicular Line to a Given Line Through Point on the Line Step 7

    4

    Нарисуйте вторую дугу, пересекающую первую. Раствор циркуля не меняйте. Иглу циркуля поставьте в точке справа от исходной, а затем проведите вторую дугу над или под прямой; вторая дуга должна пересечь первую. [5]
     Отметьте точку пересечения двух дуг.

    • Например, поставьте иглу циркуля в точку Q. Нарисуйте дугу, которая пересечет первую дугу в точке T.

  5. Изображение с названием Construct a Perpendicular Line to a Given Line Through Point on the Line Step 8

    5

    Соедините точку пересечения дуг с исходной точкой. Для этого воспользуйтесь линейкой. Получившийся отрезок является перпендикуляром к данной прямой и проходит через заданную точку.[6]

    • Например, проведите отрезок, соединяющий точки A и T.

  6. Изображение с названием Construct a Perpendicular Line to a Given Line Through Point on the Line Final

    6

    Готово.

    Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 36 689 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Как чертить перпендикуляр треугольника

Серединный перпендикуляр

Что такое серединный перпендикуляр к отрезку? Что можно сказать о пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника? К сторонам многоугольника?

Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, перпендикулярная данному отрезку и проходящая через его середину.

m — серединный перпендикуляр к отрезку AB, если

точка C — середина отрезка AB,

Чтобы построить серединный перпендикуляр к данному отрезку с помощью угольника, нужно:

1) найти середину отрезка;

2) провести через эту точку прямую, перпендикулярную данному отрезку (для этого угольник прикладываем прямым углом к середине отрезка так, чтобы она сторона угольника проходила через отрезок, а через другую сторону проводим прямую):

Свойства серединного перпендикуляра.

1) Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.

Например, прямая m — геометрическое место точек, равноудаленных от точек A и B (рисунок 1).

2) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка является центром описанной около треугольника окружности.

3) Если около многоугольника можно описать окружность, то центр этой описанной окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Как построить высоту треугольника — основные способы

С применением циркуля

Если нужно нарисовать высоту (перпендикуляр к противоположной стороне) в произвольном треугольнике и измерить её, то лучше всего воспользоваться классическим методом построения. Он предусматривает использование циркуля в качестве основной рабочей принадлежности. Кроме этого, для работы понадобится лист бумаги, небольшая линейка, ластик и простой карандаш.

Способ начертить искомый отрезок:

  • На листе бумаги чертят треугольник (можно нарисовать заранее, чтобы сэкономить время).
  • Рисунок располагают так, чтобы вершина угла, из которого нужно начертить высоту, находилась сверху, а противоположная ему сторона фигуры была расположена горизонтально (по отношению к ученику).
  • Иглу циркуля ставят в вершине любого угла у основания.
  • Ножку с грифелем ставят в верхнюю точку треугольника, из которой проводится высота.
  • Циркулем рисуют окружность и делают пометку в месте её пересечения с основанием фигуры.
  • Аналогичным способом чертят круг из другого угла при основании. При этом важно определить новый радиус, который будет равен длине второй стороны треугольника.
  • Делают пометку в месте пересечения начерченных окружностей.
  • Ластиком стирают лишние линии, оставляя лишь поставленную точку.
  • С помощью карандаша и линейки из неё проводят отрезок к вершине, который и будет высотой треугольника.
  • Стирают линии, находящиеся под основанием.

Таким же способом можно с помощью циркуля построить высоту треугольника из любого другого угла.

С помощью линейки

Начертить и обозначить высоту можно и без циркуля. Для этого следует воспользоваться чертёжным угольником, 2 стороны которого перпендикулярны друг другу. Альтернативой этой школьной принадлежности могут стать 2 прямые линейки, соединённые между собой под прямым углом.

В остроугольном треугольнике

Провести высоту в треугольнике, где все углы острые (менее 90 градусов), довольно просто.

Чтобы справиться с этой задачей, нужно подготовить все необходимое и заранее начертить на бумаге геометрическую фигуру.

Правильная последовательность действий:

  • Находят вершину, из которой хотят провести перпендикуляр.
  • Совмещают угольник с противоположной стороной фигуры.
  • Перемещают чертёжную принадлежность до тех пор, пока её перпендикулярная сторона не пройдёт через вершину.
  • Простым карандашом проводят линию, которая и будет искомым отрезком.

В тупоугольной фигуре

Трёхсторонняя фигура, у которой один из углов тупой (более 90 градусов) имеет только 1 внутреннюю высоту. Для её проведения используют то же, что и в предыдущем случае.

Порядок действий:

  • Располагают чертёж так, чтобы тупой угол оказался у основания.
  • Угольник прикладывают к наибольшей стороне фигуры.
  • Совмещают перпендикулярную сторону линейки с вершиной тупого угла.
  • Соединяют 2 точки простым карандашом, получая искомую линию.

В прямоугольном и равнобедренном

В прямоугольном треугольнике нужно находить только 1 высоту. Две другие будут совпадать с катетами.

Пошаговая инструкция:

  • Прикладывают одну из перпендикулярных сторон угольника к гипотенузе.
  • Вторую сторону линейки совмещают с вершиной прямого угла.
  • Проводят линию, которая будет высотой.

Проще всего проводить перпендикуляр из верхней точки равнобедренного треугольника.

Он будет совпадать с биссектрисой и медианой фигуры. Начертить его можно таким же способом, что и для остроугольной фигуры. Более простой метод предусматривает выполнение следующих действий:

  • Линейкой замеряют длину основания.
  • Эту величину делят на 2.
  • Полученное значение откладывают от вершины одного из углов при основании.
  • Отмечают середину стороны и соединяют её с верхней точкой фигуры.

Проведение высоты в треугольнике — это простая задача, с которой легко справится каждый ученик.

Для этого достаточно сделать чертёж геометрической фигуры и воспользоваться одним из существующих способов построения. Такая работа потребует минимум времени и не отнимет у школьника много сил.

Please wait.

We are checking your browser. mathvox.ru

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Cloudflare Ray ID: 6d8657a1d965160a • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare

Как построить высоту треугольника – основные способы

С применением циркуля

Если нужно нарисовать высоту (перпендикуляр к противоположной стороне) в произвольном треугольнике и измерить её, то лучше всего воспользоваться классическим методом построения. Он предусматривает использование циркуля в качестве основной рабочей принадлежности. Кроме этого, для работы понадобится лист бумаги, небольшая линейка, ластик и простой карандаш.

Способ начертить искомый отрезок:

  • На листе бумаги чертят треугольник (можно нарисовать заранее, чтобы сэкономить время).
  • Рисунок располагают так, чтобы вершина угла, из которого нужно начертить высоту, находилась сверху, а противоположная ему сторона фигуры была расположена горизонтально (по отношению к ученику).
  • Иглу циркуля ставят в вершине любого угла у основания.
  • Ножку с грифелем ставят в верхнюю точку треугольника, из которой проводится высота.
  • Циркулем рисуют окружность и делают пометку в месте её пересечения с основанием фигуры.
  • Аналогичным способом чертят круг из другого угла при основании. При этом важно определить новый радиус, который будет равен длине второй стороны треугольника.
  • Делают пометку в месте пересечения начерченных окружностей.
  • Ластиком стирают лишние линии, оставляя лишь поставленную точку.
  • С помощью карандаша и линейки из неё проводят отрезок к вершине, который и будет высотой треугольника.
  • Стирают линии, находящиеся под основанием.

Таким же способом можно с помощью циркуля построить высоту треугольника из любого другого угла.

С помощью линейки

Начертить и обозначить высоту можно и без циркуля. Для этого следует воспользоваться чертёжным угольником, 2 стороны которого перпендикулярны друг другу. Альтернативой этой школьной принадлежности могут стать 2 прямые линейки, соединённые между собой под прямым углом.

В остроугольном треугольнике

Провести высоту в треугольнике, где все углы острые (менее 90 градусов), довольно просто.

Чтобы справиться с этой задачей, нужно подготовить все необходимое и заранее начертить на бумаге геометрическую фигуру.

Правильная последовательность действий:

  • Находят вершину, из которой хотят провести перпендикуляр.
  • Совмещают угольник с противоположной стороной фигуры.
  • Перемещают чертёжную принадлежность до тех пор, пока её перпендикулярная сторона не пройдёт через вершину.
  • Простым карандашом проводят линию, которая и будет искомым отрезком.

В тупоугольной фигуре

Трёхсторонняя фигура, у которой один из углов тупой (более 90 градусов) имеет только 1 внутреннюю высоту. Для её проведения используют то же, что и в предыдущем случае.

Порядок действий:

  • Располагают чертёж так, чтобы тупой угол оказался у основания.
  • Угольник прикладывают к наибольшей стороне фигуры.
  • Совмещают перпендикулярную сторону линейки с вершиной тупого угла.
  • Соединяют 2 точки простым карандашом, получая искомую линию.

В прямоугольном и равнобедренном

В прямоугольном треугольнике нужно находить только 1 высоту. Две другие будут совпадать с катетами.

Пошаговая инструкция:

  • Прикладывают одну из перпендикулярных сторон угольника к гипотенузе.
  • Вторую сторону линейки совмещают с вершиной прямого угла.
  • Проводят линию, которая будет высотой.

Проще всего проводить перпендикуляр из верхней точки равнобедренного треугольника.

Он будет совпадать с биссектрисой и медианой фигуры. Начертить его можно таким же способом, что и для остроугольной фигуры. Более простой метод предусматривает выполнение следующих действий:

  • Линейкой замеряют длину основания.
  • Эту величину делят на 2.
  • Полученное значение откладывают от вершины одного из углов при основании.
  • Отмечают середину стороны и соединяют её с верхней точкой фигуры.

Проведение высоты в треугольнике — это простая задача, с которой легко справится каждый ученик.

Для этого достаточно сделать чертёж геометрической фигуры и воспользоваться одним из существующих способов построения. Такая работа потребует минимум времени и не отнимет у школьника много сил.

Построение перпендикулярных прямых

Примеры:

1. Даны прямая и точка на ней. Построить прямую проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.

Дано: прямая m, Mm.

Построить: МPm.

Решение:

Произвольно строим с помощью линейки прямую m и отмечаем на ней точку М.

На лучах прямой m, исходящих из точки М, с помощью циркуля откладываем равные отрезки МА и МВ (МА = МВ). Для этого строим окружность с центром в точке М, при этом всю окружность строить не обязательно, достаточно сделать пометки по разные стороны от точки М (смотри выделенное красным).

Затем строим две окружности с центрами в точках А и В радиуса АВ (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное фиолетовым и красным цветом).

Данные окружности пересекаются в двух точках, обозначим их Р и Q. Проведем с помощью линейки через точку М и одну из точек Р или Q прямую, например, МР.

Докажем, что прямая МР – искомая прямая, т.е. что МPm.

Рассмотрим треугольник АРВ.

АР = ВР, т.к. по построению это радиусы одинаковых окружностей, следовательно, АРВ – равнобедренный. По построению МА = МВ, т.е. МР – медиана равнобедренного треугольника, тогда по свойству равнобедренного треугольника МР и высота, т.е. МPm. Что и требовалось доказать.

2. Даны прямая и точка не лежащая на этой прямой. Построить прямую проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.

Дано: прямая m, Mm.

Построить: МNm.

Решение:

Произвольно строим с помощью линейки прямую m и отмечаем точку М, не лежащую на прямой m.

Далее строим окружность с центром в данной точке М, пересекающую прямую m в двух точках, которые обозначим буквами А и В (всю окружность строить необязательно, смотри выделенное красным цветом).

Затем построим две окружности с центрами в точках А и В, проходящие через точку М (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное синим и зеленым цветом). Эти окружности пересекутся в точке М и еще в одной точке, которую обозначим буквой N. Проведем прямую МN.

Докажем что, прямая МN – искомая, т.е. МNm.

В АМN и ВМN: АМ = АN = ВМ = ВN – радиусы, МN – общая, следовательно, АМN =ВМN (по трем сторонам), значит, углы ВМС и АМС равны (С точка пересечения прямых m и МN). Отсюда следует, что отрезок МС – биссектриса равнобедренного треугольника АМВ (АМ = ВМ – радиусы) с основанием АВ, тогда по свойству равнобедренного треугольника АМ – высота, значит, МNАВ, т.е. МNm.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

[spoiler title=”источники:”]

http://nauka.club/matematika/geometriya/kak-postroit-vysotu-treugolnika.html

http://budu5.com/manual/chapter/3336

[/spoiler]

Источник

Добавить комментарий