Как найти перпендикуляр зная все стороны

Как найти перпендикуляр в треугольнике

В геометрии одна задача может скрывать в себе множество подзадач, требующих от решающего их человека наличия большого количества знаний. Так для операций с треугольниками, нужно знать о соотношениях между медианами, биссектрисами и сторонами, уметь разными способами вычислять площадь фигур, а также находить перпендикуляр.

Инструкция

Обратите внимание на то, что перпендикуляр в треугольнике необязательно должен лежать внутри фигуры. Высота, опущенная на основание, может оказаться и на продолжении стороны, как это происходит в том случае, если один из углов больше девяноста градусов, или совпадать со стороной, если треугольник прямоугольный.

Воспользуйтесь формулой для вычисления высоты треугольника, если задача содержит все требуемые для этого данные. Для нахождения перпендикуляра составьте дробь, в числителе которой удвоенный квадратный корень из следующего произведения: р*(р-а)(р-в)(р-с), где а, в и с – стороны треугольника, а р – его полупериметр. В знаменателе дроби должна стоять длина того основания, на которое опущен перпендикуляр.

Найдите высоту треугольника, воспользовавшись формулой для вычисления площади этой фигуры: для этого достаточно удвоенную площадь поделить на длину основания. Для нахождения площади используйте другие формулы: например, найти эту величину можно через полупроизведение двух сторон треугольника на синус угла между ними.

Запомните основное соотношение между высотами треугольника: оно обратно пропорционально отношению оснований. Также выучите стандартные формулы, позволяющие быстро найти перпендикуляр в равностороннем и равнобедренном треугольнике. В первом случае высота являет собой произведение стороны треугольника на синус угла в 60 градусов (как следствие формулы для вычисления площади), во втором – удвоенному корню из разности квадрата двойной длины боковой стороны и квадрата основания.

Посчитайте перпендикуляр треугольника, введя данные в графы онлайн-калькулятора. Для этого вам необходимо знать длины сторон данной фигуры, так как расчет проводится по первой указанной выше формуле, использующей полупериметр.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Как найти длину перпендикуляра

Даны точка и прямая представленная уравнением (1) § 161. Требуется найти расстояние от точки до прямой т. е. длину перпендикуляра (см. рис. 175), опущенного из точки на прямую .

Можно сначала найти основание К перпендикуляра (§ 161, пример), затем длину отрезка Проще применить формулу (при обозначениях § 161)

т. е. в векторной форме

Числитель выражения (1а) есть площадь параллелограмма (§ 111) , а знаменатель — длина основания Следовательно, дробь равна высоте параллелограмма.

Расстояние от точки до прямой

Что называется расстоянием от точки до прямой? Как найти расстояние от точки до прямой?

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую.

Таким образом, чтобы найти расстояние от точки до прямой, надо из точки к прямой провести перпендикуляр и найти его длину.

Например, на рисунке 1 расстояние от точки A до прямой a равно длине перпендикуляра AB, опущенного из точки A на прямую a.

Задачи на нахождение расстояния от точки до прямой сводятся к рассмотрению прямоугольного треугольника.

№ 1. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых относятся как 2:3, а длины их проекций соответственно равны 2 см и 7 см. Найти расстояние от точки до прямой.

Дано: A∉a,

BC и BD — их проекции, BC=2 см, BD=7 см

1) Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда AC=2k см, AD=3k см.

2) Рассмотрим треугольник ABC — прямоугольный (так как AB — перпендикуляр к прямой a по условию). По теореме Пифагора

3) Аналогично, из треугольника ABD

4) Приравниваем правые части полученных равенств и находим k:

5) Зная k, найдем AB:

№ 2. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых равны 13 см и 15 см. Найти расстояние от точки до прямой, если разность проекций наклонных равна 4 см.

Дано: A∉a,

AC и AD — наклонные, AC=13 см, AD=15 см,

BC и BD — их проекции, BD-BC=4 см

1) Пусть BC=x см, тогда BD=x+4 см.

2) Рассмотрим треугольник ABC — прямоугольный (так как AB — перпендикуляр к прямой a по условию). По теореме Пифагора

3) Аналогично, из треугольника ABD

4) Приравниваем правые части полученных равенств и находим x:

5) Зная x, найдем AB:

№ 3. Найти расстояние от точки A до прямой a, если известно, что наклонная AF, длина которой равна c, образует с прямой a угол α.

Дано: A∉a,

Треугольник ABF — прямоугольный (так как AB — перпендикуляр к прямой a по условию). AB — катет, противолежащий углу ACB, AF — гипотенуза.

Основные сведения о перпендикуляре к прямой — что это такое, как находить

Каким будет определение положения прямой и плоскости, зависит от наличия общих точек. Если их больше одной, то прямая лежит на данной плоскости, если одна — то она ее пересекает. Если прямая не имеет с плоскостью точек пересечения, то прямая и плоскость параллельны.

Пересечение прямой линии и плоскости может происходить под разными углами. Если при пересечении между прямой и плоскостью образуется прямой угол, то такая прямая является к плоскости перпендикуляром. При этом она перпендикулярна всем прямым линиям, принадлежащим данной плоскости. Из этого свойства вытекает следующее определение.

Перпендикулярной к плоскости называется прямая линия, которая перпендикулярна всем без исключения прямым, лежащим в выбранной плоскости.

Следствием из данного определения является свойство плоскости, для которой установлено наличие перпендикуляра. Оно формулируется следующим образом: «Если плоскость перпендикулярна некоторой прямой, то она является также перпендикулярной для всех прямых, параллельных данной прямой».

В решении задач на построение перпендикуляров к плоскости в конкретной точке существует только одно решение, поскольку через определенную точку можно провести только одну прямую, занимающую по отношению к плоскости перпендикулярное положение.

О единственности такой прямой в геометрии существует доказательство.

Проведение перпендикуляра из точки к прямой

В жизни с перпендикуляром можно столкнуться часто. Например, если по двум параллельным направляющим движутся тела, то кратчайшее расстояние между ними будет лежать именно по перпендикуляру.

Допустим, на уроке ученикам дали задание построить перпендикуляр к имеющейся площади. Особым условием является то, что проходить этот перпендикуляр должен через выбранную точку. Технически задача проста. Для ее исполнения нужен чертежный треугольник, один угол у которого является прямым, то есть составляет 90°.

Приложив его к прямой таким образом, что одна из сторон, образующих прямой угол, лежит на прямой, а другая — проходит через точку с определенными координатами, необходимо соединить эту точку и прямую.

Такой отрезок будет кратчайшим соединением точки с прямой линией (и выбранной плоскостью).

Взаимное положение такого перпендикуляра и прямой обозначается специальным знаком.

Для перпендикуляра, проведенного из выбранной точки к прямой, можно определить длину. Она равна расстоянию от этой точки до точки пересечения с прямой плоскостью.

Как построить перпендикуляр к прямой

Построить перпендикуляр к прямой можно несколькими способами:

1. С помощью циркуля.

Из выбранной точки P проводим полуокружность, которая пересекается с прямой в точках A и B.

Затем тем же радиусом строим две окружности, центры которых совпадают с точками A и B. При этом окружности проходят через точку P.

Следующим шагом будет соединение точек P и Q.

На данном рисунке перпендикуляр к прямой AB — отрезок PQ.

2. Вторым способом построения перпендикуляра является использование транспортира. Чтобы провести перпендикуляр, внимательно откладываем 90° от выбранной точки на прямой, используя при этом линейку транспортира. Отрезок, соединяющий эту точку и деление 90°, является перпендикуляром к прямой в заданной точке.

3. Третий способ был описан выше. Он основан на применении чертежного треугольника и линейки. С помощью линейки проводим прямую. Прикладываем к ней прямым углом треугольник и очерчиваем этот угол с двух сторон. Один отрезок совпадает с имеющейся прямой, а второй является перпендикуляром к ней.

Пояснение на примерах

В конспектах по геометрии присутствует понятие высоты, представляющей собой перпендикуляр к одной из сторон геометрической фигуры (например, треугольника).

Высотой треугольника называется перпендикуляр, который выходит из вершины треугольника и следует к противоположной стороне (либо к продолжению этой стороны, если треугольник тупоугольный).

В данном определении содержится отличие от основной характеристики биссектрисы, которая, опускаясь на противолежащую углу сторону, не является перпендикуляром к ней.

Аналогичная ситуация с определением медианы — линии, исходящей из угла треугольника и делящей противоположную сторону на две равные части.

Высоту треугольника можно провести из любого его угла, поэтому у каждого треугольника имеется три высоты.

Существует теорема, что все три высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром.

Используя свойство высоты треугольника о пересечении одной из его сторон под прямым углом, можно через высоту выразить формулу площади треугольника:

Уравнение для расчета высоты через площадь:

Найти через длины сторон:

h a = 2 p p — a p — b p — c a

где p — это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

p = a + b + c 2
Можно дать краткую характеристику еще двум способам выразить высоту треугольника:

Обновлено: 15.05.2023

Определение и формулы для расчета серединного перпендикуляра треугольника

Серединный перпендикуляр треугольника – это перпендикуляр, проведенный к середине стороны треугольника.

Три срединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром описанной окружности.

Точка пересечения серединных перпендикуляров в остроугольном треугольнике лежит внутри треугольника; в тупоугольном – вне треугольника; в прямоугольном – на середине гипотенузы.

Свойства срединных перпендикуляров треугольника:

• Любая точка серединного перпендикуляра к стороне равноудалена от концов этой стороны.
• Любая точка, равноудаленная от концов стороны, лежит на серединном перпендикуляре к ней.
• Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Примеры решения задач

По свойству серединного перпендикуляра точка равноудалена от концов стороны , т.е. . Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдем :

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).

Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован тремя лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный внутреннему углы треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180°:

Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, и больше любого внутреннего, с ним не смежного:

Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон:

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол:

Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине:

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны:

У равных треугольников все соответствующие элементы равны (стороны, углы, высоты, медианы, биссектрисы, средние линии и т.д.)

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов – равные стороны.

Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны:

Второй признак равенства треугольников.

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Третий признак равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Подобными называются треугольники, у которых соответствующие стороны пропорциональны.

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия:

Два треугольника подобны, если:

• Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
• Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, и углы, образованные этими сторонами, равны.
• Стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны:

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Прямая, пересекающая две стороны треугольника, и параллельная третьей, отсекает треугольник, подобный данному:

Три средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, подобные данному, с коэффициентом подобия ½:

Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей медианы в отношении 2:1, считая от вершины:

• Медиана делит треугольник на два равновеликих (с равными площадями) треугольника.
• Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников:

Длины медиан, проведённых к соответствующим сторонам треугольника, равны:

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, находящейся внутри треугольника, равноудалённой от трёх его сторон, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

Длина биссектрисы угла А :

Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны.

Биссектриса внешнего угла треугольника делит (внешне) противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

BL – биссектриса угла В ;

ВЕ – биссектриса внешнего угла СВК :

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

Длина высоты, проведённой к стороне а :

Серединный перпендикуляр – это прямая, которая проходит через середину стороны треугольника перпендикулярно к ней.

Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около данного треугольника.

Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром противолежащей стороны лежит на окружности, описанной около данного треугольника.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Точки касания вписанной окружности сторон треугольника отсекают от его сторон три пары равных между собой отрезков:

Радиус вписанной в треугольник окружности – расстояние от её центра до сторон треугольника:

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Радиус описанной окружности:

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠ A = ∠ C.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, и высотой: BL – медиана, биссектриса, высота.

Основные формулы для равнобедренного треугольника:

Треугольник у которого все стороны равны называется равносторонним или правильным треугольником.

Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Все углы равностороннего треугольника равны:

Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины:

Основные соотношения для элементов равностороннего треугольника

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой.

Прямоугольные треугольники равны если у них равны:

• два катета;
• катет и гипотенуза;
• катет и прилежащий острый угол;
• катет и противолежащий острый угол;
• гипотенуза и острый угол.

• одному острому углу;
• из пропорциональности двух катетов;
• из пропорциональности катета и гипотенузы.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему:

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему:

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, может быть определена через катеты и их проекции на гипотенузу:

Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы:

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит данный треугольник на два треугольника, подобные данному:

Площадь прямоугольного треугольника можно определить

через катеты:

через катет и острый угол:

через гипотенузу и острый угол:

Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

Радиус описанной окружности:

Радиус вписанной окружности:

Три окружности, каждая из которых касается одной стороны (снаружи) и продолжений двух других сторон треугольника, называются вневписанными.

Центр вневписанной окружности лежит не пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.

Так точка О₁ , центр одной из вневписанных окружностей Δ ABC , лежит на пересечении биссектрисы ∠ A треугольника ABC и биссектрис BО₁ и C О₁ внешних углов Δ ABC при вершинах B и C .

Таким образом, шесть биссектрис треугольника – три внутренние и три внешние – пересекаются по три в четырёх точках – центрах вписанной и трёх вневписанных окружностей.

Δ ABC является ортоцентричным в Δ О₁О₂О₃ (точки A , B и C – основания высот в Δ О₁О₂О₃ ).

В Δ ABC углы равны 180°–2 О₁ , 180°–2 О₂ , 180°–2 О₃ .

Радиус окружности, описанной около Δ О₁О₂О₃ , равен 2 R , где R – радиус окружности, описанной около Δ ABC .

Δ ABC имеет наименьший периметр среди всех треугольников, вписанных в Δ О₁О₂О₃ .

Если r_a , r_b , r_с – радиусы вневписанных окружностей в Δ ABC , то в Δ ABC верно:

для r –

для R –

для S –

для самих r_a , r_b , r_с –

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

• если c 2 > a 2 +b 2 , то угол γ – тупой ( cos γ
• если c 2 2 +b 2 , то угол γ – острый ( cos γ > 0 );
• если c 2 = a 2 +b 2 , то угол γ – прямой ( cos γ = 0 ).

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности:

Треугольники: равные, равнобедренные. Первый, второй и третий признаки равенства треугольников. Перпендикуляр, высота, медиана, биссектриса, основание, вершина, боковая сторона. Свойства и признаки равнобедренного треугольника. Серединный перпендикуляр, геометрическое место точек, первая замечательная точка. Подробные доказательства теорем.

Треугольник — одна из самых замечательных и самых важных фигур в геометрии. Все знают, как он выглядит. Но что же такое треугольник? Допустим, что треугольник — это замкнутая ломаная из трех звеньев. Можно представить себе треугольник, сделанный из проволоки. Но известно, что у него есть площадь. Поэтому треугольник — это трехзвенная замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает. Представьте себе треугольник, сделанный из фанеры или вырезанный из картона.

Очень важным моментом при решении геометрических задач является нахождение равных треугольников. Очевидно, что если у двух треугольников все стороны и углы окажутся соответственно равными, то и треугольники будут равны. На практике равные треугольники определяют, прикладывая их друг к другу. Если треугольники совпадут при наложении, значит, они равны. Этот способ и позволяет дать определение равных треугольников.

Треугольник — это трехзвенная замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает. Сумма длин всех трех сторон треугольника называется периметром. Треугольники называются равными, если совпадают при наложении. Если равные треугольники наложить так, что они совпадут, то окажется, что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов лежат равные стороны.

Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Действительно, если наложить треугольники друг на друга равными углами, то совпадут и равные стороны. Значит, совпадут и оставшиеся две вершины.

Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если наложить треугольники друг на друга равными сторонами, то совпадут углы, прилежащие к этим сторонам. Значит, совпадут и третьи вершины.

Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную прямую, называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, проходящей через данную точку, с концами в данной точке и в точке пересечения с данной прямой. Точка пересечения называется основанием перпендикуляра.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной и точкой пересечения биссектрисы угла и стороны треугольника.

Свойства равнобедренного треугольника. 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 2. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины к основанию, является высотой и медианой.

Признак равнобедренного треугольника (по двум углам). Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Есть еще три признака равнобедренного треугольника. Треугольник является равнобедренным, если:

• высота треугольника является и медианой;
• высота треугольника является и биссектрисой;
• медиана треугольника является и биссектрисой (доказывается продлением медианы на ее длину).

Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

Свойство точек серединного перпендикуляра. Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек плоскости, обладающих общим свойством. Например, все точки серединного перпендикуляра равноудалены от концов отрезка, и все точки плоскости, равноудаленные от концов отрезка, лежат на серединном перпендикуляре.

Первая замечательная точка. Все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной окружности.

Возьмем прямую и точку А, не лежащую на этой прямой. Соединим точку А с точкой Н, лежащей на прямой (Рис.1).

Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой , если прямые АН и перпендикулярны.

Теорема

Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Доказательство:

1. Существование перпендикуляра.

Пусть точка А не лежит на прямой ВС. Проведем луч ВА. Затем от луча ВС отложим угол СВD, равный углу АВС. На луче ВD отложим отрезок ВК, равный отрезку ВА (Рис.2).

Проведем прямую АК, пусть Н – точка пересечения прямых ВС и АК (Рис.3).

АВН = КВН по первому признаку равенства треугольников: ВН – общая сторона, ВА = ВК, АВН =КBН (по построению), ВНА =ВНD. Но ВНА и ВНD – смежные углы, тогда по свойству смежных углов ВНА +ВНD = 180 0 , следовательно, каждый из смежных улов прямой, т.е. ВНА =ВНD = 90 0 , а значит АНВС.

2. Единственность перпендикуляра.

Предположим, что через точку А можно провести еще один перпендикуляр АН₁ к прямой ВС, тогда получим, что две прямые АН и АН₁, перпендикулярные к прямой ВС пересекаются в точке А (Рис.4). Но по свойству перпендикулярных прямых, прямые АН и АН₁ пересекаться не могут, значит, наше предположение неверно и через точку А можно провести только один перпендикуляр к прямой ВС. Теорема доказана.

Проведение перпендикуляра из точки к прямой

Для проведения перпендикуляра из точки к прямой, используют чертежный угольник (Рис.5). Чертежный угольник прикладывают так, чтобы одна из его сторон, образующих прямой угол угольника, располагалась вдоль прямой, к которой нужно провести перпендикуляр. Вдоль второй стороны, образующей прямой угол угольника, проводим прямую так, чтобы она проходила через точку, из которой нужно провести перпендикуляр к прямой. Отрезок, соединяющий точку на прямой, к которой нужно провести перпендикуляр, и точку, из которой нужно провести перпендикуляр, и есть перпендикуляр проведенный из данной точки к данной прямой. На Рис.5 АН.

В геометрии одна задача может скрывать в себе множество подзадач, требующих от решающего их человека наличия большого количества знаний. Так для операций с треугольниками, нужно знать о соотношениях между медианами, биссектрисами и сторонами, уметь разными способами вычислять площадь фигур, а также находить перпендикуляр.

• Как найти перпендикуляр в треугольнике
• Как провести перпендикуляр
• Как найти точку пересечения высот треугольника

Обратите внимание на то, что перпендикуляр в треугольнике необязательно должен лежать внутри фигуры. Высота, опущенная на основание, может оказаться и на продолжении стороны, как это происходит в том случае, если один из углов больше девяноста градусов, или совпадать со стороной, если треугольник прямоугольный.

Воспользуйтесь формулой для вычисления высоты треугольника, если задача содержит все требуемые для этого данные. Для нахождения перпендикуляра составьте дробь, в числителе которой удвоенный квадратный корень из следующего произведения: р*(р-а)(р-в)(р-с), где а, в и с – стороны треугольника, а р – его полупериметр. В знаменателе дроби должна стоять длина того основания, на которое опущен перпендикуляр.

Найдите высоту треугольника, воспользовавшись формулой для вычисления площади этой фигуры: для этого достаточно удвоенную площадь поделить на длину основания. Для нахождения площади используйте другие формулы: например, найти эту величину можно через полупроизведение двух сторон треугольника на синус угла между ними.

Запомните основное соотношение между высотами треугольника: оно обратно пропорционально отношению оснований. Также выучите стандартные формулы, позволяющие быстро найти перпендикуляр в равностороннем и равнобедренном треугольнике. В первом случае высота являет собой произведение стороны треугольника на синус угла в 60 градусов (как следствие формулы для вычисления площади), во втором – удвоенному корню из разности квадрата двойной длины боковой стороны и квадрата основания.

Посчитайте перпендикуляр треугольника, введя данные в графы онлайн-калькулятора. Для этого вам необходимо знать длины сторон данной фигуры, так как расчет проводится по первой указанной выше формуле, использующей полупериметр.

Читайте также:

  

• Подготовительная группа по физкультуре в школе нормативные документы как оценивается

  

• Школа россии проект говорите правильно 4 класс русский язык

  

• Чему учил христос кратко

  

• Общеобразовательная политехническая трудовая средняя школа с производственной деятельностью

  

• Как сделать пенек своими руками для детского сада