Перпендикулярность векторов
Мы можем выяснить, будут ли два каких-либо вектора взаимно перпендикулярными. Для этого нужно воспользоваться координатами векторов и некоторыми приемами, описанными в данной статье. Информация о перпендикулярности будет полезной для решения некоторых задач физики и математики.
Координаты вектора на плоскости, равного по модулю и перпендикулярного данному
Пусть на плоскости заданы координаты какого-либо вектора. Из этих координат получим координаты двух дополнительных векторов, перпендикулярных первоначальному вектору. Все три вектора будут иметь равные длины и располагаться в плоскости xOy.
Алгоритм получения координат перпендикулярных векторов
Вектор на плоскости xOy, перпендикулярный данному вектору получают так:
- Поменять местами координатные числа «x» и «y».
- Заменить знак у одной из координат на противоположный.
Графический пример
Рассмотрим небольшой графический пример (рис. 1).
Рис. 1. На рисунке векторы, обозначенные черным цветом, перпендикулярны вектору, обозначенному красным цветом
На плоскости проведены три вектора: один красный и два черных и, отмечены их координаты. Рассмотрим подробнее координаты двух векторов: (vec{a}) и (vec{b}).
[ vec{a} = left{ 4 ; 3 right} ]
[ vec{b} = left{ -3 ; 4 right} ]
Из рисунка видно, что векторы (vec{a}) и (vec{b}) перпендикулярны: ( vec{a} perp vec{b} ).
Вектор ( -vec{b} = left{ 3 ; -4 right} ), также будет перпендикулярным вектору ( vec{a} ): ( vec{a} perp vec{(-b)} )
Векторы, изображенные черным цветом, перпендикулярны красному вектору.
Длины векторов ( vec{a} ), ( vec{b} ) и ( vec{(-b)} ) равны.
Условие перпендикулярности векторов
Взаимную перпендикулярность двух векторов можно проверить, вычислив их скалярное произведение. Этот способ проверки можно применять для векторов, расположенных как на плоскости, так и в трехмерном пространстве.
Векторы будут перпендикулярными, когда их скалярное произведение равно нулю.
Пусть, известны координаты двух векторов и пусть каждый вектор имеет ненулевую длину.
[ large boxed { begin{cases} vec{a} = left{ a_{x} ; a_{y} ; a_{z} right} \ vec{b} = left{ b_{x} ; b_{y} ; b_{z} right} \ |vec{a}| ne 0 \ |vec{b}| ne 0 end{cases}}]
Запишем условие перпендикулярности векторов.
Для двумерного случая:
[ large boxed { a_{x} cdot b_{x} + a_{y} cdot b_{y} = 0 }]
Для трехмерного случая:
[ large boxed { a_{x} cdot b_{x} + a_{y} cdot b_{y} + a_{z} cdot b_{z} = 0 }]
Пользуясь любой из этих формул, можно определить одну неизвестную координату вектора.
При этом, должны быть известными остальные координаты этого вектора и все координаты второго вектора.
Примечание:
Есть такое правило: Количество неизвестных должно равняться количеству уравнений.
Чтобы однозначно определить значение неизвестной, в уравнение должна входить только одна неизвестная. Остальные величины должны быть известными.
Перпендикулярные векторы в физике
В физике перпендикулярность некоторых векторов достаточно важна.
Вот несколько примеров:
- Если угол между вектором скорости тела и вектором силы, действующей на тело, будет прямым, то такая сила работу по перемещению тела совершать не будет.
- На проводник с током магнитное поле действует максимальной силой, когда вектор магнитной индукции и вектор тока в проводнике перпендикулярны.
- Когда угол между вращающей силой и, расстоянием между точкой приложения силы и осью вращения, будет прямым, вращательный момент будет максимальным.
- Между линейной скоростью точки колеса и расстоянием от этой точки до оси вращения, угол прямой (радиус и касательная перпендикулярны).
- На вращающееся тело действует центростремительная сила. Угол прямой между этой силой и линейной скоростью точки тела (радиус и касательная перпендикулярны).
Оценка статьи:
Загрузка…
Как найти вектор перпендикулярный вектору
ФОРМУЛА
Чтобы вектор ( overline{a}) был перпендикулярен вектору ( overline{b}) , необходимо, чтобы его скалярное произведение было равно нулю, т.е.
(
(overline{a}, overline{b})=0
)
Если векторы задаются на плоскости своими координатами (
overline{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)
) и (
overline{b}=left(b_{x} ; b_{y}right)
), то условие их перпендикулярности принимает вид:
(
(overline{a}, overline{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}=0
)
Если векторы заданы в пространстве и имеют координаты (
overline{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)
) и (
overline{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)
), то перпендикулярное условие записывается в виде:
(
(overline{a}, overline{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}=0
)
ПРИМЕРЫ РАСПОЛОЖЕНИЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОГО ВЕКТОРА
ПРИМЕР
overline{a}=(2 ;-1)
) и (
overline{b}=(-3 ; m)
) . При каком значении (
m
) эти векторы будут перпендикулярны?
overline{a}
) и (
overline{b}
) были перпендикулярны, необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю, то есть условие выполняется:
(
(overline{a}, overline{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}=0
)
Подставляем координаты указанных векторов в это выражение и из полученного равенства находим (
m
):
(
2 cdot(-3)+(-1) cdot m=0
)
(
-6-m=0
)
(
m=-6
)
overline{a}
) и (
overline{b}
) будут перпендикулярны (
m=-6
)
ПРИМЕР
overline{a}=(3 ;-2 ; m)
) и (
overline{b}=(-1 ; m ; 1)
) даны. При каком значении (
m
) эти векторы будут перпендикулярны?
(
(overline{a}, overline{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}=0
)
Подставив в него указанные координаты векторов, мы получим:
(
3 cdot(-1)+(-2) cdot m+m cdot 1=0
)
(
3-2 cdot m+m=0
)
Из полученного уравнения находим (
m=-6
):
(
3-m=0 Rightarrow m=-3
)
m=-3
)
Анна Кирпиченкова
Эксперт по предмету «Геометрия»
Задать вопрос автору статьи
Понятие вектора и перпендикулярности векторов
Вначале надо разобраться, что является геометрическим вектором. Для этого сначала введем понятие отрезка.
Определение 1
Отрезком будем называть такую часть прямой, которая ограничена точками с двух сторон.
Определение 2
Концами отрезка будем называть точки, которые его ограничивают.
Для введения определения вектора один из концов отрезка назовем его началом.
Определение 3
Вектором (направленным отрезком) будем называть такой отрезок, у которого обозначено, какая граничная точка его начало, а какая является его концом.
Обозначение: $overline{AB}$ – вектор $AB$, имеющий начало в точке $A$, а конец в точке $B$.
Иначе одной маленькой буквой: $overline{a}$ (рис. 1).
Определение 4
Нулевым вектором будем называть любую точку, которая принадлежит плоскости.
Обозначение: $overline{0}$.
Введем теперь, непосредственно, определение коллинеарных векторов.
Определение 5
Два ненулевых вектора будем называть перпендикулярными (ортогональными), если они лежат на каких-либо перпендикулярных прямых (рис.2).
«Как найти вектор, перпендикулярный вектору» 👇
Также введем определение скалярного произведения, которое будет нам необходимо далее.
Определение 6
Скалярным произведением двух данных векторов будем называть такой скаляр (или число), который равняется произведению длин двух этих векторов с косинусом угла между данными векторами.
Математически это может выглядеть следующим образом:
$overline{α}overline{β}=|overline{α}||overline{β}|cos∠(overline{α},overline{β})$
Скалярное произведение также можно найти с помощью координат векторов следующим образом
$overline{α}overline{β}=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3$
Признак перпендикулярности через пропорциональность
Теорема 1
Чтобы ненулевые векторы были перпендикулярны между собой, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение этих векторов равнялось нулю.
Доказательство.
Необходимость: Пусть нам даны векторы $overline{α}$ и $overline{β}$, которые имеют координаты $(α_1,α_2,α_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно, причем они перпендикулярны друг другу. Тогда нам нужно доказать следующее равенство
$overline{α}cdot overline{β}=0$
Так как векторы $overline{α}$ и $overline{β}$ перпендикулярны, то угол между ними равняется $90^0$. Найдем скалярное произведение данных векторов по формуле из определения 6.
$overline{α}cdot overline{β}=|overline{α}||overline{β}|cos90^circ =|overline{α}||overline{β}|cdot 0=0$
Достаточность: Пусть верно равенство $overline{α}cdot overline{β}=0$. Докажем, что векторы $overline{α}$ и $overline{β}$ будут перпендикулярны друг другу.
По определению 6, будет верно равенство
$|overline{α}||overline{β}|cos∠(overline{α},overline{β})=0$
$cos∠(overline{α},overline{β})=0$
$∠(overline{α},overline{β})=90^circ$
Следовательно, векторы $overline{α}$ и $overline{β}$ будут перпендикулярны друг другу.
Теорема доказана.
Пример 1
Доказать, что векторы с координатами $(1,-5,2)$ и $(2,1,3/2)$ перпендикулярны.
Доказательство.
Найдем скалярное произведение для этих векторов через формулу, данную выше
$overline{α}cdot overline{β}=1cdot 2+(-5)cdot 1+2cdot frac{3}{2}=2cdot 5+3=0$
Значит, по теореме 1, эти вектор перпендикулярны.
Нахождение перпендикулярного вектора к двум данным векторам через векторное произведение
Введем вначале понятие векторного произведения.
Определение 7
Векторным произведением двух векторов будем называть такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют туже ориентацию, как и декартова система координат.
Обозначение: $overline{α}хoverline{β}$.
Чтобы найти векторное произведение, будем пользоваться формулой
$overline{α}хoverline{β}=begin{vmatrix}overline{i}&overline{j}&overline{k}\α_1&α_2&α_3\β_1&β_2&β_3end{vmatrix}$
Так как вектор векторного произведения двух векторов перпендикулярен обоим этим векторам, то он и будет иском вектором. То есть, для того, чтоб найти перпендикулярный для двух векторов вектор, нужно просто найти их векторное произведение.
Пример 2
Найти вектор, перпендикулярный к векторам с координатами $overline{α}=(1,2,3)$ и $overline{β}=(-1,0,3)$
Решение.
Найдем векторное произведение данных векторов.
$overline{α}хoverline{β}=begin{vmatrix}overline{i}&overline{j}&overline{k}\1&2&3\-1&0&3end{vmatrix}=(6-0)overline{i}-(3+3)overline{j}+(0+2)overline{k}=6overline{i}-6overline{j}+2overline{k}=(6,6,2)$
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Как найти перпендикулярный вектор
Перпендикулярными называются вектора, угол между которыми составляет 90º. Перпендикулярные вектора строятся при помощи чертежных инструментов. Если известны их координаты, то проверить или найти перпендикулярность векторов можно аналитическими методами.
Вам понадобится
- – транспортир;
- – циркуль;
- – линейка.
Инструкция
Постройте вектор перпендикулярный данному. Для этого в точке, которая является началом вектора, восстановите к нему перпендикуляр. Это можно сделать при помощи транспортира, отложив угол 90º. Если транспортира нет, сделайте это циркулем.
Установите его в точку начала вектора. Проведите окружность произвольным радиусом. Затем постройте две окружности с центрами в точках, где первая окружность пересекла прямую, на которой лежит вектор. Радиусы этих окружностей должны быть равны между собой и больше радиуса первой построенной окружности. На точках пересечения окружностей постройте прямую, которая будет перпендикулярна исходному вектору в точке его начала, и отложите на ней вектор, перпендикулярный данному.
Определите перпендикулярность двух произвольных векторов. Для этого с помощью параллельного переноса постройте их так, чтобы они исходили из одной точки. Измерьте угол между ними, при помощи транспортира. Если он равен 90º, то вектора перпендикулярны.
Найдите вектор, перпендикулярный тому, координаты которого известны и равны (x;y). Для этого найдите такую пару чисел (x1;y1), которая удовлетворяла бы равенству x•x1+y•y1=0. В этом случае вектор с координатами (x1;y1) будет перпендикулярен вектору с координатами (x;y).
ПримерНайдите вектор, перпендикулярный вектору с координатами (3;4). Используйте свойство перпендикулярных векторов. Подставив в него координаты вектора, получите выражение 3•x1+4•y1=0. Подберите пары чисел, которые делают это тождество верным. Например, пара чисел x1=-4; y1=3 делает тождество верным. Значит, вектор с координатами (-4;3) будет перпендикулярен данному. Таких пар чисел можно подобрать бесконечное множество, а потому и векторов тоже бесконечно много.
Проверяйте перпендикулярность векторов при помощи тождества x•x1+y•y1=0, где (x;y) и (x1;y1) координаты двух векторов. Например, вектора с координатами (3;1) и (-3;9) перпендикулярны, так как 3•(-3)+1•9=0.
Источники:
- перпендикулярные векторы
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Содержание:
- Формула
- Примеры нахождения перпендикулярного вектора
Формула
Для того чтобы вектор $bar{a}$ был перпендикулярен вектору
$bar{b}$ необходимо, чтобы их
скалярное произведение было равно нулю, то есть
В случае если векторы заданы на плоскости своими координатами
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y}right)$, то условие их перпендикулярности примет вид:
$$(bar{a}, bar{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}=0$$
Если векторы заданны в пространстве и имеют координаты
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)$, то условие перпендикулярности запишется в виде:
$$(bar{a}, bar{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}=0$$
Примеры нахождения перпендикулярного вектора
Пример
Задание. Даны два вектора
$bar{a}=(2 ;-1)$ и $bar{b}=(-3 ; m)$ . При каком значении
$m$ эти векторы будут перпендикулярны?
Решение. Для того чтобы векторы
$bar{a}$ и
$bar{b}$ были перпендикулярны необходимо, чтобы их скалярное
произведение было равно нулю, то есть выполнялось условие:
$$(bar{a}, bar{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}=0$$
Подставим в это выражение координаты заданных векторов и из полученного равенства найдем
$m$:
$$2 cdot(-3)+(-1) cdot m=0$$
$$-6-m=0$$
$$m=-6$$
Ответ. Векторы
$bar{a}$ и
$bar{b}$ будут перпендикулярны при $m=-6$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Заданы два вектора
$bar{a}=(3 ;-2 ; m)$ и $bar{b}=(-1 ; m ; 1)$ . При каком значении
$m$ эти векторы будут перпендикулярны?
Решение. Два вектора
$bar{a}$ и
$bar{b}$ будут перпендикулярны тогда, когда их скалярное
произведение будет равняться нулю. И так как векторы заданны в пространстве, то должно выполнялось условие:
Подставим в него заданные координаты векторов, получим:
$$(bar{a}, bar{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}=0$$
$$3 cdot(-1)+(-2) cdot m+m cdot 1=0$$
$$3-2 cdot m+m=0$$
Из полученного уравнения найдем $m$:
$$3-m=0 Rightarrow m=-3$$
Ответ. Векторы
$bar{a}$ и
$bar{b}$ будут перпендикулярны при
$m=-3$
Читать дальше: как найти орт вектора.
