Как найти первообразную дробной функции - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Задача
нахождения неопределенного интеграла
дробно рациональной функции сводится
к интегрированию простейших дробей.
Поэтому рекомендуем для начала
ознакомиться с разделом теории разложение
дроби на простейшие.

Пример.

Найти
неопределенный интеграл .

Решение.

Так
как степень числителя подынтегральной
функции равна степени знаменателя, то
для начала выделяем целую часть,
проводя деление
столбиком многочлена на многочлен:

Поэтому, .

Разложение
полученной правильной рациональной
дроби на
простейшие дроби имеет вид.
Следовательно,

Полученный
интеграл представляет собой интеграл
простейшей дроби третьего типа. Забегая
немного вперед, отметим, что взять его
можно методом подведения
под знак дифференциала.

Так
как ,
то.
Поэтому

Следовательно,

Теперь
перейдем к описанию методов интегрирования
простейших дробей каждого из четырех
типов.

Интегрирование
простейших дробей первого типа

Для
решения этой задачи идеально подходит метод
непосредственного интегрирования:

Пример.

Найти
множество первообразных функции

Решение.

Найдем
неопределенный интеграл ,
используя свойства первообразной,
таблицу первообразных и правило
интегрирования.

К
началу страницы

Интегрирование
простейших дробей второго типа

Для
решения этой задачи также подходит
метод непосредственного интегрирования:

Пример.

Найдите
неопределенный интеграл .

Решение.

К
началу страницы

Интегрирование
простейших дробей третьего типа

Для
начала представляем неопределенный
интеграл в
виде суммы:

Первый
интеграл берем методом подведения под
знак дифференциала:

Поэтому,

У
полученного интеграла преобразуем
знаменатель:

Следовательно,

Формула
интегрирования простейших дробей
третьего типа принимает вид:

Пример.

Найдите
неопределенный интеграл .

Решение.

Используем
полученную формулу:

Если
бы у нас не было этой формулы, то как бы
мы поступили:

9. Интегрирование простейших дробей четвертого типа

Первый
шаг – подводим под знак дифференциала:

Второй
шаг – нахождение интеграла вида .
Интегралы подобного вида находятся с
использованием рекуррентных формул.
(Смотрите разделинтегрирование
с использованием рекуррентных формул).
Для нашего случая подходит следующая
рекуррентная формула:

Пример.

Найдите
неопределенный интеграл

Решение.

Для
данного вида подынтегральной функции
используем метод подстановки. Введем
новую переменную (смотрите
раздел интегрирование
иррациональных функций):

После
подстановки имеем:

Пришли
к нахождению интеграла дроби четвертого
типа. В нашем случае имеем коэффициенты М
= 0, р = 0, q = 1, N = 1 и n
= 3.
Применяем рекуррентную формулу:

После
обратной замены получаем
результат:

10. Интегрирование тригонометрических функций.

Множество
задач сводится к нахождению интегралов
трансцендентных функций, содержащих
тригонометрические функции. В данной
статье сгруппируем наиболее часто
встречающиеся виды подынтегральных
функций и на примерах рассмотрим методы
их интегрирования.

Начнем
с интегрирования синуса, косинуса,
тангенса и котангенса.

Из
таблицы первообразных сразу заметим,
что и.

Метод
подведения под знак дифференциалапозволяет
вычислить неопределенные интегралы
функций тангенса и котангенса:

К
началу страницы

Поясним,
как были найдены формулы и,
находящиеся в таблице первообразных.

Разберем
первый случай, второй абсолютно
аналогичен.

Воспользуемся методом
подстановки:

Пришли
к задаче интегрирования
иррациональной функции. Здесь нам
также поможет метод подстановки:

Осталось
провести обратную замену иt
= sinx:

К
началу страницы

Отдельно
хочется остановиться на интегралах,
содержащих степени тригонометрических
функций, вида .

Подробно
о принципах их нахождении можете
ознакомиться в разделеинтегрирование
с использованием рекуррентных формул.
Если изучите вывод этих формул, то без
особого труда сможете брать интегралы
вида,
гдеm и n –
натуральные числа.

К
началу страницы

Когда
тригонометрические функции идут в
комбинациях с многочленами или
показательными функциями, то
применяется метод
интегрирования по частям. В этом
разделе даны рекомендации для нахождения
интегралов,.

К
началу страницы

Максимум
творчества приходится вкладывать,
когда подынтегральная функция содержит
тригонометрические функции с различными
аргументами.

Здесь
на помощь приходят основные формулы
тригонометрии. Так что выписывайте их
на отдельный листочек и держите перед
глазами.

Пример.

Найти
множество первообразных функции .

Решение.

Формулы
понижения степени дают и.

Поэтому

Знаменатель
представляет собой формулу синуса
суммы, следовательно,

Приходим
к сумме трех интегралов.

К
началу страницы

Подынтегральные
выражения, содержащие тригонометрические
функции, иногда можно свести к дробно
рациональным выражениям, используя
стандартную тригонометрическую
подстановку.

Выпишем
тригонометрические формулы, выражающие
синус, косинус, тангенс через тангенс
половинного аргумента:

При
интегрировании нам также понадобится
выражение дифференциала dx через
тангенс половинного угла.

Так
как ,
то

То
есть, ,
где.

Пример.

Найти
неопределенный интеграл .

Решение.

Применим
стандартную тригонометрическую
подстановку:

Таким
образом, .

Разложение
на простейшие дробиподынтегральной
функции приводит нас к сумме двух
интегралов:

Осталось
провести обратную замену :

11.
Рекуррентные формулы – это формулы,
выражающие n-ый
член последовательности через предыдущие
члены. При нахождении интегралов они
не редко используются.

Мы
не ставим целью перечислить все
рекуррентные формулы, а хотим дать
принцип их получения. Вывод этих формул
основан на преобразовании подынтегральной
функции и применении метода
интегрирования по частям.

К
примеру, неопределенный интеграл можно
взять, используя рекуррентную формулу.

Вывод
формулы :

Используя
формулы тригонометрии, можно записать:

Полученный
интеграл найдем методом интегрирования
по частям. В качестве функции u(x)возьмем cosx,
следовательно, .

Поэтому,

Возвращаемся
к исходному интегралу:

То
есть,

Что
и требовалось показать.

Аналогично
выводятся следующие рекуррентные
формулы:

Для
нахождения интегралов вида используется
рекуррентная формула,n –
натуральное число.
Для
нахождения интегралов вида используется
рекуррентная формула.
Для
нахождения интегралов вида используется
рекуррентная формула.
Для
нахождения интегралов вида используется
рекуррентная формула.

Пример.

Найти
неопределенный интеграл .

Решение.

Используем
рекуррентную формулу из четвертого
пункта (в нашем примере n
= 3):

Так
как из таблицы первообразных имеем ,
то

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Интегрирование рациональных функций — операция взятия неопределённого интеграла от рациональной функции. Известно, что первообразная рациональной функции выражается в виде суммы рациональных функций, натуральных логарифмов и арктангенсов.^[1] Обычно такое интегрирование выполняется при помощи разложения дроби на простейшие, однако иногда могут использоваться и другие способы, например метод Остроградского.

Разложение на простейшие[править | править код]

Самым известным способом интегрирования рациональной функции является разложение дроби на простейшие. Впервые оно было использовано Исааком Барроу для вычисления интеграла от секанса.^[2]

Из алгебры известно, что любую рациональную функцию можно представить как сумму многочлена и конечного числа дробей определённого вида, называемых простейшими. Простейшая дробь над действительными числами — это дробь одного из следующих двух видов:

Каждая из таких дробей затем интегрируется отдельно. Таким образом, разложение дроби на простейшие сводит задачу интегрирования произвольной рациональной функции к интегрированию простейших дробей.^[3]

Разложение дроби на простейшие строится следующим образом. Пусть требуется построить разложение дроби ${displaystyle {frac {P(x)}{Q(x)}}}$ . Без ограничения общности можно считать, что дробь несократимая и знаменатель имеет коэффициент при старшей степени (если это не так, то сократим дробь и внесём старший коэффициент знаменателя в числитель). Правильная дробь в своём разложении на простейшие содержит только сумму правильных дробей, неправильная же ещё и многочлен. Однако случай неправильной дроби довольно просто сводится к случаю правильной. Для этого используют приём, называемый выделением целой части: числитель дроби делят с остатком на знаменатель; полученное в результате деления неполное частное G(x) и остаток R(x) позволяют представить изначальную дробь в виде ${displaystyle {frac {P(x)}{Q(x)}}=G(x)+{frac {R(x)}{Q(x)}}}$ . Дробь ${displaystyle {frac {R(x)}{Q(x)}}}$ уже является правильной и может быть разложена в сумму одних только простейших дробей. Если же дробь ${displaystyle {frac {P(x)}{Q(x)}}}$ изначально была правильной, то этот шаг делать не нужно.

Разложение правильной дроби может иметь лишь простейшие слагаемые определённого вида, который зависит только от многочлена Q(x) . Как известно, любой приведённый многочлен над действительными числами может быть разложен в произведение приведённых линейных двучленов и приведённых квадратных трёхчленов с отрицательными дискриминантами. Разложим знаменатель дроби в такое произведение:

${displaystyle Q(x)=(x-x_{1})^{k_{1}}...(x-x_{l})^{k_{l}}(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{m_{1}}...(x^{2}+p_{n}x+q_{n})^{m_{n}}}$

(здесь

и $m_{j}$

— кратности соответствующих множителей, то есть количество раз, которое множитель входит в произведение).

Все простейшие дроби в разложении содержат в знаменателе степень одного из таких множителей, причём эта степень меньше или равна кратности соответствующего множителя. К примеру: если в разложении Q(x) содержится множитель ${displaystyle (x-x0)^{k}}$ , то в разложении на простейшие дроби содержится сумма

${displaystyle {frac {A_{1}}{x-x_{0}}}+{frac {A_{2}}{(x-x_{0})^{2}}}+{frac {A_{3}}{(x-x_{0})^{3}}}+...+{frac {A_{k}}{(x-x_{0})^{k}}}}$

Аналогично, если в разложении Q(x) содержится множитель ${displaystyle (x^{2}+px+q)^{m}}$ , то в разложении на простейшие дроби содержится сумма

${displaystyle {frac {B_{1}x+C_{1}}{x^{2}+px+q}}+{frac {B_{2}x+C_{2}}{(x^{2}+px+q)^{2}}}+...+{frac {B_{m}x+C_{m}}{(x^{2}+px+q)^{m}}}}$

Общий вид разложения правильной дроби на простейшие представляет сумму всех таких сумм для каждого множителя в разложении многочлена Q(x) . Таким образом, общий вид разложения на простейшие

${displaystyle {frac {R(x)}{Q(x)}}=sum _{j=1}^{l}sum _{i=1}^{k_{j}}{frac {A_{ji}}{(x-x_{j})^{i}}}+sum _{j=1}^{n}sum _{i=1}^{m_{j}}{frac {B_{ji}x+C_{ji}}{(x^{2}+p_{j}x+q_{j})^{i}}}}$

При этом некоторые слагаемые могут быть равны нулю.

Общий вид разложения дроби нужен для наиболее известного способа разложения дроби на простейшие — метода неопределённых коэффициентов. Его суть заключается в составлении уравнений на неизвестные коэффициенты разложения. Записывается равенство правильной дроби и её разложения на простейшие с неопределёнными коэффициентами. Затем каким-либо способом составляются уравнения на эти коэффициенты и система из уравнений решается.^[4]

Наиболее очевидный способ составления уравнений — это умножить обе части на многочлен Q(x) и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях .
Процедуру разложения на простейшие дроби проще всего описать на примерах.

Пример 1. Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях

${displaystyle {frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)}}}$ .
Записываем общий вид её разложения на простейшие с неопределёнными коэффициентами.

${displaystyle {frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)}}={frac {A}{x-1}}+{frac {B}{(x-1)^{2}}}+{frac {C}{x-2}}}$

Умножаем на Q(x)

${displaystyle 1=A(x-1)(x-2)+B(x-2)+C(x-1)^{2}}$

Раскрываем скобки

${displaystyle 1=Ax^{2}-2Ax-Ax+2A+Bx-2B+Cx^{2}-2Cx+C}$

${displaystyle 1=Ax^{2}+Cx^{2}-3Ax+Bx-2Cx+2A-2B+C}$

${displaystyle 1=(A+C)x^{2}+(-3A+B-2C)x+(2A-2B+C)}$

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:

${displaystyle {begin{cases}A+C=0,\-3A+B-2C=0,\2A-2B+C=1;end{cases}}}$

Получили систему уравнений. Решаем её. Из первого уравнения:

Подставляем во второе и третье

${displaystyle {begin{cases}3C+B-2C=0,\-2C-2B+C=1;end{cases}}}$

${displaystyle {begin{cases}C+B=0,\-C-2B=1;end{cases}}}$

Складываем уравнения

Из первого уравнения последней системы:

Из полученного в начале соотношения на

Все коэффициенты разложения найдены.

${displaystyle {frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)}}=-{frac {1}{x-1}}-{frac {1}{(x-1)^{2}}}+{frac {1}{x-2}}}$

Пример 2. Подстановка корней знаменателя

Уравнения получаемые простым приравниваем коэффициентов при одинаковых степенях часто довольно сложные. Для получения более простых уравнений часто используют подстановки вместо определённых значений.

${displaystyle {frac {1}{(x-1)^{3}(x-2)}}={frac {A}{x-1}}+{frac {B}{(x-1)^{2}}}+{frac {C}{(x-1)^{3}}}+{frac {D}{x-2}}}$

Умножаем на Q(x)

${displaystyle 1=A(x-1)^{2}(x-2)+B(x-1)(x-2)+C(x-2)+D(x-1)^{3}}$

Удобнее всего подставлять значения, обнуляющие слагаемые. Подставим 1.

Подставим 2.

Подстановка корней знаменателя помогает очень легко находить коэффициенты дробей со старшей степенью в знаменателе. Если мы бы приравнивали коэффициенты при равных степенях, уравнения бы были гораздо сложнее. Однако, как видно из примера, для нахождения остальных коэффициентов нужно использовать другие приёмы.

Для нахождения коэффициента при первой степени знаменателя можно использовать подстановку бесконечности.

${displaystyle {frac {1}{(x-1)^{3}(x-2)}}={frac {A}{x-1}}+{frac {B}{(x-1)^{2}}}-{frac {1}{(x-1)^{3}}}+{frac {1}{x-2}}}$

Умножим обе части на x-1

${displaystyle {frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)}}=A+{frac {B}{x-1}}-{frac {1}{(x-1)^{2}}}+{frac {x-1}{x-2}}}$

Подставим бесконечность. Под подстановкой бесконечности здесь понимается предел при стремлении к бесконечности, то есть

${displaystyle {frac {F(x)}{H(x)}}{Bigg |}_{x=infty }=lim _{xto infty }{frac {F(x)}{H(x)}}}$

В свою очередь предел при стремлении аргумента к бесконечности очень просто определяется: если степень числителя больше степень знаменателя, то предел — infty , если меньше, то предел — 0, если равна, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях.

Вернёмся к нашему примеру. Подставим бесконечность.

Оставшийся коэффициент можно найти приравниванием коэффициента при одинаковой степени , содержащего . Проще всего будет приравнять свободные члены, поскольку их можно посчитать сразу без долгого раскрытия скобок.

${displaystyle 1=-(x-1)^{2}(x-2)+B(x-1)(x-2)-1(x-2)+(x-1)^{3}}$

Приравниваем свободные члены.

Все коэффициенты найдены.

${displaystyle {frac {1}{(x-1)^{3}(x-2)}}=-{frac {1}{x-1}}-{frac {1}{(x-1)^{2}}}-{frac {1}{(x-1)^{3}}}+{frac {1}{x-2}}}$

Последний приём также довольно удобен на практике: старший и свободный член легко получить без раскрытия скобок, поэтому этот приём применяется наряду с подстановками.

Пример 3. Подстановка комплексных корней знаменателя

Корни многочленов с отрицательным дискриминантом не являются действительными. Однако ничего не мешает подставить в уравнение комплексный корень.

${displaystyle {frac {1}{(x-1)(x^{2}+1)^{2}}}={frac {A}{x-1}}+{frac {Bx+C}{(x^{2}+1)}}+{frac {Dx+E}{(x^{2}+1)^{2}}}}$

Умножим на знаменатель.

${displaystyle 1=A(x^{2}+1)^{2}+(Bx+C)(x^{2}+1)(x-1)+(Dx+E)(x-1)}$

Подставляем .

${displaystyle A={frac {1}{4}}}$

Подставим .

А теперь приравняем действительную и мнимую часть чтобы получить уравнение с действительными числами.

${displaystyle {begin{cases}1=-D-E\0=-D+Eend{cases}}}$

${displaystyle D=-{frac {1}{2}}}$

${displaystyle E=D=-{frac {1}{2}}}$

Подстановка сопряжённого корня после приравнивания действительной и мнимой части даст те же самые уравнения, поэтому для нахождения оставшихся коэффициентов она не имеет смысла.

Коэффициент найдём приравниванием свободных членов.

${displaystyle 1={frac {1}{4}}-C+{frac {1}{2}}}$

${displaystyle C=-{frac {1}{4}}}$

Коэффициент найдём подстановкой бесконечности.

${displaystyle {frac {1}{(x-1)(x^{2}+1)^{2}}}={frac {displaystyle {frac {1}{4}}}{x-1}}+{frac {Bx-displaystyle {frac {1}{4}}}{(x^{2}+1)}}+{frac {-displaystyle {frac {1}{2}}x-displaystyle {frac {1}{2}}}{(x^{2}+1)^{2}}}}$

Умножаем на x-1 .

${displaystyle {frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}={frac {1}{4}}+{frac {left(Bx-displaystyle {frac {1}{4}}right)(x-1)}{(x^{2}+1)}}+{frac {left(-displaystyle {frac {1}{2}}x-displaystyle {frac {1}{2}}right)(x-1)}{(x^{2}+1)^{2}}}}$

Подставляем бесконечность.

${displaystyle 0={frac {1}{4}}+B}$

${displaystyle B=-{frac {1}{4}}}$

Все коэффициенты найдены.

${displaystyle {frac {1}{(x-1)(x^{2}+1)^{2}}}={frac {displaystyle {frac {1}{4}}}{x-1}}+{frac {-displaystyle {frac {1}{4}}x-displaystyle {frac {1}{4}}}{(x^{2}+1)}}+{frac {-displaystyle {frac {1}{2}}x-displaystyle {frac {1}{2}}}{(x^{2}+1)^{2}}}}$

Вообще подставлять можно абсолютно любое значение, не обязательно корень знаменателя или бесконечность. В особо трудных случаях это может быть проще, чем рассчёт и приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях .

Пример 4. Разложение простыми преобразованиями

Иногда разложение на простейшие можно получить просто преобразовывая выражения.
${displaystyle {frac {x^{2}-1}{x(x^{2}+1)^{2}}}={frac {x^{2}-(x^{2}+1)+x^{2}}{x(x^{2}+1)^{2}}}={frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}-{frac {1}{x(x^{2}+1)}}={frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}-{frac {(x^{2}+1)-x^{2}}{x(x^{2}+1)}}={frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}-{frac {1}{x}}+{frac {x}{x^{2}+1}}}$

Пример 5. Метод прикрытия Хевисайда и метод вычетов

Таким образом, задача была сведена к интегрированию простейших дробей.

Табличные интегралы[править | править код]

Несколько интегралов от рациональных функций принято запоминать, чтобы далее сводить к ним более сложные.^[6]

Последние 2 интегралы называются высокими логарифмами и их запоминание не обязательно, поскольку они могут быть сведены разложением дроби на простейшие ко второму интегралу. Интеграл от многочлена, который появляется после разложения на простейшие неправильной дроби, может быть сразу рассчитан при помощи первой формулы.

Интегрирование дробей вида ${displaystyle {frac {1}{(ax+b)^{k}}}}$ [править | править код]

Дроби такого вида интегрируются простым занесением линейного двучлена под дифференциал.^[7]

${displaystyle int {{frac {1}{(ax+b)^{k}}}dx}={frac {1}{a}}int {{frac {1}{(ax+b)^{k}}}d(ax+b)}}$

В зависимости от значения мы свели интеграл к случаю 1 или 2.

Если k=1 , то

${displaystyle {frac {1}{a}}int {{frac {1}{ax+b}}d(ax+b)}={frac {1}{a}}ln {|ax+b|}+C}$

Если k>1 , то

${displaystyle {frac {1}{a}}int {{frac {1}{(ax+b)^{k}}}d(ax+b)}={frac {1}{a(-k+1)(ax+b)^{k-1}}}+C}$

Интегрирование дробей вида ${displaystyle {frac {ax+b}{rx^{2}+px+q}}}$ [править | править код]

Сначала рассмотрим дробь вида ${displaystyle {frac {1}{rx^{2}+px+q}}}$ .

${displaystyle int {frac {1}{rx^{2}+px+q}}dx}$

Для интегрирования таких дробей применяется выделение полного квадрата знаменателя.^[8] Прибавим к ${displaystyle rx^{2}+px}$ такое число, чтобы образовался квадрат суммы. Свернём полученное выражение в квадрат линейного двучлена. Прибавленное число вычтем из , чтобы выражение не изменилось. Получим представление квадратного трёхчлена в виде ${displaystyle (cx+d)^{2}+e}$ . Полученный линейный двучлен занесём под дифференциал:

${displaystyle int {frac {1}{rx^{2}+px+q}}dx=int {frac {1}{(cx+d)^{2}+e}}dx={frac {1}{c}}int {frac {1}{(cx+d)^{2}+e}}d(cx+d)}$

Мы свели интеграл к табличному; конкретный табличный интеграл определяется знаком .
Если e>0 , то обозначим :

${displaystyle {frac {1}{c}}int {frac {1}{(cx+d)^{2}+e}}d(cx+d)={frac {1}{c}}int {frac {1}{(cx+d)^{2}+h^{2}}}d(cx+d)={frac {1}{ch}}operatorname {arctg} {frac {cx+d}{h}}+C}$

Если , то обозначим :

${displaystyle {frac {1}{c}}int {frac {1}{(cx+d)^{2}+e}}d(cx+d)={frac {1}{c}}int {frac {1}{(cx+d)^{2}-h^{2}}}d(cx+d)={frac {1}{2ch}}ln {left|{frac {cx+d-h}{cx+d+h}}right|}+C}$

Если e=0 , то:

${displaystyle {frac {1}{c}}int {frac {1}{(cx+d)^{2}}}d(cx+d)=-{frac {1}{c}}int {frac {1}{cx+d}}+C}$

Для интегрирования дробей вида ${displaystyle {frac {ax+b}{rx^{2}+px+q}}}$ в числителе выделяется производная знаменателя.^[8] Берётся производная знаменателя, умножается на некоторое число так, чтобы при получилось и затем прибавляется значение, чтобы получилось b.

Производная числителя есть . Мы умножаем её на такое число, чтобы при x получилось .

Затем прибавляем такое число, чтобы это выражение стало равно числителю.

В таком виде и записываем числитель в интеграле.

${displaystyle int {frac {s(2rx+p)+h}{rx^{2}+px+q}}dx=int {frac {s(2rx+p)}{rx^{2}+px+q}}dx+int {frac {h}{rx^{2}+px+q}}dx}$

Второй интеграл уже был рассмотрен в предыдущем пункте. Осталось взять первый. Так как в числителе стоит производная знаменателя, мы без труда можем занести знаменатель под дифференциал.

${displaystyle int {frac {s(2rx+p)}{rx^{2}+px+q}}dx=sint {frac {1}{rx^{2}+px+q}}d(rx^{2}+px+q)=sln {|rx^{2}+px+q|}}$

Описанный метод интегрирования работает для любой дроби с квадратным трёхчленом в знаменателе, а не только с отрицательным дискриминантом. Таким образом, для дробей с двучленом с положительным дискриминантом мы рассмотрели два способа интегрирования.

Интегрирование дробей вида ${displaystyle {frac {ax+b}{(rx^{2}+px+q)^{m}}}}$ [править | править код]

Дробь ${displaystyle {frac {ax+b}{(rx^{2}+px+q)^{m}}}}$ интегрируется также с помощью выделения в числителе производной знаменателя.

${displaystyle int {frac {s(rx^{2}+px+q)'+g}{(rx^{2}+px+q)^{m}}}dx=sint {frac {d(rx^{2}+px+q)}{(rx^{2}+px+q)^{m}}}+gint {frac {1}{(rx^{2}+px+q)^{m}}}dx}$

Левый интеграл является табличным:

${displaystyle int {frac {d(rx^{2}+px+q)}{(rx^{2}+px+q)^{m}}}={frac {1}{(-m+1)(rx^{2}+px+q)^{m-1}}}}$

Правый же интеграл является самым сложным из рассмотренных здесь. Сразу же выделим полный квадрат в знаменателе. Задача сводится к взятию следующего интеграла:

${displaystyle int {frac {1}{((cx+d)^{2}+e)^{m}}},dx}$

Рассмотрим два способа его взятия.

Рекуррентное соотношение[править | править код]

Обозначим ${displaystyle I_{k}=int {frac {1}{((cx+d)^{2}+e)^{k}}},dx}$ . Для $I_{k}$ можно составить рекуррентное соотношение. Будем брать интеграл по частям:

${displaystyle I_{k}=int {frac {1}{((cx+d)^{2}+e)^{k}}},dx={frac {1}{c}}int {frac {1}{((cx+d)^{2}+e)^{k}}},d(cx+d)={frac {cx+d}{c((cx+d)^{2}+e)^{k}}}-{frac {1}{c}}int (cx+d),dleft({frac {1}{((cx+d)^{2}+e)^{k}}}right)={frac {cx+d}{c((cx+d)^{2}+e)^{k}}}+2kint {frac {(cx+d)^{2}}{((cx+d)^{2}+e)^{k+1}}},dx=}$

${displaystyle ={frac {cx+d}{c((cx+d)^{2}+e)^{k}}}+2kint {frac {(cx+d)^{2}+e-e}{((cx+d)^{2}+e)^{k+1}}},dx={frac {cx+d}{c((cx+d)^{2}+e)^{k}}}+2kint {frac {1}{((cx+d)^{2}+e)^{k}}},dx-2kh^{2}int {frac {1}{((cx+d)^{2}+e)^{k+1}}},dx={frac {cx+d}{c((cx+d)^{2}+e)^{k}}}+2kI_{k}-2kh^{2}I_{k+1}}$

Тогда

${displaystyle I_{k+1}={frac {1}{2ke}}left({frac {cx+d}{c((cx+d)^{2}+e)^{k}}}+left(2k-1right)I_{k}right)}$

Интеграл I_1 может быть взят как показано в предыдущем пункте. Затем при помощи полученной рекуррентной формулы последовательно берутся интегралы ${displaystyle I_{2},I_{3},ldots }$ и так далее до нужного интеграла. Данный метод особенно удобен при интегрировании дробей после разложения на простейшие, так как сразу даёт интегралы для всех .^[9]

Так как интегралы такого вида встречаются довольно редко, обычно эту рекуррентную формулу не запоминают, а просто каждый раз снова выводят. Заметим, что в формуле не накладывается никаких ограничений на знак . Таким образом, это рекуррентное соотношение можно использовать и в случае, если квадратный трëхчлен в знаменателе имеет положительный дискриминант.

Тригонометрическая подстановка[править | править код]

Интегрирование такого вида дробей также возможно при помощи тригонометрической подстановки.
Рассмотрим для начала дробь вида

${displaystyle {frac {1}{((cx+d)^{2}+h^{2})^{m}}}}$

Здесь есть важное отличие от рекуррентной формулы: та не зависела от знака дискриминанта и одинаково работала в любом случае; здесь же мы сразу полагаем дискриминант знаменателя отрицательным и поэтому после выделения полного квадрата можем представить в виде квадрата положительного числа ${displaystyle h^{2}}$ . Вынесем ${displaystyle h^{2}}$ из суммы.

${displaystyle {frac {1}{h^{2m}left({dfrac {(cx+d)^{2}}{h^{2}}}+1right)^{m}}}}$

Выполним замену ${displaystyle {frac {cx+d}{h}}=operatorname {tg} {varphi }}$ . Тогда ${displaystyle dx={frac {h}{ccos ^{2}varphi }}}$ .

${displaystyle int {frac {1}{h^{2m}left({dfrac {(cx+d)^{2}}{h^{2}}}+1right)^{m}}}dx={frac {h}{c}}int {frac {1}{h^{2m}(operatorname {tg} ^{2}{varphi }+1)^{m}cos ^{2}varphi }}dvarphi ={frac {1}{ch^{2m-1}}}int {frac {cos^{2m}x}{cos ^{2}varphi }}dvarphi ={frac {1}{ch^{2m-1}}}int cos ^{2m-2}varphi dvarphi }$

Данный интеграл довольно легко берётся с помощью последовательного применения формул понижения степени в случае чётной степени косинуса, и занесения косинуса под дифференциал в случае нечётной. В результате у нас получится линейная комбинация степеней синусов от чётного угла.

Далее необходимо сделать обратную замену. Для получения красивых выражений применяется следующая уловка. Выражение ${displaystyle (cx+d)^{2}+h^{2}=rx^{2}+px+q}$ напоминает теорему Пифагора. Если считать , катетами, а ${displaystyle {sqrt {rx^{2}+px+q}}}$ — гипотенузой, то выражение ${displaystyle {frac {cx+d}{h}}=operatorname {tg} {varphi }}$ обретает смысл как тангенс угла между катетом и гипотенузой, так как это отношение противолежащего катета к прилежащему. Тогда ${displaystyle sin varphi ={frac {cx+d}{sqrt {rx^{2}+px+q}}}}$ как отношение противолежащего катета к гипотенузе, а ${displaystyle cos varphi ={frac {h}{sqrt {rx^{2}+px+q}}}}$ как отношение прилежащего к гипотенузе. Нетрудной проверкой можно убедиться, что это действительно так. Данные соображения удобный способ для запоминания этих формул, но следует помнить, что это не является формальным обоснованием.

Формулы для синусов и косинусов можно и просто запомнить: синус есть деление линейного двучлена из полного квадрата на корень квадратного трёхчлена, а косинус — деление константы (точнее её корня), которая прибавляется к полному квадрату.^[10]

Существует вариация этого метода и для трёхчленов с положительным дискриминантом.

${displaystyle {frac {1}{(h^{2}-(cx+d)^{2})^{m}}}}$

В такой ситуации можно сделать гиперболическую замену.

${displaystyle {frac {cx+d}{h}}=operatorname {th} {varphi }}$

Затем аналогично приходим к интегралу от гиперболического косинуса в чётной степени и аналогично интегрируем его. Итоговое выражение состоит из гиперболических синусов и линейных слагаемых. В линейных слагаемых мы делаем обратную замену

${displaystyle varphi ={frac {1}{2}}ln {left|{frac {h+cx+d}{h-cx-d}}right|}}$

Для того, чтобы выразить гиперболические синусы, применяем аналогичный приём:

${displaystyle operatorname {sh} {varphi }={frac {cx+d}{sqrt {h^{2}-(cx+d)^{2}}}}}$

${displaystyle operatorname {ch} {varphi }={frac {h}{sqrt {h^{2}-(cx+d)^{2}}}}}$

На самом деле тригонометрические и гиперболические замены могут быть и другими. Для случая отрицательного дискриминанта возможны следующие замены:

${displaystyle operatorname {tg} {varphi }, operatorname {ctg} {varphi }, operatorname {sh} {varphi }, operatorname {csch} {varphi }={frac {cx+d}{h}}}$

Для случая положительного следующие:

${displaystyle sin {varphi }, cos {varphi }, operatorname {sec} {varphi }, operatorname {cosec} {varphi }, operatorname {th} {varphi }, operatorname {cth} {varphi }, operatorname {ch} {varphi }, operatorname {sch} {varphi }={frac {cx+d}{h}}}$

Наиболее удобны здесь замены на тангенсы и котангенсы, поскольку они приводят интеграл к интегралу от синуса или косинуса в некоторой степени, который берётся довольно просто. Остальные же замены приводят к куда более сложным интегралам.

Комплексное разложение на простейшие[править | править код]

Если в коэффициентах дробей допускать комплексные числа, то разложение на простейшие заметно упрощается. В комплексных числах правильную дробь можно разложить в сумму одних только дробей вида ${displaystyle {frac {A}{(x-a)^{k}}}}$ . Дроби же с квадратными знаменателями простейшими не считаются.^[11]

Использование комплексного разложения позволяет проинтегрировать дробь практически устно. Все методы вещественного разложения дроби работают и с комплексным разложением. Недостатком является то, что итоговый интеграл содержит логарифмы и дроби с комплексными числами и приведение этого выражения к выражению содержащему только вещественные числа требует дальнейших преобразований.

Пример 1. С логарифмом

${displaystyle int {frac {1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}}dx}$

Строим комплексное разложение на простейшие. Искать коэффициенты будем методом прикрытия Хевисайда.
При ${displaystyle {frac {1}{(x-1)^{2}}}}$

${displaystyle {frac {1}{1+1}}={frac {1}{2}}}$

При ${displaystyle {frac {1}{(x-i)}}}$

${displaystyle {frac {1}{2i(i-1)^{2}}}={frac {1}{2i(-2i)}}={frac {1}{4}}}$

При ${displaystyle {frac {1}{(x+i)}}}$

${displaystyle {frac {1}{-2i(-i-1)^{2}}}={frac {1}{-2i(2i)}}={frac {1}{4}}}$

При ${displaystyle {frac {1}{x-1}}}$ найдём подстановкой бесконечности

${displaystyle {frac {1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}}={frac {dfrac {1}{2}}{(x-1)^{2}}}+{frac {dfrac {1}{4}}{x-i}}+{frac {dfrac {1}{4}}{x+i}}+{frac {A}{x-1}}}$

Умножаем на x-1 и подставляем бесконечность.

${displaystyle 0={frac {1}{4}}+{frac {1}{4}}+A}$

${displaystyle A=-{frac {1}{2}}}$

Далее интегрируем.

${displaystyle int {frac {1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}},dx=-{frac {1}{2(x-1)}}+{frac {1}{4}}ln {(x-i)}+{frac {1}{4}}ln {(x+i)}-{frac {1}{2}}ln {|x-1|}+C}$

Теперь нам нужно избавиться от комплексных значений внутри логарифмов. Для этого складываем функции с сопряжёнными значениями.

${displaystyle {frac {1}{4}}ln {(x-i)}+{frac {1}{4}}ln {(x+i)}={frac {1}{4}}ln(x^{2}+1)}$

Интеграл найден.

${displaystyle int {frac {1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}}dx=-{frac {1}{2(x-1)}}+{frac {1}{4}}ln(x^{2}+1)-{frac {1}{2}}ln {|x-1|}+C}$

Пример 2. С арктангенсом

${displaystyle int {x+6 over x^{2}-8x+25},dx=int {x+6 over {(x-4+3i)(x-4-3i)}},dx}$

Находим разложение на простейшие

${displaystyle int {frac {x+6}{x^{2}-8x+25}},dx=left({frac {1}{2}}+{frac {5}{3}}iright)int {frac {1}{x-4+3i}},dx+left({frac {1}{2}}-{frac {5}{3}}iright)int {frac {1}{x-4+3i}},dx}$

После очевидного интегрирования имеем:

${displaystyle left({frac {1}{2}}+{frac {5}{3}}iright)ln(x-4+3i)+left({frac {1}{2}}-{frac {5}{3}}iright)ln(x-4-3i)+C}$

Сгруппируем отдельно действительные и мнимые слагаемые:

${displaystyle {frac {1}{2}}left(ln(x-4+3i)+ln(x-4-3i)right)+{frac {5}{3}}ileft(ln(x-4+3i)-ln(x-4-3i)right)+C}$

${displaystyle {frac {1}{2}}ln left((x-4+3i)(x-4-3i)right)+{dfrac {5}{3}}iln {dfrac {x-4+3i}{x-4-3i}}+C}$

${displaystyle {frac {1}{2}}ln(x^{2}-8x+25)+{frac {5}{3}}iln {frac {1-i{dfrac {x-4}{3}}}{1+i{dfrac {x-4}{3}}}}+C}$

Как известно, арктангенс комплексного переменного выражается через логарифм:

${displaystyle operatorname {arctg} ,z={frac {1}{2}}iln {frac {1-i,z}{1+i,z}}}$

Это даёт нам возможность переписать второе слагаемое через арктангенс:

${displaystyle int {x+6 over x^{2}-8x+25},dx={frac {1}{2}}ln(x^{2}-8x+25)+{frac {10}{3}}operatorname {arctg} {frac {x-4}{3}}+C}$

Для нахождения интеграла рациональной функции комплексного переменного, комплексное разложение на простейшие используется напрямую без дальнейшего преобразования выражений. Все табличные интегралы верны и для комплексных функций, с тем лишь изменением, что арктангенс и логарифм модуля заменяются соответственно на комплесный многозначный логарифм и комплексный многозначный арктангенс.

Общий вид интеграла рациональной функции[править | править код]

Из вышеприведённых методов для интеграла от рациональной функции можно составить общий вид.

${displaystyle int {frac {P(x)}{displaystyle prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}}displaystyle prod _{i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i}}}},dx={frac {T(x)}{displaystyle prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}-1}displaystyle prod _{i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i}-1}}}+sum _{i=1}^{l}{A_{i}ln {|x-x_{i}|}}+sum _{i=1}^{n}left({B_{i}ln(x^{2}+p_{i}x+q_{i})+C_{i}operatorname {arctg} {frac {x+r_{i}}{h}}}right)}$

${displaystyle x+r_{i}}$ здесь линейный двучлен, получаемый выделением полного квадрата из ${displaystyle x^{2}+p_{i}x+q_{i}}$ , т. е. ${displaystyle x^{2}+p_{i}x+q_{i}=(x+r_{i})^{2}+h^{2}}$ . Обе дроби здесь правильные. Дробь в правой части равенства называется рациональной или алгебраической частью интеграла, сумма же логарифмов и арктангенсов — трансцендентной частью.^[12]

Из этого общего вида легко можно видеть, что интеграл от дроби, не имеющей кратных корней, есть сумма одних только арктангенсов и логарифмов. В свою очередь, если кратные корни есть, то в рациональной части интеграла кратности этих корней уменьшаются на 1.

Метод Остроградского[править | править код]

Если сумму логарифмов и арктангенсов представить как интеграл некоторой правильной дроби без кратных корней (эту дробь можно определить просто взяв производную), то получится следующая формула.

${displaystyle int {frac {P(x)}{displaystyle prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}}displaystyle prod _{i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i}}}},dx={frac {T(x)}{displaystyle prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}-1}displaystyle prod _{i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i}-1}}}+int {frac {H(x)}{displaystyle prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})displaystyle prod _{i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})}},dx}$

называемая формулой Остроградского. На этой формуле основан ещё один метод интегрирования рациональных функций — метод Остроградского. Он позволяет свести задачу к интегрированию рациональной дроби со знаменателем без кратных неприводимых множителей, которая значительно проще.

Суть метода заключается в следующем. Пусть нам нужно проинтегрировать рациональную функцию. Запишем для неё формулу Остроградского (как выше). Знаменатели дробей из формулы нам известны, числители имеют степень меньше знаменателей. Это даёт нам возможность записать в знаменатели многочлены с неопределёнными коэффициентами.

${displaystyle T(x)=A_{s}x^{s}+ldots +A_{1}x+A_{0}}$

${displaystyle H(x)=B_{r}x^{r}+ldots +B_{1}x+B_{0}}$

Теперь мы можем найти эти коэффициенты методом неопределённых коэффициентов. Продифференцируем это равенство и приведём к общему знаменателю. Тогда мы можем приравнять числители, приравнять коэффициенты при равных степенях и решить систему. Разумеется, тут можно использовать все те упрощения, что использовались при разложении дробей, вроде подстановок корней или подстановки бесконечности. Таким образом, задача будет сведена к интегрированию дроби со знаменателем без кратных дробей. Дробь же со знаменателем без кратных корней намного проще интегрировать. Все её коэффициенты разложения можно получить методом Хевисайда и подстановками комплексных корней.

Пример

${displaystyle int {frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}},dx}$

Запишем формулу Остроградского.

${displaystyle int {frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}},dx={frac {Ax^{2}+Bx+C}{(x-1)(x+1)^{2}}}+int {frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)}},dx}$

Дифференцируем.

${displaystyle {frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}={frac {(2Ax+B)(x-1)(x+1)^{2}-(Ax^{2}+Bx+C)((x+1)^{2}+(x-1)cdot 2(x+1))}{(x-1)^{2}(x+1)^{4}}}+{frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)}}}$

Вторую дробь можно сократить на x+1

${displaystyle {frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}={frac {(2Ax+B)(x-1)(x+1)-(Ax^{2}+Bx+C)((x+1)+(x-1)cdot 2)}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}+{frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)}}}$

Приведём к общем знаменателю

${displaystyle {frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}={frac {(2Ax+B)(x-1)(x+1)-(Ax^{2}+Bx+C)((x+1)+(x-1)cdot 2)+(Dx+E)(x-1)(x+1)^{2}}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}}$

Приравниваем числители.

${displaystyle x=(2Ax+B)(x-1)(x+1)-(Ax^{2}+Bx+C)((x+1)+2(x-1))+(Dx+E)(x-1)(x+1)^{2}}$

Приравняем коэффициенты при старшей степени.

Это даёт нам возможность в будущем вновь использовать приравнивание коэффициентов при старшей степени.

${displaystyle x=(2Ax+B)(x-1)(x+1)-(Ax^{2}+Bx+C)((x+1)+2(x-1))+E(x-1)(x+1)^{2}}$

Здесь очевидны две подстановки. Подставим .

Подставим .

Теперь приравняем старшие и младшие коэффициенты.

Сложим.

Получили 3 уравнения.

${displaystyle displaystyle {begin{cases}-{dfrac {1}{2}}=A+B+C,\-{dfrac {1}{4}}=A-B+C,\0=-A-B+C;end{cases}}}$

Вычтем из первого второе.

${displaystyle -{frac {1}{4}}=2B}$

${displaystyle B=-{frac {1}{8}}}$

Теперь сложим первое и третье.

${displaystyle -{frac {1}{2}}=2C}$

${displaystyle C=-{frac {1}{4}}}$

Из последнего уравнения

${displaystyle A=B-C=-{frac {1}{8}}}$

${displaystyle E=A=-{frac {1}{8}}}$

Таким образом,

${displaystyle int {frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}},dx=-{frac {x^{2}+x+2}{8(x-1)(x+1)^{2}}}-{frac {1}{8}}int {frac {1}{(x-1)(x+1)}},dx}$

Последний интеграл легко берётся:

${displaystyle int {frac {1}{(x-1)(x+1)}},dx=int {frac {1}{x^{2}-1}},dx={frac {1}{2}}ln {left|{frac {1+x}{1-x}}right|}+C}$

В итоге

${displaystyle int {frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}},dx=-{frac {x^{2}+x+2}{8(x-1)(x+1)^{2}}}-{frac {1}{16}}ln {left|{frac {1+x}{1-x}}right|}+C}$

Метод Остроградского удобен при большом количестве кратных корней. Однако сильно задачу он не упрощает, система уравнений получается не менее сложная, чем при обычном разложении на простейшие.

Метод Остроградского позволяет найти рациональную часть интеграла при помощи одних только алгебраических операций даже не зная разложения знаменателя. Пусть ${displaystyle int {frac {P(x)}{Q(x)}}={frac {T(x)}{Q_{1}(x)}}+int {frac {H(x)}{Q_{2}(x)}}}$ — формула Остроградского. Тогда ${displaystyle Q_{1}(x)}$ есть ни что иное, как наибольший общий делитель Q(x) и . Его можно вычислить при помощи алгоритма Евклида. Многочлен ${displaystyle Q_{2}(x)}$ же можно получить поделив Q(x) на ${displaystyle Q_{1}(x)}$ . Далее просто приравниваем знаменатели и решаем систему линейных алгебраических уравнений.

См. также[править | править код]

Список интегралов от рациональных функций
Методы интегрирования
Разложение рациональной дроби на простейшие
Метод Остроградского

Примечания[править | править код]

↑ Зорич, 2012, с. 392.
↑ Rickey, 1980.
↑ Фихтенгольц, 2003, с. 48.
↑ Кудрявцев, 2003, с. 501.
↑ Bauldry, 2018, с. 429.
↑ Кудрявцев, 2003, с. 459.
↑ Кудрявцев, 2003, с. 504.
↑ ¹ ² Фихтенгольц, 2003, с. 41.
↑ Кудрявцев, 2003, с. 505.
↑ Dawkins.
↑ Кудрявцев, 2003, с. 503.
↑ Кудрявцев, 2003, с. 509.

Ссылки[править | править код]

Partial Fraction Expander

Литература[править | править код]

Зорич В. А. Математический анализ. Часть 1. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2012. — 702 p.
Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. В 3-х томах. Том 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. — М.: Дрофа, 2003. — 704 p.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах. Том 2. — 8-е изд.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 864 p. — ISBN 5-9221-0157-9.
Rickey V. F., Tuchinsky Ph. M. An Application of Geography to Mathematics: History of the Integral of the Secant (англ.) // Mathematics Magazine : журнал. — 1980. — May (vol. 53, no. 3). — P. 162–166.
Bauldry W.C. Partial Fractions via Calculus (англ.) // Daniel Alpay Problems, Resources, and Issues in Mathematics Undergraduate Studies : журнал. — 2018. — 9 May (vol. 28, iss. 5). — P. 425–437. — ISSN 1051-1970. — doi:10.1080/10511970.2017.1388312.
Dawkins P. Integrals Involving Quadrtics (англ.). Дата обращения: 5 июля 2021.

Источник

Прежде, чем приступить к интегрированию простейших дробей для нахождения неопределенного интеграла дробно рациональной функции, рекомендуется освежить в памяти раздел «Разложение дроби на простейшие».

Пример 1

Найдем неопределенный интеграл ∫2×3+3×3+xdx .

Решение

Выделим целую часть, проведя деление столбиком многочлена на многочлен, учитывая тот факт, что степень числителя подынтегральной функции равна степени знаменателя:

Поэтому 2×3+3×3+x=2+-2x+3×3+x . Мы получили правильную рациональную дробь -2x+3×3+x , которую теперь разложим на простейшие дроби -2x+3×3+x=3x-3x+2×2+1 . Следовательно,

∫2×3+3×3+xdx=∫2+3x-3x+2×2+1dx=∫2dx+∫3xdx-∫3x+2×2+1dx=2x+3lnx-∫3x+2×2+1dx

Мы получили интеграл простейшей дроби третьего типа. Взять его можно методом подведения под знак дифференциала.

Так как dx2+1=2xdx , то 3xdx=32dx2+1 . Поэтому
∫3x+2×2+1dx=∫3xx2+1dx+∫2×2+1=32∫dx2+1×2+1+2∫dxx2+1=32lnx2+1+2arctg x+C1

Следовательно,
∫2×3+3×3+xdx=2x+3lnx-∫3x+2×2+1dx=2x+3lnx-32lnx2+1-2arctan x+C, где С=-С1

Опишем методы интегрирования простейших дробей каждого из четырех типов.

Интегрирование простейших дробей первого типа Ax-a

Используем для решения этой задачи метод непосредственного инетгрирования:

∫Ax-adx=A∫dxx-a=A·lnx-a+C

Пример 2

Найдите множество первообразных функции y=32x-1.

Решение

Испльзуя правило интегрирования, свойства первообразной и таблицу первообразных, найдем неопределенный интеграл ∫3dx2x-1: ∫fk·x+bdx=1k·Fk·x+b+C

∫3dx2x-1=3∫dx2x-12=32∫dxx-12=32lnx-12+C

Ответ: ∫3dx2x-1=32lnx-12+C

Интегрирование простейших дробей второго типа Ax-an

Здесь также применим метод непосредственного интегрирования:∫Ax-andx=A∫x-a-ndx=A-n+1x-a-n+1+C=A1-nx-an-1+C

Пример 3

Необходимо найти неопределенный интеграл ∫dx2x-37 .

Решение

∫dx2x-37=∫dx2x-327=127∫x-32-7dx==127·1-7+1·x-32-7+1+C=127·-6·x-326+C==12·-6·26·x-326+C=-112·12x-36+C

Ответ: ∫dx2x-37=-112·12x-36+C

Интегрирование простейших дробей третьего типа Mx+Nx2+px+q, D=p2-4q<0

Первым шагом представим неопределенный интеграл ∫Mx+Nx2+px+q в виде суммы:

∫Mx+Nx2+px+qdx=∫Mxx2+px+qdx+N∫dxx2+px+q

Для того, чтобы взять первый интеграл, используем метод подведения под знак дифференциала:

∫Mxx2+px+qdx=dx2+px+q=2x+pdx=2xdx+pdx⇒2xdx=dx2+px+q-pdx⇒Mxdx=M2dx2+px+q-pM2dx==∫M2dx2+px+q-pM2dxx2+px+q==M2∫dx2+px+qx2+px+q-pM2∫dxx2+px+q==M2lnx2+px+q-pM2∫dxx2+px+q

Поэтому,
∫Mx+Nx2+px+qdx=∫Mxx2+px+qdx+N∫dxx2+px+q==M2lnx2+px+q-pM2∫dxx2+px+q+N∫dxx2+px+q==M2lnx2+px+q+2N-pM2·∫dxx2+px+q

Мы получили интеграл ∫dxx2+px+q. Проведем преобразование его знаменателя:

∫dxx2+px+q=∫dxx2+px+p22-p22+q==∫dxx+p22-p24+q=∫dxx+p22-p24+q==∫dxx+p22+4q-p24=24q-p2·arctg2x+p24q-p2+C1

Следовательно,

∫Mx+Nx2+px+qdx=M2lnx2+px+q+2N-pM2·∫dxx2+px+q==M2lnx2+px+q+2N-pM2·24q-p2·arctg2x+p24q-p2+C1

Формула интегрирования простейших дробей третьего типа принимает вид:
∫Mx+Nx2+px+qdx=M2lnx2+px+q+2N-pM4q-p2·arctg2x+p24q-p2+C

Пример 4

Необходимо найти неопределенный интеграл ∫2x+13×2+6x+30dx.

Решение

Применим формулу:

∫2x+13×2+6x+30dx=13∫2x+1×2+2x+10dx=M=2,N=1,p=2,q=10==1322lnx2+2x+10+2·1-2·24·10-22arctg2x+224·10-22+C==13lnx2+2x+10-19arctgx+13+C

Второй вариант решения выглядит следующим образом:

∫2x+13×2+6x+30dx=13∫2x+1×2+2x+10dx=d(x2+2x+10=(2x+2)dx==13∫2x+2-1×2+2x+10dx=13∫d(x2+2x+10)x2+2x+10=13∫dxx2+2x+10==преобразуем знаменатель=13lnx2+2x+10-13∫d(x)x+12+9==13lnx2+2x+10-19arctgx+13+C

Ответ: ∫2x+13×2+6x+30dx=13lnx2+2x+10-19arctgx+13+C

Интегрирование простейших дробей четвертого типа Mx+N(x2+px+q)n, D=p2-4q<0

Первым делом выполняем подведение под знак дифференциала:

∫Mx+Nx2+px+qdx=d(x2+px+q)=(2x+p)dx==M2∫d(x2+px+q)(x2+px+q)n+N-pM2∫dx(x2+px+q)n==M2(-n+1)·1(x2+px+q)n-1+N-pM2∫dx(x2+px+q)n

Затем находим интеграл вида Jn=∫dx(x2+px+q)n с использованием рекуррентных формул. Информацию о рекуррентных формулах можно посмотреть в теме «Интегрирование с использованием рекуррентных формул».

Для решения нашей задачи подходит рекуррентная формула вида Jn=2x+p(n-1)(4q-p2)(x2+px+q)n-1+2n-3n-1·24q-p2·Jn-1.

Пример 5

Необходимо найти неопределенный интеграл ∫dxx5x2-1 .

Решение

∫dxx5x2-1=∫x-5(x2-1)-12dx

Мы будем использовать для этого вида подынтегральной функции метод подстановки. Введем новую переменную x2-1=z2x=(z2+1)12dx=z(z2+1)-12dx

Получаем:

∫dxx5x2-1=∫x-5(x2-1)-12dx==∫(z2+1)-52·z-1·z·(z2+1)-12dz=∫dz(z2+1)3

Пришли к нахождению интеграла дроби четвертого типа. В нашем случае имеем коэффициенты М = 0, р = 0, q = 1, N = 1 и n = 3. Применяем рекуррентную формулу:

J3=∫dz(z2+1)3=2z+0(3-1)·(4·1-0)·z2+13-1+2·3-33-1·24·1-0·∫dz(z2+1)2==z4(z2+1)2+342z(2-1)·(4·1-0)·(z2+1)2-1+2·2-32-11·24·1-0·∫dzz2+1==z4(z2+1)2+38zz2+1+38arctg(z)+C

После обратной замены z=x2-1 получаем результат:
∫dxx5x2-1=x2-14×4+38×2-1×2+38arctgx2-1+C

Ответ: ∫dxx5x2-1=x2-14×4+38×2-1×2+38arctgx2-1+C

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Источник

Интегрирование простейших рациональных дробей

Напомним, что дробно-рациональными называют функции вида
$$
f(x) = frac{P_n(x)}{Q_m(x)},
$$
в общем случае являющиеся отношением двух многочленов %%P_n(x)%% и %%Q_m(x)%%.

Если %%m > n geq 0%%, то рациональную дробь называют правильной, в противном случае — неправильной. Используя правило деления многочленов, неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена %%P_{n – m}%% степени %%n – m%% и некоторой правильной дроби, т.е.
$$
frac{P_n(x)}{Q_m(x)} = P_{n-m}(x) + frac{P_l(x)}{Q_n(x)},
$$
где степень %%l%% многочлена %%P_l(x)%% меньше степени %%n%% многочлена %%Q_n(x)%%.

Таким образом, неопределенный интеграл от рациональной функции можно представить суммой неопределенных интегралов от многочлена и от правильной рациональной дроби.

Интегралы от простейших рациональных дробей

Среди правильных рациональных дробей выделяют четыре типа, которые относят к простейшим рациональным дробям:

%%displaystyle frac{A}{x – a}%%,
%%displaystyle frac{A}{(x – a)^k}%%,
%%displaystyle frac{Ax + B}{x^2 + px + q}%%,
%%displaystyle frac{Ax + B}{(x^2 + px + q)^k}%%,

где %%k > 1%% — целое и %%p^2 – 4q < 0%%, т.е. квадратные уравнения не имеют действительных корней.

Вычисление неопределенных интегралов от дробей первых двух типов

Вычисление неопределенных интегралов от дробей первых двух типов не вызывает затруднений:
$$
begin{array}{ll}
int frac{A}{x – a} mathrm{d}x &= Aint frac{mathrm{d}(x – a)}{x – a} = A ln |x – a| + C, \
\
int frac{A}{(x – a)^k} mathrm{d}x &= Aint frac{mathrm{d}(x – a)}{(x – a)^k} = A frac{(x-a)^{-k + 1}}{-k + 1} + C = \
&= -frac{A}{(k-1)(x-a)^{k-1}} + C.
end{array}
$$

Вычисление неопределенного интегралов от дробей третьего типа

Дробь третьего типа сначала преобразуем, выделив полный квадрат в знаменателе:
$$
frac{Ax + B}{x^2 + px + q} = frac{Ax + B}{(x + p/2)^2 + q – p^2/4},
$$
так как %%p^2 – 4q < 0%%, то %%q – p^2/4 > 0%%, которое обозначим как %%a^2%%. Заменив также %%t = x + p/2, mathrm{d}t = mathrm{d}x%%, преобразуем знаменатель и запишем интеграл от дроби третьего типа в форме
$$
begin{array}{ll}
int frac{Ax + B}{x^2 + px + q} mathrm{d}x &= int frac{Ax + B}{(x + p/2)^2 + q – p^2/4} mathrm{d}x = \
&= int frac{A(t – p/2) + B}{t^2 + a^2} mathrm{d}t = int frac{At + (B – A p/2)}{t^2 + a^2} mathrm{d}t.
end{array}
$$

Последний интеграл, используя линейность неопределенного интеграла, представим в виде суммы двух и в первом из них введем %%t%% под знак дифференциала:
$$
begin{array}{ll}
int frac{At + (B – A p/2)}{t^2 + a^2} mathrm{d}t &= Aint frac{t mathrm{d}t}{t^2 + a^2} + left(B – frac{pA}{2}right)int frac{mathrm{d}t}{t^2 + a^2} = \
&= frac{A}{2} int frac{mathrm{d}left(t^2 + a^2right)}{t^2 + a^2} + – frac{2B – pA}{2}int frac{mathrm{d}t}{t^2 + a^2} = \
&= frac{A}{2} ln left| t^2 + a^2right| + frac{2B – pA}{2a} text{arctg}frac{t}{a} + C.
end{array}
$$

Возвращаясь к исходной переменной %%x%%, в итоге для дроби третьего типа получаем
$$
int frac{Ax + B}{x^2 + px + q} mathrm{d}x = frac{A}{2} ln left| x^2 + px + qright| + frac{2B – pA}{2a} text{arctg}frac{x + p/2}{a} + C,
$$
где %%a^2 = q – p^2 / 4 > 0%%.

Вычисление интеграла 4 типа сложно, поэтому в этом курсе не рассматривается.

Источник

Интегрирование рациональных функций (рациональных дробей). Первая часть.

Материал, изложенный в этой теме, опирается на сведения, представленные в теме “Рациональные дроби. Разложение рациональных дробей на элементарные (простейшие) дроби”. Очень советую хотя бы бегло просмотреть эту тему перед тем, как переходить к чтению данного материала. Кроме того, нам будет нужна таблица неопределенных интегралов.

Напомню пару терминов. О их шла речь в соответствующей теме, посему тут ограничусь краткой формулировкой.

Отношение двух многочленов $frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ называется рациональной функцией или рациональной дробью.
Рациональная дробь называется правильной, если $n < m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется неправильной.

Элементарными (простейшими) рациональными дробями именуют рациональные дроби четырёх типов:

$frac{A}{x-a}$;
$frac{A}{(x-a)^n}$ ($n=2,3,4, ldots$);
$frac{Mx+N}{x^2+px+q}$ ($p^2-4q < 0$);
$frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n}$ ($p^2-4q < 0$; $n=2,3,4,ldots$).

Примечание (желательное для более полного понимания текста): показатьскрыть

Примеры рациональных дробей (правильных и неправильных), а также примеры разложения рациональной дроби на элементарные можно найти тут. Здесь нас будут интересовать лишь вопросы их интегрирования. Начнём с интегрирования элементарных дробей. Итак, каждый из четырёх типов указанных выше элементарных дробей несложно проинтегрировать, используя формулы, указанные ниже. Напомню, что при интегрировании дробей типа (2) и (4) предполагается $n=2,3,4,ldots$. Формулы (3) и (4) требуют выполнение условия $p^2-4q < 0$.

$$
begin{equation}
int frac{A}{x-a} dx=Acdot ln |x-a|+C
end{equation}
$$

$$
begin{equation}
intfrac{A}{(x-a)^n}dx=-frac{A}{(n-1)(x-a)^{n-1}}+C
end{equation}
$$

$$
begin{equation}
intfrac{Mx+N}{x^2+px+q} dx= frac{M}{2}cdot ln (x^2+px+q)+frac{2N-Mp}{sqrt{4q-p^2}}arctgfrac{2x+p}{sqrt{4q-p^2}}+C
end{equation}
$$

Для $intfrac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n}dx$ делается замена $t=x+frac{p}{2}$, после полученный интерал разбивается на два. Первый будет вычисляться с помощью внесения под знак дифференциала, а второй будет иметь вид $I_n=intfrac{dt}{(t^2+a^2)^n}$. Этот интеграл берётся с помощью рекуррентного соотношения

$$
begin{equation}
I_{n+1}=frac{1}{2na^2}frac{t}{(t^2+a^2)^n}+frac{2n-1}{2na^2}I_n, ; nin N
end{equation}
$$

Вычисление такого интеграла разобрано в примере №7 (см. третью часть).

Схема вычисления интегралов от рациональных функций (рациональных дробей):

Если подынтегральная дробь является элементарной, то применить формулы (1)-(4).
Если подынтегральная дробь не является элементарной, то представить её в виде суммы элементарных дробей, а затем проинтегрировать, используя формулы (1)-(4).

Указанный выше алгоритм интегрирования рациональных дробей имеет неоспоримое достоинство – он универсален. Т.е. пользуясь этим алгоритмом можно проинтегрировать любую рациональную дробь. Именно поэтому почти все замены переменных в неопределённом интеграле (подстановки Эйлера, Чебышева, универсальная тригонометрическая подстановка) делаются с таким расчётом, чтобы после оной замены получить под интералом рациональную дробь. А к ней уже применить алгоритм. Непосредственное применение этого алгоритма разберём на примерах, предварительно сделав небольшое примечание.

Примечание

Формулы (1)-(4) предполагают, что коэффициент перед $x$ (в формулах (1) и (2)) и коэффициент перед $x^2$ (в формулах (3) и (4)) равен единице. Но как быть, если этот коэффициент не равен единице? В этом случае достаточно просто вынести его за скобки:

$$frac{3x+7}{5x^2+10x+9}=frac{3x+7}{5left(x^2+2x+frac{9}{5}right)}=frac{frac{3}{5}x+frac{7}{5}}{x^2+2x+frac{9}{5}}.$$

Кстати сказать, это касается не только элементарных дробей. Например, если требуется разложить дробь $frac{4x^2+6x+7}{(2x+9)(3x^2+5x+18)}$, то её представим в такой форме:

$$
frac{4x^2+6x+7}{(2x+9)(3x^2+5x+18)}=frac{4x^2+6x+7}{2cdotleft(x+frac{9}{2}right)cdot 3 cdot left(x^2+frac{5}{3}x+6right)}=
frac{4x^2+6x+7}{6cdotleft(x+frac{9}{2}right)left(x^2+frac{5}{3}x+6right)}=\
=frac{frac{4}{6}x^2+frac{6}{6}x+frac{7}{6}}{left(x+frac{9}{2}right)left(x^2+frac{5}{3}x+6right)}
=frac{frac{2}{3}x^2+x+frac{7}{6}}{left(x+frac{9}{2}right)left(x^2+frac{5}{3}x+6right)}.
$$

В дальнейших примерах я затрону случай, когда коэффициент перед старшим членом многочлена в знаменателе не равен $1$. Но каждый раз этот случай будет разрешён по стандартной схеме: вынести “мешающий” коэффициент за скобки и перенести его в числитель (или вообще вынести за знак интеграла).

Перейдём к примерам. Первый пример – тренировочный, на использование формул интегрирования элементарных дробей (пока что без использования формулы №4, она будет рассмотрена отдельно).

Пример №1

Найти интегралы:

$intfrac{7dx}{x+9}$;
$intfrac{11dx}{(4x+19)^8}$;
$intfrac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$.

Решение

1) Для нахождения интеграла $intfrac{7dx}{x+9}$ можно сразу применить формулу (1):

$$
intfrac{7dx}{x+9}=7ln|x+9|+C.
$$

В принципе, этот интеграл несложно получить без механического применения формулы (1). Если вынести константу $7$ за знак интеграла и учесть, что $dx=d(x+9)$, то получим:

$$
intfrac{7dx}{x+9}=7cdot intfrac{dx}{x+9}=7cdot intfrac{d(x+9)}{x+9}=|u=x+9|=7cdotintfrac{du}{u}=7ln|u|+C=7ln|x+9|+C.
$$

Для детальной информации рекомедую посмотреть тему “Интегрирование подстановкой (внесение под знак дифференциала)”. Там подробно поясняется, как решаются подобные интегралы. Кстати, формула (1) доказывается теми же преобразованиями, что были применены в этом пункте при решении “вручную”.

2) Вновь есть два пути: применить готовую формулу или обойтись без неё. Если применять формулу (2), то следует учесть, что коэффициент перед $x$ (число 4) придется убрать. Для этого оную четвёрку просто вынесем за скобки:

$$
intfrac{11dx}{(4x+19)^8}=intfrac{11dx}{left(4left(x+frac{19}{4}right)right)^8}=
intfrac{11dx}{4^8left(x+frac{19}{4}right)^8}=intfrac{frac{11}{4^8}dx}{left(x+frac{19}{4}right)^8}.
$$

Теперь настал черёд и для применения формулы (2):

$$
intfrac{frac{11}{4^8}dx}{left(x+frac{19}{4}right)^8}=-frac{frac{11}{4^8}}{(8-1)left(x+frac{19}{4} right)^{8-1}}+C=
-frac{frac{11}{4^8}}{7left(x+frac{19}{4} right)^7}+C=-frac{11}{7cdot 4^8 left(x+frac{19}{4} right)^7}+C.
$$

Можно обойтись и без применения формулы (2). И даже без вынесения константы $4$ за скобки. Если учесть, что $dx=frac{1}{4}d(4x+19)$, то получим:

$$
intfrac{11dx}{(4x+19)^8}=11intfrac{dx}{(4x+19)^8}=frac{11}{4}intfrac{d(4x+19)}{(4x+19)^8}=|u=4x+19|=\
=frac{11}{4}intfrac{du}{u^8}=frac{11}{4}int u^{-8};du=frac{11}{4}cdotfrac{u^{-8+1}}{-8+1}+C=\
=frac{11}{4}cdotfrac{u^{-7}}{-7}+C=-frac{11}{28}cdotfrac{1}{u^7}+C=-frac{11}{28(4x+19)^7}+C.
$$

Подробные пояснения по нахождению подобных интегралов даны в теме “Интегрирование подстановкой (внесение под знак дифференциала)”.

3) Нам нужно проинтегрировать дробь $frac{4x+7}{x^2+10x+34}$. Эта дробь имеет структуру $frac{Mx+N}{x^2+px+q}$, где $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Однако чтобы убедиться, что это действительно элементарная дробь третьего типа, нужно проверить выполнение условия $p^2-4q < 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $intfrac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь – банально использовать формулу (3). Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$
intfrac{4x+7}{x^2+10x+34}dx = frac{4}{2}cdot ln (x^2+10x+34)+frac{2cdot 7-4cdot 10}{sqrt{4cdot 34-10^2}} arctgfrac{2x+10}{sqrt{4cdot 34-10^2}}+C=\
=2cdot ln (x^2+10x+34)+frac{-26}{sqrt{36}} arctgfrac{2x+10}{sqrt{36}}+C
=2cdot ln (x^2+10x+34)+frac{-26}{6} arctgfrac{2x+10}{6}+C=\
=2cdot ln (x^2+10x+34)-frac{13}{3} arctgfrac{x+5}{3}+C.
$$

Решим этот же пример, но без использования готовой формулы. Попробуем выделить в числителе производную знаменателя. Что это означает? Мы знаем, что $(x^2+10x+34)’=2x+10$. Именно выражение $2x+10$ нам и предстоит вычленить в числителе. Пока что числитель содержит лишь $4x+7$, но это ненадолго. Применим к числителю такое преобразование:

$$
4x+7=2cdot 2x+7=2cdot (2x+10-10)+7=2cdot(2x+10)-2cdot 10+7=2cdot(2x+10)-13.
$$

Теперь в числителе появилось требуемое выражение $2x+10$. И наш интеграл можно переписать в таком виде:

$$
intfrac{4x+7}{x^2+10x+34} dx= intfrac{2cdot(2x+10)-13}{x^2+10x+34}dx.
$$

Разобьём подынтегральную дробь на две. Ну и, соответственно, сам интеграл тоже “раздвоим”:

$$
intfrac{2cdot(2x+10)-13}{x^2+10x+34}dx=int left( frac{2cdot(2x+10)}{x^2+10x+34}-frac{13}{x^2+10x+34} right); dx=\

=int frac{2cdot(2x+10)}{x^2+10x+34}dx-intfrac{13dx}{x^2+10x+34}=2cdotint frac{(2x+10)dx}{x^2+10x+34}-13cdotintfrac{dx}{x^2+10x+34}.
$$

Поговорим сперва про первый интеграл, т.е. про $int frac{(2x+10)dx}{x^2+10x+34}$. Так как

$$d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)’dx=(2x+10)dx,$$

то в числителе подынтегральной дроби расположен дифференциал знаменателя. Короче говоря, вместо выражения $(2x+10)dx$ запишем $d(x^2+10x+34)$.

Теперь скажем пару слов и о втором интеграле. Выделим в знаменателе полный квадрат: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Кроме того, учтём $dx=d(x+5)$. Теперь полученную нами ранее сумму интегралов можно переписать в несколько ином виде:

$$
2cdotint frac{(2x+10)dx}{x^2+10x+34}-13cdotintfrac{dx}{x^2+10x+34}
=2cdotint frac{d(x^2+10x+34)}{x^2+10x+34}-13cdotintfrac{d(x+5)}{(x+5)^2+9}.
$$

Если в первом интеграле сделать замену $u=x^2+10x+34$, то он примет вид $intfrac{du}{u}$ и возьмётся простым применением второй формулы из таблицы неопределенных интегралов. Что же касается второго интеграла, то для него осуществима замена $u=x+5$, после которой он примет вид $intfrac{du}{u^2+9}$. Это чистейшей воды одиннадцатая формула из таблицы неопределенных интегралов. Итак, возвращаясь к сумме интегралов, будем иметь:

$$
2cdotint frac{d(x^2+10x+34)}{x^2+10x+34}-13cdotintfrac{d(x+5)}{(x+5)^2+9}
=2cdotln(x^2+10x+34)-frac{13}{3}arctgfrac{x+5}{3}+C.
$$

Мы получили тот же ответ, что и при применении формулы (3), что, собственно говоря, неудивительно. Вообще, формула (3) доказывается теми же методами, кои мы применяли для нахождения данного интеграла. Полагаю, что у внимательного читателя тут может возникнуть один вопрос, посему сформулирую его:

Вопрос №1

Если к интегралу $int frac{d(x^2+10x+34)}{x^2+10x+34}$ применять вторую формулу из таблицы неопределенных интегралов, то мы получим следующее:

$$
int frac{d(x^2+10x+34)}{x^2+10x+34}=|u=x^2+10x+34|=intfrac{du}{u}=ln|u|+C=ln|x^2+10x+34|+C.
$$

Почему же в решении отсутствовал модуль?

Ответ на вопрос №1

Вопрос совершенно закономерный. Модуль отсутствовал лишь потому, что выражение $x^2+10x+34$ при любом $xin R$ больше нуля. Это совершенно несложно показать несколькими путями. Например, так как $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ и $(x+5)^2 ≥ 0$, то $(x+5)^2+9 > 0$. Можно рассудить и по-иному, не привлекая выделение полного квадрата. Так как $10^2-4cdot 34=-16 < 0$, то $x^2+10x+34 > 0$ при любом $xin R$ (если эта логическая цепочка вызывает удивление, советую посмотреть графический метод решения квадратных неравенств). В любом случае, так как $x^2+10x+34 > 0$, то $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, т.е. вместо модуля можно использовать обычные скобки.

Все пункты примера №1 решены, осталось лишь записать ответ.

Ответ:

Пример №2

Найти интеграл $intfrac{7x+12}{3x^2-5x-2}dx$.

Решение

На первый взгляд подынтегральая дробь $frac{7x+12}{3x^2-5x-2}$ очень похожа на элементарную дробь третьего типа, т.е. на $frac{Mx+N}{x^2+px+q}$. Кажется, что единcтвенное отличие – это коэффициент $3$ перед $x^2$, но ведь коэффициент и убрать недолго (за скобки вынести). Однако это сходство кажущееся. Для дроби $frac{Mx+N}{x^2+px+q}$ обязательным является условие $p^2-4q < 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

У нас коэффициент перед $x^2$ не равен единице, посему проверить условие $p^2-4q < 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4cdot 3cdot(-2)=49$. Итак, $D > 0$, посему выражение $3x^2-5x-2$ можно разложить на множители. А это означает, что дробь $frac{7x+12}{3x^2-5x-2}$ не является элементаной дробью третьего типа, и применять к интегралу $intfrac{7x+12}{3x^2-5x-2}dx$ формулу (3) нельзя.

Ну что же, если заданная рациональная дробь не является элементарной, то её нужно представить в виде суммы элементарных дробей, а затем проинтегрировать. Короче говоря, след воспользоваться схемой интегрирования рациональных дробей. Как разложить рациональную дробь на элементарные подробно написано тут. Начнём с того, что разложим на множители знаменатель:

$$
3x^2-5x-2=0;\
begin{aligned}
& D=(-5)^2-4cdot 3cdot(-2)=49;\
& x_1=frac{-(-5)-sqrt{49}}{2cdot 3}=frac{5-7}{6}=frac{-2}{6}=-frac{1}{3};\
& x_2=frac{-(-5)+sqrt{49}}{2cdot 3}=frac{5+7}{6}=frac{12}{6}=2.\
end{aligned}\
3x^2-5x-2=3cdotleft(x-left(-frac{1}{3}right)right)cdot (x-2)=3cdotleft(x+frac{1}{3}right)(x-2).
$$

Подынтеральную дробь представим в таком виде:

$$
frac{7x+12}{3x^2-5x-2}=frac{7x+12}{3cdotleft(x+frac{1}{3}right)(x-2)}=frac{frac{7}{3}x+4}{left(x+frac{1}{3}right)(x-2)}.
$$

Теперь разложим дробь $frac{frac{7}{3}x+4}{left(x+frac{1}{3}right)(x-2)}$ на элементарные:

$$
frac{frac{7}{3}x+4}{left(x+frac{1}{3}right)(x-2)}
=frac{A}{x+frac{1}{3}}+frac{B}{x-2}=frac{A(x-2)+Bleft( x+frac{1}{3}right)}{left(x+frac{1}{3}right)(x-2)};\
frac{7}{3}x+4=A(x-2)+Bleft( x+frac{1}{3}right).
$$

Чтобы найти коэффициенты $A$ и $B$ есть два стандартных пути: метод неопределённых коэффициентов и метод подстановки частных значений. Применим метод подстановки частных значений, подставляя $x=2$, а затем $x=-frac{1}{3}$:

$$
frac{7}{3}x+4=A(x-2)+Bleft( x+frac{1}{3}right).\

x=2;; frac{7}{3}cdot 2+4=A(2-2)+Bleft( 2+frac{1}{3}right); ; frac{26}{3}=frac{7}{3}B;; B=frac{26}{7}.\
x=-frac{1}{3};; frac{7}{3}cdot left(-frac{1}{3} right)+4=Aleft(-frac{1}{3}-2right)+Bleft( -frac{1}{3}+frac{1}{3}right); ;
frac{29}{9}=-frac{7}{3}A;; A=-frac{29cdot 3}{9cdot 7}=-frac{29}{21}.\
$$

Так как коэффициенты найдены, осталось лишь записать готовое разложение:

$$
frac{frac{7}{3}x+4}{left(x+frac{1}{3}right)(x-2)}=frac{-frac{29}{21}}{x+frac{1}{3}}+frac{frac{26}{7}}{x-2}.
$$

В принципе, можно такую запись оставить, но мне по душе более аккуратный вариант:

$$
frac{frac{7}{3}x+4}{left(x+frac{1}{3}right)(x-2)}=-frac{29}{21}cdotfrac{1}{x+frac{1}{3}}+frac{26}{7}cdotfrac{1}{x-2}.
$$

Возвращаясь к исходному интегралу, подставим в него полученное разложение. Затем разобьём интеграл на два, и к каждому применим формулу (1). Константы я предпочитаю сразу выносить за знак интеграла:

$$
intfrac{7x+12}{3x^2-5x-2}dx
=intleft(-frac{29}{21}cdotfrac{1}{x+frac{1}{3}}+frac{26}{7}cdotfrac{1}{x-2}right)dx=\
=intleft(-frac{29}{21}cdotfrac{1}{x+frac{1}{3}}right)dx+intleft(frac{26}{7}cdotfrac{1}{x-2}right)dx
=-frac{29}{21}cdotintfrac{dx}{x+frac{1}{3}}+frac{26}{7}cdotintfrac{dx}{x-2}dx=\
=-frac{29}{21}cdotlnleft|x+frac{1}{3}right|+frac{26}{7}cdotln|x-2|+C.
$$

Ответ: $intfrac{7x+12}{3x^2-5x-2}dx=-frac{29}{21}cdotlnleft|x+frac{1}{3}right|+frac{26}{7}cdotln|x-2|+C$.

Пример №3

Найти интеграл $intfrac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)}dx$.

Решение

Нам нужно проинтегрировать дробь $frac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)}$. В числителе расположен многочлен второй степени, а в знаменателе – многочлен третьей степени. Так как степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, т.е. $2 < 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$
frac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)}=-frac{3}{x-1}+frac{5}{x+4}-frac{1}{x-9}.
$$

Нам останется только разбить заданный интеграл на три, и к каждому применить формулу (1). Константы я предпочитаю сразу выносить за знак интеграла:

$$
intfrac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)}dx=intleft(-frac{3}{x-1}+frac{5}{x+4}-frac{1}{x-9} right)dx=\=-3cdotintfrac{dx}{x-1}+
5cdotintfrac{dx}{x+4}-intfrac{dx}{x-9}=-3ln|x-1|+5ln|x+4|-ln|x-9|+C.
$$

Ответ: $intfrac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)}dx=-3ln|x-1|+5ln|x+4|-ln|x-9|+C$.

Продолжение разбора примеров этой темы расположено во второй части.

Источник

9. Интегрирование простейших дробей четвертого типа

10. Интегрирование тригонометрических функций.

Разложение на простейшие[править | править код]

Табличные интегралы[править | править код]

Рекуррентное соотношение[править | править код]

Тригонометрическая подстановка[править | править код]

Комплексное разложение на простейшие[править | править код]

Общий вид интеграла рациональной функции[править | править код]

Метод Остроградского[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Литература[править | править код]

Интегрирование простейших рациональных дробей

Интегралы от простейших рациональных дробей

Вычисление неопределенных интегралов от дробей первых двух типов

Вычисление неопределенного интегралов от дробей третьего типа

Интегрирование рациональных функций (рациональных дробей). Первая часть.

Схема вычисления интегралов от рациональных функций (рациональных дробей):

Вам также может понравиться

Как найти метрики родителей

Как составить план на год для отдела продаж

Как найти путь hklm software

Добавить комментарий Отменить ответ