Как найти первообразную функции cos2x

The integral of cos 2x is NOT same as the integral of cos²x. But while finding the integral of cos²x, we use the integral of cos 2x as well. To find this, we use the cos 2x formula and trigonometric identities. We use the substitution method to find these integrals.

Let us find the integral of cos 2x and the integral of cos²x and also we will solve some problems related to these integrals.

1.	What is the Integral of Cos 2x dx?
2.	Definite Integral of Cos 2x
3.	What is the Integral of Cos^2x dx?
4.	Definite Integral of Cos^2x
5.	FAQs on Integral of Cos 2x and Cos^2x

What is the Integral of Cos 2x dx?

The integral of cos 2x is denoted by ∫ cos 2x dx and its value is (sin 2x) / 2 + C, where ‘C’ is the integration constant. To prove this, we use the substitution method. For this, assume that 2x = u. Then 2 dx = du (or) dx = du/2. Substituting these values in the integral ∫ cos 2x dx,

∫ cos 2x dx = ∫ cos u (du/2)

= (1/2) ∫ cos u du

We know that the integral of cos x is sin x + C. So,

= (1/2) sin u + C

Substituting u = 2x back here,

∫ cos 2x dx = (1/2) sin (2x) + C

This is the integral of cos 2x formula.

Definite Integral of Cos 2x

A definite integral is nothing but an integral with lower and upper bounds. By the fundamental theorem of Calculus, to compute a definite integral, we substitute the upper bound first, and then the lower bound in the integral and then subtract them in the same order. In this process, we can ignore the integration constant. Let us calculate some definite integrals of integral cos 2x dx here.

Integral of Cos 2x From 0 to 2pi

∫₀^2π cos 2x dx = (1/2) sin (2x) |₀^2π

= (1/2) sin 2(2π) – (1/2) sin 2(0)

= (1/2) sin 4π – sin 0

= (1/2) 0 – 0

= 0

Therefore, the integral of cos 2x from 0 to 2pi is 0.

Integral of Cos 2x From 0 to pi

∫₀^π cos 2x dx = (1/2) sin (2x) |₀^π

= (1/2) sin 2(π) – sin 2(0)

= (1/2) sin 2π – sin 0

= 0 – 0

= 0

Therefore, the integral of cos 2x from 0 to pi is 0.

What is the Integral of Cos^2x dx?

The integral of cos square x is denoted by ∫ cos²x dx and its value is (x/2) + (sin 2x)/4 + C. We can prove this in the following two methods.

• By using the cos 2x formula
• By using the integration by parts

Method 1: Integration of Cos^2x Using Double Angle Formula

To find the integral of cos²x, we use the double angle formula of cos. One of the cos 2x formulas is cos 2x = 2 cos²x – 1. By adding 1 on both sides, we get 1 + cos 2x = 2 cos²x. By dividing by both sides by 2, we get cos²x = (1 + cos 2x) / 2. We use this to find ∫ cos²x dx. Then we get

∫ cos²x dx = ∫ (1 + cos 2x) / 2 dx

= (1/2) ∫ (1 + cos 2x) dx

= (1/2) ∫ 1 dx + (1/2) ∫ cos 2x dx

In the previous sections, we have see that ∫ cos 2x dx = (sin 2x)/2 + C. So

∫ cos²x dx = (1/2) x + (1/2) (sin 2x)/2 + C (or)

∫ cos²x dx = x/2 + (sin 2x)/4 + C

This is the integral of cos^2 x formula. Let us prove the same formula in another method.

Method 2: Integration of Cos^2x Using Integration by Parts

We know that we can write cos²x as cos x · cos x. Since it is a product, we can use the integration by parts to find the ∫ cos x · cos x dx. Then we get

∫ cos²x dx = ∫ cos x · cos x dx = ∫ u dv

Here, u = cos x and dv = cos x dx.

Then du = – sin x dx and v = sin x.

By integration by parts formula,

∫ u dv = uv – ∫ v du

∫ cos x · cos x dx = (cos x) (sin x) – ∫ sin x (-sin x) dx

∫ cos²x dx = (1/2) (2 sin x cos x) + ∫ sin²x dx

By the double angle formula of sin, 2 sin x cos x = sin 2x and by a trigonometric identity, sin²x = 1 – cos²x. So

∫ cos²x dx = (1/2) sin 2x + ∫ (1 – cos²x) dx

∫ cos²x dx = (1/2) sin 2x + ∫ 1 dx – ∫ cos²x dx

∫ cos²x dx + ∫ cos²x dx = (1/2) sin 2x + x + C₁

2 ∫ cos²x dx = (1/2) sin 2x + x + C₁

∫ cos²x dx = (1/4) sin 2x + x/2 + C (where C = C₁/2)

Hence proved.

Definite Integral of Cos^2x

To compute the definite integral of cos²x, we just substitute the upper and lower bounds in the value of the integral and subtract the resultant values. Let us calculate some definite integrals of integral cos²x dx here.

Integral of Cos^2x From 0 to 2pi

∫₀^2π cos²x dx = [x/2 + (sin 2x)/4] |₀^2π

= [2π/2 + (sin 4π)/4] – [0 + (sin 0)/4]

= π + 0/4

= π

Therefore, the integral of cos²x from 0 to 2π is π.

Integral of Cos^2x From 0 to pi

∫₀^π cos²x dx = [x/2 + (sin 2x)/4] |₀^π

= [π/2 + (sin 2π)/4] – [0 + (sin 0)/4]

= π/2 + 0/4

= π/2

Therefore, the integral of cos²x from 0 to π is π/2.

Important Notes on Integral of Cos 2x and Integral of Cos²x:

• ∫ cos 2x dx = (sin 2x)/2 + C
• ∫ cos²x dx = x/2 + (sin 2x)/4 + C

☛ Related Topics:

• Integral Calculator
• Indefinite Integral Calculator
• Integral of Sec x
• Applications of Integrals

FAQs on Integral of Cos 2x and Cos^2x

What is the Integration of Cos 2x dx?

The integration of cos 2x dx is written as ∫ cos 2x dx and ∫ cos 2x dx = (sin 2x)/2 + C, where C is the integration constant.

How to Find the Integral of Cos 2x?

The integral of cos 2x is found using the substitution method. In this, we assume that 2x = u, then 2 dx = du from which dx = du/2. Then the integral becomes (1/2) ∫ cos u du = (1/2) sin u + C = (1/2) sin 2x + C. Thus, the integral of cos 2x is (1/2) sin 2x + C, where ‘C’ is the integration constant.

What is the Integral of Cos^2x dx?

The integral of cos^2 x dx is written as ∫ cos²x dx and ∫ cos²dx = x/2 + (sin 2x)/4 + C. Here, C is the integration constant.

How to Find the Definite Integration of Cos 2x from 0 to Pi?

We know that the integral of cos 2x is, ∫ cos 2x dx = (sin 2x)/2. Substituting the limits 0 and π, we get (1/2) sin 2(2π) – (1/2) sin 2(0) = (1/2) 0 – 0 = 0.

What is the Integral of Cos^3x dx?

∫ cos³x dx = ∫ cos²x cos x dx = ∫ (1 – sin²x) cos x dx. Let us substitute sin x = u. Then cos x dx = du. Then the above integral becomes, ∫ (1 – u²) du = u – u³/3 + C. Substituting u = sin x back here, ∫ cos³x dx = sin x – sin³x/3 + C.

What is the Difference Between the Integration of Cos 2x and Integral of Cos x?

• The integral of cos 2x is ∫ cos 2x dx = (sin 2x)/2 + C.
• The integral of cos x is ∫ cos x dx = sin x + C.

What is the Integral of Cos 3x dx?

To find the ∫ cos 3x dx, we assume that 3x = u. Then 3 dx = du (or) dx = du/3. Then the above integral becomes, ∫ cos u (1/3) du = (1/3) sin u + C = (1/3) sin (3x) + C.

How to Find the Definite Integral of Cos^2x from 0 to 2Pi?

We know that ∫ cos²dx = x/2 + (sin 2x)/4 + C. Substituting the limits here, we get the value of the definite integral to be [π/2 + (sin 2π)/4] – [0 + (sin 0)/4] = π/2.

Is the Integral Cos 2x dx Same as Integral Cos Square x dx?

No, the values of these two integrals are NOT same. We have

• The integral of cos square x is, ∫ cos²dx = x/2 + (sin 2x)/4 + C
• The integral of cos 2x is, ∫ cos 2x dx = (sin 2x)/2 + C

Интеграл косинуса

Интеграл косинуса по таблице интегрирования основных элементарных функций равен:

$$ int cos x dx = sin x + C $$

Словами это запомнить легче и звучит так: интеграл косинуса равен сумме синуса и константы. Выполним разбор частных примеров.

Пример 1

Найти интеграл от косинуса 2х: $$ int cos 2x dx $$

Решение

2х под косинусом называется двойным углом. Из-за того, что аргумент косинуса равен $ 2x $, то нельзя сразу применить формулу. Нужно чтобы $ 2x $ находилось и под знаком дифференциала. Выполним подведение $ 2x $ под дифференциал: $$ frac{1}{2}int cos 2x d(2x) = frac{1}{2}sin 2x + C $$ Перед интегралом появилась дробь $ frac{1}{2} $, так как $ d(2x) = 2 dx $ и нам необходимо уничтожить лишнюю двойку. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ int cos 2x dx = sin 2x + C $$

Пример 2

Найти интеграл от произведения синуса и косинуса: $$ int sin x cos x dx $$

Решение

Данный интеграл можно взять двумя методами: подведением $ sin x $ под знак дифференциала $ cos x dx = d(sin x) $ или заменой $ t = sin x, dt = cos x dx $ Проще будет решить внесением под дифференциал. Получаем: $$ int sin x cos x dx = int sin x d(sin x) = frac{sin^2 x}{2} + C $$

Ответ

$$ int sin x cos x dx = frac{sin^2 x}{2} + C $$

Пример 3

Вычислить интеграл косинуса от 0 до пи: $$ int_0^pi cos x dx $$

Решение

Выражение стоящее под знаком интеграла полностью готово к непосредственному интегрированию. Но стоит заметить, что интеграл определенный, а это значит нужно воспользоваться дополнительно формулой Ньютона-Лейбница: $ int_a^b f(x) dx = F(b) – F(a) $, где $ F(x) $ – это первообразная функции. $$ int_0^pi cos x dx = sin x bigg |_0^pi = sinpi – sin 0 = -1 – 0 = -1 $$

Ответ

$$ int_0^pi cos x dx = -1 $$

Пример 4

Найти интеграл от косинуса в квадрате: $$ int cos^2 x dx $$

Решение

Непосредственно взять интеграл не получится, так как косинус в квадрате не является табличной функцией, поэтому воспользуемся еще одной формулой понижения степени: $$ cos^2 x = frac{1+ cos 2x}{2} $$ Подставляем правую часть формулы в интеграл: $$ int cos^2 x dx = int frac{1+cos 2x}{2} dx = frac{1}{2} int (1+cos 2x) dx = $$ $$ = frac{1}{2}int 1dx + frac{1}{2} int cos 2x dx = frac{1}{2}x + frac{1}{4}sin 2x + C $$

Ответ

$$ int cos^2 x dx = frac{1}{2}x + frac{1}{4}sin 2x + C $$

Кто не видел белого медведя? В зоопарках он – обычный гость. Нет нужды описывать, каков он на вид. Напомним лишь, что у него только нос черный, сам медведь белый и зимой, и летом (а не как, скажем, песец или заяц-беляк – те лишь зимой белые). Подошвы лап у белого медведя густой шерстью поросли, а пальцы примерно на половину своей длины соединены плавательными перепонками. 

Плавают и ныряют белые медведи отлично. Две минуты могут пробыть под водой, но погружаются в нее редко глубже двух метров. Далеко в открытом море не раз видели белых медведей, даже медведиц с медвежатами. Плывут со скоростью 5 километров в час, не беспокоясь, что ни земли, ни льдов нигде вблизи не видно.

Белый медведь и тюленей ловит не только на льду, украдкой к ним подползая. Обычный его прием, так сказать, атаки с моря такой: поблизости от лежбищ тюленей медведь осторожно, без плеска и шума, сползает в воду, плывет туда, где заметил тюленей. Затем он бесшумно ныряет и выныривает уже у самого лежбища, быстро карабкается на лед, отрезая тем самым тюленям путь к спасительной воде. По отвесным ледяным стенам медведь может прямо из воды выпрыгнуть на льдину, даже если высота ее над водой два метра.

Тюлени – главная охотничья добыча белого медведя весной. За год ловит и съедает он примерно 50 тюленей. Летом меню его более разнообразно. Ловит он рыбу на мелкой воде, на берегу – леммингов, песцов, лакомится яйцами птиц. Когда голоден, ест ягоды, водоросли, мхи, лишайник, грибы.

Белый медведь – самый могучий из сухопутных хищных зверей. Лев и тигр в сравнении с ним легковесы: средний вес медведиц 310 килограммов, медведей-самцов – 420 килограммов. Если медведь матерый и хорошо упитанный, то он может весить целую тонну!

Акимушкин И.И. Мир животных: Млекопитающие, или звери. – М., 1988 г

IV. Тест по русскому языку

1. В тексте про белых медведей больше всего предложений:

а) повествовательных; б) вопросительных

2. Восклицательное предложение находится: 

а) в начале текста; б) в конце текста

3. Вопросительное предложение находится 

а) в начале текста; б) в конце текста

4. Выпиши из второй части текста (из второго абзаца) первое предложение. Разбери его по членам предложения. Что ты можешь сказать о сказуемых? Они являются

а) родственными словами; б) однородными членами предложения 

5. Что можно сказать о глаголах, которыми выражены сказуемые? Эти глаголы:

а) I спряжения; б) II спряжения

6. Эти глаголы стоят в форме:

а) настоящего времени; б) будущего времени; в) прошедшего времени

7. Эти глаголы стоят в форме:

а) единственного числа; б) множественного числа

8. Эти глаголы стоят в форме:

а) 1-го лица;     б) 2-го лица;  в) 3-го лица;    г)нельзя определить лицо

9. Эти глаголы стоят в форме:

а) ж.р.; б) м.р.; в) ср.р.; г) нельзя определить род

10. Найди во второй части текста (во втором абзаце) все слова, которые являются родственными существительному, являющемуся подлежащим в первом предложении. Запиши их столбиком, поставив в начальную форму. У тебя получилось:

а) два слова; б) три слова  

11. Найди во второй части текста (во втором абзаце) другую форму слова, которое является подлежащим в первом предложении. Выпиши такое словосочетание с формой этого слова, из которого можно определить его падеж. Этот падеж: 

а) Р.п.; б) В.п.

bold{mathrm{Basic}}	bold{alphabetagamma}	bold{mathrm{ABGamma}}	bold{sincos}	bold{gedivrightarrow}	bold{overline{x}spacemathbb{C}forall}	bold{sumspaceintspaceproduct}	bold{begin{pmatrix}square&square\square&squareend{pmatrix}}	bold{H_{2}O}
square^{2} x^{square} sqrt{square} nthroot[msquare]{square} frac{msquare}{msquare} log_{msquare} pi theta infty int frac{d}{dx} ge le cdot div x^{circ} (square) |square| (f:circ:g) f(x) ln e^{square} left(squareright)^{‘} frac{partial}{partial x} int_{msquare}^{msquare} lim sum sin cos tan cot csc sec alpha beta gamma delta zeta eta theta iota kappa lambda mu nu xi pi rho sigma tau upsilon phi chi psi omega A B Gamma Delta E Z H Theta K Lambda M N Xi Pi P Sigma T Upsilon Phi X Psi Omega sin cos tan cot sec csc sinh cosh tanh coth sech arcsin arccos arctan arccot arcsec arccsc arcsinh arccosh arctanh arccoth arcsech begin{cases}square\squareend{cases} begin{cases}square\square\squareend{cases} = ne div cdot times < > le ge (square) [square] ▭:longdivision{▭} times twostack{▭}{▭} + twostack{▭}{▭} – twostack{▭}{▭} square! x^{circ} rightarrow lfloorsquarerfloor lceilsquarerceil overline{square} vec{square} in forall notin exist mathbb{R} mathbb{C} mathbb{N} mathbb{Z} emptyset vee wedge neg oplus cap cup square^{c} subset subsete superset supersete int intint intintint int_{square}^{square} int_{square}^{square}int_{square}^{square} int_{square}^{square}int_{square}^{square}int_{square}^{square} sum prod lim lim _{xto infty } lim _{xto 0+} lim _{xto 0-} frac{d}{dx} frac{d^2}{dx^2} left(squareright)^{‘} left(squareright)^{”} frac{partial}{partial x} (2times2) (2times3) (3times3) (3times2) (4times2) (4times3) (4times4) (3times4) (2times4) (5times5) (1times2) (1times3) (1times4) (1times5) (1times6) (2times1) (3times1) (4times1) (5times1) (6times1) (7times1) mathrm{Радианы} mathrm{Степени} square! ( ) % mathrm{очистить} arcsin sin sqrt{square} 7 8 9 div arccos cos ln 4 5 6 times arctan tan log 1 2 3 – pi e x^{square} 0 . bold{=} +

Подпишитесь, чтобы подтвердить свой ответ

Подписаться

Войдите, чтобы сохранять заметки

Войти

Номер Строки

Примеры

• int xln(x)dx
  

• int sin (2x)dx
  

• int frac{x}{x^2+1}dx
  

• int cos (sqrt{x})dx
  

• int sin ^2(x)+cos ^2(x)dx
  

• int :xe^xdx
  
• Показать больше

Описание

Поэтапное решение первообразной функции

antiderivative-calculator

ru

Блог-сообщения, имеющие отношение к Symbolab

Advanced Math Solutions – Integral Calculator, common functions

In the previous post we covered the basic integration rules (click here). Before we continue with more advanced…

Read More

Введите Задачу

Сохранить в блокнот!

Войти