Часто при решении прикладных задач возникают ситуации когда требуется найти неопределенный интеграл от синуса или косинуса в некоторой натуральной степени, в частности, от синуса или косинуса в квадрате, в этих случаях для нахождения неопределенного интеграла требуется воспользоваться формулами понижения степени
Рассмотрим следующий неопределенные интегралы от синуса в квадрате:
где 
— произвольная вещественная постоянная.
Таким образом:
Здесь при нахождении неопределенного интеграла от синуса во второй степени были использованы:
В следующем практическом видео-занятии по теме «Неопределенный интеграл: интегрировании некоторых тригонометрических функций» приведено подробное решение задачи о нахождении интеграла от sin в квадрате.
Лидеры категории
Лена-пена
Искусственный Интеллект
М.И.
Искусственный Интеллект
Y.Nine
Искусственный Интеллект
•••
Интеграл от синус икс в квадрате
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
При нахождении интеграла $int sin^m xdx$ используют разные методы интегрирования. В нашем случае степень чётная. Поэтому мы применим метод с использованием следующей формулы: $sin^2 x =frac{1-cos 2x}{2}.$
Приведём решение.
Пример 1
$intsin^2 xdx=intfrac{1-cos 2x}{2}dx=frac{1}{2}int(1-cos 2x)dx=frac{1}{2}x-frac{1}{4}sin 2x+C.$
Решим пример, когда использование формулы не требуется:
Пример 2
$intsin^2 xcos xdx$.
Подставим $sin x = t$.
$int t^24dt=frac{1}{3}t^3+С=frac{1}{3}sin^3x+C$
Интеграл от синус икс в квадрате решается одним из методов интегрирования тригонометрических функций, который мы описали. В разных примерах могут понадобиться преобразующие формулы из курса тригонометрии и различные виды подстановки. Навык правильно и быстро интегрировать приходит в процессе самостоятельного решения примеров.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Дата последнего обновления статьи: 04.05.2023
|
преобразуем (понижаем степень) sin^2(x)=(1 — cos2x)/2 находим первообразную F(x)=x/2 — 1/4sin2x + С |
Интеграл от синуса
Интеграл от синуса по таблице интегрирования равен: $$ int sin x dx = – cos x + C $$
Словами это читается так: интеграл от синуса равен сумме отрицательного косинуса и произвольной постоянной.
| Пример 1 |
| Найти интеграл от синус 2x: $$ int sin 2x dx $$ |
| Решение |
|
Напрямую интеграл взять не получится, так как аргумент синуса и знака дифференциала отличаются. Выполняем подведение под дифференциал $ 2x $ и добавляем перед интегралом дробь $ frac{1}{2} $: $$ int sin 2x dx = frac{1}{2} int sin 2x d(2x) = -frac{1}{2} cos 2x + C $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ int sin 2x dx = -frac{1}{2} cos 2x + C $$ |
| Пример 2 |
| Найти интеграл от синуса в квадрате: $$ int sin^2 x dx $$ |
| Решение |
|
В данном случае необходимо воспользоваться одной из тригонометрических формул. Конкретно формулой понижения степени синуса: $$ sin^2 x = frac{1-cos 2x}{2} $$ Заменяем выражение под интегралом: $$ int sin^2 x dx = int frac{1-cos 2x}{2} dx = frac{1}{2} int (1-cos 2x) dx = $$ $$ = frac{1}{2} int 1dx – frac{1}{2} int cos 2x dx = frac{1}{2}x – frac{1}{2}cdotfrac{1}{2}int cos 2x d(2x) = $$ $$ = frac{1}{2}x – frac{1}{4}sin 2x + C $$ |
| Ответ |
| $$ int sin^2 x dx = frac{1}{2}x – frac{1}{4}sin 2x + C $$ |
| Пример 3 |
| Найти интеграл от синуса в кубе: $$ int sin^3 x dx $$ |
| Решение |
|
Здесь нужно вспомнить свойство степеней и учесть: $$ sin^3 x = sin x cdot sin^2 x $$ Подставляем, полученное выражение в интеграл и заносим $ sin x $ под знак дифференциала: $$ int sin^3 x dx = int sin x sin^2 x dx = – int sin^2 x d(cos x) = $$ Далее используем свойство $ sin^2 x = 1 – cos^2 x $: $$ = -int (1-cos^2 x) d(cos x) = -int d(cos x) + int cos^2 x d(cos x) = $$ $$ = – cos x + frac{cos^3 x}{3} + C = frac{1}{3} cos^3 x – cos x + C $$ |
| Ответ |
|
$$ int sin^3 x dx = frac{1}{3} cos^3 x – cos x + C $$ |
| Пример 4 |
| Вычислить определенный интеграл от синуса: $$ int_0^pi sin x dx $$ |
| Решение |
|
Вычисление начнем как в случае с неопределенным интегралом и в конце используем формулу Ньютона-Лейбница $ int_a^b f(x) dx = F(x) bigg |_a^b = F(b)-F(a) $: $$ int_0^pi sin x dx = -cos x bigg |_0^pi = -cos pi + cos 0 = -(-1) + 1 = 1+1=2 $$ |
| Ответ |
| $$ int_0^pi sin x dx = 2 $$ |
