При решении задач на нахождение интегралов от тригонометрических функций часто требуется найти неопределенный интеграл от косинуса во второй степени, в этом случае удобно воспользоваться формулой понижения степени
Рассмотрим следующий неопределенные интегралы от косинуса в квадрате:
где 
— произвольная вещественная постоянная.
Значит, неопределенный интеграл от косинуса в квадрате:
Здесь при нахождении неопределенного интеграла от косинуса во второй степени были использованы:
В приведенном видео-занятии по теме «Неопределенный интеграл: интегрировании некоторых тригонометрических функций» демонстрируется подробное решение этой задачи, а также задачи нахождения неопределенного интеграла от синуса в квадрате.
Первообразная от косинус в квадрате. Объясните, пожалуйста
Be Happy
Мастер
(1104),
закрыт
11 лет назад
Лучший ответ
Elena Schatz
Высший разум
(140343)
11 лет назад
cos²x=(1+cos2x)/2=(1/2)+(cos2x)/2
∫cos²xdx=∫(1/2+(cos2x)/2)dx=∫dx/2+∫cos2xdx/2=x/2+(½)•(½)•(sin2x)+C=x/2+(¼)•sin2x+C
Остальные ответы
Похожие вопросы
Интеграл косинуса
Интеграл косинуса по таблице интегрирования основных элементарных функций равен:
$$ int cos x dx = sin x + C $$
Словами это запомнить легче и звучит так: интеграл косинуса равен сумме синуса и константы. Выполним разбор частных примеров.
| Пример 1 |
|
Найти интеграл от косинуса 2х: $$ int cos 2x dx $$ |
| Решение |
|
2х под косинусом называется двойным углом. Из-за того, что аргумент косинуса равен $ 2x $, то нельзя сразу применить формулу. Нужно чтобы $ 2x $ находилось и под знаком дифференциала. Выполним подведение $ 2x $ под дифференциал: $$ frac{1}{2}int cos 2x d(2x) = frac{1}{2}sin 2x + C $$ Перед интегралом появилась дробь $ frac{1}{2} $, так как $ d(2x) = 2 dx $ и нам необходимо уничтожить лишнюю двойку. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ int cos 2x dx = sin 2x + C $$ |
| Пример 2 |
| Найти интеграл от произведения синуса и косинуса: $$ int sin x cos x dx $$ |
| Решение |
|
Данный интеграл можно взять двумя методами: подведением $ sin x $ под знак дифференциала $ cos x dx = d(sin x) $ или заменой $ t = sin x, dt = cos x dx $ Проще будет решить внесением под дифференциал. Получаем: $$ int sin x cos x dx = int sin x d(sin x) = frac{sin^2 x}{2} + C $$ |
| Ответ |
| $$ int sin x cos x dx = frac{sin^2 x}{2} + C $$ |
| Пример 3 |
| Вычислить интеграл косинуса от 0 до пи: $$ int_0^pi cos x dx $$ |
| Решение |
|
Выражение стоящее под знаком интеграла полностью готово к непосредственному интегрированию. Но стоит заметить, что интеграл определенный, а это значит нужно воспользоваться дополнительно формулой Ньютона-Лейбница: $ int_a^b f(x) dx = F(b) – F(a) $, где $ F(x) $ – это первообразная функции. $$ int_0^pi cos x dx = sin x bigg |_0^pi = sinpi – sin 0 = -1 – 0 = -1 $$ |
| Ответ |
| $$ int_0^pi cos x dx = -1 $$ |
| Пример 4 |
| Найти интеграл от косинуса в квадрате: $$ int cos^2 x dx $$ |
| Решение |
|
Непосредственно взять интеграл не получится, так как косинус в квадрате не является табличной функцией, поэтому воспользуемся еще одной формулой понижения степени: $$ cos^2 x = frac{1+ cos 2x}{2} $$ Подставляем правую часть формулы в интеграл: $$ int cos^2 x dx = int frac{1+cos 2x}{2} dx = frac{1}{2} int (1+cos 2x) dx = $$ $$ = frac{1}{2}int 1dx + frac{1}{2} int cos 2x dx = frac{1}{2}x + frac{1}{4}sin 2x + C $$ |
| Ответ |
| $$ int cos^2 x dx = frac{1}{2}x + frac{1}{4}sin 2x + C $$ |
2
интеграл от 0 до пи/6 от cos в квадрате х/3 по dх — Учеба и наука
Лучший ответ по мнению автора |
|
|||||||||||||
Другие ответы
|
||||||||
03.17
|
|
|
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика
Решено
В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, AB = 4, tg А=0.
75 . Найдите АС.
Имеется два сосуда, содержащие 30 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 81%
Дано: геометрическая прогрессия (bn) задана условиями: b1=-2 , bn+1=3bn. Найдите b6. Объясните пожалуйста, как это решить?
Решено
дана арифмитическая прогрессия (аn)в которой a9=-22,2,a23=-41,8 найдите разность прогрессии
Вычислите длину дуги окружности с радиусом 4см,если ее градусная мера равна 120 градусов.Чему равна площадь соответствующего данной дуге
Пользуйтесь нашим приложением
2(x)) поначалу может показаться сложным, поскольку похоже, что мы пытаемся интегрировать комбинацию тригонометрической и степенной функций. Вскоре мы поймем, что ни один из наших предыдущих подходов к интегральному исчислению не делает эту задачу простой и понятной для выполнения.
Однако мы можем воспользоваться некоторыми тригонометрическими свойствами, чтобы разработать метод решения этих проблем.
Результаты учебной программы NESA
После изучения этой темы учащиеся должны овладеть следующими результатами: 92 пхдх)
Предполагаемые знания
Учащиеся должны быть знакомы с тригонометрическими тождествами, такими как составные формулы и формулы двойного угла для основных тригонометрических соотношений. Студенты также должны быть знакомы с интегральным исчислением и уметь интегрировать различные функции, такие как степенные, тригонометрические и экспоненциальные функции.
Этот контент можно найти в наших предыдущих руководствах по математике, если учащиеся хотят закрепить свое понимание. 92(x)= frac{1+cos(2x)}{2})
Из нашего предыдущего исследования интегрирования тригонометрических функций мы можем вспомнить, что мы можем интегрировать тригонометрические функции линейной степени, т.
е. тригонометрические функции, которые имеют степень 1, независимо от угла внутри. Мы можем учесть внутренний угол, просто применив правило обратной цепочки и разделив его обратно. Например, если мы рассмотрим следующий интеграл:
(int cos(ax) dx)
Этот интеграл является одним из наших фундаментальных результатов для интегрирования тригонометрических функций, которые, как мы знаем, должны быть просто (frac{1}{a}sin(ax) + C). 92 (х) dx = int frac {1-cos (2x)} {2} dx )
Теперь нам становится намного проще интегрировать, так как мы можем просто разделить дробь:
begin{align*}
& int left( frac{1}{2} – frac{1} {2}cos(2x) right) dx\
&= frac{1}{2} int dx – frac{1}{2} int cos(2x) dx\
& = frac{1}{2} x – frac{1}{2}⋅frac{1}{2}sin(2x)+C\
&= frac{1}{2}x- frac{1}{4}sin(2x)+C\
end{align*}
Это дает нам результат интеграла, который мы искали: 9{ гидроразрыва {3π} {2}} )
Подставив эти границы, мы найдем объем этой фигуры.
V &= left( frac{3}{2} ( frac{3π}{2} ) +sin left( 2 (frac{3π}{ 2}) right) + 2sin left( 4 ( frac{3π}{2} ) right) right) – left( frac{3}{2} ( frac{π}{2} ) +sin left( 2 (frac{π}{2} ) right) + 2sin left( 4 (frac{π}{2}) right) right)\
V &= left( frac{9π}{4} +sin(3π)+2sin(6π) right) – left( frac{3π}{4} +sin(π) + 2sin(π) right)\ 93)
Все еще боретесь с квадратом синуса и косинуса?
На онлайн-курсах Matrix+ наши эксперты HSC проведут вас по всем понятиям Math Ext 1, таким как интегрирование синуса и косинуса в квадрате, с помощью четких и структурированных видеоуроков. Мы также предоставляем вам обширные ресурсы, которые отправляются по почте прямо к вашему порогу! Узнайте больше прямо сейчас.
Продвигайтесь вперед с Matrix+ Online
Опытные преподаватели, подробная обратная связь и индивидуальная помощь.
Учитесь в своем собственном темпе, где бы вы ни находились.
© Matrix Education и www.matrix.edu.au, 2022. Несанкционированное использование и/или копирование этого материала без письменного разрешения автора и/или владельца этого сайта строго запрещено. Выдержки и ссылки могут быть использованы при условии, что Matrix Education и www.matrix.edu.au полностью и четко указаны с соответствующим и конкретным указанием на исходный контент.
интегрирование — вычисление интеграла с квадратным косинусом
спросил
5 лет, 6 месяцев назад
Изменено
5 лет, 6 месяцев назад
Просмотрено
70 раз
$begingroup$
Как вычислить этот интеграл? Я уже пробовал менять переменную внутри косинуса, считать по частям и применять тригонометрические соотношения, но это не дает мне нужного результата.
No related posts.
На практике часто приходится вычислять интегралы трансцендентных функций, которые содержат тригонометрические функции. В рамках этого материала мы опишем основные виды подынтегральных функций и покажем, какие методы можно использовать для их интегрирования.
Интегрирование синуса, косинуса, тангенса и котангенса
Начнем с методов интегрирования основных тригонометрических функций – sin, cos, tg, ctg. Используя таблицу первообразных, сразу запишем, что ∫sin xdx=-cos x+C, а ∫cos xdx=sin x+C.
Для вычисления неопределенных интегралов функций tg и ctg можно воспользоваться подведением под знак дифференциала:
∫tg xdx=∫sin xcos xdx=d(cos x)=-sin xdx==-∫d(cos x)cos x=-lncos x+C∫ctg xdx=∫cos xsin xdx=d(sin x)=cos xdx==∫d(sin x)sin x=lnsin x+C
Как же у нас получились формулы ∫dxsin x=ln1-cos xsin x+C и ∫dxcos x=ln1+sin xcos x+C, взятые из таблицы первообразных? Поясним только один случай, поскольку второй будет понятен по аналогии.
Используя метод подстановки, запишем:
∫dxsin x=sinx=t⇒x=arcsin y⇒dx=dt1-t2=dtt1-t2
Здесь нам нужно интегрировать иррациональную функцию. Берем тот же метод подстановки:
∫dtt1-t2=1-t2=z2⇒t=1-z2⇒dt=-zdz1-z2==∫-zdzz1-z2·1-z2=∫dzz2-1=∫dz(z-1)(z+)==12∫dzz-1-12∫dzz+1=12lnz-1-12z+1+C==12lnz-1z+1+C=lnz-1z+1+C
Теперь производим обратную замену z=1-t2 и t = sin x:
∫dxsin x=∫dtt1-t2=lnz-1z+1+C==ln1-t2-11-t2+1+C=ln1-sin2 x-11-sin2 x+1+C==lncos x-1cos x+1+C=ln(cos x-1)2sin2x+C==lncos x-1sin x+C
Отдельно разберем случаи с интегралами, которые содержат степени тригонометрических функций, таких, как ∫sinn xdx, ∫cosn xdx, ∫dxsinn x, ∫dxcosn x.
О том, как их правильно вычислять, можно прочесть в статье об интегрировании с использованием рекуррентных формул. Если вы знаете, каким образом выведены эти формулы, то легко сможете брать интегралы вроде ∫sinn x·cosm xdx с натуральными m и n.
Если у нас имеется комбинация тригонометрических функций с многочленами или показательными функциями, то их придется интегрировать по частям. Советуем прочесть статью, посвященную методам нахождения интегралов ∫Pn(x)·sin (ax)dx, ∫Pn(x)·cos (ax)dx, ∫ea·x·sin (ax)dx, ∫ea·x·cos (ax)dx.
Наиболее сложными являются задачи, в которых подынтегральная функция включает в себя тригонометрические функции с разными аргументами. Для этого нужно пользоваться основными формулами тригонометрии, так что желательно помнить их наизусть или держать запись под рукой.
Найдите множество первообразных функции y=sin (4x)+2cos2 (2x)sin x·cos (3x)+2cos2x2-1·sin (3x).
Решение
Воспользуемся формулами понижения степени и запишем, что cos2x2=1+cos x2, а cos22x=1+cos 4×2. Значит,
y=sin (4x)+2cos2 (2x)sin x·cos (3x)+2cos2x2-1·sin (3x)=sin (4x)+2·1+cos 4x2sin x·cos (3x)+2·1+cos x2-1·sin (3x)==sin (4x)+cos(4x)+1sin x·cos (3x)+cos x·sin (3x)
В знаменателе у нас стоит формула синуса суммы. Тогда можно записать так:
y=sin (4x)+cos(4x)+1sin x·cos (3x)+cos x·sin (3x)=sin (4x)+cos(4x)+1sin(4x)==1+cos (4x)sin (4x)
У нас получилась сумма 3-х интегралов.
∫sin (4x)+cos(4x)+1sin x·cos (3x)+cos x·sin (3x)dx==∫dx+cos(4x)dxsin (4x)+∫dxsin (4x)==x+14ln∫d(sin(4x))sin(4x)+14lncos (4x)-1sin (4x)==14lnsin (4x)+14lncos (4x)-1sin (4x)+C=x+14·lncos4x-1+C
В некоторых случаях тригонометрические функции, находящиеся под интегралом, можно свести к дробно рациональным выражениям с использованием метода стандартной подстановки. Для начала возьмем формулы, которые выражают sin, cos и tg через тангенс половинного аргумента:
sin x=2tgx21+tg2x2, sin x=1-tg2x21+tg2x2, tg x=2tgx21-tg2x2
Также нам нужно будет выразить дифференциал dx через тангенс половинного угла:
Поскольку dtgx2=tgx2’dx=dx2cos2x2, то
dx=2cos2x2dtgx2=2dtgx21cos2x2=2dtgx2cos2x2+sin2x2cos2x2=2dtgx21+tg2x2
Таким образом, sin x=2z1+z2, cos x1-z21+z2, tg x2z1-z2, dx=2dz1+z2 при z=tgx2.
Найдите неопределенный интеграл ∫dx2sin x+cos x+2.
Решение
Используем метод стандартной тригонометрической подстановки.
2sin x+cos x+2=22z1+z2+1-z21+z2=z2+4z+31+z2⇒dx2sin x+cos x+2=2dz1+z2z2+4z+31+z2=2dzz2+4z+3
Получим, что ∫dx2sin x+cos x+2=2dzz2+4z+3.
Теперь мы можем разложить подынтегральную функцию на простейшие дроби и получить сумму двух интегралов:
∫dx2sin x+cos x+2=2∫2dzz2+4z+3=2∫121z+1-1z+3dz==∫dzz+1-∫Cz+3=lnz+1-lnz+3+C=lnz+1z+3+C
Далее производим обратную замену z=tgx2:
∫dx2sin x+cos x+2=lnz+1z+3+C=lntgx2+1tgx2+3+C
Ответ: ∫dx2sin x+cos x+2=lntgx2+1tgx2+3+C
Важно отметить, что те формулы, которые выражают фукнции через тангенс половинного аргумента, не являются тождествами, следовательно, получившееся в итоге выражение lntgx2+1tgx2+3+C – это множество первообразных функции y=12sin x+cos x+2 только на области определения.
Для решения других типов задач можно использовать основные методы интегрирования.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
