Как найти первообразную с корнем в знаменателе

Как найти первообразную от дроби с квадратным корнем в знаменателе?



Знаток

(295),
закрыт



1 год назад

Сергей Алексеев

Оракул

(86916)


3 года назад

Корень квадратный да и не только квадратный, любой, можно заменить дробной степенью. например 1/ корень квадратный их х = 1/х^(1/2). См свойства корней. Дальше если 1/2 написать с минусом то мы в обще можем избавиться от дроби. Причем не изменим значение выражения. 1/х^(1/2)= х (-1/2) . Дальше по формуле интегрирования получаем что первообразная = ((х^(-1/2+1))/(-1/2+1))+С . Ещё, если у вас скажем 3/x^(1/2) то можно записать 3*1/х^(1/2) . Потом 3 выносим за знак интеграла и дальше действуем по схеме выше. Правда- давайте пример, так проще будет.

Пример 8

1

dx =

(lnx +1)dx = 2

+C .

lnx +1

x

lnx +1

lnx +1

I. Интегралы вида

dx

или

dx

берутся с помощью вы-

ax2 +bx + c

ax2 +bx + c

деления полного квадрата для квадратного трехчлена и использование табличных интегралов № 8 – 11.

Пример 9

dx

=

dx

=

dx

=

d(x +1)

=

x2 + 2x +5

x2 + 2x +1+ 4

(x +1)2 + 4

(x +1)2 + 22

= 12arctg x 2+1+C .

В случае с квадратным корнем только на последнем шаге применяется другой табличный интеграл (10-11 вместо 8-9).

Пример 10

dx

d(x +1)

=

= ln(x +1+ x

2

+ 2x +5)+C .

x

2

+ 2x +5

(x +1)

2

+ 4

Замечание. Так как у нас подкоренное выражение, очевидно, положительно, то выражение под знаком логарифма тоже положительно и проще избавиться в ответе от знака модуля.

II. Интегралы вида

kx + e

kx + e

dx или

dx берутся с помо-

ax2 +bx + c

ax2 +bx + c

щью выделения в числителе производной от квадратного трехчлена в знамена-

теле (ax2 +bx +c)= 2ax +b: kx + e = A(2ax +b)+ B, где А и B находятся мето-

дом неопределенных коэффициентов (раскрываются скобки и после приведения подобных членов приравниваются коэффициенты при x и свободные чле-

10

ны, что дает систему двух линейных уравнений относительно А и В, определитель которой всегда отличен от нуля); подставив полученное выражение в числитель и почленно разделив, мы сводим первые слагаемые к формулам (1.6) или (1.7), а вторые будут интегралами I типа.

Пример 11

x24x6x9+5dx .

Применим, описанный выше метод:

(x2 6x +5)= 2x 6, 4x 9= A(2x 6)+ B, 4x 9= 2Ax + (6A + B),

приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, выписываем систему для определения коэффициентов

2A = 4,

A = 2,

6A + B = −9,

B = 6A 9=3,

значит,

4x 9= 2(2x 6)+3.

Отметим, что в простых случаях с целыми числами A, B можно сразу найти A и B подбором т.е. а) на что нужно умножить 2x, чтобы получить 4x, очевидно, A=2; б) подставив в первое равенство A=2, уже раскрыв скобки 4x 12 легко ответить, какое число надо добавить к 12, чтобы получить 9, это позволяет найти B=3. Тогда

4x 9

2(2x 6)+3

2x 6

dx

dx = x2 6x +5 dx = 2

dx

+3

=

x2 6x +5

x2 6x +5

x2 6x +5

= 2

(x2 6x +9)

dx +3

d(x 3)

2

3 1

x 32

x2 6x +5

= 2ln

x

6x +5

+ 2

2ln

+C =

(x 3)2 4

x 3+ 2

3ln

x 5

= 2ln

x2 6x +5

+

+C .

x 1

4

11

Аналогичный пример с квадратным корнем отличается только применением последнего частного случая внесения под знак дифференциала и иного табличного интеграла.

Пример 12

9

4x

dx =

2(62x)3

dx = 2

(6x x2 5)

dx

6x

x

2

6x x

2

5

6x x

2

5

5

3

d(x 3)

4

3arcsin

x 3

+C .

=

6x x2 5

4(x 3)

2

2

Проверьте, что из-за смены знака квадратного трехчлена и знака числителя по сравнению с предыдущим примером А не изменится, а B сменит знак.

§5. Интегрирование рациональных дробей

Определение. Правильной рациональной дробью называется отношение двух многочленов

Qm (x)

= bm xm + +b1x +b0

,

(1.8)

Pn (x)

an xn + + a1x + a0

если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то есть при m < n . Если дробь неправильная, то разделив уголком, всегда можно выделить целую часть и добавить остаток, деленный на многочлен Pn (x)

в знаменателе.

Пример 13

x5

dx .

x2 +9

Так как степень числителя больше степени знаменателя, значит подынте-

гральная рациональная дробь неправильная: Q (x) = x5

,

P (x) = x2

+9,

5

2

m =5> 2= n. При делении уголком на каждом шаге степень многочлена понижается на n = 2, и, как только она станет меньше двух, процесс останавливаем.

12

9x3

9x3 81x

81x

В нашем случае целая часть равна x3 9x , а остаток 81x , поэтому

x2x+5 9 = x3 9x + x812 +x9 .

Тогда

x5

81x

dx =

x3 9x +

dx =

x3dx

x

2

+9

x

2

+9

xdx

x

4

x

2

1

(x

2

4

2

9xdx + 81

=

9

+81

+9) dx

= 0,25x

4,5x

+

x2 +9

4

2

2

x2 +9

+40,5ln(x2 +9) +C .

Замечание. Первоначальный интеграл свелся к сумме трех интегралов, первые два из которых (от целой части) берутся как табличные, а последний сводится к выделению в числителе производной от знаменателя ((1.6)), но пока в сумме есть хотя бы один интеграл, произвольную постоянную С не пишут, т.к. она содержится в нем, и появляется в ответе только после взятия последнего интеграла.

Рассмотрим теперь общую схему интегрирования рациональных дробей.

1.Если дробь неправильная, то выделить целую часть (пример 13.).

2.Разложить знаменатель, если это возможно, на множители:

Pn (x) = an xn + an1xn1 + + a1x + a0 = an (x x1) (x x2)k

2 +

p1x

+

q1)

(x2

+ p x + q )s

,

(1.9)

(x

2

2

где x1 является простым корнем многочлена Pn (x), x2

̶корнем кратности k, а

дискриминантыD = p2

4q

, D = p2

4q

отрицательны, им у квадратных

1

1

1

2

2

2

трехчленов соответствуют пары комплексно-сопряженных корней. Отметим, что по основной теореме алгебры у каждого многочлена, в области комплексных чисел, существует хотя бы один корень, отсюда вытекает, что у многочлена нечетной степени с действительными коэффициентами точно будет хотя бы один действительный корень, но нахождение корней для многочленов старших

13

степеней и соответствующее разложение (1.9) на множители на практике часто затруднительно. Например, чтобы разложить на множители многочлен четвер-

той степени P4 = x4 + 4 , у которого нет действительных корней, нужно догадаться добавить и отнять 4x2 , то есть дополнить до полного квадрата.

P4 = x4 + 4x2 + 4 4x2 = (x2 + 2)2 (2x)2 = (x2 2x + 2)(x2 + 2x + 2),

проверьте, что оба дискриминанта отрицательны.

3.Пусть по формуле (1.9) знаменатель разложен на множители. Пра-

вильную рациональную дробь

R(x)

, где

R(x) ̶остаток, полученный при деле-

P

(x)

n

нии многочленов (или, если изначально была правильная дробь, многочлен

R(x) = Qm (x)) можно разложить на сумму простейших дробей. Кроме того,

без ограничения общности, можно считать многочлен Pn (x) приведенным, ко-

гда первый коэффициент равен единице (так как мы можем первый коэффициент an 0 перенести в числитель). Тогда разложение будет иметь вид:

R(x)

=

A1

+ +

B1

+

B2

+ +

Bk

+ +

Cx + D

+

P (x)

x x

x x

(x x

)2

(x x

)k

x2 + p x + q

n

1

2

2

2

1

1

+

С1x + D1

+ +

Cs x + Ds

.

(1.10)

x2 + p x + q

2

(x2

+ p x + q )s

2

2

2

При разложении мы руководствовались следующими правилами:

каждому корню соответствует столько слагаемых, какова его кратность;

для действительных корней в числителях ставятся константы;

для квадратных трехчленов с отрицательными дискриминантами в числителях ставятся линейные выражения, то есть многочлены первой степени.

Отметим, что все коэффициенты разложения: A1, ,Ds необходимо обо-

значать разными буквами, их можно просто нумеровать A1,A2, ,An , так как их количество совпадает со степенью многочлена знаменателя Pn (x) равной n .

4. Метод неопределенных коэффициентов, который заключается в следующем:

а) привести к общему знаменателю полученное разложение. Заметим, что дополнительные множители можно выписывать по разложению на множители (1.9) (только без an );

б) раскрыть скобки и привести подобные члены в правой части;

в) приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной xk , k = 0,1,…,n 1, при этом получится система n уравнений с n неизвестными

A1,A2, ,An ;

14

г) решить полученную в пункте в) систему n уравнений с n неизвестными и найти её единственное решение (доказано, что основной определитель этой системы отличен от нуля);

д) подставить найденные коэффициенты A1,A2, ,An в (1.10).

5. Добавив к найденному разложению на сумму простейших дробей целую часть (если она была для первоначальной неправильной дроби), почленно проинтегрировать.

Пример 14

6x3 +10x2 + 6x +15dx .

x4 + 2x3 +5x2

Решение

1) рациональная дробь правильная, поэтому начинаем с пункта 2.

2) разложим многочлен в знаменателе на множители: x4 + 2x3 +5x2 = x2(x2 + 2x +5), так как D = 420= −16< 0, то квадратный мно-

гочлен на линейные множители в области действительных чисел разложить нельзя.

3) разложимисходную правильную рациональную дробьна суммупростейших:

6x3 +10x2 + 6x +15

=

A

+

A

+

A x + A

.

x2(x2

+ 2x +5)

1

2

3

4

x

x2

x2 + 2x +5

4) приведем дроби, стоящие в правой части к общему знаменателю, раскроем скобки и приведем подобные члены, тогда

6x3 +10x2 + 6x +15= A x3

+ 2A x2

+5A x + A x2

+ 2A x +5A + A x3

+ A x2

,

1

1

1

2

2

2

3

4

6x3 +10x2 + 6x +15= (A + A )x3

+ (2A + A + A )x2

+ (5A + 2A )x +5A ,

1

3

1

2

4

1

2

2

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x , получим систему

A

+ A

= 6,

A = 6A ,

A = 6,

1

3

3

1

3

2A1 + A2

+ A4 =10,

A4

=102A1 A2,

A4

= 7,

+ 2A2

= 6,

5A1 = 62A2,

A1 = 0,

5A1

5A2

=15.

A2

=3,

A2

=3.

В данном примере система, также, как и приведение её методом Гаусса к треугольному виду ( если расположить неопределенные коэффициенты в по-

15

рядке A3,A4,A1,A2 ), двигаясь снизу вверх найдем A2 , затем A1,A4 и A3 . Под-

ставив найденные коэффициенты в разложение из п. 3), получим

6x3 +10x2 + 6x +15

=

3

+

6x + 7

.

x2(x2 + 2x +5)

x2

x2 + 2x +5

6x3 +10x2 +6x +15

3

6x +7

5)

2

2

dx =

+

dx =

x

(x

+ 2x +5)

2

x

2

+

2x +5

x

dx 3(2x + 2)+1

2

(x

2

+

2x

+

dx

=3x2 + x2 + 2x +5 dx = 3x

dx + 3

5)

dx +

=

x2 + 2x +5

(x +1)2 + 4

= −

3

+3ln(x2 + 2x +5)+

1arctg

x +1

+C

. (пример 9).

x

2

2

Решим пример 11

4x 9

dx по общей схеме.

x2 6x +5

Решение. 1) дробь правильная;

2)x2 6x +5= 0, по теореме Виета x =1,

x

= 5 и x2 6x +5= (x 1)(x 5);

1

2

3)

4x 9

=

A1

+

A2

;

(x 1)(x 5)

x 1

x 5

4) 4x 9= A1(x 5)+ A2(x 1).

Если все корни многочлена в знаменателе действительны и различны, то можно сразу найти неопределенные коэффициенты, полагая по очереди x равным найденным в пункте 2 корням. В нашем случае

а) при x =1

49= A (15)+ A 0,

4A = −5,

A =

5

;

1

2

1

1

4

б) при x = 5

209 = A 0+ A (51)

, 4A =11,

A =11.

1

2

2

2

4

Поэтому, минуя остальные подпункты 4), сразу получим

4x 9

5

11

4

4

=

+

.

(x 1)(x 5)

x 1

x 5

16

5

11

5)

4x 9

dx =

4

+

4

dx = 5 d(x 1)

+11 d(x 5) =

x

2

6x +9

x 5

4x 1

4 x 5

x 1

5ln

x 1

+ 11ln

x 5

+С .

4

4

Замечание 1. Сравним данный ответ с ответом на с. 10, полученного с помощью выделения в числителе производной от знаменателя, но упростив тот первоначальный ответ с помощью свойств логарифма, можно свести его к новому ответу. Такая ситуация при взятии интеграла разными методами типична: ответы получаются часто совершенно на первый взгляд разные, но отличаются друг от друга на константу (см. лемму о первообразных).

Замечание 2. Отметим, что чем больше степень многочлена в знаменателе, тем выгоднее применение предложенного метода нахождения неопределенных коэффициентов (в случае разложения этого многочлена только на различные линейные множители). В качестве упражнения, возьмите с помощью этого ме-

тода 2x3 3x2 +7x +5 dx (полагая по очереди x = 0, x =1, x = −1, x = 2). x(x 1)(x +1)(x 2)

Приведем еще один метод интегрирования выражений, содержащих ко-

рень из квадратного трехчлена, а именно,

метод неопределенных коэффициен-

тов

для

нахождения

интегралов

вида

Pn (x)

dx

или

ax

2

+bx + c

Pn (x)

ax2 +bx + cdx , где Pn (x)

многочлен степени n.

Отметим, что второй

интеграл сводится к первому умножением и делением на ax2 +bx +c , а потому остановимся на первом интеграле. Докажем, что имеет место его представление в виде

Pn (x)

dx

dx = Qn1

(x)

ax

2

+bx + c + L

,

ax2

+bx + c

ax2

+bx + c

где Qn1(x) ̶некоторый многочлен, степени на единицу меньшей степени многочлена Pn (x), L ̶некоторая константа.

Продифференцировав обе части записанного равенства, получим

17

Pn (x)

ax +

b

L

2

= Qn1(x)

ax2 +bx + c

+Qn1(x)

+

,

ax2 +bx + c

ax2 +bx

ax2 +bx + c

+ c

откуда при умножении правой и левой частей на ax2 +bx +c придем к равенству двух многочленов степени n

Pn (x)=Qn1(x)(ax2 +bx + c)+ Qn1(x) ax + b2 + L,

которое должно выполняться тождественно. Это условие даёт возможность определения коэффициентов многочлена Qn1(x) и константы L обычным ме-

тодом неопределенных коэффициентов. Отметим также, что система уравнений для определения этих коэффициентов будет иметь треугольный вид.

Пример 15

2

2

4

3

2

x2

dx =

x

(x

+ 2x + 2)

dx =

x

+ 2x

+ 2x

dx.

x2 + 2x + 2

2

2

x

+ 2x + 2

x

+ 2x + 2

В соответствии с рассмотренным методом запишем равенство

x4

+ 2x3 + 2x

2

+L

dx

dx = (Ax3 + Bx2

+Cx + D) x2 + 2x + 2

.

2

x

2

x + 2x + 2

+ 2x + 2

Продифференцируем это равенство:

x4 + 2x3 + 2x2

= (3Ax2

+ 2Bx +C) x2

+ 2x + 2 + (Ax3 + Bx2 + Cx + D)

x2 + 2x + 2

x +1

+

L

x2 + 2x + 2

x2 + 2x + 2

и, умножив обе его части на x2 + 2x + 2, придем к тождественному равенству двух многочленов четвертой степени:

x4 + 2x3 + 2x2 = (3Ax2 + 2Bx +C )(x2 + 2x + 2) +(Ax3 + Bx2 +Cx + D)(x +1)+ L.

18

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Универсального способа решения иррациональных уравнений нет, так как их класс отличается количеством. В статье будут выделены характерные виды уравнений с подстановкой  при помощи метода интегрирования.

Для использования метода непосредственного интегрирования необходимо вычислять неопределенные интегралы типа ∫kx+bp dx, где p является рациональной дробью, k и b являются действительными коэффициентами.

Пример 1

Найти и вычислить первообразные функции y=13x-13.

Решение

По правилу интегрирования необходимо применить формулу ∫f(k·x+b)dx=1k·F(k·x+b)+C, а таблица первообразных говорит о том, что имеется готовое решение данной функции. Получаем, что

∫dx3x-13=∫(3x-1)-13dx=13·1-13+1·(3x-1)-13+1+C==12(3x-1)23+C

Ответ: ∫dx3x-13=12(3x-1)23+C.

Имеют место быть случаи, когда можно использовать метод подведения под знак дифференциала. Это решается по принципу нахождения неопределенных интегралов вида ∫f'(x)·(f(x))pdx, когда значение p считается рациональной дробью.

Пример 2

Найти неопределенный интеграл ∫3×2+5×3+5x-776dx.

Решение

Отметим, что dx3+5x-7=x3+5x-7’dx=(3×2+5)dx. Тогда необходимо произвести подведение под знак дифференциала с использованием таблиц первообразных. Получаем, что

∫3×2+5×3+5x-776dx=∫(x3+5x-7)-76·(3×2+5)dx==∫(x3+5x-7)-76d(x3+5x-7)=x3+5x-7=z==∫z-76dz=1-76+1z-76+1+C=-6z-16+C=z=x3+5x-7=-6(x3+5x-7)6+C

Ответ: ∫3×2+5×3+5x-776dx=-6(x3+5x-7)6+C.

Решение неопределенных интегралов предусматривает формулу вида ∫dxx2+px+q, где p и q являются действительными коэффициентами. Тогда необходимо выделить полный квадрат из-под корня. Получаем, что

x2+px+q=x2+px+p22-p22+q=x+p22+4q-p24

Применив формулу, расположенную в таблице неопределенных интегралов, получаем:

∫dxx2±α=lnx+x2±α+C

Тогда вычисление интеграла производится:

∫dxx2+px+q=∫dxx+p22+4q-p24==lnx+p2+x+p22+4q-p24+C==lnx+p2+x2+px+q+C

Пример 3

Найти неопределенный интеграл вида ∫dx2x2+3x-1.

Решение

Для вычисления необходимо вынести число 2 и расположить его перед радикалом:

∫dx2x2+3x-1=∫dx2x2+32x-12=12∫dxx2+32x-12

Произвести выделение полного квадрата в подкоренном выражении. Получим, что

x2+32x-12=x2+32x+342-342-12=x+342-1716

Тогда получаем неопределенный интеграл вида 12∫dxx2+32x-12=12∫dxx+342-1716==12lnx+34+x2+32x-12+C

Ответ: dxx2+3x-1=12lnx+34+x2+32x-12+C

Интегрирование иррациональных функций  производится аналогичным способом. Применимо для функций вида y=1-x2+px+q.

Пример 4

Найти неопределенный интеграл ∫dx-x2+4x+5.

Решение

Для начала необходимо вывести квадрат знаменателя выражения из-под корня.

∫dx-x2+4x+5=∫dx-x2-4x-5==∫dx-x2-4x+4-4-5=∫dx-x-22-9=∫dx-(x-2)2+9

Табличный интеграл имеет вид ∫dxa2-x2=arcsinxa+C, тогда получаем, что ∫dx-x2+4x+5=∫dx-(x-2)2+9=arcsinx-23+C

Ответ: ∫dx-x2+4x+5=arcsinx-23+C.

Процесс нахождения первообразных иррациональных функций вида y=Mx+Nx2+px+q, где имеющиеся M, N, p, q являются действительными коэффициентами, причем имеют схожесть с интегрированием простейших дробей третьего типа. Это преобразование имеет несколько этапов:

подведение дифференциала под корень, выделение полного квадрата выражения под корнем, применение табличных формул.

Пример 5

Найти первообразные функции y=x+2×2-3x+1.

Решение

Из условия имеем, что d(x2-3x+1)=(2x-3)dx и x+2=12(2x-3)+72, тогда (x+2)dx=12(2x-3)+72dx=12d(x2-3x+1)+72dx.

Рассчитаем интеграл: ∫x+2×2-3x+1dx=12∫d(x2-3x+1)x2-3x+1+72∫dxx2-3x+1==12∫(x2-3x+1)-12d(x2-3x+1)+72∫dxx-322-54==12·1-12+1·x2-3x+1-12+1+72lnx-32+x-32-54+C==x2-3x+1+72lnx-32+x2-3x+1+C

Ответ: ∫x+2×2-3x+1dx=x2-3x+1+72lnx-32+x2-3x+1+C.

Поиск неопределенных интегралов  функции ∫xm(a+bxn)pdx осуществляется при помощи  метода подстановки.

Для решения необходимо ввести новые переменные:

  1. Когда число p является целым, тогда считают, что x=zN, а N является общим знаменателем для m, n.
  2. Когда m+1n является целым числом, тогда a+bxn=zN, а N является знаменателем числа p.
  3. Когда m+1n+p является целым числом, то необходим ввод переменной ax-n+b=zN, а N является знаменателем числа p.
Пример 6

Найти определенный интеграл ∫1x2x-9dx.

Решение

Получаем, что ∫1x2x-9dx=∫x-1·(-9+2×1)-12dx. Отсюда следует, что m=-1, n=1,p=-12, тогда m+1n=-1+11=0 является целым числом. Можно ввести новую переменную вида -9+2x=z2. Необходимо выразить x через z. На выходы получим, что

-9+2x=z2⇒x=z2+92⇒dx=z2+92’dz=zdz-9+2x=z

Необходимо произвести подстановку в заданный интеграл. Имеем, что

∫dxx2x-9=∫zdzz2+92·z=2∫dzz2+9==23arctgz3+C=23arcctg2x-93+C

Ответ: ∫dxx2x-9=23arcctg2x-93+C.

Для упрощения решения иррациональных уравнений применяются основные методы интегрирования.

Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Интегрирование иррациональных функций с примерами решения

Содержание:

Интегрирование иррациональных функций.

Определение 1. Функция вида Интегрирование иррациональных функций с примерами решения

Пример 1.
Интегрирование иррациональных функций с примерами решения– рациональная функция переменных u и v, при этом:
Интегрирование иррациональных функций с примерами решения
 

п.1. Интегралы вида:
Интегрирование иррациональных функций с примерами решения

Пусть s – общий знаменатель дробей Интегрирование иррациональных функций с примерами решенияТогда подстановка Интегрирование иррациональных функций с примерами решения
делает подинтегральную функцию рациональной.

Пример 2.
Интегрирование иррациональных функций с примерами решенияИнтегрирование иррациональных функций с примерами решения
Пример 3

Интегрирование иррациональных функций с примерами решения

п.2. Интегралы видаИнтегрирование иррациональных функций с примерами решенияИнтегрирование иррациональных функций с примерами решенияинтегралы от дифференциального бинома.
Интегралы вида (1) выражаются через элементарные функции в следующих случаях:
а) p∈Z – интегралы рассмотрены в п.1.
б) Интегрирование иррациональных функций с примерами решения, тогда подстановка Интегрирование иррациональных функций с примерами решения, где s – знаменатель р приводит интегральную функцию к рациональной.
в) Интегрирование иррациональных функций с примерами решения, тогда подстановка Интегрирование иррациональных функций с примерами решения, где s – знаменатель р приводит интегральную функцию к рациональной.
Во всех других случаях интегралы (1) выразить через элементарные функции нельзя (теорема Чебышева).

Пример 4.
Интегрирование иррациональных функций с примерами решения
Пример 5.
Интегрирование иррациональных функций с примерами решения
п.3. Интегралы вида Интегрирование иррациональных функций с примерами решения Вычисление интегралов проводится аналогично интегралам Интегрирование иррациональных функций с примерами решениявыделением полного квадрата в трехчлене
Интегрирование иррациональных функций с примерами решения (см. § 21, примеры 1, 2).
 

Пример 6.

Интегрирование иррациональных функций с примерами решения
п 4. Интегралы вида Интегрирование иррациональных функций с примерами решения, где Интегрирование иррациональных функций с примерами решения – многочлен степени n.
Для вычисления интегралов используют равенство:
Интегрирование иррациональных функций с примерами решения многочлен степени n−1 . Коэффициенты многочлена Интегрирование иррациональных функций с примерами решения а также число λ находятся, если продифференцировать правую и левую часть равенства (2).

  • Заказать решение задач по высшей математике

Пример 7.
Интегрирование иррациональных функций с примерами решенияПосле взятия производной:
Интегрирование иррациональных функций с примерами решения
Приравниваем друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях.
Интегрирование иррациональных функций с примерами решения
Решив систему (3), получим :
Интегрирование иррациональных функций с примерами решения

(сравни с примером 5).

п.5. Интегралы вида Интегрирование иррациональных функций с примерами решения
В данных интегралах можно избавиться от иррациональности, если применить подходящую тригонометрическую или гиперболическую подстановку.
Интегрирование иррациональных функций с примерами решения – для первого интеграла,
Интегрирование иррациональных функций с примерами решения – для второго,
Интегрирование иррациональных функций с примерами решения – для третьего (см. § 23).

Пример 8.
Интегрирование иррациональных функций с примерами решения

Интегрирование иррациональных функций с примерами решения

Пример 9.

Интегрирование иррациональных функций с примерами решения

Интегрирование некоторых иррациональных функций

1. Интегралы вида Интегрирование иррациональных функций с примерами решения.

Интегралы такого типа вычисляются по следующей схеме:

  • -у дробей Интегрирование иррациональных функций с примерами решения находят наименьший общий знаменатель, который обозначим через р;
  • – проводят замену Интегрирование иррациональных функций с примерами решения.

В результате приведенных действий данный интеграл переходит в неопределенный интеграл от рациональной функции.

Пример:

Вычислить Интегрирование иррациональных функций с примерами решения

Решение:

В данном примере Интегрирование иррациональных функций с примерами решения следовательно, наименьший общий знаменатель этих дробей равен 6. Таким образом.Интегрирование иррациональных функций с примерами решения

2. Интегралы вида Интегрирование иррациональных функций с примерами решения.

Такие интегралы путем замены Интегрирование иррациональных функций с примерами решенияприводятся к одному из интегралов вида:

1. Интегрирование иррациональных функций с примерами решения 2.Интегрирование иррациональных функций с примерами решения 3.Интегрирование иррациональных функций с примерами решения

Для вычисления этих интегралов применяют следующие тригонометрические замены

1. Интегрирование иррациональных функций с примерами решения 2.Интегрирование иррациональных функций с примерами решения 3. Интегрирование иррациональных функций с примерами решения – которые позволяют избавиться от квадратного корня.

Пример:

Вычислить Интегрирование иррациональных функций с примерами решения

Решение:

Данный интеграл соответствует интегралам типа 1., поэтому

Интегрирование иррациональных функций с примерами решения Интегрирование иррациональных функций с примерами решения

Интегрирование иррациональных функций с примерами решения

Пример:

Вычислить Интегрирование иррациональных функций с примерами решения

Решение:

Воспользуемся указанной выше заменой

Интегрирование иррациональных функций с примерами решения

(интеграл вычислен в п. 2а) Интегрирование иррациональных функций с примерами решения

Пример:

Вычислить Интегрирование иррациональных функций с примерами решения

Решение:

Интегрирование иррациональных функций с примерами решения

Пример:

Вычислить Интегрирование иррациональных функций с примерами решения

Решение:

Воспользуемся указанной выше заменой

Интегрирование иррациональных функций с примерами решения

Понятие о неберущихся интегралах

Определение: Интегралы, первообразные которых не выражаются через элементарные функции, называются неберущимися: Интегрирование иррациональных функций с примерами решения

  • Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение
  • Линии второго порядка
  • Полярные координаты
  • Непрерывность функции
  • Формула Тейлора и ее применение
  • Интегрирование рациональных дробей
  • Интегрирование тригонометрических функций
  • Интегрирование тригонометрических выражений

Интегрирование иррациональных функций: способы и примеры решений

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Рассмотрим интегралы от иррациональных функций, то есть функций, содержащих переменную (обычно икс) под корнем или, что то же самое — в дробной степени. Интегралы от таких функций с помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций и могут быть проинтегрированы окончательно.

В подынтегральном выражении — различные дробно-рациональные функции

Разберём интегралы, где в подынтегральном выражении переменная присутствует под корнем. В формально обобщённом виде речь идёт об интегралах вида

,

В примерах мы увидим, что переменная икс, присутствующая под корнем, присутствует там без степени. В примере 3 икс присутствует также в квадрате, но при этом — не по корнем. То есть корни отдельно, степени — отдельно.

В этом случае важное значение имеет наименьшее общее кратное чисел λ , . μ (или общий знаменатель, если эти числа дробные). Обозначим это наименьшее общее кратное (общий знаменатель) через n . Рассматриваемые интегралы от иррациональных функций можно найти, используя следующую подстановку:

Тогда каждая дробная степень «икса» выразится через целую степень «тэ» и подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от «тэ».

Пример 1. Найти интеграл от иррациональной функции .

Решение. Преобразуем все корни икса в степени. Выписываем степени при иксе в подынтегральном выражении — все, которые там находим:

.

Находим наименьшее общее кратное знаменателей этих чисел: 4.

Поэтому используем следующую подстановку:

Подставляем и преобразуем:

Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:

.

Пример 2. Найти интеграл от иррациональной функции .

Решение. Используем следующую подстановку:

Подставляем и преобразуем:

Интегрируем и получаем:

Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:

.

Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Найти интеграл от иррациональной функции .

Пример 4. Найти интеграл от иррациональной функции

.

Корень из квадратного трёхчлена и подстановки Эйлера

Если дан интеграл иррациональной функции вида

,

то есть в подынтегральном выражении — корень из квадратного трёхлчена, то можно воспользоваться подстановками Эйлера.

,

В зависимости от характера корней квадратного уравнения используются следующие подстановки Эйлера.

1. Если x 1 , x 2 — действительные числа (не комплексные), то используется подстановка

(первая подстановка Эйлера).

2. Если x 1 , x 2 — комплексные числа и a > 0 , то используется подстановка

(вторая подстановка Эйлера).

3. Если x 1 , x 2 — комплексные числа и c > 0 , то используется подстановка

(третья подстановка Эйлера).

Пример 5. Найти интеграл от иррациональной функции .

Решение. Разложим квадратный трёхчлен на множители:

Используем первую подстановку Эйлера:

Интегрируем и получаем:

Возвращаясь к переменной икс, сначала долго занимаемся преобразованием выражений, а затем окончательно находим:

Пример 6. Найти интеграл от иррациональной функции .

Используем вторую подстановку Эйлера:

Интегрируем и получаем:

.

Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:

.

Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 7. Найти интеграл от иррациональной функции .

(использовать третью подстановку Эйлера).

Интегралы от дифференциального бинома и подстановки Чебышева

,

где m, n, p — рациональные числа (целые или дробные), называются интегралами от дифференциального бинома. В примерах мы увидим, что в подынтегральных выражениях переменная икс присутствует не только под корнем: она под корнем, но ещё и в степени. В этом главное отличие рассматриваемых интегралов от тех, которые были рассмотрены в первом параграфе.

Чтобы найти такие интегралы, используются подстановки Чебышева.

1. Если p — целое число, то используется подстановка

,

где k — наименьшее общее кратное знаменателей m и n.

2. Если — целое число, то используется подстановка

,

где s — знаменатель дроби p .

3. Если — целое число, то используется подстановка

,

где s — знаменатель дроби p .

Русский математик П.Л. Чебышев доказал, что только в перечисленных трёх случаях интеграл от дифференциальных биномов с рациональными показателями степени выражается через элементарные функции.

Пример 8. Найти интеграл от иррациональной функции .

Преобразуем корни в степени и избавимся от дроби:

Здесь p = -1 (целое число). Чтобы избавиться от степени икса в скобках, сделаем промежуточную подстановку

:

.

Теперь сделаем следующую подстановку:

Подставляем и получаем:

Возвращаемся к переменной z :

.

Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:

.

Пример 9. Найти интеграл от иррациональной функции .

Преобразуем корни в степени и избавимся от дроби:

.

Здесь m = 3 , n = 2 , , (целое число).

Cделаем промежуточную подстановку

:

.

Теперь, чтобы избавиться от дробной степени выражения в скобках, сделаем следующую подстановку:

.

Интегрируем и получаем:

.

Возвращаемся к переменной z :

.

Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:

.

Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 10. Найти интеграл от иррациональной функции .

— целое число.

Частный случай квадратичных иррациональностей

Рассмотрим интеграл от иррациональной функции вида

, (1)

где в знаменателе — квадратный корень из квадратного трёхчлена.

Чтобы проинтегрировать любой интеграл такого вида, необходимо уметь находить интегралы и .

Формула для нахождения первого из них:

(2)

Второй интеграл находится по формуле

(3)

Формулы (2 и (3) можно условно считать табличными интегралами. Если в подкоренном выражении интеграла (1) выделить полный квадрат, то при a > 0 это выражение примет вид

После подстановки t = xm в первом случае интеграл (1) приводится к интегралу (3), во втором – к интегралу (2).

Пример 11. Найти интеграл от иррациональной функции

Решение. Выделим в подкоренном выражении полный квадрат:

Произведя теперь подстановку

причём при интегрировании воспользовались формулой (3). Возвращаясь к старой переменной, окончательно получим

Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 12. Найти интеграл от иррациональной функции

Методы интегрирования иррациональных функций (корней)

Иррациональная функция от переменной – это функция, которая образована из переменной и произвольных постоянных с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения (возведения в целочисленную степень), деления и извлечения корней. Иррациональная функция отличается от рациональной тем, что иррациональная функция содержит операции извлечения корней.

Существует три основных типа иррациональных функций, неопределенные интегралы от которых приводятся к интегралам от рациональных функций. Это интегралы, содержащие корни произвольных целочисленных степеней из дробно-линейной функции (корни могут быть различных степеней, но от одной и той же, дробно-линейной функции); интегралы от дифференциального бинома и интегралы с квадратным корнем из квадратного трехчлена.

Важное замечание. Корни многозначны!

При вычислении интегралов, содержащих корни, часто встречаются выражения вида , где – некоторая функция от переменной интегрирования . При этом следует иметь в виду, что . То есть, при t > 0 , |t| = t . При t 0 , |t| = – t . Поэтому, при вычислении подобных интегралов, нужно отдельно рассматривать случаи t > 0 и t 0 . Это можно сделать, если писать знаки или там, где это необходимо. Подразумевая, что верхний знак относится к случаю t > 0 , а нижний – к случаю t 0 . При дальнейшем преобразовании, эти знаки, как правило, взаимно сокращаются.

Возможен и второй подход, при котором подынтегральную функцию и результат интегрирования можно рассматривать как комплексные функции от комплексных переменных. Тогда можно не следить за знаками в подкоренных выражениях. Этот подход применим, если подынтегральная функция является аналитической, то есть дифференцируемой функцией от комплексной переменной. В этом случае и подынтегральная функция и интеграл от нее являются многозначными функциями. Поэтому после интегрирования, при подстановке численных значений, нужно выделить однозначную ветвь (риманову поверхность) подынтегральной функции, и для нее выбрать соответствующую ветвь результата интегрирования.

Далее, по возможности, мы будем применять первый подход, и следить за знаком подкоренных выражений.

Дробно-линейная иррациональность

Это интегралы с корнями от одной и той же дробно-линейной функции:
,
где R – рациональная функция, – рациональные числа, m1, n1, . ms, ns – целые числа, α, β, γ, δ – действительные числа.
Такие интегралы сводится к интегралу от рациональной функции подстановкой:
, где n – общий знаменатель чисел r1, . rs .

Корни могут быть не обязательно от дробно-линейной функции, но и от линейной ( γ = 0 , δ = 1 ), или от переменной интегрирования x ( α = 1 , β = 0 , γ = 0 , δ = 1 ).

Вот примеры таких интегралов:
, .

Интегралы от дифференциальных биномов

Интегралы от дифференциальных биномов имеют вид:
,
где m, n, p – рациональные числа, a, b – действительные числа.
Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций в трех случаях.

1) Если p – целое. Подстановка x = t N , где N – общий знаменатель дробей m и n .
2) Если – целое. Подстановка a x n + b = t M , где M – знаменатель числа p .
3) Если – целое. Подстановка a + b x – n = t M , где M – знаменатель числа p .

В остальных случаях, такие интегралы не выражаются через элементарные функции.

Иногда такие интегралы можно упростить с помощью формул приведения:
;
.

Интегралы, содержащие квадратный корень из квадратного трехчлена

Такие интегралы имеют вид:
,
где R – рациональная функция. Для каждого такого интеграла имеется несколько методов решения.
1) С помощью преобразований привести к более простым интегралам.
2) Применить тригонометрические или гиперболические подстановки.
3) Применить подстановки Эйлера.

Рассмотрим эти методы более подробно.

1) Преобразование подынтегральной функции

Применяя формулу , и выполняя алгебраические преобразования, приводим подынтегральную функцию к виду:
,
где φ(x), ω(x) – рациональные функции.
Подробнее >>>

Далее выделяя целую часть у ω(x) и раскладывая остаток на простейшие дроби, получаем интегралы трех типов.

I тип

Интеграл вида:
,
где Pn(x) – многочлен степени n .

Такие интегралы находятся методом неопределенных коэффициентов, используя тождество:

.
Дифференцируя это уравнение и приравнивая левую и правую части, находим коэффициенты Ai .
Подробнее >>>

II тип

Интеграл вида:
,
где Pm(x) – многочлен степени m .

Подстановкой t = ( x – α ) –1 этот интеграл приводится к предыдущему типу. Если m ≥ n , то у дроби следует выделить целую часть.
Подробнее >>>

III тип

Здесь мы делаем подстановку:
.
После чего интеграл примет вид:
.
Далее, постоянные α, β нужно выбрать такими, чтобы в знаменателе коэффициенты при t обратились в нуль:
B = 0, B1 = 0 .
Тогда интеграл распадается на сумму интегралов двух видов:
,
,
которые интегрируются подстановками:
u 2 = A1t 2 + C1 ,
v 2 = A1 + C1 t –2 .
Подробнее >>>

2) Тригонометрические и гиперболические подстановки

В некоторых случаях, применение тригонометрических и гиперболических подстановок приводит к более коротким вычислениям. Для их применения, с помощью линейной подстановки, квадратный трехчлен под знаком интеграла нужно привести к сумме или разности квадратов. Затем нужно применить одну из тригонометрических или гиперболических подстановок. Основные подстановки перечислены ниже. Более подробно они рассматриваются на странице:
Тригонометрические и гиперболические подстановки >>>

Для интегралов вида , a > 0 ,
имеем три основные подстановки:
;
;
;

Для интегралов , a > 0 ,
имеем следующие подстановки:
;
;
;

И, наконец, для интегралов , a > 0 ,
подстановки следующие:
;
;
;

3) Подстановки Эйлера

Также интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций одной из трех подстановок Эйлера:
, при a > 0 ;
, при c > 0 ;
, где x1 – корень уравнения a x 2 + b x + c = 0 . Если это уравнение имеет действительные корни.

Эллиптические интегралы

В заключении рассмотрим интегралы вида:
,
где R – рациональная функция, . Такие интегралы называются эллиптическими. В общем виде они не выражаются через элементарные функции. Однако встречаются случаи, когда между коэффициентами A, B, C, D, E существуют соотношения, при которых такие интегралы выражаются через элементарные функции.

Ниже приводится пример, связанный с возвратными многочленами. Вычисление подобных интегралов выполняется с помощью подстановок:
.

Пример

.
Здесь при x > 0 ( u > 0 ) берем верхний знак ′ + ′. При x 0 ( u 0 ) – нижний ′ – ′.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 02-04-2015 Изменено: 30-01-2018

Интегрирование иррациональных функций с примерами решения

Содержание:

Интегрирование иррациональных функций.

Определение 1. Функция вида

Пример 1.
— рациональная функция переменных u и v, при этом:

п.1. Интегралы вида:

Пусть s – общий знаменатель дробей Тогда подстановка
делает подинтегральную функцию рациональной.

Пример 2.

Пример 3

п.2. Интегралы видаинтегралы от дифференциального бинома.
Интегралы вида (1) выражаются через элементарные функции в следующих случаях:
а) p∈Z — интегралы рассмотрены в п.1.
б) , тогда подстановка , где s – знаменатель р приводит интегральную функцию к рациональной.
в) , тогда подстановка , где s – знаменатель р приводит интегральную функцию к рациональной.
Во всех других случаях интегралы (1) выразить через элементарные функции нельзя (теорема Чебышева).

Пример 4.

Пример 5.

п.3. Интегралы вида Вычисление интегралов проводится аналогично интегралам выделением полного квадрата в трехчлене
(см. § 21, примеры 1, 2).

Пример 6.


п 4. Интегралы вида , где — многочлен степени n.
Для вычисления интегралов используют равенство:
многочлен степени n−1 . Коэффициенты многочлена а также число λ находятся, если продифференцировать правую и левую часть равенства (2).

Пример 7.
После взятия производной:

Приравниваем друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях.

Решив систему (3), получим :

(сравни с примером 5).

п.5. Интегралы вида
В данных интегралах можно избавиться от иррациональности, если применить подходящую тригонометрическую или гиперболическую подстановку.
— для первого интеграла,
— для второго,
— для третьего (см. § 23).

Пример 8.

Пример 9.

Интегрирование некоторых иррациональных функций

1. Интегралы вида .

Интегралы такого типа вычисляются по следующей схеме:

  • -у дробей находят наименьший общий знаменатель, который обозначим через р;
  • — проводят замену .

В результате приведенных действий данный интеграл переходит в неопределенный интеграл от рациональной функции.

Пример:

Вычислить

Решение:

В данном примере следовательно, наименьший общий знаменатель этих дробей равен 6. Таким образом.

2. Интегралы вида .

Такие интегралы путем замены приводятся к одному из интегралов вида:

1. 2. 3.

Для вычисления этих интегралов применяют следующие тригонометрические замены

1. 2. 3. — которые позволяют избавиться от квадратного корня.

Пример:

Вычислить

Решение:

Данный интеграл соответствует интегралам типа 1., поэтому

Пример:

Вычислить

Решение:

Воспользуемся указанной выше заменой

(интеграл вычислен в п. 2а)

Пример:

Вычислить

Решение:

Пример:

Вычислить

Решение:

Воспользуемся указанной выше заменой

Понятие о неберущихся интегралах

Определение: Интегралы, первообразные которых не выражаются через элементарные функции, называются неберущимися:

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Высшая математика
  6. Дискретная математика
  7. Математический анализ
  8. Математическая логика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение
  • Линии второго порядка
  • Полярные координаты
  • Непрерывность функции
  • Формула Тейлора и ее применение
  • Интегрирование рациональных дробей
  • Интегрирование тригонометрических функций
  • Интегрирование тригонометрических выражений

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

источники:

http://1cov-edu.ru/mat_analiz/integrali/neopredelennie/irratsionalnye/

http://www.evkova.org/integrirovanie-irratsionalnyih-funktsij

Добавить комментарий