Как найти первообразную от дроби с квадратным корнем в знаменателе?
Знаток
(295),
закрыт
1 год назад
Сергей Алексеев
Оракул
(86916)
3 года назад
Корень квадратный да и не только квадратный, любой, можно заменить дробной степенью. например 1/ корень квадратный их х = 1/х^(1/2). См свойства корней. Дальше если 1/2 написать с минусом то мы в обще можем избавиться от дроби. Причем не изменим значение выражения. 1/х^(1/2)= х (-1/2) . Дальше по формуле интегрирования получаем что первообразная = ((х^(-1/2+1))/(-1/2+1))+С . Ещё, если у вас скажем 3/x^(1/2) то можно записать 3*1/х^(1/2) . Потом 3 выносим за знак интеграла и дальше действуем по схеме выше. Правда- давайте пример, так проще будет.
Пример 8
∫ |
1 |
dx = ∫ |
(lnx +1)′ dx = 2 |
+C . |
|||
lnx +1 |
|||||||
x |
lnx +1 |
lnx +1 |
I. Интегралы вида ∫ |
dx |
или ∫ |
dx |
берутся с помощью вы- |
||
ax2 +bx + c |
||||||
ax2 +bx + c |
деления полного квадрата для квадратного трехчлена и использование табличных интегралов № 8 – 11.
Пример 9
∫ |
dx |
= ∫ |
dx |
= ∫ |
dx |
= ∫ |
d(x +1) |
= |
x2 + 2x +5 |
x2 + 2x +1+ 4 |
(x +1)2 + 4 |
(x +1)2 + 22 |
= 12arctg x 2+1+C .
В случае с квадратным корнем только на последнем шаге применяется другой табличный интеграл (10-11 вместо 8-9).
Пример 10
dx |
d(x +1) |
|||||||||||||
∫ |
= ∫ |
= ln(x +1+ x |
2 |
+ 2x +5)+C . |
||||||||||
x |
2 |
+ 2x +5 |
(x +1) |
2 |
+ 4 |
|||||||||
Замечание. Так как у нас подкоренное выражение, очевидно, положительно, то выражение под знаком логарифма тоже положительно и проще избавиться в ответе от знака модуля.
II. Интегралы вида ∫ |
kx + e |
∫ |
kx + e |
||
dx или |
dx берутся с помо- |
||||
ax2 +bx + c |
|||||
ax2 +bx + c |
щью выделения в числителе производной от квадратного трехчлена в знамена-
теле (ax2 +bx +c)′ = 2ax +b: kx + e = A(2ax +b)+ B, где А и B находятся мето-
дом неопределенных коэффициентов (раскрываются скобки и после приведения подобных членов приравниваются коэффициенты при x и свободные чле-
10
ны, что дает систему двух линейных уравнений относительно А и В, определитель которой всегда отличен от нуля); подставив полученное выражение в числитель и почленно разделив, мы сводим первые слагаемые к формулам (1.6) или (1.7), а вторые будут интегралами I типа.
Пример 11
∫x24−x6−x9+5dx .
Применим, описанный выше метод:
(x2 −6x +5)′ = 2x −6, 4x −9= A(2x −6)+ B, 4x −9= 2Ax + (−6A + B),
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, выписываем систему для определения коэффициентов
2A = 4, |
A = 2, |
−6A + B = −9, |
B = 6A −9=3, |
значит,
4x −9= 2(2x −6)+3.
Отметим, что в простых случаях с целыми числами A, B можно сразу найти A и B подбором т.е. а) на что нужно умножить 2x, чтобы получить 4x, очевидно, A=2; б) подставив в первое равенство A=2, уже раскрыв скобки 4x 12 легко ответить, какое число надо добавить к 12, чтобы получить 9, это позволяет найти B=3. Тогда
4x −9 |
2(2x −6)+3 |
2x −6 |
dx |
|||||||||||||||||||||||
∫ |
dx = ∫ x2 −6x +5 dx = 2∫ |
dx |
+3∫ |
= |
||||||||||||||||||||||
x2 −6x +5 |
x2 −6x +5 |
x2 −6x +5 |
||||||||||||||||||||||||
= 2∫ |
(x2 −6x +9)′ |
dx +3∫ |
d(x −3) |
2 |
3 1 |
x −3− 2 |
||||||||||||||||||||
x2 −6x +5 |
= 2ln |
x |
−6x +5 |
+ 2 |
2ln |
+C = |
||||||||||||||||||||
(x −3)2 − 4 |
x −3+ 2 |
|||||||||||||||||||||||||
3ln |
x −5 |
|||||||||||||||||||||||||
= 2ln |
x2 −6x +5 |
+ |
+C . |
|||||||||||||||||||||||
x −1 |
||||||||||||||||||||||||||
4 |
||||||||||||||||||||||||||
11
Аналогичный пример с квадратным корнем отличается только применением последнего частного случая внесения под знак дифференциала и иного табличного интеграла.
Пример 12
∫ |
9 |
− 4x |
dx = ∫ |
2(6− 2x)−3 |
dx = 2∫ |
(6x − x2 −5)′ |
||||||||||||||
dx − |
||||||||||||||||||||
6x |
− x |
2 |
6x − x |
2 |
−5 |
6x − x |
2 |
|||||||||||||
−5 |
−5 |
|||||||||||||||||||
−3∫ |
d(x −3) |
4 |
−3arcsin |
x −3 |
+C . |
|||||||||||||||
= |
6x − x2 −5 |
|||||||||||||||||||
4−(x −3) |
2 |
|||||||||||||||||||
2 |
Проверьте, что из-за смены знака квадратного трехчлена и знака числителя по сравнению с предыдущим примером А не изменится, а B сменит знак.
§5. Интегрирование рациональных дробей
Определение. Правильной рациональной дробью называется отношение двух многочленов
Qm (x) |
= bm xm + +b1x +b0 |
, |
(1.8) |
Pn (x) |
an xn + + a1x + a0 |
если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то есть при m < n . Если дробь неправильная, то разделив уголком, всегда можно выделить целую часть и добавить остаток, деленный на многочлен Pn (x)
в знаменателе.
Пример 13
∫ |
x5 |
|||
dx . |
||||
x2 +9 |
||||
Так как степень числителя больше степени знаменателя, значит подынте- |
||||
гральная рациональная дробь неправильная: Q (x) = x5 |
, |
P (x) = x2 |
+9, |
|
5 |
2 |
m =5> 2= n. При делении уголком на каждом шаге степень многочлена понижается на n = 2, и, как только она станет меньше двух, процесс останавливаем.
12
−9x3
−9x3 −81x
81x
В нашем случае целая часть равна x3 −9x , а остаток 81x , поэтому
x2x+5 9 = x3 −9x + x812 +x9 .
Тогда
x5 |
81x |
||||||||||||||||||||
dx = |
x3 −9x + |
dx = |
x3dx − |
||||||||||||||||||
∫x |
2 |
+9 |
∫ |
x |
2 |
+9 |
∫ |
||||||||||||||
xdx |
x |
4 |
x |
2 |
1 |
(x |
2 |
′ |
4 |
2 |
|||||||||||
−9∫xdx + 81∫ |
= |
−9 |
+81 |
∫ |
+9) dx |
= 0,25x |
− 4,5x |
+ |
|||||||||||||
x2 +9 |
4 |
2 |
2 |
x2 +9 |
+40,5ln(x2 +9) +C .
Замечание. Первоначальный интеграл свелся к сумме трех интегралов, первые два из которых (от целой части) берутся как табличные, а последний сводится к выделению в числителе производной от знаменателя ((1.6)), но пока в сумме есть хотя бы один интеграл, произвольную постоянную С не пишут, т.к. она содержится в нем, и появляется в ответе только после взятия последнего интеграла.
Рассмотрим теперь общую схему интегрирования рациональных дробей.
1.Если дробь неправильная, то выделить целую часть (пример 13.).
2.Разложить знаменатель, если это возможно, на множители:
Pn (x) = an xn + an−1xn−1 + + a1x + a0 = an (x − x1) (x − x2)k
2 + |
p1x |
+ |
q1) |
(x2 |
+ p x + q )s |
, |
(1.9) |
|||||||
(x |
2 |
2 |
||||||||||||
где x1 является простым корнем многочлена Pn (x), x2 |
̶корнем кратности k, а |
|||||||||||||
дискриминантыD = p2 |
− 4q |
, D = p2 |
− 4q |
отрицательны, им у квадратных |
||||||||||
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
трехчленов соответствуют пары комплексно-сопряженных корней. Отметим, что по основной теореме алгебры у каждого многочлена, в области комплексных чисел, существует хотя бы один корень, отсюда вытекает, что у многочлена нечетной степени с действительными коэффициентами точно будет хотя бы один действительный корень, но нахождение корней для многочленов старших
13
степеней и соответствующее разложение (1.9) на множители на практике часто затруднительно. Например, чтобы разложить на множители многочлен четвер-
той степени P4 = x4 + 4 , у которого нет действительных корней, нужно догадаться добавить и отнять 4x2 , то есть дополнить до полного квадрата.
P4 = x4 + 4x2 + 4 − 4x2 = (x2 + 2)2 −(2x)2 = (x2 − 2x + 2)(x2 + 2x + 2),
проверьте, что оба дискриминанта отрицательны.
3.Пусть по формуле (1.9) знаменатель разложен на множители. Пра-
вильную рациональную дробь |
R(x) |
, где |
R(x) ̶остаток, полученный при деле- |
||
P |
(x) |
||||
n |
нии многочленов (или, если изначально была правильная дробь, многочлен
R(x) = Qm (x)) можно разложить на сумму простейших дробей. Кроме того,
без ограничения общности, можно считать многочлен Pn (x) приведенным, ко-
гда первый коэффициент равен единице (так как мы можем первый коэффициент an ≠ 0 перенести в числитель). Тогда разложение будет иметь вид:
R(x) |
= |
A1 |
+ + |
B1 |
+ |
B2 |
+ + |
Bk |
+ + |
Cx + D |
+ |
|||||||
P (x) |
x − x |
x − x |
(x − x |
)2 |
(x − x |
)k |
x2 + p x + q |
|||||||||||
n |
1 |
2 |
2 |
2 |
1 |
1 |
||||||||||||
+ |
С1x + D1 |
+ + |
Cs x + Ds |
. |
(1.10) |
|||||||||||||
x2 + p x + q |
2 |
(x2 |
+ p x + q )s |
|||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
При разложении мы руководствовались следующими правилами:
•каждому корню соответствует столько слагаемых, какова его кратность;
•для действительных корней в числителях ставятся константы;
•для квадратных трехчленов с отрицательными дискриминантами в числителях ставятся линейные выражения, то есть многочлены первой степени.
Отметим, что все коэффициенты разложения: A1, ,Ds необходимо обо-
значать разными буквами, их можно просто нумеровать A1,A2, ,An , так как их количество совпадает со степенью многочлена знаменателя Pn (x) равной n .
4. Метод неопределенных коэффициентов, который заключается в следующем:
а) привести к общему знаменателю полученное разложение. Заметим, что дополнительные множители можно выписывать по разложению на множители (1.9) (только без an );
б) раскрыть скобки и привести подобные члены в правой части;
в) приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной xk , k = 0,1,…,n −1, при этом получится система n уравнений с n неизвестными
A1,A2, ,An ;
14
г) решить полученную в пункте в) систему n уравнений с n неизвестными и найти её единственное решение (доказано, что основной определитель этой системы отличен от нуля);
д) подставить найденные коэффициенты A1,A2, ,An в (1.10).
5. Добавив к найденному разложению на сумму простейших дробей целую часть (если она была для первоначальной неправильной дроби), почленно проинтегрировать.
Пример 14
∫ |
6x3 +10x2 + 6x +15dx . |
x4 + 2x3 +5x2 |
Решение
1) рациональная дробь правильная, поэтому начинаем с пункта 2.
2) разложим многочлен в знаменателе на множители: x4 + 2x3 +5x2 = x2(x2 + 2x +5), так как D = 4− 20= −16< 0, то квадратный мно-
гочлен на линейные множители в области действительных чисел разложить нельзя.
3) разложимисходную правильную рациональную дробьна суммупростейших:
6x3 +10x2 + 6x +15 |
= |
A |
+ |
A |
+ |
A x + A |
. |
|
x2(x2 |
+ 2x +5) |
1 |
2 |
3 |
4 |
|||
x |
x2 |
x2 + 2x +5 |
||||||
4) приведем дроби, стоящие в правой части к общему знаменателю, раскроем скобки и приведем подобные члены, тогда
6x3 +10x2 + 6x +15= A x3 |
+ 2A x2 |
+5A x + A x2 |
+ 2A x +5A + A x3 |
+ A x2 |
, |
||||
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
3 |
4 |
||
6x3 +10x2 + 6x +15= (A + A )x3 |
+ (2A + A + A )x2 |
+ (5A + 2A )x +5A , |
|||||||
1 |
3 |
1 |
2 |
4 |
1 |
2 |
2 |
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x , получим систему
A |
+ A |
= 6, |
A = 6− A , |
A = 6, |
|||
1 |
3 |
3 |
1 |
3 |
|||
2A1 + A2 |
+ A4 =10, |
A4 |
=10− 2A1 − A2, |
A4 |
= 7, |
||
+ 2A2 |
= 6, |
5A1 = 6− 2A2, |
A1 = 0, |
||||
5A1 |
|||||||
5A2 |
=15. |
A2 |
=3, |
A2 |
=3. |
||
В данном примере система, также, как и приведение её методом Гаусса к треугольному виду ( если расположить неопределенные коэффициенты в по-
15
рядке A3,A4,A1,A2 ), двигаясь снизу вверх найдем A2 , затем A1,A4 и A3 . Под- |
||||||
ставив найденные коэффициенты в разложение из п. 3), получим |
||||||
6x3 +10x2 + 6x +15 |
= |
3 |
+ |
6x + 7 |
. |
|
x2(x2 + 2x +5) |
x2 |
x2 + 2x +5 |
||||
∫ |
6x3 +10x2 +6x +15 |
3 |
6x +7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
2 |
2 |
dx = |
+ |
dx = |
|||||||||||||||||||||||||||||
x |
(x |
+ 2x +5) |
2 |
x |
2 |
+ |
2x +5 |
|||||||||||||||||||||||||||
∫ x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
dx 3(2x + 2)+1 |
−2 |
(x |
2 |
+ |
2x |
+ |
′ |
dx |
||||||||||||||||||||||||||
=3∫x2 + ∫ x2 + 2x +5 dx = 3∫x |
dx + 3∫ |
5) |
dx + ∫ |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||
x2 + 2x +5 |
(x +1)2 + 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
= − |
3 |
+3ln(x2 + 2x +5)+ |
1arctg |
x +1 |
+C |
. (пример 9). |
||||||||||||||||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Решим пример 11 ∫ |
4x −9 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
dx по общей схеме. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 −6x +5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. 1) дробь правильная; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)x2 −6x +5= 0, по теореме Виета x =1, |
x |
= 5 и x2 −6x +5= (x −1)(x −5); |
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
4x −9 |
= |
A1 |
+ |
A2 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||
(x −1)(x −5) |
x −1 |
x −5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
4) 4x −9= A1(x −5)+ A2(x −1).
Если все корни многочлена в знаменателе действительны и различны, то можно сразу найти неопределенные коэффициенты, полагая по очереди x равным найденным в пункте 2 корням. В нашем случае
а) при x =1 |
4−9= A (1−5)+ A 0, |
−4A = −5, |
A = |
5 |
; |
|
1 |
2 |
1 |
1 |
4 |
||
б) при x = 5 |
20−9 = A 0+ A (5−1) |
, 4A =11, |
A =11. |
|||
1 |
2 |
2 |
2 |
4 |
||
Поэтому, минуя остальные подпункты 4), сразу получим
4x −9 |
5 |
11 |
|||
4 |
4 |
||||
= |
+ |
. |
|||
(x −1)(x −5) |
x −1 |
x −5 |
|||
16 |
5 |
11 |
|||||||||||||||||||||
5) |
4x −9 |
dx = |
4 |
+ |
4 |
dx = 5 d(x −1) |
+11 d(x −5) = |
|||||||||||||||
∫x |
2 |
−6x +9 |
∫ |
x −5 |
4∫ x −1 |
4 ∫ x −5 |
||||||||||||||||
x −1 |
||||||||||||||||||||||
5ln |
x −1 |
+ 11ln |
x −5 |
+С . |
||||||||||||||||||
4 |
4 |
|||||||||||||||||||||
Замечание 1. Сравним данный ответ с ответом на с. 10, полученного с помощью выделения в числителе производной от знаменателя, но упростив тот первоначальный ответ с помощью свойств логарифма, можно свести его к новому ответу. Такая ситуация при взятии интеграла разными методами типична: ответы получаются часто совершенно на первый взгляд разные, но отличаются друг от друга на константу (см. лемму о первообразных).
Замечание 2. Отметим, что чем больше степень многочлена в знаменателе, тем выгоднее применение предложенного метода нахождения неопределенных коэффициентов (в случае разложения этого многочлена только на различные линейные множители). В качестве упражнения, возьмите с помощью этого ме-
тода ∫ 2x3 −3x2 +7x +5 dx (полагая по очереди x = 0, x =1, x = −1, x = 2). x(x −1)(x +1)(x − 2)
Приведем еще один метод интегрирования выражений, содержащих ко-
рень из квадратного трехчлена, а именно, |
метод неопределенных коэффициен- |
|||||||||||
тов |
для |
нахождения |
интегралов |
вида |
∫ |
Pn (x) |
dx |
или |
||||
ax |
2 |
|||||||||||
+bx + c |
||||||||||||
∫Pn (x) |
ax2 +bx + cdx , где Pn (x) |
многочлен степени n. |
Отметим, что второй |
интеграл сводится к первому умножением и делением на ax2 +bx +c , а потому остановимся на первом интеграле. Докажем, что имеет место его представление в виде
Pn (x) |
dx |
||||||||||||||
dx = Qn−1 |
(x) |
ax |
2 |
+bx + c + L |
, |
||||||||||
∫ |
∫ |
||||||||||||||
ax2 |
+bx + c |
ax2 |
+bx + c |
||||||||||||
где Qn−1(x) ̶некоторый многочлен, степени на единицу меньшей степени многочлена Pn (x), L ̶некоторая константа.
Продифференцировав обе части записанного равенства, получим
17
Pn (x) |
ax + |
b |
L |
||||||||||||
2 |
|||||||||||||||
= Qn′−1(x) |
ax2 +bx + c |
+Qn−1(x) |
+ |
, |
|||||||||||
ax2 +bx + c |
ax2 +bx |
ax2 +bx + c |
|||||||||||||
+ c |
откуда при умножении правой и левой частей на ax2 +bx +c придем к равенству двух многочленов степени n
Pn (x)=Qn′−1(x)(ax2 +bx + c)+ Qn−1(x) ax + b2 + L,
которое должно выполняться тождественно. Это условие даёт возможность определения коэффициентов многочлена Qn−1(x) и константы L обычным ме-
тодом неопределенных коэффициентов. Отметим также, что система уравнений для определения этих коэффициентов будет иметь треугольный вид.
Пример 15
2 |
2 |
4 |
3 |
2 |
||||||||||||||
∫x2 |
dx = ∫ |
x |
(x |
+ 2x + 2) |
dx = ∫ |
x |
+ 2x |
+ 2x |
dx. |
|||||||||
x2 + 2x + 2 |
||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||
x |
+ 2x + 2 |
x |
+ 2x + 2 |
В соответствии с рассмотренным методом запишем равенство
∫ |
x4 |
+ 2x3 + 2x |
2 |
+L∫ |
dx |
|||||||
dx = (Ax3 + Bx2 |
+Cx + D) x2 + 2x + 2 |
. |
||||||||||
2 |
x |
2 |
||||||||||
x + 2x + 2 |
+ 2x + 2 |
Продифференцируем это равенство:
x4 + 2x3 + 2x2 |
|||||||||||||
= (3Ax2 |
+ 2Bx +C) x2 |
+ 2x + 2 + (Ax3 + Bx2 + Cx + D) |
|||||||||||
x2 + 2x + 2 |
|||||||||||||
x +1 |
+ |
L |
|||||||||||
x2 + 2x + 2 |
x2 + 2x + 2 |
и, умножив обе его части на x2 + 2x + 2, придем к тождественному равенству двух многочленов четвертой степени:
x4 + 2x3 + 2x2 = (3Ax2 + 2Bx +C )(x2 + 2x + 2) +(Ax3 + Bx2 +Cx + D)(x +1)+ L.
18
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Универсального способа решения иррациональных уравнений нет, так как их класс отличается количеством. В статье будут выделены характерные виды уравнений с подстановкой при помощи метода интегрирования.
Для использования метода непосредственного интегрирования необходимо вычислять неопределенные интегралы типа ∫kx+bp dx, где p является рациональной дробью, k и b являются действительными коэффициентами.
Найти и вычислить первообразные функции y=13x-13.
Решение
По правилу интегрирования необходимо применить формулу ∫f(k·x+b)dx=1k·F(k·x+b)+C, а таблица первообразных говорит о том, что имеется готовое решение данной функции. Получаем, что
∫dx3x-13=∫(3x-1)-13dx=13·1-13+1·(3x-1)-13+1+C==12(3x-1)23+C
Ответ: ∫dx3x-13=12(3x-1)23+C.
Имеют место быть случаи, когда можно использовать метод подведения под знак дифференциала. Это решается по принципу нахождения неопределенных интегралов вида ∫f'(x)·(f(x))pdx, когда значение p считается рациональной дробью.
Найти неопределенный интеграл ∫3×2+5×3+5x-776dx.
Решение
Отметим, что dx3+5x-7=x3+5x-7’dx=(3×2+5)dx. Тогда необходимо произвести подведение под знак дифференциала с использованием таблиц первообразных. Получаем, что
∫3×2+5×3+5x-776dx=∫(x3+5x-7)-76·(3×2+5)dx==∫(x3+5x-7)-76d(x3+5x-7)=x3+5x-7=z==∫z-76dz=1-76+1z-76+1+C=-6z-16+C=z=x3+5x-7=-6(x3+5x-7)6+C
Ответ: ∫3×2+5×3+5x-776dx=-6(x3+5x-7)6+C.
Решение неопределенных интегралов предусматривает формулу вида ∫dxx2+px+q, где p и q являются действительными коэффициентами. Тогда необходимо выделить полный квадрат из-под корня. Получаем, что
x2+px+q=x2+px+p22-p22+q=x+p22+4q-p24
Применив формулу, расположенную в таблице неопределенных интегралов, получаем:
∫dxx2±α=lnx+x2±α+C
Тогда вычисление интеграла производится:
∫dxx2+px+q=∫dxx+p22+4q-p24==lnx+p2+x+p22+4q-p24+C==lnx+p2+x2+px+q+C
Найти неопределенный интеграл вида ∫dx2x2+3x-1.
Решение
Для вычисления необходимо вынести число 2 и расположить его перед радикалом:
∫dx2x2+3x-1=∫dx2x2+32x-12=12∫dxx2+32x-12
Произвести выделение полного квадрата в подкоренном выражении. Получим, что
x2+32x-12=x2+32x+342-342-12=x+342-1716
Тогда получаем неопределенный интеграл вида 12∫dxx2+32x-12=12∫dxx+342-1716==12lnx+34+x2+32x-12+C
Ответ: dxx2+3x-1=12lnx+34+x2+32x-12+C
Интегрирование иррациональных функций производится аналогичным способом. Применимо для функций вида y=1-x2+px+q.
Найти неопределенный интеграл ∫dx-x2+4x+5.
Решение
Для начала необходимо вывести квадрат знаменателя выражения из-под корня.
∫dx-x2+4x+5=∫dx-x2-4x-5==∫dx-x2-4x+4-4-5=∫dx-x-22-9=∫dx-(x-2)2+9
Табличный интеграл имеет вид ∫dxa2-x2=arcsinxa+C, тогда получаем, что ∫dx-x2+4x+5=∫dx-(x-2)2+9=arcsinx-23+C
Ответ: ∫dx-x2+4x+5=arcsinx-23+C.
Процесс нахождения первообразных иррациональных функций вида y=Mx+Nx2+px+q, где имеющиеся M, N, p, q являются действительными коэффициентами, причем имеют схожесть с интегрированием простейших дробей третьего типа. Это преобразование имеет несколько этапов:
подведение дифференциала под корень, выделение полного квадрата выражения под корнем, применение табличных формул.
Найти первообразные функции y=x+2×2-3x+1.
Решение
Из условия имеем, что d(x2-3x+1)=(2x-3)dx и x+2=12(2x-3)+72, тогда (x+2)dx=12(2x-3)+72dx=12d(x2-3x+1)+72dx.
Рассчитаем интеграл: ∫x+2×2-3x+1dx=12∫d(x2-3x+1)x2-3x+1+72∫dxx2-3x+1==12∫(x2-3x+1)-12d(x2-3x+1)+72∫dxx-322-54==12·1-12+1·x2-3x+1-12+1+72lnx-32+x-32-54+C==x2-3x+1+72lnx-32+x2-3x+1+C
Ответ: ∫x+2×2-3x+1dx=x2-3x+1+72lnx-32+x2-3x+1+C.
Поиск неопределенных интегралов функции ∫xm(a+bxn)pdx осуществляется при помощи метода подстановки.
Для решения необходимо ввести новые переменные:
- Когда число p является целым, тогда считают, что x=zN, а N является общим знаменателем для m, n.
- Когда m+1n является целым числом, тогда a+bxn=zN, а N является знаменателем числа p.
- Когда m+1n+p является целым числом, то необходим ввод переменной ax-n+b=zN, а N является знаменателем числа p.
Найти определенный интеграл ∫1x2x-9dx.
Решение
Получаем, что ∫1x2x-9dx=∫x-1·(-9+2×1)-12dx. Отсюда следует, что m=-1, n=1,p=-12, тогда m+1n=-1+11=0 является целым числом. Можно ввести новую переменную вида -9+2x=z2. Необходимо выразить x через z. На выходы получим, что
-9+2x=z2⇒x=z2+92⇒dx=z2+92’dz=zdz-9+2x=z
Необходимо произвести подстановку в заданный интеграл. Имеем, что
∫dxx2x-9=∫zdzz2+92·z=2∫dzz2+9==23arctgz3+C=23arcctg2x-93+C
Ответ: ∫dxx2x-9=23arcctg2x-93+C.
Для упрощения решения иррациональных уравнений применяются основные методы интегрирования.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.
Интегрирование иррациональных функций с примерами решения
Содержание:
Интегрирование иррациональных функций.
Определение 1. Функция вида
Пример 1.
– рациональная функция переменных u и v, при этом:
п.1. Интегралы вида:
Пусть s – общий знаменатель дробей Тогда подстановка
делает подинтегральную функцию рациональной.
Пример 2.
Пример 3
п.2. Интегралы вида– интегралы от дифференциального бинома.
Интегралы вида (1) выражаются через элементарные функции в следующих случаях:
а) p∈Z – интегралы рассмотрены в п.1.
б) , тогда подстановка , где s – знаменатель р приводит интегральную функцию к рациональной.
в) , тогда подстановка , где s – знаменатель р приводит интегральную функцию к рациональной.
Во всех других случаях интегралы (1) выразить через элементарные функции нельзя (теорема Чебышева).
Пример 4.
Пример 5.
п.3. Интегралы вида Вычисление интегралов проводится аналогично интегралам выделением полного квадрата в трехчлене
(см. § 21, примеры 1, 2).
Пример 6.
п 4. Интегралы вида , где – многочлен степени n.
Для вычисления интегралов используют равенство:
многочлен степени n−1 . Коэффициенты многочлена а также число λ находятся, если продифференцировать правую и левую часть равенства (2).
- Заказать решение задач по высшей математике
Пример 7.
После взятия производной:
Приравниваем друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях.
Решив систему (3), получим :
(сравни с примером 5).
п.5. Интегралы вида
В данных интегралах можно избавиться от иррациональности, если применить подходящую тригонометрическую или гиперболическую подстановку.
– для первого интеграла,
– для второго,
– для третьего (см. § 23).
Пример 8.
Пример 9.
Интегрирование некоторых иррациональных функций
1. Интегралы вида .
Интегралы такого типа вычисляются по следующей схеме:
- -у дробей находят наименьший общий знаменатель, который обозначим через р;
- – проводят замену .
В результате приведенных действий данный интеграл переходит в неопределенный интеграл от рациональной функции.
Пример:
Вычислить
Решение:
В данном примере следовательно, наименьший общий знаменатель этих дробей равен 6. Таким образом.
2. Интегралы вида .
Такие интегралы путем замены приводятся к одному из интегралов вида:
1. 2. 3.
Для вычисления этих интегралов применяют следующие тригонометрические замены
1. 2. 3. – которые позволяют избавиться от квадратного корня.
Пример:
Вычислить
Решение:
Данный интеграл соответствует интегралам типа 1., поэтому
Пример:
Вычислить
Решение:
Воспользуемся указанной выше заменой
(интеграл вычислен в п. 2а)
Пример:
Вычислить
Решение:
Пример:
Вычислить
Решение:
Воспользуемся указанной выше заменой
Понятие о неберущихся интегралах
Определение: Интегралы, первообразные которых не выражаются через элементарные функции, называются неберущимися:
- Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение
- Линии второго порядка
- Полярные координаты
- Непрерывность функции
- Формула Тейлора и ее применение
- Интегрирование рациональных дробей
- Интегрирование тригонометрических функций
- Интегрирование тригонометрических выражений
Интегрирование иррациональных функций: способы и примеры решений
Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.
Рассмотрим интегралы от иррациональных функций, то есть функций, содержащих переменную (обычно икс) под корнем или, что то же самое — в дробной степени. Интегралы от таких функций с помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций и могут быть проинтегрированы окончательно.
В подынтегральном выражении — различные дробно-рациональные функции
Разберём интегралы, где в подынтегральном выражении переменная присутствует под корнем. В формально обобщённом виде речь идёт об интегралах вида
,
В примерах мы увидим, что переменная икс, присутствующая под корнем, присутствует там без степени. В примере 3 икс присутствует также в квадрате, но при этом — не по корнем. То есть корни отдельно, степени — отдельно.
В этом случае важное значение имеет наименьшее общее кратное чисел λ , . μ (или общий знаменатель, если эти числа дробные). Обозначим это наименьшее общее кратное (общий знаменатель) через n . Рассматриваемые интегралы от иррациональных функций можно найти, используя следующую подстановку:
Тогда каждая дробная степень «икса» выразится через целую степень «тэ» и подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от «тэ».
Пример 1. Найти интеграл от иррациональной функции .
Решение. Преобразуем все корни икса в степени. Выписываем степени при иксе в подынтегральном выражении — все, которые там находим:
.
Находим наименьшее общее кратное знаменателей этих чисел: 4.
Поэтому используем следующую подстановку:
Подставляем и преобразуем:
Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:
.
Пример 2. Найти интеграл от иррациональной функции .
Решение. Используем следующую подстановку:
Подставляем и преобразуем:
Интегрируем и получаем:
Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:
.
Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 3. Найти интеграл от иррациональной функции .
Пример 4. Найти интеграл от иррациональной функции
.
Корень из квадратного трёхчлена и подстановки Эйлера
Если дан интеграл иррациональной функции вида
,
то есть в подынтегральном выражении — корень из квадратного трёхлчена, то можно воспользоваться подстановками Эйлера.
,
В зависимости от характера корней квадратного уравнения используются следующие подстановки Эйлера.
1. Если x 1 , x 2 — действительные числа (не комплексные), то используется подстановка
(первая подстановка Эйлера).
2. Если x 1 , x 2 — комплексные числа и a > 0 , то используется подстановка
(вторая подстановка Эйлера).
3. Если x 1 , x 2 — комплексные числа и c > 0 , то используется подстановка
(третья подстановка Эйлера).
Пример 5. Найти интеграл от иррациональной функции .
Решение. Разложим квадратный трёхчлен на множители:
Используем первую подстановку Эйлера:
Интегрируем и получаем:
Возвращаясь к переменной икс, сначала долго занимаемся преобразованием выражений, а затем окончательно находим:
Пример 6. Найти интеграл от иррациональной функции .
Используем вторую подстановку Эйлера:
Интегрируем и получаем:
.
Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:
.
Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 7. Найти интеграл от иррациональной функции .
(использовать третью подстановку Эйлера).
Интегралы от дифференциального бинома и подстановки Чебышева
,
где m, n, p — рациональные числа (целые или дробные), называются интегралами от дифференциального бинома. В примерах мы увидим, что в подынтегральных выражениях переменная икс присутствует не только под корнем: она под корнем, но ещё и в степени. В этом главное отличие рассматриваемых интегралов от тех, которые были рассмотрены в первом параграфе.
Чтобы найти такие интегралы, используются подстановки Чебышева.
1. Если p — целое число, то используется подстановка
,
где k — наименьшее общее кратное знаменателей m и n.
2. Если — целое число, то используется подстановка
,
где s — знаменатель дроби p .
3. Если — целое число, то используется подстановка
,
где s — знаменатель дроби p .
Русский математик П.Л. Чебышев доказал, что только в перечисленных трёх случаях интеграл от дифференциальных биномов с рациональными показателями степени выражается через элементарные функции.
Пример 8. Найти интеграл от иррациональной функции .
Преобразуем корни в степени и избавимся от дроби:
Здесь p = -1 (целое число). Чтобы избавиться от степени икса в скобках, сделаем промежуточную подстановку
:
.
Теперь сделаем следующую подстановку:
Подставляем и получаем:
Возвращаемся к переменной z :
.
Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:
.
Пример 9. Найти интеграл от иррациональной функции .
Преобразуем корни в степени и избавимся от дроби:
.
Здесь m = 3 , n = 2 , , (целое число).
Cделаем промежуточную подстановку
:
.
Теперь, чтобы избавиться от дробной степени выражения в скобках, сделаем следующую подстановку:
.
Интегрируем и получаем:
.
Возвращаемся к переменной z :
.
Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:
.
Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 10. Найти интеграл от иррациональной функции .
— целое число.
Частный случай квадратичных иррациональностей
Рассмотрим интеграл от иррациональной функции вида
, (1)
где в знаменателе — квадратный корень из квадратного трёхчлена.
Чтобы проинтегрировать любой интеграл такого вида, необходимо уметь находить интегралы и .
Формула для нахождения первого из них:
(2)
Второй интеграл находится по формуле
(3)
Формулы (2 и (3) можно условно считать табличными интегралами. Если в подкоренном выражении интеграла (1) выделить полный квадрат, то при a > 0 это выражение примет вид
После подстановки t = x – m в первом случае интеграл (1) приводится к интегралу (3), во втором – к интегралу (2).
Пример 11. Найти интеграл от иррациональной функции
Решение. Выделим в подкоренном выражении полный квадрат:
Произведя теперь подстановку
причём при интегрировании воспользовались формулой (3). Возвращаясь к старой переменной, окончательно получим
Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 12. Найти интеграл от иррациональной функции
Методы интегрирования иррациональных функций (корней)
Иррациональная функция от переменной – это функция, которая образована из переменной и произвольных постоянных с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения (возведения в целочисленную степень), деления и извлечения корней. Иррациональная функция отличается от рациональной тем, что иррациональная функция содержит операции извлечения корней.
Существует три основных типа иррациональных функций, неопределенные интегралы от которых приводятся к интегралам от рациональных функций. Это интегралы, содержащие корни произвольных целочисленных степеней из дробно-линейной функции (корни могут быть различных степеней, но от одной и той же, дробно-линейной функции); интегралы от дифференциального бинома и интегралы с квадратным корнем из квадратного трехчлена.
Важное замечание. Корни многозначны!
При вычислении интегралов, содержащих корни, часто встречаются выражения вида , где – некоторая функция от переменной интегрирования . При этом следует иметь в виду, что . То есть, при t > 0 , |t| = t . При t 0 , |t| = – t . Поэтому, при вычислении подобных интегралов, нужно отдельно рассматривать случаи t > 0 и t 0 . Это можно сделать, если писать знаки или там, где это необходимо. Подразумевая, что верхний знак относится к случаю t > 0 , а нижний – к случаю t 0 . При дальнейшем преобразовании, эти знаки, как правило, взаимно сокращаются.
Возможен и второй подход, при котором подынтегральную функцию и результат интегрирования можно рассматривать как комплексные функции от комплексных переменных. Тогда можно не следить за знаками в подкоренных выражениях. Этот подход применим, если подынтегральная функция является аналитической, то есть дифференцируемой функцией от комплексной переменной. В этом случае и подынтегральная функция и интеграл от нее являются многозначными функциями. Поэтому после интегрирования, при подстановке численных значений, нужно выделить однозначную ветвь (риманову поверхность) подынтегральной функции, и для нее выбрать соответствующую ветвь результата интегрирования.
Далее, по возможности, мы будем применять первый подход, и следить за знаком подкоренных выражений.
Дробно-линейная иррациональность
Это интегралы с корнями от одной и той же дробно-линейной функции:
,
где R – рациональная функция, – рациональные числа, m1, n1, . ms, ns – целые числа, α, β, γ, δ – действительные числа.
Такие интегралы сводится к интегралу от рациональной функции подстановкой:
, где n – общий знаменатель чисел r1, . rs .
Корни могут быть не обязательно от дробно-линейной функции, но и от линейной ( γ = 0 , δ = 1 ), или от переменной интегрирования x ( α = 1 , β = 0 , γ = 0 , δ = 1 ).
Вот примеры таких интегралов:
, .
Интегралы от дифференциальных биномов
Интегралы от дифференциальных биномов имеют вид:
,
где m, n, p – рациональные числа, a, b – действительные числа.
Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций в трех случаях.
1) Если p – целое. Подстановка x = t N , где N – общий знаменатель дробей m и n .
2) Если – целое. Подстановка a x n + b = t M , где M – знаменатель числа p .
3) Если – целое. Подстановка a + b x – n = t M , где M – знаменатель числа p .
В остальных случаях, такие интегралы не выражаются через элементарные функции.
Иногда такие интегралы можно упростить с помощью формул приведения:
;
.
Интегралы, содержащие квадратный корень из квадратного трехчлена
Такие интегралы имеют вид:
,
где R – рациональная функция. Для каждого такого интеграла имеется несколько методов решения.
1) С помощью преобразований привести к более простым интегралам.
2) Применить тригонометрические или гиперболические подстановки.
3) Применить подстановки Эйлера.
Рассмотрим эти методы более подробно.
1) Преобразование подынтегральной функции
Применяя формулу , и выполняя алгебраические преобразования, приводим подынтегральную функцию к виду:
,
где φ(x), ω(x) – рациональные функции.
Подробнее >>>
Далее выделяя целую часть у ω(x) и раскладывая остаток на простейшие дроби, получаем интегралы трех типов.
I тип
Интеграл вида:
,
где Pn(x) – многочлен степени n .
Такие интегралы находятся методом неопределенных коэффициентов, используя тождество:
.
Дифференцируя это уравнение и приравнивая левую и правую части, находим коэффициенты Ai .
Подробнее >>>
II тип
Интеграл вида:
,
где Pm(x) – многочлен степени m .
Подстановкой t = ( x – α ) –1 этот интеграл приводится к предыдущему типу. Если m ≥ n , то у дроби следует выделить целую часть.
Подробнее >>>
III тип
Здесь мы делаем подстановку:
.
После чего интеграл примет вид:
.
Далее, постоянные α, β нужно выбрать такими, чтобы в знаменателе коэффициенты при t обратились в нуль:
B = 0, B1 = 0 .
Тогда интеграл распадается на сумму интегралов двух видов:
,
,
которые интегрируются подстановками:
u 2 = A1t 2 + C1 ,
v 2 = A1 + C1 t –2 .
Подробнее >>>
2) Тригонометрические и гиперболические подстановки
В некоторых случаях, применение тригонометрических и гиперболических подстановок приводит к более коротким вычислениям. Для их применения, с помощью линейной подстановки, квадратный трехчлен под знаком интеграла нужно привести к сумме или разности квадратов. Затем нужно применить одну из тригонометрических или гиперболических подстановок. Основные подстановки перечислены ниже. Более подробно они рассматриваются на странице:
Тригонометрические и гиперболические подстановки >>>
Для интегралов вида , a > 0 ,
имеем три основные подстановки:
;
;
;
Для интегралов , a > 0 ,
имеем следующие подстановки:
;
;
;
И, наконец, для интегралов , a > 0 ,
подстановки следующие:
;
;
;
3) Подстановки Эйлера
Также интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций одной из трех подстановок Эйлера:
, при a > 0 ;
, при c > 0 ;
, где x1 – корень уравнения a x 2 + b x + c = 0 . Если это уравнение имеет действительные корни.
Эллиптические интегралы
В заключении рассмотрим интегралы вида:
,
где R – рациональная функция, . Такие интегралы называются эллиптическими. В общем виде они не выражаются через элементарные функции. Однако встречаются случаи, когда между коэффициентами A, B, C, D, E существуют соотношения, при которых такие интегралы выражаются через элементарные функции.
Ниже приводится пример, связанный с возвратными многочленами. Вычисление подобных интегралов выполняется с помощью подстановок:
.
Пример
.
Здесь при x > 0 ( u > 0 ) берем верхний знак ′ + ′. При x 0 ( u 0 ) – нижний ′ – ′.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 02-04-2015 Изменено: 30-01-2018
Интегрирование иррациональных функций с примерами решения
Содержание:
Интегрирование иррациональных функций.
Определение 1. Функция вида
Пример 1.
— рациональная функция переменных u и v, при этом:
п.1. Интегралы вида:
Пусть s – общий знаменатель дробей Тогда подстановка
делает подинтегральную функцию рациональной.
Пример 2.
Пример 3
п.2. Интегралы вида— интегралы от дифференциального бинома.
Интегралы вида (1) выражаются через элементарные функции в следующих случаях:
а) p∈Z — интегралы рассмотрены в п.1.
б) , тогда подстановка , где s – знаменатель р приводит интегральную функцию к рациональной.
в) , тогда подстановка , где s – знаменатель р приводит интегральную функцию к рациональной.
Во всех других случаях интегралы (1) выразить через элементарные функции нельзя (теорема Чебышева).
Пример 4.
Пример 5.
п.3. Интегралы вида Вычисление интегралов проводится аналогично интегралам выделением полного квадрата в трехчлене
(см. § 21, примеры 1, 2).
Пример 6.
п 4. Интегралы вида , где — многочлен степени n.
Для вычисления интегралов используют равенство:
многочлен степени n−1 . Коэффициенты многочлена а также число λ находятся, если продифференцировать правую и левую часть равенства (2).
Пример 7.
После взятия производной:
Приравниваем друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях.
Решив систему (3), получим :
(сравни с примером 5).
п.5. Интегралы вида
В данных интегралах можно избавиться от иррациональности, если применить подходящую тригонометрическую или гиперболическую подстановку.
— для первого интеграла,
— для второго,
— для третьего (см. § 23).
Пример 8.
Пример 9.
Интегрирование некоторых иррациональных функций
1. Интегралы вида .
Интегралы такого типа вычисляются по следующей схеме:
- -у дробей находят наименьший общий знаменатель, который обозначим через р;
- — проводят замену .
В результате приведенных действий данный интеграл переходит в неопределенный интеграл от рациональной функции.
Пример:
Вычислить
Решение:
В данном примере следовательно, наименьший общий знаменатель этих дробей равен 6. Таким образом.
2. Интегралы вида .
Такие интегралы путем замены приводятся к одному из интегралов вида:
1. 2. 3.
Для вычисления этих интегралов применяют следующие тригонометрические замены
1. 2. 3. — которые позволяют избавиться от квадратного корня.
Пример:
Вычислить
Решение:
Данный интеграл соответствует интегралам типа 1., поэтому
Пример:
Вычислить
Решение:
Воспользуемся указанной выше заменой
(интеграл вычислен в п. 2а)
Пример:
Вычислить
Решение:
Пример:
Вычислить
Решение:
Воспользуемся указанной выше заменой
Понятие о неберущихся интегралах
Определение: Интегралы, первообразные которых не выражаются через элементарные функции, называются неберущимися:
Рекомендую подробно изучить предметы: |
|
Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение
- Линии второго порядка
- Полярные координаты
- Непрерывность функции
- Формула Тейлора и ее применение
- Интегрирование рациональных дробей
- Интегрирование тригонометрических функций
- Интегрирование тригонометрических выражений
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
источники:
http://1cov-edu.ru/mat_analiz/integrali/neopredelennie/irratsionalnye/
http://www.evkova.org/integrirovanie-irratsionalnyih-funktsij