Как найти первообразную в фотомаче

Photomatch как посчитать производную

Лень, как известно, двигатель прогресса. А мобильный сегмент — реактивный двигатель. Ведь это устройство практически всегда (а у тебя — всегда) под рукой. Лентяям и двоечникам компания PhotoPay сделала шикарный подарок — бесплатное (!) приложение для решения уравнений и функций при одном лишь наведении…

Приложение Photomath вызвало большой резонанс в некоторых сообществах (лепра, например). На фоне общей деградации умственных способностей нынешнего поколения, есть мнение, что подобные приложения до конца угробят «молодых и талантливых», которые после этого идут в инженеры и проектируют мотор барабан мб3. Он, кстати, используется для ленточных конвееров и стоит довольно существенный суммы — до 85 тысяч рублей. Различаются они, по большей части, по длине рабочей части и мощности электродвигателя. Вообще, доля правды во всем этом есть, однако стоит заметить, что при изобретении калькулятора люди не разучились считать.

Photomath выпущено для всех популярных мобильных ОС — Android, Windows Phone 8/8.1, iOS. Самый весомый плюс приложения в том, что оно не только показывает правильный ответ, но ход решения. На момент написания статьи Photomath «понимает» дроби, десятичные числа, линейные уравнения и несколько функций, логарифмов. Списанное наспех задание в тетрадке не покатит — приложение распознает только печатный текст.

Еще одно преимущество перед онлайн-шпаргалками — приложение работает без подключения к интернету. В последней версии улучшили сканер для камер без автофокусировки. В целом, приложение прекрасно подходит для учащихся 1-8 классов. Высшую математику с ним, конечно, не решить

— Нет русского языка
— Если страница просвечивает, программа может «захватить» часть уравнения с другой стороны листа.
— Дифференциалы и лимиты пока не ищу
— Иногда очень долго распознает текст

Вычисляет производную заданной функции.

Данный калькулятор вычисляет производную функции и затем упрощает ее.
В поле функция введите математическое выражение с переменной x, в выражении используйте стандартные операции + сложение, – вычитание, / деление, * умножение, ^ — возведение в степень, а также математические функции. Полный синтаксис смотрите ниже.
Упрощение полученной производной может занять некоторое время, для сложных функций — весьма продолжительное. Если ждать до конца нет сил — нажмите кнопку остановить. У меня получался достаточно простой вариант уже после 10-15 секунд работы алгоритма упрощения.

Калькулятор производных

Производная функции

Синтаксис описания формул

В описании функции допускается использование одной переменной (обозначается как x), скобок, числа пи (pi), экспоненты (e), математических операций: + — сложение, – — вычитание, * — умножение, / — деление, ^ — возведение в степень.
Допускаются также следующие функции: sqrt — квадратный корень, exp — e в указанной степени, lb — логарифм по основанию 2, lg — логарифм по основанию 10, ln — натуральный логарифм (по основанию e), sin — синус, cos — косинус, tg — тангенс, ctg — котангенс, sec — секанс, cosec — косеканс, arcsin — арксинус, arccos — арккосинус, arctg — арктангенс, arcctg — арккотангенс, arcsec — арксеканс, arccosec — арккосеканс, versin — версинус, vercos — коверсинус, haversin — гаверсинус, exsec— экссеканс, excsc — экскосеканс, sh — гиперболический синус, ch — гиперболический косинус, th — гиперболический тангенс, cth — гиперболический котангенс, sech — гиперболический секанс, csch — гиперболический косеканс, abs — абсолютное значение (модуль), sgn — сигнум (знак), logP — логарифм по основанию P, например log7(x) — логарифм по основанию 7, rootP — корень степени P, например root3(x) — кубический корень.

педагогическая практика

Среди математических калькуляторов Photomath, безусловно, занимает особое место. Во-первых, он предназначен для андроидов. Во-вторых, задание можно не вводить, а сканировать.

Достаточно навести камеру на математическую задачу и Photomath покажет результат, причём с пошаговыми инструкциями, как это решается.

Photomath поддерживает арифметику, целые числа, дроби, десятичные числа, корни, алгебраические выражения, линейных уравнений, неравенств, квадратных уравнений, логарифмы, тригонометрию, производные, интегралы и многое другое.

А теперь из области фантастики.

Ещё один плюс данного приложения — умение распознать рукописный шрифт.

Проверено вашим покорным слугой.

Между тем, педагоги прекрасно понимают, что любое новое изобретение может быть использовано как во благо, так и во вред. Конечно, такой калькулятор облегчит расчёты в лабораторной работе, обработку больших массивов.

Однако мы прекрасно понимаем, что подобные приложения могут и помешать учащимся шаг за шагом познавать глубинные секреты математики.

Помню, как в школе мы соревновались, кто представит учителю больше вариантов решения тригонометрического уравнения. И пятёрки мы получали не только за правильные ответы, но и за самые изящные варианты.

Учителю математики придётся думать, как сделать так, чтобы это и другие новшества помогли ученикам в их успешной учёбе.

Как отмечается производная в приложении photomatch

Я школу не любил. Вот совсем не любил и до сих пор считаю, что был прав. Но вот полученные знания, кто бы чего ни говорил, мне пригодились в существенной мере. Другое дело, что давались они с какими-то нелепыми и не всегда адекватными усилиями. Ну вот та же математика, к примеру. Решаешь эту систему второй час, приходишь к какому-нибудь вразумительному ответу, который похож (даже!) на правду, а оказывается, что даже не рядом. Причем оказывается потом, завтра, на уроке! Даже если и ответ есть в книге — толку не то чтоб мало — все равно, как его получить, нужно придумывать самому. Не любил я, значит, методику преподавания, ох как не любил. Так вот к чему я — уже в сознательной жизни в качестве хобби появилась легкая мания к установке на телефон всяких разных программ с целью проверки, «как далеко шагнул прогресс» и «что еще я могу не делать лично». А тут вот и программка как-то нашлась новая, полезная даже в какой-то мере, но что гораздо важнее — программа почти уникальна в своем роде и интересна хотя бы с точки зрения использования телефона в новой роли.

Судя по названию (тут уж, правда, в школе английский учить надо было хотя бы до уровня «London is the capital. «) — математика по фотографии. Вот если мы так подумаем, то мы ошибемся ровно наполовину — никаких «по фотографиям» нет и близко. Но, к сути же.

Так вот, приложение предлагает нам помощь в решении почти любых математических (вернее — алгебраических) задач уровня до 9-10 класса. Ну, до 9 класса все решается процентов на 80, выше — как повезет — мат. статистика в действии — все строго 50/50. Причем под «решением» я подразумеваю не ответ посмотреть, а именно показать пути нахождения нужного ответа. А при возможности, еще и ответ в разных представлениях выдать.

Так, задав задачу и увидев ответ (вот тут же увидев, онлайн, так сказать), можно тапнуть на него, и нам откроются практически все шаги, которые необходимо сделать для получения ответа: сокращения, переносы «за равно», разложение корня — одним словом, полный пошаговый алгоритм.

Я сразу был крайне скептично настроен — руки помнят Microsoft Equation и получасовой ввод формулы в дипломе. Я вот думал, что ввести «нормальную» тригонометрическую задачку будет отнимать настолько много времени, что программа будет просто бесполезна. На деле же оказалось, что средство ввода — клавиатура, так сказать, — крайне продуманна, а ее функциональность, на мой взгляд, практически не требует никаких улучшений.

Так, все необходимые операторы у нас в «шаговой» доступности, а для более редких символов имеется дополнительная клавиатура.

Да, многие символы имеют «множественное» значение — долгий тап выводит дополнительные функции (ну, например, долгий тап на операторе «больше» позволит выбрать еще и «больше или равно»).

Есть и еще одна клавиатура — полноценная QWERTY. Вернее, не QWERTY, а ABCDEF. Вот. Только вот нужна она исключительно для ввода переменных, а набрать на ней полную текстовку навроде «sin2x+ln10-exp89/2» нельзя — не поймет — все операторы должны обязательно выбираться с соответствующей клавиатуры.

Так вот, на ввод вот этой вот штуки у меня ушло около 10-15 секунд. Это без нормальной тренировки, так сказать.

Таким вот образом можно брать и вводить наши примеры, которые программа будет успешно (или не очень, как вот на крайнем скрине) решать. Но это не интересно — таких аналогов в Сети множество, ну пусть не множество, но штук пять точно будет (даже более функциональных и продвинутых — к примеру, тот же MalMath — он еще и графики умеет и вообще. только я с ним не разобрался — слишком крутая и запутанная штука). Но фишка Photomath в том, что она умеет распознавать задачи на лету — нам достаточно навести камеру на требуемый пример. И все.

Приложение само определит, распознает, выдаст решение и проведет через все этапы.

Отдельный приятный момент — зона распознавания, размер которой меняется не щипком (что как бы естественно, но не очень, в данном случае, удобно) — а простыми жестами по экрану: вертикальный соответственно увеличит/уменьшит высоту, а горизонтальный — ширину зоны распознавания. Для однорукого использования — отличный вариант.

Распознается не только обычный печатный шрифт, но и рукописные каракули (распознается все, на удивление, не плохо, изредка требуются правки в «ручном» режиме). Да, в сложных текстах программа как бы меняет свое мнение, и при дрожании телефона (а как же в руке еще) варианты распознавания могут меняться вот раз в секунду — тут нужно в результат тапнуть, для фиксации.

Конечно, не без проблем — все зависит от корявости почерка.

В идеальном случае, по идее авторов, видать, сидит себе Коля Сорокин и вместо того, чтобы кляксы ставить, направляет камеру своего 7-го иФона (да — программа мультиплатформенна: имеется версия под Андроид и под iOS, по слухам, создавалась редакция и для Windows Phone, но ее развитие больше не поддерживается) на задачу, получает ответ, и радуется. А если ответ не радует, то открывает развернутое решение и по шагам сверяет свое и рекомендуемое программой.

Да, есть еще момент: если тапнуть на развернутое решение, то еще и словами напишется, что же мы таки делаем и зачем!

Свайпы по экрану «решения» листают историю — в памяти сохраняется 10 крайних задач.

Удобно все и правильно. Ну, по крайней мере, так задумывалось.

По факту, как я уже говорил, мы имеем практически беспроблемное решение заданий средних классов — здесь на самом деле не важно ничего — наводим на требуемую систему уравнений и получаем ответ.

Или вводим от руки — все более-менее разумное решается влет. Можно даже с тремя неизвестными делать.

Так же просто решаются квадратные уравнения, простые логарифмы, всякие интегралы с синусами и прочие простые штуки. При этом, задача может достигаться любая — как найти неизвестную, так и решить уравнение относительно одной из нескольких переменных или просто упростить множество (есть еще варианты, но перечислять все просто неинтересно и абсурдно).

А вот задачи посложнее программа упорно воспринимать не хочет.

При этом она их не воспринимает как при ручном вводе (просто не считает и все тут), так и в режиме распознавания (пишет: распознать не удалось).

Мне вот это вот «распознать не удалось» здорово навевает ассоциации с рядовой «отмазкой» — ну не говорить же, что все понятно, но как это вот считать — кто его знает. А так, тактично и аккуратно — нечитабельно, и баста, карапузики. Бывает, что из всей огромной формулы выбрала кусочек — и дала ответ на «2+2».

Так, программа очень сильно не дружит со сборником задач Сканави, и большая часть его заданий оказывается абсолютно ей не по зубам. Так и уровень одиннадцатого класса тоже с этой софтинкой можно сдать на троечку где-то (по пятибалльной системе), ну, может, на 4 с минусом.

Не обошлось и без недоразумений. Так, я вот не смог найти оператор «не равно» — как ни искал, не вижу. Кроме того, программа упорно отказывается воспринимать тригонометрические tg и ctg — вместо них на клавиатуре tan и cot, соответственно, и пусть бы себе, но в процессе распознавания программа тоже хочет видеть именно эти вот символы, что невозможно, как правило. (Я интуитивно догадываюсь, что такое обозначение принято в западной культуре, но есть же и понятие локализации, не?)

Программа не умеет много чего, более подробно со списком «могу — не могу» можно на сайте ознакомиться, там же есть замечательный список примеров задач, с которыми программа легко разбирается. Но и ее текущего функционала (который постоянно пополняется, обновления выходят раз в пару месяцев) вполне достаточно для практического использования.

Софтинка интересна своей задумкой и реализацией — на самом деле и полезно, и удобно, ну и плюс возможность обосновать родителям необходимость покупки телефона с автофокусом (без него программа не работает). Со всех сторон хорошо, как бы. А еще и бесплатная и безрекламная. Но, только до 01 апреля 2017 года — после захотят денег, о чем честно и предупреждают. Сколько — еще не решили, не менее честно признаются на сайте. Обещают выпустить и версию бесплатную, чем будет отличаться — тоже еще не придумали.

Настроек в программе нет — поставил и пользуйся.

Для работы, из требований, — только автофокус в камере, интернет не нужен — даже распознавание идет в офлайне. Хотя, процессор нужен довольно производительный, я думаю. Так, на моем стареньком Sony ZL после пары часов игрушек в программу, аккумулятор сел процентов на 70, как и во время игры в нормальную ездилкобегалку, а это прямое следствие нагрузки на «железо» же.

Если чего не так с работой — можно писать разработчикам, они даже настаивают на этом, форму сделали, опять же, только вот на английском. А как написать, что Photomath не выделяет в отдельное действие поиск дискриминанта при решении уравнения, на английском языке я не могу (да, действительно не выделяет, корни считает правильно, но все увязывает в одно действие).

В общем и целом, программа мне понравилась — это вот действительно один из новых сценариев использования телефона, как полезного приспособления. Поможет или нет в учебе — вопрос крайне спорный, но вот поставить программку и посмотреть, что из этого получится лично для вас, я считаю, стоит.

Лень, как известно, двигатель прогресса. А мобильный сегмент — реактивный двигатель. Ведь это устройство практически всегда (а у тебя — всегда) под рукой. Лентяям и двоечникам компания PhotoPay сделала шикарный подарок — бесплатное (!) приложение для решения уравнений и функций при одном лишь наведении…

Приложение Photomath вызвало большой резонанс в некоторых сообществах (лепра, например). На фоне общей деградации умственных способностей нынешнего поколения, есть мнение, что подобные приложения до конца угробят «молодых и талантливых», которые после этого идут в инженеры и проектируют мотор барабан мб3. Он, кстати, используется для ленточных конвееров и стоит довольно существенный суммы — до 85 тысяч рублей. Различаются они, по большей части, по длине рабочей части и мощности электродвигателя. Вообще, доля правды во всем этом есть, однако стоит заметить, что при изобретении калькулятора люди не разучились считать.

Photomath выпущено для всех популярных мобильных ОС — Android, Windows Phone 8/8.1, iOS. Самый весомый плюс приложения в том, что оно не только показывает правильный ответ, но ход решения. На момент написания статьи Photomath «понимает» дроби, десятичные числа, линейные уравнения и несколько функций, логарифмов. Списанное наспех задание в тетрадке не покатит — приложение распознает только печатный текст.

Еще одно преимущество перед онлайн-шпаргалками — приложение работает без подключения к интернету. В последней версии улучшили сканер для камер без автофокусировки. В целом, приложение прекрасно подходит для учащихся 1-8 классов. Высшую математику с ним, конечно, не решить

— Нет русского языка
— Если страница просвечивает, программа может «захватить» часть уравнения с другой стороны листа.
— Дифференциалы и лимиты пока не ищу
— Иногда очень долго распознает текст

Вычисляет производную заданной функции.

Калькулятор производных

Производная функции

Синтаксис описания формул

педагогическая практика

Среди математических калькуляторов Photomath, безусловно, занимает особое место. Во-первых, он предназначен для андроидов. Во-вторых, задание можно не вводить, а сканировать.

Достаточно навести камеру на математическую задачу и Photomath покажет результат, причём с пошаговыми инструкциями, как это решается.

Photomath поддерживает арифметику, целые числа, дроби, десятичные числа, корни, алгебраические выражения, линейных уравнений, неравенств, квадратных уравнений, логарифмы, тригонометрию, производные, интегралы и многое другое.

А теперь из области фантастики.

Ещё один плюс данного приложения — умение распознать рукописный шрифт.

Проверено вашим покорным слугой.

Между тем, педагоги прекрасно понимают, что любое новое изобретение может быть использовано как во благо, так и во вред. Конечно, такой калькулятор облегчит расчёты в лабораторной работе, обработку больших массивов.

Однако мы прекрасно понимаем, что подобные приложения могут и помешать учащимся шаг за шагом познавать глубинные секреты математики.

Помню, как в школе мы соревновались, кто представит учителю больше вариантов решения тригонометрического уравнения. И пятёрки мы получали не только за правильные ответы, но и за самые изящные варианты.

Учителю математики придётся думать, как сделать так, чтобы это и другие новшества помогли ученикам в их успешной учёбе.

Сколько бы ни было приложений в App Store, как бы ни варьировалось их качество, время от времени там появляются совсем неординарные проекты. Вспомнить хотя бы переводчик с дополненной реальностью Word Lens или CamFind, которая распознает предметы на фото. На днях в магазине приложений Apple появилась еще одна интересная разработка: PhotoMath — приложение, которое решает математические задачи, используя камеру вашего смартфона.

Принцип работы приложения предельно прост: вы берете в руки смартфон с запущенным PhotoMath, наводите камеру на какую-либо математическую формулу, а затем смотрите результат вычислений на дисплее. Эх, такую бы штуку мне, когда я в школе учился…

Однако приложение пригодится не только тем, кто не хочет думать и решать самостоятельно. Помимо полученного результата, PhotoMath также распишет весь процесс решения уравнения по шагам. Это может помочь не только ученику, но и, например, родителям, которые решат проверить его домашнее задание.

На данный момент в приложении конечно же есть и свои ограничения: так, к примеру, PhotoMath умеет решать только не сложные дроби, десятичные числа, линейные уравнения и стандартную арифметику. Тем не менее разработчики обещают улучшать приложение и дальше, что в теории позволит совершать сложные расчеты всего за несколько секунд. К сожалению, распознавание текста (в данном случае формул) тоже нельзя назвать идеальным, но очень хорошим — запросто. PhotoMath умеет распознавать лишь печатный текст, написанные уравнения “от руки” ему даются крайне тяжело (конечно, если они не написаны типографским шрифтом). Но и этот недостаток разработчики обещают довести до рабочего состояния.

На данный момент приложение абсолютно бесплатно и доступно для смартфонов на iOS, а также Windows Phone. Версия для Android обещает появиться в скором будущем. Как заверяют разработчики, приложение было создано все же не в образовательных целях, а как пример доступности технологии. Поэтому пока еще рано совсем “отключать” мозг и решать все с помощью смартфона. Тем не менее демонстрация, я считаю, получилась хорошей. Остается только пожелать разработчикам удачи в их нелегком деле.

А как вам подобное решение? Пригодилось бы такое приложение, когда вы еще учились в школе? Делитесь мнением в комментариях!

☜♡☞ Не можете решить уравнение? Или же надо построить график? В этом поможет Photomath — чудный фотокалькулятор☜♡☞

Признаюсь честно, что с алгеброй я не на «ты» и даже не на «вы», вот мне и приходиться как-то выкручиваться. Специальные книжки, калькуляторы, зазубривание. Увы, ничего из этого мне не помогает. И вот, в очередной раз вздыхая я шерстила просторы PlayMarket и наткнулась на лаконичный и простой значок приложения. Да-да, это оказался Photomath.

Хм, а что же нам обещает разработчик? Давайте-ка глянем. Интересно же, не так ли?

Просто наведите камеру на математическую задачу, и Photomath магическим образом сразу же выдаст ответ и подробное пошаговое решение.

Особенности Photomath:
∙ Калькулятор с камерой
∙ Распознавание рукописного текста
∙ Пошаговые инструкции
∙ Смарт-калькулятор
∙ Графики (новинка)

Photomath поддерживает арифметические операции, целые числа, дроби, десятичные числа, корни, алгебраические выражения, линейные уравнения / неравенства, квадратные уравнения / неравенства, уравнения /неравенства с модулем, системы уравнений, логарифмы, тригонометрию, экспоненциальные и логарифмические функции, производные и интегралы.

Вот это да, вот это набор. Итак давайте разберем первый пункт: «Калькулятор с камерой». Достаем учебник с алгебры, выбираем уравнение и. наводим камеру. О боже, чудо! Это сработало! Итак, первый пункт есть.

Испытав первый пункт я решила не медлить и испробовать второй. Говорите, он может распознавать и рукописный текст? А давайте проверим! Для этого я взяла ручку, обычный листок и свои мозги и написала ну о-очень легкое уравнений. Калькулятор распознал мой куриный почерк и высветил мне ответ.

Все калькуляторы пусть и умножат/поделят/отнимут, но решения не покажут. А ведь это нам надо, особенно когда списываем домашнее задание из интернета. Но и с этим чудо-калькулятор справился. Он подробно все мне объяснил.

Если нет возможности сфотографировать то просто напишите уравнение как в обычном калькуляторе и получите мгновенный ответ!

Многие сталкивались с такой проблемой как график. Его боятся, его не могут решить и тогда спасет нас супермен, по имени Фотоматематика. Наверное, эта функция будет очень полезна для учеников 7-8 классов.

Что я могу сказать о этом калькуляторе? Он занимает мало памяти, объсняет, доступный и бесплатный.Вещь это очень полезная. Довольно проста в управлении. На мой взгляд: это того стоит. Универсальный ведь калькулятор! В итоге: рекомендую, не пожалеете, и да, псс(рекламы нет).

Среди математических калькуляторов Photomath, безусловно, занимает особое место. Во-первых, он предназначен для андроидов. Во-вторых, задание можно не вводить, а сканировать.

Достаточно навести камеру на математическую задачу и Photomath покажет результат, причём с пошаговыми инструкциями, как это решается.

Photomath поддерживает арифметику, целые числа, дроби, десятичные числа, корни, алгебраические выражения, линейных уравнений, неравенств, квадратных уравнений, логарифмы, тригонометрию, производные, интегралы и многое другое.

А теперь из области фантастики.

Ещё один плюс данного приложения — умение распознать рукописный шрифт.

Проверено вашим покорным слугой.

Между тем, педагоги прекрасно понимают, что любое новое изобретение может быть использовано как во благо, так и во вред. Конечно, такой калькулятор облегчит расчёты в лабораторной работе, обработку больших массивов.

Однако мы прекрасно понимаем, что подобные приложения могут и помешать учащимся шаг за шагом познавать глубинные секреты математики.

Помню, как в школе мы соревновались, кто представит учителю больше вариантов решения тригонометрического уравнения. И пятёрки мы получали не только за правильные ответы, но и за самые изящные варианты.

Учителю математики придётся думать, как сделать так, чтобы это и другие новшества помогли ученикам в их успешной учёбе.

Так или иначе их не скроешь.

Хотелось бы узнать мнение учителей математики.

Как найти производную, как взять производную? На данном уроке мы научимся находить производные функций. Но перед изучением данной страницы я настоятельно рекомендую ознакомиться с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Справочное пособие можно открыть или закачать на странице Математические формулы и таблицы. Также оттуда нам потребуется Таблица производных, ее лучше распечатать, к ней часто придется обращаться, причем, не только сейчас, но и в оффлайне.

Советую следующий порядок изучения темы: во-первых, эта статья. Затем нужно прочитать важнейший урок Производная сложной функции. Эти два базовых занятия позволят поднять Ваши навыки с полного нуля. Далее можно будет ознакомиться с более сложными производными в статье Сложные производные. Логарифмическая производная. Если планка окажется слишком высока, то сначала прочитайте вещь Простейшие типовые задачи с производной. Помимо нового материала, на уроке рассмотрены другие, более простые типы производных, и есть прекрасная возможность улучшить свою технику дифференцирования. Кроме того, в контрольных работах почти всегда встречаются задания на нахождение производных функций, которые заданы неявно или параметрически. Такой урок тоже есть: Производные неявных и параметрически заданных функций.

Я попытаюсь в доступной форме, шаг за шагом, научить Вас находить производные функций. Вся информация изложена подробно, простыми словами.

Собственно, сразу рассмотрим пример:

Найти производную функции

Это простейший пример, пожалуйста, найдите его в таблице производных элементарных функций. Теперь посмотрим на решение и проанализируем, что же произошло? А произошла следующая вещь: у нас была функция , которая в результате решения превратилась в функцию .

Говоря совсем просто, для того чтобы найти производную функции, нужно по определенным правилам превратить её в другую функцию. Посмотрите еще раз на таблицу производных – там функции превращаются в другие функции. Единственным исключением является экспоненциальная функция , которая превращается сама в себя. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Обозначения: Производную обозначают или .

ВНИМАНИЕ, ВАЖНО! Забыть поставить штрих (там, где надо), либо нарисовать лишний штрих (там, где не надо) – ГРУБАЯ ОШИБКА! Функция и её производная – это две разные функции!

Вернемся к нашей таблице производных. Из данной таблицы желательно запомнить наизусть: правила дифференцирования и производные некоторых элементарных функций, особенно:

производную константы:
, где – постоянное число;

производную степенной функции:
, в частности: , , .

В реальности простые табличные примеры – редкость, обычно при нахождении производных сначала используются правила дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций.

В этой связи переходим к рассмотрению правил дифференцирования:

1) Постоянное число можно (и нужно) вынести за знак производной

, где – постоянное число (константа)

Найти производную функции

Смотрим в таблицу производных. Производная косинуса там есть, но у нас .

Самое время использовать правило, выносим постоянный множитель за знак производной:

А теперь превращаем наш косинус по таблице:

2) Производная суммы равна сумме производных

Найти производную функции

Решаем. Как Вы, наверное, уже заметили, первое действие, которое всегда выполняется при нахождении производной, состоит в том, что мы заключаем в скобки всё выражение и ставим штрих справа вверху:

Применяем второе правило:

Обратите внимание, что для дифференцирования все корни, степени нужно представить в виде , а если они находятся в знаменателе, то переместить их вверх. Как это сделать – рассмотрено в моих методических материалах.

Теперь вспоминаем о первом правиле дифференцирования – постоянные множители (числа) выносим за знак производной:

Обычно в ходе решения эти два правила применяют одновременно (чтобы не переписывать лишний раз длинное выражение).

Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными функциями, с помощью таблицы осуществляем превращение:

Можно всё оставить в таком виде, так как штрихов больше нет, и производная найдена. Тем не менее, подобные выражения обычно упрощают:

Все степени вида желательно снова представить в виде корней, степени с отрицательными показателями – сбросить в знаменатель. Хотя этого можно и не делать, ошибкой не будет.

Найти производную функции

Попробуйте решить данный пример самостоятельно (ответ в конце урока). Желающие также могут воспользоваться интенсивным курсом в pdf-формате, который особенно актуален, если у вас в распоряжении совсем мало времени.

3) Производная произведения функций

Вроде бы по аналогии напрашивается формула …., но неожиданность состоит в том, что:

Эта необычное правило (как, собственно, и другие) следует из определения производной. Но с теорией мы пока повременим – сейчас важнее научиться решать:

Найти производную функции

Здесь у нас произведение двух функций, зависящих от .
Сначала применяем наше странное правило, а затем превращаем функции по таблице производных:

Сложно? Вовсе нет, вполне доступно даже для чайника.

Найти производную функции

В данной функции содержится сумма и произведение двух функций – квадратного трехчлена и логарифма . Со школы мы помним, что умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием.

Здесь всё так же. СНАЧАЛА мы используем правило дифференцирования произведения:

Теперь для скобки используем два первых правила:

В результате применения правил дифференцирования под штрихами у нас остались только элементарные функции, по таблице производных превращаем их в другие функции:

При определенном опыте нахождения производных, простые производные вроде не обязательно расписывать так подробно. Вообще, они обычно решаются устно, и сразу записывается, что .

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока)

4) Производная частного функций

В потолке открылся люк, не пугайся, это глюк.
А вот это вот суровая действительность:

Найти производную функции

Чего здесь только нет – сумма, разность, произведение, дробь…. С чего бы начать?! Есть сомнения, нет сомнений, но, В ЛЮБОМ СЛУЧАЕ для начала рисуем скобочки и справа вверху ставим штрих:

Теперь смотрим на выражение в скобках, как бы его упростить? В данном случае замечаем множитель, который согласно первому правилу целесообразно вынести за знак производной:

Смотрим на наше выражение в скобках. У нас есть сложение, вычитание и деление. Со школы мы помним, что деление выполняется в первую очередь. И здесь – сначала применяем правило дифференцирования частного:

Таким образом, наша страшная производная свелась к производным двух простых выражений. Применяем первое и второе правило, здесь это сделаем устно, надеюсь, Вы уже немного освоились в производных:

Штрихов больше нет, задание выполнено.

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Время от времени встречаются хитрые задачки:

Найти производную функции

Смотрим на данную функцию. Здесь снова дробь. Однако перед тем как использовать правило дифференцирования частного (а его можно использовать), всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли упростить саму дробь, или вообще избавиться от нее?
Дело в том, что формула достаточно громоздка, и применять ее совсем не хочется.

В данном случае можно почленно поделить числитель на знаменатель.
Преобразуем функцию:

Ну вот, совсем другое дело, теперь дифференцировать просто и приятно:

Найти производную функции

Здесь ситуация похожа, превратим нашу дробь в произведение, для этого поднимем экспоненту в числитель, сменив у показателя знак:

Произведение все-таки дифференцировать проще:

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

5) Производная сложной функции

Данное правило также встречается очень часто. Но о нём рассказать можно очень много, поэтому я создал отдельный урок на тему Производная сложной функции.

Поскольку ( k = tg(a) ), то верно равенство ( f'(a) = tg(a) ) .

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке.

Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Фотопанорамы – один из лучших способов продемонстрировать пользователям все нюансы происходящего, показать объект «изнутри” и…

Magic: The Gathering — это карточная игра, в которой волшебники кастуют заклинания, призывают существ и…

Торты VictorA Русская 12 2 ч 170 ккал 5/5 (10) Кухонная техника и утварь: миски…

Правописание слов «взимать», «взимал»В нача­ле этих гла­го­лов часть вз- очень похо­жа на при­став­ку, и тогда…

Способ №2: с помощью формулыВ том же разделе Word — «Вставка» выберите пункт «Формула».Перед вами…

Сколько треугольников на каждом — ПРОДОЛЖИ РЯД РИСУНКОВ И ПОСЧИТАЙ СКОЛЬКО ТРЕУГОЛЬНИКОВ НА КАЖДОМ РИСУНКЕRu…

Производная в фотомач

Среди математических калькуляторов Photomath, безусловно, занимает особое место. Во-первых, он предназначен для андроидов. Во-вторых, задание можно не вводить, а сканировать.

Достаточно навести камеру на математическую задачу и Photomath покажет результат, причём с пошаговыми инструкциями, как это решается.

Photomath поддерживает арифметику, целые числа, дроби, десятичные числа, корни, алгебраические выражения, линейных уравнений, неравенств, квадратных уравнений, логарифмы, тригонометрию, производные, интегралы и многое другое.

А теперь из области фантастики.

Ещё один плюс данного приложения — умение распознать рукописный шрифт.

Проверено вашим покорным слугой.

Между тем, педагоги прекрасно понимают, что любое новое изобретение может быть использовано как во благо, так и во вред. Конечно, такой калькулятор облегчит расчёты в лабораторной работе, обработку больших массивов.

Однако мы прекрасно понимаем, что подобные приложения могут и помешать учащимся шаг за шагом познавать глубинные секреты математики.

Помню, как в школе мы соревновались, кто представит учителю больше вариантов решения тригонометрического уравнения. И пятёрки мы получали не только за правильные ответы, но и за самые изящные варианты.

Учителю математики придётся думать, как сделать так, чтобы это и другие новшества помогли ученикам в их успешной учёбе.

Так или иначе их не скроешь.

Хотелось бы узнать мнение учителей математики.

Как найти производную, как взять производную? На данном уроке мы научимся находить производные функций. Но перед изучением данной страницы я настоятельно рекомендую ознакомиться с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Справочное пособие можно открыть или закачать на странице Математические формулы и таблицы. Также оттуда нам потребуется Таблица производных, ее лучше распечатать, к ней часто придется обращаться, причем, не только сейчас, но и в оффлайне.

Есть? Приступим. У меня для Вас есть две новости: хорошая и очень хорошая. Хорошая новость состоит в следующем: чтобы научиться находить производные, совсем не обязательно знать и понимать, что такое производная. Более того, определение производной функции, математический, физический, геометрический смысл производной целесообразнее переварить позже, поскольку качественная проработка теории, по моему мнению, требует изучения ряда других тем, а также некоторого практического опыта.
И сейчас наша задача освоить эти самые производные технически. Очень хорошая новость состоит в том, что научиться брать производные не так сложно, существует довольно чёткий алгоритм решения (и объяснения) этого задания, интегралы или пределы, например, освоить труднее.

Советую следующий порядок изучения темы: во-первых, эта статья. Затем нужно прочитать важнейший урок Производная сложной функции. Эти два базовых занятия позволят поднять Ваши навыки с полного нуля. Далее можно будет ознакомиться с более сложными производными в статье Сложные производные. Логарифмическая производная. Если планка окажется слишком высока, то сначала прочитайте вещь Простейшие типовые задачи с производной. Помимо нового материала, на уроке рассмотрены другие, более простые типы производных, и есть прекрасная возможность улучшить свою технику дифференцирования. Кроме того, в контрольных работах почти всегда встречаются задания на нахождение производных функций, которые заданы неявно или параметрически. Такой урок тоже есть: Производные неявных и параметрически заданных функций.

Я попытаюсь в доступной форме, шаг за шагом, научить Вас находить производные функций. Вся информация изложена подробно, простыми словами.

Собственно, сразу рассмотрим пример:

Найти производную функции

Это простейший пример, пожалуйста, найдите его в таблице производных элементарных функций. Теперь посмотрим на решение и проанализируем, что же произошло? А произошла следующая вещь: у нас была функция , которая в результате решения превратилась в функцию .

Говоря совсем просто, для того чтобы найти производную функции, нужно по определенным правилам превратить её в другую функцию. Посмотрите еще раз на таблицу производных – там функции превращаются в другие функции. Единственным исключением является экспоненциальная функция , которая превращается сама в себя. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Обозначения: Производную обозначают или .

ВНИМАНИЕ, ВАЖНО! Забыть поставить штрих (там, где надо), либо нарисовать лишний штрих (там, где не надо) – ГРУБАЯ ОШИБКА! Функция и её производная – это две разные функции!

Вернемся к нашей таблице производных. Из данной таблицы желательно запомнить наизусть: правила дифференцирования и производные некоторых элементарных функций, особенно:

производную константы:
, где – постоянное число;

производную степенной функции:
, в частности: , , .

Зачем запоминать? Данные знания являются элементарными знаниями о производных. И если Вы не сможете ответить преподавателю на вопрос «Чему равна производная числа?», то учеба в ВУЗе может для Вас закончиться (лично знаком с двумя реальными случаями из жизни). Кроме того, это наиболее распространенные формулы, которыми приходится пользоваться практически каждый раз, когда мы сталкиваемся с производными.

В реальности простые табличные примеры – редкость, обычно при нахождении производных сначала используются правила дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций.

В этой связи переходим к рассмотрению правил дифференцирования:

1) Постоянное число можно (и нужно) вынести за знак производной

, где – постоянное число (константа)

Найти производную функции

Смотрим в таблицу производных. Производная косинуса там есть, но у нас .

Самое время использовать правило, выносим постоянный множитель за знак производной:

А теперь превращаем наш косинус по таблице:

Ну и результат желательно немного «причесать» – ставим минус на первое место, заодно избавляясь от скобок:

2) Производная суммы равна сумме производных

Найти производную функции

Решаем. Как Вы, наверное, уже заметили, первое действие, которое всегда выполняется при нахождении производной, состоит в том, что мы заключаем в скобки всё выражение и ставим штрих справа вверху:

Применяем второе правило:

Обратите внимание, что для дифференцирования все корни, степени нужно представить в виде , а если они находятся в знаменателе, то переместить их вверх. Как это сделать – рассмотрено в моих методических материалах.

Теперь вспоминаем о первом правиле дифференцирования – постоянные множители (числа) выносим за знак производной:

Обычно в ходе решения эти два правила применяют одновременно (чтобы не переписывать лишний раз длинное выражение).

Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными функциями, с помощью таблицы осуществляем превращение:

Можно всё оставить в таком виде, так как штрихов больше нет, и производная найдена. Тем не менее, подобные выражения обычно упрощают:

Все степени вида желательно снова представить в виде корней, степени с отрицательными показателями – сбросить в знаменатель. Хотя этого можно и не делать, ошибкой не будет.

Найти производную функции

Попробуйте решить данный пример самостоятельно (ответ в конце урока). Желающие также могут воспользоваться интенсивным курсом в pdf-формате, который особенно актуален, если у вас в распоряжении совсем мало времени.

3) Производная произведения функций

Вроде бы по аналогии напрашивается формула …., но неожиданность состоит в том, что:

Эта необычное правило (как, собственно, и другие) следует из определения производной. Но с теорией мы пока повременим – сейчас важнее научиться решать:

Найти производную функции

Здесь у нас произведение двух функций, зависящих от .
Сначала применяем наше странное правило, а затем превращаем функции по таблице производных:

Сложно? Вовсе нет, вполне доступно даже для чайника.

Найти производную функции

В данной функции содержится сумма и произведение двух функций – квадратного трехчлена и логарифма . Со школы мы помним, что умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием.

Здесь всё так же. СНАЧАЛА мы используем правило дифференцирования произведения:

Теперь для скобки используем два первых правила:

В результате применения правил дифференцирования под штрихами у нас остались только элементарные функции, по таблице производных превращаем их в другие функции:

При определенном опыте нахождения производных, простые производные вроде не обязательно расписывать так подробно. Вообще, они обычно решаются устно, и сразу записывается, что .

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока)

4) Производная частного функций

В потолке открылся люк, не пугайся, это глюк.
А вот это вот суровая действительность:

Найти производную функции

Чего здесь только нет – сумма, разность, произведение, дробь…. С чего бы начать?! Есть сомнения, нет сомнений, но, В ЛЮБОМ СЛУЧАЕ для начала рисуем скобочки и справа вверху ставим штрих:

Теперь смотрим на выражение в скобках, как бы его упростить? В данном случае замечаем множитель, который согласно первому правилу целесообразно вынести за знак производной:

Заодно избавляемся от скобок в числителе, которые теперь не нужны.
Вообще говоря, постоянные множители при нахождении производной можно и не выносить, но в этом случае они будут «путаться под ногами», что загромождает и затрудняет решение.

Смотрим на наше выражение в скобках. У нас есть сложение, вычитание и деление. Со школы мы помним, что деление выполняется в первую очередь. И здесь – сначала применяем правило дифференцирования частного:

Таким образом, наша страшная производная свелась к производным двух простых выражений. Применяем первое и второе правило, здесь это сделаем устно, надеюсь, Вы уже немного освоились в производных:

Штрихов больше нет, задание выполнено.

На практике обычно (но не всегда) ответ упрощают «школьными» методами:

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Время от времени встречаются хитрые задачки:

Найти производную функции

Смотрим на данную функцию. Здесь снова дробь. Однако перед тем как использовать правило дифференцирования частного (а его можно использовать), всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли упростить саму дробь, или вообще избавиться от нее?
Дело в том, что формула достаточно громоздка, и применять ее совсем не хочется.

В данном случае можно почленно поделить числитель на знаменатель.
Преобразуем функцию:

Ну вот, совсем другое дело, теперь дифференцировать просто и приятно:

Найти производную функции

Здесь ситуация похожа, превратим нашу дробь в произведение, для этого поднимем экспоненту в числитель, сменив у показателя знак:

Произведение все-таки дифференцировать проще:

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

5) Производная сложной функции

Данное правило также встречается очень часто. Но о нём рассказать можно очень много, поэтому я создал отдельный урок на тему Производная сложной функции.

Пример 4: . В ходе решения данного примера следует обратить внимание, на тот факт, что и – постоянные числа, не важно чему они равны, важно, что это — константы. Поэтому выносится за знак производной, а .

Поскольку ( k = tg(a) ), то верно равенство ( f'(a) = tg(a) ) .

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f'(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

Читайте также:

Фотопанорамы – один из лучших способов продемонстрировать пользователям все нюансы происходящего, показать объект «изнутри” и…

Magic: The Gathering — это карточная игра, в которой волшебники кастуют заклинания, призывают существ и…

Торты VictorA Русская 12 2 ч 170 ккал 5/5 (10) Кухонная техника и утварь: миски…

Правописание слов «взимать», «взимал»В нача­ле этих гла­го­лов часть вз- очень похо­жа на при­став­ку, и тогда…

Способ №2: с помощью формулыВ том же разделе Word — «Вставка» выберите пункт «Формула».Перед вами…

Сколько треугольников на каждом — ПРОДОЛЖИ РЯД РИСУНКОВ И ПОСЧИТАЙ СКОЛЬКО ТРЕУГОЛЬНИКОВ НА КАЖДОМ РИСУНКЕRu…