Как найти первообразные корни степени - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 7 февраля 2020 года; проверки требует 21 правка.

Первообразный корень по модулю m ― целое число g такое, что

${displaystyle g^{varphi (m)}equiv 1{pmod {m}}}$

${displaystyle g^{ell }not equiv 1{pmod {m}}}$

при

где ― функция Эйлера. Другими словами, первообразный корень — это образующий элемент мультипликативной группы кольца вычетов по модулю m.

Чтобы не проверять все ell от до , достаточно проверить три условия:

Является ли числом взаимно простым с , и если нет – то это не первообразный корень.
Так как – всегда чётное число для всех , то имеет как минимум один простой делитель – простое число , следовательно, для того, чтобы отсеять значительное количество не-корней, достаточно проверить ${displaystyle g^{varphi (m)/2}not equiv 1{pmod {m}}}$ для числа, подходящего на первообразный корень по модулю .^[1] Если результат +1 m , то g – не корень, в ином случае результат -1 m, когда g – это возможно первообразный корень.
Далее следует убедиться, что ${displaystyle g^{ell }not equiv 1{pmod {m}}}$ для всех ${displaystyle ell ={frac {varphi (m)}{p}}}$ , где – простой делитель числа , полученный в результате его факторизации.

Свойства[править | править код]

Существование[править | править код]

Первообразные корни существуют только по модулям вида

${displaystyle m=2,4,p^{a},2p^{a}}$

где p>2 ― простое число, ― натуральное. Только в этих случаях мультипликативная группа кольца вычетов по модулю m является циклической группой порядка .

Количество[править | править код]

Если по модулю существует первообразный корень , то всего существует различных первообразных корней по модулю m, причём все они имеют вид $g^{k}$ , где и .

Индекс числа по модулю[править | править код]

Для первообразного корня его степени ${displaystyle g^{varphi (m)}=1,g,dots g^{varphi (m)-1}}$ несравнимы между собой по модулю m и образуют приведенную систему вычетов по модулю m. Поэтому для каждого числа , взаимно простого с , найдется показатель , такой, что

${displaystyle g^{ell }equiv a{pmod {m}}.}$

Такое число ell называется индексом числа a по основанию g.

Минимальный корень[править | править код]

Исследования Виноградова показали, что существует такая константа , что для всякого простого существует первообразный корень . Другими словами, для простых модулей минимальный первообразный корень имеет порядок .
Математик Виктор Шуп^[en] из Университета Торонто показал, что если «Обобщённая гипотеза Римана» верна, то первообразный корень есть среди первых ${displaystyle O(log ^{6}{p})}$ чисел натурального ряда^[2].

История[править | править код]

Первообразные корни для простых модулей были введены Эйлером, но существование первообразных корней для любых простых модулей было доказано лишь Гауссом в «Арифметических исследованиях» (1801 год).

Примеры[править | править код]

Число 3 является первообразным корнем по модулю 7. Чтобы в этом убедиться, достаточно каждое число от 1 до 6 представить как некоторую степень тройки по модулю 7:

${displaystyle 3^{1}equiv 3 {pmod {7}}}$

${displaystyle 3^{2}equiv 2 {pmod {7}}}$

${displaystyle 3^{3}equiv 6 {pmod {7}}}$

${displaystyle 3^{4}equiv 4 {pmod {7}}}$

${displaystyle 3^{5}equiv 5 {pmod {7}}}$

${displaystyle 3^{6}equiv 1 {pmod {7}}}$

Примеры наименьших первообразных корней по модулю m (последовательность A046145 в OEIS):

Модуль m	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Первообразный корень	1	2	3	2	5	3	—	2	3	2	—	2	3

См. также[править | править код]

Гипотеза Артина
Дискретное логарифмирование
Показатель числа по модулю

Примечания[править | править код]

↑ Primitive Root – Competitive Programming Algorithms. cp-algorithms.com. Дата обращения: 27 октября 2020. Архивировано 24 октября 2020 года.
↑ Bach, Eric; Shallit, Jeffrey. Algorithmic Number Theory (Vol I: Efficient Algorithms). — Cambridge: The MIT Press, 1996. — P. 254. — ISBN 978-0-262-02405-1.

Литература[править | править код]

Виноградов И. М. Глава 6. Первообразные корни и индексы // Основы теории чисел. — 1952. — 182 с.
Нестеренко Ю. В. Глава 7. Первообразные корни и индексы // Теория чисел. — М.: «Академия», 2008. — 464 с.

Ссылки[править | править код]

«Первообразные корни» на сайте MAXimal Архивная копия от 1 декабря 2011 на Wayback Machine
Weisstein, Eric W. Primitive Root (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Источник

1
= cos0+i sin0
=
cos+i
sin,
.

Корни
расположены на окружности единичного
радиуса и делят эту окружность на n
равных частей.

Теорема 1.

Все
значения корня n–той
степени из комплексного числа z
можно получить умножением одного из
них на все корни из 1.

Доказательство:

Возьмём

=
=

(cos+i
sin),
где s–фиксированное
число.

₁,
₂,…,
_n
– так обозначим все корни
.

Домножим
каждый из корней ₁,…,
_n
на .
Они разные, все являются корнями n–той
степени из z,
ибо (_i)ⁿ= z
и их

штук.

Теорема
доказана.

Теорема
2.

Произведение
двух корней n–той степени
из единицы есть корень степени n
из единицы.

Следствие.

Степень
корня n–той
степени из единицы есть корень степени
n
из единицы.

Все
ли корни из 1 равноправны?

n=4
; 1, –1, i,
–i
— корни из единицы.

i;
–i
— первообразные корни; если i
возводить в степени 0, 1, 2, 3, то получим
все корни.

Определение
1.

Корень
n–той
степени из 1 называется первообразным,
если он не даёт единицу в степени меньше,
чем n.

Всегда ли есть первообразный корень?

Всегда!
Например: cos+i
sin.

Упражнение.
Доказать, что корень
n–той
степени

_k= cos

+ i sin

будет
первообразным, если n
и k
— взаимно простые (не имеют общих
делителей отличных от 1).

§6. Числовое поле.

В
множествах Q

R

C
возможны четыре операции +,
–,
, .

Определение
1. Подмножество K

C
множества комплексных чисел C,
состоящее более, чем из одного элемента,
называют числовым полем, если выполняются
следующие условия:

1)

a,
bK

a+bK
, то есть в множестве K
всегда возможно сложение;

 aK

–aK
;
 a,
bK

abK
, то есть задано умножение в K
(K
замкнуто относительно умножения);

4)

a

0 ; a^-1K.

Из
2) с учётом 1) получаем, что в K
всегда возможно вычитание.

Из
4) с учётом 3) получаем, что в K
всегда возможно деление на число не
равное 0.

Q
— поле рациональных чисел;

R
— поле вещественных чисел;

C
— поле комплексных чисел.

Упражнение 1. Числовое поле всегда бесконечно. Упражнение 2. Любое числовое поле всегда содержит q (множество рациональных чисел).

Пример
поля отличного от Q,
R
и C:

K
= {a+b,
где a
и b

}.

Тема 2. Матрицы и определители.

§1. Сложение матриц. Умножение матрицы на число.

Пусть
К ≠ .
Рассмотрим прямоугольную таблицу из n
строк и m столбцов, состоящую из элементов
К

(1)

a_ij— произвольный
элемент таблицы, где i
— номер строки, j
— номер столбца, a_ij
К 
i,j.
Таблицу (1) назовем матрицей размером n
x
m.
Краткая запись (a_ij)_n_x_m_. В будущем
будем рассматривать (1) над числовыми
полями. Матрицы будем обозначать A,B,C,
а
их элементы
соответственно a_ij, b_ij,c_ij.

Определение
1. Две матрицы
(a_ij),
(b_ij) одинаковых
размеров будем называть равными, если
a_ij
= b_ij
i,j.

Определение
2. Матрица
называется квадратной, если m=n.

Определение
3.
Квадратная матрица называется
диагональной, если все элементы, стоящие
вне главной диагонали, равны 0.

Пример:

Определение
4.
Диагональная
матрица, все элементы которой равны
между собой, называется скалярной
матрицей.

Скалярная матрица, у которой элемент,
стоящий на диагонали равен 1, называется
единичной.

Пример:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Здравствуйте! Есть вопрос по задаче из Фадеева-Соминского на тему “комплексные числа”.

Выписать первообразные корни из $1$ степени:

Я могу выписать например корни.

$sqrt[n]{1}=cos left(dfrac{2pi k}{n}right)+isin left(dfrac{2pi k}{n}right)$

$sqrt[2]{1}=cos left(dfrac{2pi k}{2}right)+isin left(dfrac{2pi k}{2}right)=pm 1$

$sqrt[3]{1}=cos left(dfrac{2pi k}{3}right)+isin left(dfrac{2pi k}{3}right)$

$sqrt[4]{1}=cos left(dfrac{2pi k}{4}right)+isin left(dfrac{2pi k}{4}right)$

….

Я могу все это представить в алгебраической форме, не проблема. Но как отобрать из них первообразные корни?

Что такое первообразные корни? Я это не очень понял как-то. В интернете понятного объяснения не нашел, там все кольца, поля, группы, а этого я не проходил. Можно ли как-то без этого найти первообразные корни?

— 26.11.2015, 17:57 —

Но в википедии нашел, что $k$ должно быть взаимно просто с $n$ , тогда будут первообразный корень.

Если корень второй степени, то оба корня первообразные

Если корень третьей степени, то все три корня первообразные

Если четвертой степени, то все кроме того, где $k=2$

Если пятой степени, то все

Если шестой степени, то все, кроме $k=2,3$ . Верно ли?

— 26.11.2015, 17:59 —

(Оффтоп)

Пока что не очень очевиден смысл первообразных корней? Зачем они?

Источник

Аннотация: В данной лекции рассматриваются комплексные корни n-й степени из единицы. Приведены формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней, доказан ряд теорем. Рассмотрен ряд характерных задач, а также приведены задачи для самостоятельного рассмотрения

Комплексные корни n-й степени из единицы

Так как , r=1, , то формула для корней n -й степени из 1 принимает вид

$w_k=cos frac{2pi k}{n}+isinfrac{2pi k}{n},quad k=0,1,2,...,n-1.$

Точки w_k являются вершинами правильного n -угольника, вписанного в окружность единичного радиуса с центром в начале координат, при этом одной из вершин этого многоугольника является 1. Например, при n=8

Теорема 2.9.1. Совокупность $T_n={win Cmid w^n=1}$ всех n корней n -й степени из 1 с операцией умножения является коммутативной группой (подгруппой в $T={zmid |z|=1}subset C^*= Csetminus {0}$ ).

Доказательство.

Если , т. е. wⁿ=1, zⁿ=1, то , поэтому . Таким образом, на T_n определена операция умножения (очевидно, коммутативная и ассоциативная).
Ясно, что 1ⁿ=1, т. е. , и 1 – нейтральный элемент в T_n.
Если , то wⁿ=1,
$left(frac{1}{w}right)^n=frac{1}{w^n}=frac{1}{1}=1,$

и поэтому $w^{-1}in T_n$ .

Замечание 2.9.2. Группа T_n является циклической, т. е. все ее элементы являются степенями одного элемента, называемого циклическим образующим (в качестве одного из циклических образующих можно взять $w_1=cosfrac{2pi}{n}+isinfrac{2pi}{n}$ , так как w_k=(w₁)^k для , т. е. все элементы w_k группы T_n являются степенями корня w₁, такие корни называются первообразными). Покажите, что $w_k=cosfrac{2pi k}{n}+isinfrac{2pi k}{n}$ является первообразным корнем тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель чисел k и n равен 1.

Упражнение 2.9.3. Доказать, что сумма всех k -х степеней корней уравнения xⁿ=1 равна

n, если k делится на n ;

0, если k не делится на n.

Задача 2.9.4. Если $z=frac{2+i}{2-i}$ , то |z|=1, но z не является корнем из единицы (т. е. для любого nin N ).

Задача 2.9.5. Доказать, что

а) $sinleft(frac{pi}{2n}right)sinleft(frac{2pi}{2n}right)... sinleft(frac{(n-1)pi}{2n}right)=frac{sqrt{n}}{2^{n-1}}$ ;

б) $prodlimits_{k=1}^n sinfrac{pi k}{2n+1}=frac{sqrt{2n+1}}{2^n}$ .

Указание. Пусть

$x_s=varepsilon_s=cosfrac{pi s}{n}+isinfrac{pi s}{n},quad s=1,2,...,2n$

(все корни степени 2n из 1 ).Тогда

$x^{2n}-1=prodlimits_{s=1}^{2n}(x-x_s)= prod_{s=1}^{n-1}(x-x_s)prod_{s=n+1}^{2n-1}(x-x_s)(x^2-1)$

(так как x_n=-1, x_2n=1 ). Но $x_{2n-s}=bar x_s$ , поэтому

$begin{mult} x^{2n}-1=(x^2-1)smash[b]{prod_{s=1}^{n-1}(x-x_s)(x-bar x_s)}={}\ {}=(x^2-1)prod_{s=1}^{n-1}left(x^2-2xcosfrac{pi s}{n}+1right). end{multl}$

Следовательно,

$frac{x^{2n}!-!1}{x^2!-!1}= x^{2(n-1)}+x^{2(n-2)}+...+x^2+1= prod_{s=1}^{n-1}!left(x^2-2xcosfrac{pi s}{n}!+!1right).$

Полагая x=1, имеем

$begin{mult} n=prod_{s=1}^{n-1}left(2-2cosleft(frac{pi s}{n}right)right)= prod_{s=1}^{n-1}4sin^2left(frac{pi s}{2n}right)={}\ {}=2^{2(n-1)}sin^2left(frac{pi}{2n}right) sin^2left(frac{2pi}{2n}right)... sin^2left(frac{pi(n-1)}{2n}right). end{mult}$

Пункт б) доказывается аналогично.

Источник

Свойства[править | править код]

Существование[править | править код]

Количество[править | править код]

Индекс числа по модулю[править | править код]

Минимальный корень[править | править код]

История[править | править код]

Примеры[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Теорема 1.

Всегда ли есть первообразный корень?

§6. Числовое поле.

Упражнение 1. Числовое поле всегда бесконечно. Упражнение 2. Любое числовое поле всегда содержит q (множество рациональных чисел).

Тема 2. Матрицы и определители.

§1. Сложение матриц. Умножение матрицы на число.

Комплексные корни n-й степени из единицы

Вам также может понравиться

Как найти средний расход автомобиля

Как найти предателя в амонг асе

Зарплата по тарифу как найти

Добавить комментарий Отменить ответ