Содержание
Первая квадратичная форма
Краткие теоретические сведения
begin{align*}
I_1 &= left(dvec{r}right)^2=left(vec{r}_udu+vec{r}_vdvright)^2=\
&=(vec{r}_u,vec{r}_u),du^2+2(vec{r}_u,vec{r}_v),du,dv+(vec{r}_v,vec{r}_v),dv^2.
end{align*}
Обычно коэффициенты первой квадратичной формы обозначают $E$, $F$, $G$:
begin{align*}
I_1&=E,du^2+2F,du,dv+G,dv^2,\
E&=(vec{r}_u,vec{r}_u)=x_u^2+y_u^2+z_u^2,\
F&=(vec{r}_u,vec{r}_v)=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v,\
G&=(vec{r}_v,vec{r}_v)=x_v^2+y_v^2+z_v^2.
end{align*}
Подробнее про квадратичные формы в курсе алгебре смотрите здесь.
Решение задач
Задача 1 (Феденко 650)
Найдите первую квадратичную форму прямого геликоида:
begin{equation*}
x=u,mbox{cos}v, ,, y=u,mbox{sin},v, ,, z=av.
end{equation*}
Решение задачи 1
Коэффициенты:
begin{align*}
E&=x_u^2+y_u^2+z_u^2=mbox{cos}^2v+mbox{sin}^2v+0=1, \
F&= x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v=-u,mbox{sin}v,mbox{cos}v+u,mbox{sin}v,mbox{cos}v+0=0,\
G&=x_v^2+y_v^2+z_v^2=u^2mbox{sin}^2v+u^2mbox{cos}^2v+a^2=u^2+a^2.
end{align*}
Первая квадратичная форма:
begin{equation*}
I_1=du^2+(u^2+a^2)dv^2.
end{equation*}
Задание 2 (Феденко 653)
Найдите первую квадратичную форму поверхности $z=z(x,y)$.
Решение задачи 2
Можно ввести параметризацию:
begin{equation*}
x=u, ,, y=v, ,, z = z(u,v).
end{equation*}
Тогда коэффициенты квадратичной формы будут равны:
begin{align*}
E&= 1^2+0^2+z_u^2,\
F&= 1cdot0+0cdot1+z_uz_v,\
G&= 0^2+1^2+z_v^2.
end{align*}
Запишем первую квадратичную форму поверхности, вернувшись к координатам $x$, $y$.
begin{equation*}
I_1=(1+z_x^2)dx^2+2z_xz_ydxdy+(1+z_y^2)dy^2.
end{equation*}
· Последние изменения: 2021/06/14 10:45 —
nvr
Первая квадратичная форма (или первая фундаментальная форма или метрический тензор) поверхности ― квадратичная форма на касательном расслоении поверхности, которая определяет внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки.
Первая квадратичная форма часто обозначается 
.
Знание первой квадратичной формы достаточно для вычисления гауссовой кривизны поверхности, а также для вычисления длин дуг, углов между кривыми и площади областей на поверхности.
Определение[править | править код]
Пусть в евклидовом пространстве со скалярным произведением 
поверхность задана уравнением 
где 
и 
― внутренние координаты на поверхности; 
― дифференциал радиус-вектора 
вдоль выбранного направления смещения из точки 
в бесконечно близкую точку 
.
(Здесь 
и 
— частные производные радиус-вектора по и по соответственно.)
Тогда квадрат главной части приращения длины 
выражается квадратом дифференциала 
:
и называется первой квадратичной формой поверхности.
Коэффициенты первой квадратичной формы обычно обозначают через
или, в тензорных символах,
Тензор 
называется основным, или метрическим, тензором поверхности.
Свойства[править | править код]
- Первая квадратичная форма является положительно определенной формой в обыкновенных точках поверхности; в частности
См. также[править | править код]
- Вторая квадратичная форма
- Третья квадратичная форма
- Метрический тензор
Литература[править | править код]
- Мищенко А.С. Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0442-X.
- Топоногов В.А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.
- А. В. Чернавский. Дифференциальная геометрия, 2 курс.
Пусть S
– С1-гладкая
поверхность и
=
(u,
v)
– некоторая
её параметризация
Полный дифференциал
вектор-функции
(u,
v)
равен:
d
=
du
+
dv
Определение. Первой
квадратичной формой
поверхности S
называется квадрат полного дифференциала
d
вектор-функции
(u,
v):
d
=
du2
+ 2
dudv
+
dv2
Обозначения: d
= I,
= E,
= F,
= G
I
= Е
du2
+ 2F
dudv
+
G
dv2
– первая
квадратичная форма
Замечание.
Иногда первую квадратичную форму
поверхности называют её линейным
элементом.
Свойства первой
квадратичной формы
1. Первая
квадратичная форма поверхности является
положительно определенной.
Следует из
определения: I
= d
,
следовательно, I
– неотрицательна.
2. Первая
квадратичная форма не зависит от выбора
параметризации поверхности
Следует из
инвариантности первого дифференциала
(мат. анализ)
В ПДСК: Е
=
=
,
F
=
= xuxv
+ yuyv
+ zuzv;
G
=
=
.
Таким
образом, E,
F
и
G
зависят от точки поверхности.
Пример. S
– сфера
радиуса R
с центром в точке (a;
b;
c)
x
= a
+ R
cos u
cos v,
y
= b
+ R
sin u
cos v,
z
= c
+ R
sin v.
(–R
sin u
cos v;
R
cos u
cos v;
0)
(–R
cos u
sin v;
–R
sin u
sin v;
R
cos v)
E
=
= R2sin2u
cos2v
+ R2cos2u
cos2v
= R2
cos2v
F
=
= R2cos
u
sin u
cos v
sin v
– R2cos
u
sin u
cos v
sin v
= 0
G
=
= R2cos2u
sin2v
+ R2sin2u
sin2v
+ R2cos2v
= R2
I = R2cos2v
du2
+ R2
dv2
3.4.1. Угол между кривыми на поверхности
Пусть 1
и 2
– две гладкие линии на поверхности S,
проходящие через точку М.
Углом
между линиями 1
и 2
называют угол между касательными к этим
линиям в их общей точке М.
Замечание.
Обозначим через d
и
символы дифференцирования вдоль линий
1
и 2
соответственно. Тогда
и
– векторы касательных к линиям 1
и 2
в точке М.
=
du
+
dv
=
u
+
v
Угол
между 1
и 2
можно вычислить как угол между векторами
и
:
cos
=
=> cos
=
=
=
=>
cos
=
(*)
Пример. Найти
углы между кривыми v
= u2,
v
= 1, лежащими
на поверхности
x
= 5u
+ 4v,
y
= 4uv,
z
= 3v.
Найдем точки
пересечения кривых 1:
v
= u2
и 2:
v
= 1
u2
= 1
u
= 1 M1(1;
1), M2(–1;
1)
1:
v
= u2
и 2:
v
= 1
dv
= 2u
du
v
= 0
Найдем коэффициенты
I:
E,
F,
G
в точке М2:
(5;
4v;
0) = (5; 4; 0),
(4;
4u;
3) = (4; –4; 3)
E
=
= 25 + 16 = 41; F
=
= 5 · 4 – 4 · 4 + 0 · 3 = 4; G
=
= 16 + 16 + 9 = 41. Подставив
в (*), имеем: cos
2
=
=
=
=
=
3.4.2. Длина дуги кривой на поверхности
Пусть
– С
1-гладкая
кривая на С
1-гладкой
поверхности S,
и пусть u
= u(t),
v
= v(t)
(
t
)
– внутренние
уравнения дуги АВ
кривой
(значение t
=
соответствует
точке А,
t =
– точке В).
Если вектор-функция
задает поверхность S,
то вектор-функция
(t)
=
(u(t),
v(t))
(
t
)
задает
дугу АВ
в пространстве.
Длина дуги АВ
(обозначим
её через s)
вычисляется по формуле:
s
=
,
откуда: s
=
=
=
или
s
= 
Пример. Найти
длину дуги кривой u
=
av2
(а
0), заключенной между точками А(u =
0, v
= 0) и B(u
= 2a,
v
= 2) поверхности
x
=
(
cos
v
+ sin v),
y
=
(
sin v
–
– cos v),
z
= av
(0
u
< ,
0
v
< 2).
:
u
=
av2
x
=
(
cos
v
+ sin v) x
= u
cos(v
– /6)
du
= av
dv
y
=
(
sin v
– cos v)
или y
= u
sin(v
– /6)
z
= av z
= av
(cos(v
– /6);
sin(v
– /6);
0)
(–u
sin(v
– /6);
u
cos(v
– /6);
a)
E
= 1, F
= 0, G
= u2
+ a2
I = du2
+ (u2
+ a2)
dv2
= (a2v2
+
+ a2)
dv2
= a2
(
+ v2
+ 1) dv2
= a2(
)2
dv2
sAB
=
= (
+ av)
=
+ 2a
=
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Площадь поверхности
разделов
от теории до практики
примеров
Примеры решения задач
видео
Примеры решения задач
-
Первая квадратичная форма поверхности.
Начать изучение
-
Площадь простой поверхности.
Начать изучение
-
Площадь почти простой поверхности.
Начать изучение
Первая квадратичная форма поверхности.
Пусть простая поверхность задана векторным уравнением
$$
boldsymbol{r} = boldsymbol{r}(u, v), (u, v) in overline{Omega},label{ref1}
$$
где (Omega) плоская область.
Найдем скалярный квадрат вектора
$$
dboldsymbol{r} = boldsymbol{r}_{u}(u, v) du + boldsymbol{r}_{v}(u, v) dv.nonumber
$$
Полагая
$$
E = (boldsymbol{r}_{u}, boldsymbol{r}_{u}),quad F = (boldsymbol{r}_{u}, boldsymbol{r}_{v}),quad G = (boldsymbol{r}_{v}, boldsymbol{r}_{v}),label{ref2}
$$
получаем, что справедлива формула
$$
|dboldsymbol{r}|^{2} = (dboldsymbol{r}, dboldsymbol{r}) = E(u, v) du^{2} + 2F(u, v) du dv + G(u, v) dv^{2}.label{ref3}
$$
Выражение, стоящее в правой части равенства eqref{ref3}, называется первой квадратичной формой поверхности, числа (E), (F) и (G) называются коэффициентами первой квадратичной формы поверхности.
Лемма 1.
Первая квадратичная форма простой поверхности положительно определена, то есть (|dboldsymbol{r}|^{2} > 0), если ((du)^{2} + (dv)^{2} > 0).
Доказательство.
(circ) Так как
$$
(boldsymbol{a}, boldsymbol{b}) = |boldsymbol{a}| cdot |boldsymbol{b}| cos widehat{boldsymbol{ab}},quad |[boldsymbol{a}, boldsymbol{b}]| = |boldsymbol{a}| cdot |boldsymbol{b}| cdot |sin widehat{boldsymbol{ab}}|,nonumber
$$
то справедливо тождество
$$
|[boldsymbol{a}, boldsymbol{b}]|^{2} = |boldsymbol{a}|^{2} cdot |boldsymbol{b}|^{2}-|(boldsymbol{a}, boldsymbol{b})|^{2},nonumber
$$
Подставляя в это тождество (boldsymbol{a} = boldsymbol{r}_{u}), (boldsymbol{b} = boldsymbol{r}_{v}), и пользуясь тем, что в любой точке простой поверхности векторы (boldsymbol{r}_{u}) и (boldsymbol{r}_{v}) неколлинеарны, получаем
$$
|[boldsymbol{r}_{u}, boldsymbol{r}_{v}]|^{2} = EG-F^{2} > 0.nonumber
$$
Условия (E > 0), (G > 0), (EG-F^{2} > 0) достаточны для положительной определенности первой квадратичной формы поверхности. (bullet)
Говорят, что первая квадратичная форма задает на поверхности метрику. Зная коэффициенты первой квадратичной формы поверхности, можно вычислить длины кривых, лежащих на поверхности, определить площадь поверхности. Например, дифференциалы длин дуг координатных кривых, проходящих через точку (A(u, v)) поверхности, равны следующим величинам:
$$
ds_{1} = |boldsymbol{r}_{u}du| = sqrt{E}|du|,quad ds_{2} = |boldsymbol{r}_{v}dv| = sqrt{G}|dv|.label{ref4}
$$
Площадь простой поверхности.
Пусть простая поверхность задана уравнением eqref{ref1}. Рассмотрим на поверхности криволинейный параллелограмм, ограниченный координатными линиями (u), (u + Delta u), (v), (v + Delta v). Векторы (boldsymbol{r}_{u}(u, v)Delta u) и (boldsymbol{r}_{v}(u, v)Delta v) будут касательными к координатным линиям, проходящим через точку (A(u, v)) поверхности (рис. 53.1), а длины этих векторов в силу формул eqref{ref4} будут отличаться от длин сторон криволинейного параллелограмма на (o(Delta u)) и (o(Delta v)) соответственно при (Delta u rightarrow 0), (Delta v rightarrow 0). Поэтому естественно считать, что площадь криволинейного параллелограмма приближенно равна площади (dS) параллелограмма, построенного на векторах (boldsymbol{r}_{u} Delta u) и (boldsymbol{r}_{v} Delta v). Таким образом, при (Delta u > 0), (Delta v > 0).
$$
dS = |[boldsymbol{r}_{u}, boldsymbol{r}_{v}] Delta u Delta v| = sqrt{EG-F^{2}} du dv.label{ref5}
$$
Выражение eqref{ref5} называется элементом площади поверхности.
Определим формально площадь простой поверхности (Sigma) как следующий двойной интеграл (область (Omega) предполагается измеримой по Жордану):
$$
S(Sigma) = iintlimits_{Omega} |[boldsymbol{r}_{u}, boldsymbol{r}_{v}]| du dv = iintlimits_{Omega} sqrt{EG-F^{2}} du dv.label{ref6}
$$
Это определение оправдано приведенными выше эвристическими рассуждениями, а также перечисленными ниже свойствами площади поверхности.
Свойство 1.
Число (S(Sigma)) не зависит от способа параметризации поверхности.
Доказательство.
(circ) Пусть переход от параметрического уравнения eqref{ref1} к параметрическому уравнению
$$
boldsymbol{rho} = boldsymbol{rho}(u’, v’), (u’, v’) in Omega’,nonumber
$$
совершается при помощи взаимно однозначного и непрерывно дифференцируемого отображения области (Omega’) на область (Omega) с якобианом, не равным нулю. Тогда, воспользовавшись формулой отсюда и формулой замены переменных в двойном интеграле, получаем
$$
S(Sigma) = iintlimits_{Omega’} |[boldsymbol{rho}_{u’}, boldsymbol{rho}_{v’}]| du’ dv’ = iintlimits_{Omega’} |[boldsymbol{r}_{u}, boldsymbol{r}_{v}]| cdot left|frac{partial(u, v)}{partial(u’, v’)}right| du’ dv’ = iintlimits_{Omega} |[boldsymbol{r}_{u}, boldsymbol{r}_{v}]| du dv. bulletnonumber
$$
Свойство 2.
Если поверхность (Sigma) есть плоская измеримая по Жордану область (Omega), заданная уравнениями
$$
x = u, y = v, z = 0, (u, v) in Omega,nonumber
$$
то ее площадь, вычисленная при помощи формулы eqref{ref6}, совпадает с плоской мерой Жордана области (Omega).
Доказательство.
(circ) Так как
$$
boldsymbol{r} = (u, v, 0), boldsymbol{r}_{u} = (1, 0, 0), boldsymbol{r}_{v} = (0, 1, 0), E = G = 1,nonumber F = 0,
$$
то
$$
S(Sigma) = iintlimits_{Omega} |[boldsymbol{r}_{u}, boldsymbol{r}_{v}]| du dv = iintlimits_{Omega} du dv = m(Omega). bulletnonumber
$$
Свойство 3.
Выражение (S(Sigma)) аддитивно зависит от поверхности.
Доказательство.
(circ) Если область (Omega) гладкой перегородкой разбита на области (Omega_{1}) и (Omega_{2}), то и поверхность (Sigma) разобьется на простые поверхности (Sigma_{1}) и (Sigma_{2}). Из аддитивности двойного интеграла по области интегрирования следует, что
$$
S(Sigma) = S(Sigma_{1}) + S(Sigma_{2}). bulletnonumber
$$
Свойство 4.
Для поверхности, являющейся графиком непрерывно дифференцируемой функции на замыкании измеримой по Жордану области (Omega), формула eqref{ref6} для площади поверхности имеет следующий вид:
$$
S(Sigma) = iintlimits_{Omega} sqrt{1 + f_{x}^{2} + f_{y}^{2}} dx dy.label{ref7}
$$
Доказательство.
(circ) Действительно, так как
$$
boldsymbol{r} = (x, y, f(x, y)), boldsymbol{r}_{x} = (1, 0, f_{x}(x, y)), boldsymbol{r}_{y} = (0, 1, f_{y}(x, y)),nonumber
$$
то
$$
E = boldsymbol{r}_{x}^{2} = 1 + f_{x}^{2}, F = (boldsymbol{r}_{x}, boldsymbol{r}_{y}) = f_{x}f_{y}, G = boldsymbol{r}_{y}^{2} = 1 + f_{y}^{2},nonumber
$$
$$
EG-F^{2} = (1 + f_{x}^{2})(1 + f_{y}^{2})-f_{x}^{2}f_{y}^{2} = 1 + f_{x}^{2} + f_{y}^{2}. bulletnonumber
$$
Пример 1.
Найти площадь части сферы (x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}), вырезаемой из нее цилиндром (x^{2}-ax + y^{2} = 0) (см. рис. 48.10).
Решение.
(triangle) В силу симметрии достаточно ограничиться рассмотрением той части сферы, которая лежит в первом октанте. Цилиндр будет вырезать из нее множество точек, определяемое следующими неравенствами и равенствами:
$$
x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}, x^{2}-ax + y^{2} leq 0, x geq 0, y geq 0, z geq 0.label{ref8}
$$
Если перейти к сферическим координатам, полагая
$$
x = a cos psi cos varphi, y = a cos psi sin varphi, z =a sin psi,label{ref9}
$$
то система равенств и неравенств eqref{ref8} эквивалентна равенствам eqref{ref9} и неравенствам
$$
0 leq varphi leq psi leq frac{pi}{2},label{ref10}
$$
определяющим в плоскости параметров (varphi, psi) треугольную область (Omega) (рис. 53.2). Интересующая нас простая поверхность есть образ треугольной области (Omega) при отображении eqref{ref9}.
Вычислим коэффициенты первой квадратичной формы. Получаем
$$
boldsymbol{r} = (a cos psi cos varphi, a cos psi sin varphi, a sin psi),nonumber
$$
$$
boldsymbol{r}_{psi} = (-a sin psi cos varphi, -a sin psi sin varphi, a cos psi),nonumber
$$
$$
boldsymbol{r}_{varphi} = (-a cos psi sin varphi, a cos psi cos varphi, 0),nonumber
$$
$$
E = boldsymbol{r}_{psi}^{2} = a^{2}, F = (boldsymbol{r}_{varphi}, boldsymbol{r}_{psi}) = 0, G = boldsymbol{r}_{varphi}^{2} = a^{2} cos^{2} psi.nonumber
$$
Площадь части сферы (x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}), вырезаемой из нее цилиндром (x^{2}-ax + y^{2} = 0), равна
$$
S(Sigma) = 4 iintlimits_{Omega} sqrt{EG-F^{2}} dvarphi dpsi = 4 intlimits_{0}^{pi/2} dvarphi intlimits_{varphi}^{pi/2} a^{2} cos psi dpsi = 4a^{2} left(frac{pi}{2}-1right). blacktrianglenonumber
$$
Площадь почти простой поверхности.
Почти простая поверхность задается уравнением (boldsymbol{r} = boldsymbol{r}(u, v)), ((u, v) in overline{Omega}), где (Omega) — плоская область. По определению найдется последовательность ограниченных областей ({Omega_{n}}) такая, что (overline{Omega}_{n} subset Omega_{n + 1}), (displaystyleOmega = bigcup_{n=1}^{infty}Omega_{n}) а поверхности (Sigma_{n}), определяемые уравнениями (boldsymbol{r} = boldsymbol{r}(u, v)), ((u, v) in overline{Omega}), являются простыми. Предположим дополнительно, что области (Omega_{n}) измеримы по Жордану. Тогда под площадью (S(Sigma)) почти простой поверхности будем понимать (displaystylelim_{n rightarrow infty} S(Sigma_{n})).
Так как числовая последовательность (S(Sigma_{n})) монотонно возрастает, то она всегда имеет конечный или бесконечный предел
$$
S(Sigma) = lim_{n rightarrow infty} S(Sigma_{n}) = lim_{n rightarrow infty} iintlimits_{Omega_{n}} sqrt{EG-F^{2}} du dv = iintlimits_{Omega} sqrt{EG-F^{2}} du dv.label{ref11}
$$
Интеграл в формуле eqref{ref11} нужно понимать как несобственный. Если область (Omega) измерима по Жордану, а функция (sqrt{EG-F^{2}}) ограничена на (Omega), то интеграл в формуле eqref{ref11} будет двойным интегралом Римана.
Пример 2.
Найти площадь части боковой поверхности конуса (z^{2} = x^{2} + y^{2}), (z geq 0), вырезаемой из нее цилиндром (x^{2}-ax + y^{2} = 0).
Решение.
(triangle) Обозначим часть боковой поверхности конуса, вырезаемую из нее цилиндром, через (Sigma). Если перейти к цилиндрическим координатам, то (Sigma) будет почти простой поверхностью, определяемой параметрическими уравнениями
$$
x = r cos varphi, y = r sin varphi, z = r, (r, varphi) in Omega,nonumber
$$
$$
Omega = left{(r, varphi): r leq a cos varphi, -frac{pi}{2} leq varphi leq frac{pi}{2}right}.nonumber
$$
Найдем коэффициенты первой квадратичной формы этой поверхности:
$$
boldsymbol{r} = (r cos varphi, r sin varphi, r), boldsymbol{r}_{varphi} = (-r sin varphi, r cos varphi, 0),nonumber
$$
$$
boldsymbol{r}_{r} = (cos varphi, sin varphi, 1), E = boldsymbol{r}_{varphi}^{2} = r^{2}, F = 0, G = boldsymbol{r}_{r}^{2} = 2,nonumber
$$
$$
sqrt{EG-F^{2}} dr dvarphi = rsqrt{2} dr dvarphi.nonumber
$$
Применяя формулу eqref{ref11}, получаем
$$
S(Sigma) = iintlimits_{Omega} sqrt{2}r dr dvarphi = sqrt{2} intlimits_{-pi/2}^{pi/2} dvarphi intlimits_{0}^{a cos varphi} r dr = frac{pi a^{2} sqrt{2}}{4}. blacktrianglenonumber
$$
Если поверхность (Sigma) не является простой или почти простой, но может быть разрезана на конечное число простых кусков, то ее площадью называют сумму площадей всех простых кусков.
