Пифагорово число (пифагорова тройка) — комбинация из трёх целых чисел , удовлетворяющих соотношению Пифагора: .
Свойства
Поскольку уравнение однородно, при домножении , и на одно и то же число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким способом, то есть — взаимно простые числа.
Треугольник, стороны которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Кроме того, любой такой треугольник является героновым, т. е. таким, у которого все стороны и площадь являются целочисленными. Простейший из них — египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ().
Пифагорова тройка задаёт точку с рациональными координатами на единичной окружности .
Любая примитивная пифагорова тройка однозначно представляется в виде для некоторых натуральных, взаимно простых , имеющих разную чётность. Наоборот, любая такая пара задаёт примитивную пифагорову тройку.Шаблон:Источник?
Примеры
Некоторые пифагоровы тройки (отсортированы по возрастанию максимального числа, выделены примитивные):
(3, 4, 5),
(6, 8, 10),
(5, 12, 13),
(9, 12, 15),
(8, 15, 17),
(12, 16, 20),
(15, 20, 25),
(7, 24, 25),
(10, 24, 26),
(20, 21, 29),
(18, 24, 30),
(16, 30, 34),
(21, 28, 35),
(12, 35, 37),
(15, 36, 39),
(24, 32, 40),
(9, 40, 41),
(14, 48, 50),
(30, 40, 50)…
См. также
- Великая теорема Ферма
- Теорема Пифагора
be-x-old:Піфагорава тройка
bg:Питагоров триъгълник
da:Pythagoræiske tal
eo:Pitagora triopo
he:שלשה פיתגורית
hu:Pitagoraszi számhármasok
is:Pýþagórískur þríhyrningur
nl:Pythagorese drietallen
pl:Trójki pitagorejskie
scn:Terna pitagòrica
sl:Pitagorejska trojica
sv:Pythagoreisk trippel
Ещё примеры пифагоровых троек (где катеты меньше 1000, их 179):
3 4 5 9+16=25 5 12 13 25+144=169 7 24 25 49+576=625 8 15 17 64+225=289 9 40 41 81+1600=1681 11 60 61 121+3600=3721 12 35 37 144+1225=1369 13 84 85 169+7056=7225 15 112 113 225+12544=12769 16 63 65 256+3969=4225 17 144 145 289+20736=21025 19 180 181 361+32400=32761 20 21 29 400+441=841 20 99 101 400+9801=10201 21 220 221 441+48400=48841 23 264 265 529+69696=70225 24 143 145 576+20449=21025 25 312 313 625+97344=97969 27 364 365 729+132496=133225 28 45 53 784+2025=2809 28 195 197 784+38025=38809 29 420 421 841+176400=177241 31 480 481 961+230400=231361 32 255 257 1024+65025=66049 33 56 65 1089+3136=4225 33 544 545 1089+295936=297025 35 612 613 1225+374544=375769 36 77 85 1296+5929=7225 36 323 325 1296+104329=105625 37 684 685 1369+467856=469225 39 80 89 1521+6400=7921 39 760 761 1521+577600=579121 40 399 401 1600+159201=160801 41 840 841 1681+705600=707281 43 924 925 1849+853776=855625 44 117 125 1936+13689=15625 44 483 485 1936+233289=235225 48 55 73 2304+3025=5329 48 575 577 2304+330625=332929 51 140 149 2601+19600=22201 52 165 173 2704+27225=29929 52 675 677 2704+455625=458329 56 783 785 3136+613089=616225 57 176 185 3249+30976=34225 60 91 109 3600+8281=11881 60 221 229 3600+48841=52441 60 899 901 3600+808201=811801 65 72 97 4225+5184=9409 68 285 293 4624+81225=85849 69 260 269 4761+67600=72361 75 308 317 5625+94864=100489 76 357 365 5776+127449=133225 84 187 205 7056+34969=42025 84 437 445 7056+190969=198025 85 132 157 7225+17424=24649 87 416 425 7569+173056=180625 88 105 137 7744+11025=18769 92 525 533 8464+275625=284089 93 476 485 8649+226576=235225 95 168 193 9025+28224=37249 96 247 265 9216+61009=70225 100 621 629 10000+385641=395641 104 153 185 10816+23409=34225 105 208 233 11025+43264=54289 105 608 617 11025+369664=380689 108 725 733 11664+525625=537289 111 680 689 12321+462400=474721 115 252 277 13225+63504=76729 116 837 845 13456+700569=714025 119 120 169 14161+14400=28561 120 209 241 14400+43681=58081 120 391 409 14400+152881=167281 123 836 845 15129+698896=714025 124 957 965 15376+915849=931225 129 920 929 16641+846400=863041 132 475 493 17424+225625=243049 133 156 205 17689+24336=42025 135 352 377 18225+123904=142129 136 273 305 18496+74529=93025 140 171 221 19600+29241=48841 145 408 433 21025+166464=187489 152 345 377 23104+119025=142129 155 468 493 24025+219024=243049 156 667 685 24336+444889=469225 160 231 281 25600+53361=78961 161 240 289 25921+57600=83521 165 532 557 27225+283024=310249 168 425 457 28224+180625=208849 168 775 793 28224+600625=628849 175 288 337 30625+82944=113569 180 299 349 32400+89401=121801 184 513 545 33856+263169=297025 185 672 697 34225+451584=485809 189 340 389 35721+115600=151321 195 748 773 38025+559504=597529 200 609 641 40000+370881=410881 203 396 445 41209+156816=198025 204 253 325 41616+64009=105625 205 828 853 42025+685584=727609 207 224 305 42849+50176=93025 215 912 937 46225+831744=877969 216 713 745 46656+508369=555025 217 456 505 47089+207936=255025 220 459 509 48400+210681=259081 225 272 353 50625+73984=124609 228 325 397 51984+105625=157609 231 520 569 53361+270400=323761 232 825 857 53824+680625=734449 240 551 601 57600+303601=361201 248 945 977 61504+893025=954529 252 275 373 63504+75625=139129 259 660 709 67081+435600=502681 260 651 701 67600+423801=491401 261 380 461 68121+144400=212521 273 736 785 74529+541696=616225 276 493 565 76176+243049=319225 279 440 521 77841+193600=271441 280 351 449 78400+123201=201601 280 759 809 78400+576081=654481 287 816 865 82369+665856=748225 297 304 425 88209+92416=180625 300 589 661 90000+346921=436921 301 900 949 90601+810000=900601 308 435 533 94864+189225=284089 315 572 653 99225+327184=426409 315 988 1037 99225+976144=1075369 319 360 481 101761+129600=231361 320 999 1049 102400+998001=1100401 333 644 725 110889+414736=525625 336 377 505 112896+142129=255025 336 527 625 112896+277729=390625 341 420 541 116281+176400=292681 348 805 877 121104+648025=769129 364 627 725 132496+393129=525625 368 465 593 135424+216225=351649 369 800 881 136161+640000=776161 372 925 997 138384+855625=994009 385 552 673 148225+304704=452929 387 884 965 149769+781456=931225 396 403 565 156816+162409=319225 400 561 689 160000+314721=474721 407 624 745 165649+389376=555025 420 851 949 176400+724201=900601 429 460 629 184041+211600=395641 429 700 821 184041+490000=674041 432 665 793 186624+442225=628849 448 975 1073 200704+950625=1151329 451 780 901 203401+608400=811801 455 528 697 207025+278784=485809 464 777 905 215296+603729=819025 468 595 757 219024+354025=573049 473 864 985 223729+746496=970225 481 600 769 231361+360000=591361 495 952 1073 245025+906304=1151329 496 897 1025 246016+804609=1050625 504 703 865 254016+494209=748225 533 756 925 284089+571536=855625 540 629 829 291600+395641=687241 555 572 797 308025+327184=635209 559 840 1009 312481+705600=1018081 576 943 1105 331776+889249=1221025 580 741 941 336400+549081=885481 585 928 1097 342225+861184=1203409 615 728 953 378225+529984=908209 616 663 905 379456+439569=819025 620 861 1061 384400+741321=1125721 645 812 1037 416025+659344=1075369 660 779 1021 435600+606841=1042441 660 989 1189 435600+978121=1413721 696 697 985 484416+485809=970225 704 903 1145 495616+815409=1311025 705 992 1217 497025+984064=1481089 731 780 1069 534361+608400=1142761 744 817 1105 553536+667489=1221025 765 868 1157 585225+753424=1338649 799 960 1249 638401+921600=1560001 832 855 1193 692224+731025=1423249 884 987 1325 781456+974169=1755625 893 924 1285 797449+853776=1651225
Ссылки
Пифагоровы тройки чисел – Yaptro
МЕТОДИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ ПО КУРСУ ИНФОРМАТИКИ“ПРОГРАММИРОВАНИЕ НА ЯЗЫКЕ PASCAL” |
|
|
|
Теорема Пифагора: a2 + b2 = c2
Анимация простейшей пифагоровой тройки: 32 + 42 = 52
Пифаго́рова тро́йка — упорядоченный набор из трёх натуральных чисел удовлетворяющих следующему однородному квадратному уравнению
При этом числа, образующие пифагорову тройку, называются пифагоровыми числами. Названы в честь Пифагора Самосского, хотя открыты задолго до него.
Треугольник, длины сторон которого образуют пифагорову тройку, является прямоугольным и называется пифагоровым треугольником.
Примитивные тройки[править | править код]
Поскольку уравнение однородно, при умножении , и на одно и то же натуральное число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким способом из какой-то другой пифагоровой тройки, то есть если являются взаимно простыми числами. Другими словами, наибольший общий делитель примитивной пифагоровой тройки равен 1.
В примитивной тройке числа и имеют разную чётность, причём чётное делится на 4, а — всегда нечётно.
Любая примитивная пифагорова тройка , где — нечётно, а — чётно, однозначно представляется в виде для некоторых натуральных взаимно простых чисел разной чётности.
Эти числа можно вычислить по формулам
Наоборот, любая такая пара чисел задаёт примитивную пифагорову тройку [1].
Примеры[править | править код]
Диаграмма рассеяния катетов пифагоровых троек с катетами, не превышающими 6000. Отрицательные значения включены для демонстрации параболических узоров
Имеется 16 примитивных пифагоровых троек с :
(3, 4, 5) | (5, 12, 13) | (8, 15, 17) | (7, 24, 25) |
(20, 21, 29) | (12, 35, 37) | (9, 40, 41) | (28, 45, 53) |
(11, 60, 61) | (16, 63, 65) | (33, 56, 65) | (48, 55, 73) |
(13, 84, 85) | (36, 77, 85) | (39, 80, 89) | (65, 72, 97) |
Не все тройки с примитивны, например, (6, 8, 10) получается умножением на два тройки (3, 4, 5). Каждая из троек с небольшой гипотенузой образует хорошо различимую радиальную прямую из кратных ей троек на диаграмме рассеяния.
Примитивные тройки с :
(20, 99, 101) | (60, 91, 109) | (15, 112, 113) | (44, 117, 125) |
(88, 105, 137) | (17, 144, 145) | (24, 143, 145) | (51, 140, 149) |
(85, 132, 157) | (119, 120, 169) | (52, 165, 173) | (19, 180, 181) |
(57, 176, 185) | (104, 153, 185) | (95, 168, 193) | (28, 195, 197) |
(84, 187, 205) | (133, 156, 205) | (21, 220, 221) | (140, 171, 221) |
(60, 221, 229) | (105, 208, 233) | (120, 209, 241) | (32, 255, 257) |
(23, 264, 265) | (96, 247, 265) | (69, 260, 269) | (115, 252, 277) |
(160, 231, 281) | (161, 240, 289) | (68, 285, 293) |
Возможные значения в пифагоровых тройках образуют последовательность (последовательность A009003 в OEIS)
- 5, 10, 13, 15, 17, 20, 25, 26, 29, 30, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 45, 50, …
Основываясь на свойствах чисел Фибоначчи, можно образовывать из этих чисел, например, такие пифагоровы тройки:
История[править | править код]
Наиболее известной в развитых древних культурах была тройка (3, 4, 5), которая позволяла древним строить прямые углы. Витрувий считал эту тройку высшим достижением математики, а Платон — символом супружества, что говорит о большом значении, которое придавали древние тройке (3, 4, 5).
В архитектуре древнемесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.
Вавилонские математики умели вычислять пифагоровы тройки.
Вавилонская глиняная табличка, названная Plimpton 322, содержит пятнадцать пифагоровых троек (точнее пятнадцать пар чисел , таких что ).
Считается, что эта табличка была создана около 1800 года до н. э.[2]
Генерация троек[править | править код]
Примитивные пифагоровы тройки. Нечётный катет отложен на горизонтальной оси, а чётный катет — на вертикальной. Криволинейная сетка построена из кривых с постоянными величинами и в формуле Евклида
Диаграмма треугольников, полученных из формулы Евклида, показывающая часть конуса , константы или задают след параболы на конусе
Формула Евклида[3] является основным средством построения пифагоровых троек. Согласно ей для любой пары натуральных чисел и () целые числа
образуют пифагорову тройку. Тройки, образованные по формуле Евклида, примитивны тогда и только тогда, когда и взаимно просты и нечётно. Если и , и нечётны, то , и будут чётными и тройка не примитивна. Однако деление , и на 2 даёт примитивную тройку, если и взаимно просты[4].
Любая примитивная тройка получается из единственной пары взаимно простых чисел и , одно из которых чётно. Отсюда следует, что существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек.
Несмотря на то, что формула Евклида генерирует все примитивные тройки, она не порождает все тройки. При добавлении дополнительного параметра получается формула, порождающая все пифагоровы треугольники единственным образом:
где , и — натуральные числа, , нечётно, и взаимно просты.
То, что эти формулы образуют пифагоровы тройки, можно проверить путём подстановок в и проверки, что результат совпадает с . Поскольку любую пифагорову тройку можно разделить на некоторое , чтобы получить примитивную тройку, любая тройка может быть образована единственным образом с использованием и для создания примитивной тройки, а затем она умножается на .
Со времён Евклида было найдено множество формул для генерации троек.
Доказательство формул Евклида[править | править код]
Тот факт, что числа , , , удовлетворяющие формуле Евклида, всегда составляют пифагоров треугольник, очевиден для положительных целых и , , поскольку после подстановки в формулы , и будут положительными числами, а также из того, что выполняется
Обратное утверждение, что , , выражаются формулой Евклида для любой пифагоровой тройки, вытекает из следующего[5]. Все такие тройки можно записать в виде (, , ), где , и , , являются взаимно простыми, а и имеют противоположную чётность (одно из них чётно, другое нечётно). (Если имеет ту же самую чётность с обоими катетами, то в случае их чётности они не будут взаимно простыми, а в случае нечётности даст чётное число, и оно не может быть равно нечётному .) Из мы получаем , а следовательно, . Тогда . Поскольку является рациональным, мы представим его в виде несократимой дроби . Мы отсюда же получаем, что дробь равна . Решая уравнения
относительно и , получим
Поскольку и несократимы по предположению, числители и знаменатели будут равными тогда и только тогда, когда правые части каждого равенства несократимы. Как мы условились, дробь тоже несократима, откуда следует, что и взаимно просты. Правые части будут несократимы тогда и только тогда, когда и имеют противоположную чётность, так что числитель не делится на 2. (А и должны иметь противоположную чётность — оба не могут быть чётными ввиду несократимости, а в случае нечётности обоих чисел деление на 2 даст дробь, в числителе и знаменателе которой будут нечётные числа, но эта дробь равна , в которой числитель и знаменатель будут иметь различную чётность, что противоречит предположению.) Теперь, приравнивая числители и знаменатели, получим формулу Евклида , , с и взаимно простыми и имеющими различную чётность.
Более длинное, но и более общепринятое доказательство приведено в книгах Маора (Maor, 2007)[6] и Серпинского[7].
Интерпретация параметров в формуле Евклида[править | править код]
Пусть стороны пифагорова треугольника равны , и . Обозначим угол между катетом и гипотенузой буквой . Тогда[8]
Элементарные свойства примитивных пифагоровых троек[править | править код]
Свойства примитивной пифагоровой тройки (a, b, c), где a < b < c (без указания чётности чисел a или b):
- всегда является полным квадратом[9]. Это особенно полезно для проверки, является ли заданная тройка чисел пифагоровой, хотя это и не является достаточным условием. Тройка (6, 12, 18) проходит этот тест, поскольку (c − a)(c − b)/2 является полным квадратом, но эта тройка не является пифагоровой. Если тройка чисел a, b и c образует пифагорову тройку, то число (c минус чётный катет) и половина числа (c минус нечётный катет) являются полными квадратами, однако это не является достаточным условием, и тройка (1, 8, 9) является контрпримером, поскольку 12 + 82 ≠ 92.
- Максимум одно из чисел a, b и c является квадратом[10].
- Площадь пифагорова треугольника не может быть квадратом[11] или удвоенным квадратом[12] натурального числа.
- В точности одно из чисел a и b нечётно, c всегда нечётно[13].
- В точности одно из чисел a и b делится на 3.[14]
- В точности одно из чисел a и b делится на 4.[7]
- В точности одно из чисел a, b и c делится на 5.[7]
- Максимальное число, которое всегда делит произведение abc, равно 60.[15]
- Все простые множители c являются простыми вида 4n + 1[16]. Таким образом, c имеет вид 4n + 1.
- Число (b − a) является произведением простых чисел вида 8n ± 1, то есть не имеет таких сомножителей, как 2, 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 43, 53, 59, 61, 67, 83, 101, …
- Площадь (K = ab/2) является чётным конгруэнтным числом[17].
- В любой пифагоровой тройке радиус вписанной окружности и радиусы трёх вневписанных окружностей являются натуральными числами. В частности, для примитивной тройки радиус вписанной окружности равен r = n(m − n), а радиусы вневписанных окружностей, касающихся катетов m2 − n2, 2mn, и гипотенузы m2 + n2 равны соответственно m(m − n), n(m + n) и m(m + n)[18].
- Как и для любого прямоугольного треугольника, обратное утверждение к теореме Фалеса гласит, что диаметр описанной окружности равен гипотенузе. Поскольку для примитивных троек диаметр равен √m2 + n2, радиус описанной окружности является половиной этого числа и это число рациональное, но не целое (поскольку m и n имеют разную чётность).
- Если площадь пифагорова треугольника умножить на кривизны вписанной окружности и трёх вневписанных, в результате получим четыре положительных целых w > x > y > z соответственно. Эти числа w, x, y, z удовлетворяют уравнению декартовых окружностей[19]. Эквивалентно, радиус внешней окружности Содди[en] любого прямоугольного треугольника равен его полупериметру. Внешний центр Содди расположен в точке D, где ACBD — прямоугольник, ACB — прямоугольный треугольник, а AB — его гипотенуза.[20]
- Не существует пифагоровых троек, для которых гипотенуза и один из катетов являются катетами другой пифагоровой тройки. Это одна из формулировок теоремы Ферма о прямоугольном треугольнике[21].
- Каждый примитивный пифагоров треугольник имеет уникальное отношение площади к квадрату полупериметра (то есть отношения для различных примитивных треугольников различны), и это отношение равно[22]
- Ни в каком примитивном пифагоровом треугольнике высота, опирающаяся на гипотенузу, не выражается целым числом, а потому он не может быть разбит на два пифагоровых треугольника.[23]
Кроме того, могут существовать специальные пифагоровы тройки с некоторыми дополнительными свойствами:
- Любое целое, большее 2, которое не сравнимо с 2 по модулю 4[en] (другими словами, если оно больше 2 и не имеет вид 4n + 2) является частью примитивной пифагоровой тройки.
- Любое целое число, большее 2, входит в примитивную или непримитивную пифагорову тройку. Например, числа 6, 10, 14 и 18 не содержатся ни в какой примитивной тройке, но входят в тройки 6, 8, 10; 14, 48, 50 и 18, 80, 82.
- Существует бесконечно много пифагоровых троек, в которых гипотенуза и больший из катетов отличаются ровно на единицу (такие тройки заведомо примитивны). Один из способов получения таких троек — равенство (2n + 1)2 + [2n(n + 1)]2 = [2n(n + 1) + 1]2, приводящее к тройкам (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), и т. д. Более общее утверждение: для любого нечётного целого j существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и чётный катет отличаются на j2.
- Существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и больший по длине катет отличается ровно на два. Обобщение: Для любого целого k > 0, существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и нечётный катет отличаются на 2k2.
- Существует бесконечно много пифагоровых троек, в которых два катета отличаются ровно на единицу. Например, 202 + 212 = 292.
- Для любого натурального n существует n пифагоровых троек с различными гипотенузами и одной и той же площадью.
- Для любого натурального n существует по меньшей мере n различных пифагоровых троек с одним и тем же катетом a, где a — некоторое натуральное число
- Для любого натурального n существует по меньшей мере n различных пифагоровых троек с одной и той же гипотенузой.[24]
- Существует бесконечно много пифагоровых троек, у которых квадратами являются гипотенуза c и сумма катетов a + b. В наименьшей такой тройке[25] a = 4 565 486 027 761; b = 1 061 652 293 520; c = 4 687 298 610 289. Здесь a + b = 2 372 1592 и c = 2 165 0172. В формуле Евклида эти значения соответствуют m = 2 150 905 и n = 246 792.
- Существуют пифагоровы треугольники с целой высотой, опирающейся на гипотенузу. Такие треугольники известны как разбиваемые, поскольку их можно разбить этой высотой на два меньших пифагоровых треугольника. Ни один из разбиваемых треугольников не образован примитивной тройкой[26].
- Множество всех примитивных пифагоровых треугольников образует корневое тернарное дерево[en] естественным способом, см. Дерево примитивных пифагоровых троек.
Неизвестно, существуют ли две различные пифагоровы тройки с одинаковым произведением входящих в них чисел[27].
Геометрия формулы Евклида[править | править код]
3, 4, 5 отображается в точку (4/5, 3/5) единичной окружности
Формулу Евклида для пифагоровой тройки
можно понять в терминах геометрии рациональных точек на единичной окружности [28]. Пусть имеется треугольник с катетами a и b и гипотенузой c, где a, b и c — положительные целые. По теореме Пифагора a2 + b2 = c2, а после деления обеих сторон на c2
Геометрически, точка на декартовой плоскости с координатами
лежит на единичной окружности x2 + y2 = 1.
В этом уравнении координаты x и y задаются рациональными числами. И обратно, любая точка на окружности с рациональными координатами x и y даёт примитивную пифагорову тройку. В самом деле, запишем x и y как несократимые дроби:
где наибольший общий делитель чисел a, b и c равен 1. Поскольку точка с координатами x и y лежит на единичной окружности, то
что и требовалось доказать.
Стереографическая проекция единичной окружности на ось
x. Если задана точка
P на единичной окружности, проведём прямую из точки
P в точку N = (0, 1) (северный полюс). Прямая пересекает ось
x в точке
P′, которая является стереографической проекцией точки
P. И наоборот, начав с точки
P′ на оси
x, проводим прямую, проходящую через
P′ и
N, и обратная стереографическая проекция — это точка
P, в которой прямая пересекает окружность
Таким образом, существует соответствие между точками с рациональными координатами на единичной окружности[en] и примитивными пифагоровыми треугольниками. Исходя из этого, формулы Евклида можно получить методами тригонометрии или с использованием стереографической проекции.
Для применения стереографического подхода предположим, что P′ является точкой на оси x с рациональными координатами
Тогда с помощью алгебраических вычислений можно показать, что точка P имеет координаты
Таким образом, получаем, что любая рациональная точка[en] оси x соответствует рациональной точке единичной окружности. И обратно, пусть P(x, y) — точка единичной окружности с рациональными координатами x и y. Тогда стереографическая проекция P′ на ось x имеет рациональные координаты
В терминах алгебраической геометрии алгебраическое многообразие рациональных точек единичной окружности является бирациональным к аффинной прямой над рациональными числами. Единичная окружность тогда называется рациональной кривой. Соответствие рациональных точек прямой и окружности даёт возможность дать явную параметризацию (рациональных) точек на окружности с помощью рациональных функций.
Группа пифагоровых троек[править | править код]
Любая рациональная точка на единичной окружности соответствует пифагоровой тройке (a, b, c), точнее — обобщённой пифагоровой тройке, так как a и b могут быть нулевыми и отрицательными.
Пусть даны два пифагоровых треугольников (a1, b1, c1) и (a2, b2, c2) с углами α и β.
Можно построить треугольники с углами α ± β, используя формулы сложения углов:
Эти прямоугольные треугольники тоже будут целочисленными, то есть пифагоровыми. Можно ввести операцию над тройками, используя вышеприведённые формулы. Эта операция будет коммутативной и ассоциативной, то есть обобщённые пифагоровы тройки образуют абелеву группу[29].
Пифагоровы тройки на двумерной решётке[править | править код]
Двумерная решётка — это набор изолированных точек, в котором, если выбрать одну точку в качестве начала координат (0, 0), все другие точки имеют координаты (x, y), где x и y пробегают все положительные и отрицательные целые числа. Любую пифагорову тройку (a, b, c) можно нарисовать на двумерной решётке как точки с координатами (a, 0) и (0, b). По теореме Пика число точек решётки, лежащих строго внутри треугольника, задаётся формулой [30]. Для примитивных пифагоровых троек число точек решётки равно , и это сравнимо с площадью треугольника
Интересно, что первый случай совпадения площадей примитивных пифагоровых троек появляется на тройках (20, 21, 29), (12, 35, 37) с площадью 210[31]. Первое же появление примитивных пифагоровых троек с одинаковым числом точек решётки появляется лишь на (18 108, 252 685, 253 333), (28 077, 162 964, 165 365) с числом точек 2 287 674 594[32]. Найдены три примитивные пифагоровы тройки с одинаковыми площадями (4485, 5852, 7373), (3059, 8580, 9109), (1380, 19 019, 19 069) и площадью 13 123 110. Тем не менее ни одной тройки примитивных пифагоровых троек с одинаковым числом точек решётки пока не найдено.
Спиноры и модулярная группа[править | править код]
Пифагоровы тройки можно представить в виде матриц вида
Матрица этого вида симметрична. Кроме того, её определитель
равен нулю в точности тогда, когда (a, b, c) является пифагоровой тройкой. Если X соответствует пифагоровой тройке, то она должна иметь ранг 1.
Поскольку X симметрична, из линейной алгебры известно, что существует вектор ξ = [m n]T, такой, что для внешнего произведения выполняется
- (1)
где T означает транспонирование. Вектор ξ называется спинором (для группы Лоренца SO(1, 2). В абстрактных терминах формула Евклида означает, что каждая примитивная пифагорова тройка может быть записана как внешнее произведение на себя спинора с целыми элементами, как в формуле (1).
Модулярная группа Γ — это множество матриц 2 × 2 с целыми элементами
и определителем, равным единице: αδ − βγ = 1. Это множество образует группу, поскольку обратная к матрице из Γ является снова матрицей из Γ, как и произведение двух матриц из Γ. Модулярная группа действует на множество всех целых спиноров. Более того, группа транзитивна на множестве целых спиноров со взаимно простыми элементами. Если [m n]T содержит взаимно простые элементы, то
где u и v выбраны (с помощью алгоритма Евклида) так, что mu + nv = 1.
Действуя на спинор ξ в (1), действие в Γ переходит в действие над пифагоровыми тройками, позволяя при этом тройки с отрицательными значениями. Если A — матрица в Γ, то
- (2)
даёт начало действиям на матрицу X в (1). Это не даёт хорошо определённое действие на примитивные тройки, поскольку оно может переводить примитивную тройку в непримитивную. В этом месте принято (следуя Траутману[28]) называть тройку (a, b, c) стандартной, если c > 0 и либо (a, b, c) взаимно просты, либо (a/2, b/2, c/2) взаимно просты и a/2 нечётно. Если спинор [m n]T имеет взаимно простые элементы, то связанная тройка (a, b, c), задаваемая формулой (1), является стандартной тройкой. Отсюда следует, что действие модулярной группы транзитивно на множестве стандартных троек.
Альтернативно, ограничимся теми значениями m и n, для которых m нечётно, а n чётно. Пусть подгруппа Γ(2) группы Γ — ядро гомоморфизма
где SL(2, Z2) — специальная линейная группа над конечным полем Z2 целых по модулю 2. Тогда Γ(2) является группой унимодулярных преобразований, которая сохраняет чётность каждого элемента. Таким образом, если элемент вектора ξ нечётный, а второй чётный, то то же самое верно для Aξ для всех A ∈ Γ(2). Фактически под действием (2) группа Γ(2) действует транзитивно на множество примитивных пифагоровых троек[33].
Группа Γ(2) является свободной группой, генераторами которой являются матрицы
Поэтому любая примитивная пифагорова тройка может быть получена единственным образом как произведение копий матриц U и L.
Отношения «родитель — потомок»[править | править код]
Как показал Берггрен[34], все примитивные пифагоровы тройки могут быть получены из треугольника (3, 4, 5) с использованием трёх линейных преобразований T1, T2, T3, где a, b, c являются сторонами тройки:
новая сторона a | новая сторона b | новая сторона c | |
T1: | a − 2b + 2c | 2a − b + 2c | 2a − 2b + 3c |
T2: | a + 2b + 2c | 2a + b + 2c | 2a + 2b + 3c |
T3: | −a + 2b + 2c | −2a + b + 2c | −2a + 2b + 3c |
Если начать с 3, 4, 5, то все другие примитивные тройки, в конечном счёте, будут получены. Другими словами, любая примитивная тройка будет «родителем» 3 дополнительным примитивным тройкам.
Если начать с a = 3, b = 4 и c = 5, то следующим поколением троек будет
новая сторона a | новая сторона b | новая сторона c |
3 − (2×4) + (2×5) = 5 | (2×3) − 4 + (2×5) = 12 | (2×3) − (2×4) + (3×5) = 13 |
3 + (2×4) + (2×5) = 21 | (2×3) + 4 + (2×5) = 20 | (2×3) + (2×4) + (3×5) = 29 |
−3 + (2×4) + (2×5) = 15 | −(2×3) + 4 + (2×5) = 8 | −(2×3) + (2×4) + (3×5) = 17 |
Линейные преобразования T1, T2 и T3 имеют геометрическую интерпретацию на языке квадратичных форм. Они тесно связаны (но не эквивалентны) с отражениями, генерируемыми ортогональной группой x2 + y2 − z2 над целыми числами. Другое множество трёх линейных преобразований обсуждается в статье Генерация пифагоровых троек с помощью матриц и линейных преобразований[en][35].
Связь с гауссовыми целыми числами[править | править код]
Формулы Евклида могут быть проанализированы и доказаны с помощью гауссовых целых чисел[36]. Гауссовы целые — это комплексные числа вида α = u + vi, где u и v обычные целые числа, а i — корень из минус единицы. Единицы гауссовых целых — это ±1 и ±i. Обычные целые называются целыми и обозначаются Z. Гауссовы целые обозначаются Z[i]. Правая часть теоремы Пифагора можно разложить на гауссовы целые:
Примитивная пифагорова тройка — это тройка, в которой a и b взаимно просты, то есть не имеют общих простых делителей. Для таких троек либо a, либо b чётно, а второе нечётно. Отсюда следует, что c также нечётно.
Каждое из двух множителей z = a + bi и z* = a — bi примитивной пифагоровой тройки равно квадрату гауссового целого. Это можно доказать с помощью свойства, что любое гауссово целое можно единственным образом разложить на гауссовы простые с точностью до единицы[37]. (Единственность разложения, грубо говоря, следует из того, что для них можно определить версию алгоритма Евклида) Доказательство имеет три шага. Сначала доказывается, что если a и b не имеют простых чисел в целых числах, то они не имеют простых общих множителей в гауссовых целых. Отсюда следует, что z и z* не имеют общих простых множителей в гауссовых целых. И наконец, поскольку c2 является квадратом, любое гауссово простое в разложении повторяется дважды. Поскольку z и z* не имеют общих простых множителей, это удвоение верно и для них. Следовательно, z и z* являются квадратами.
Таким образом, первый множитель можно записать в виде
Вещественные и мнимые части этого уравнения дают две формулы:
Для любой примитивной пифагоровой тройки должны существовать целые m и n, такие что эти два равенства выполняются. Отсюда, любая пифагорова тройка может быть получена путём выбора этих целых.
Как полный квадрат гауссовых целых[править | править код]
Если взять квадрат гауссового целого, мы получим следующую интерпретацию формул Евклида как представление полного квадрата гауссовых целых.
Если использовать факт, что гауссовы целые являются евклидовой областью и то, что для гауссовых целых p квадрат модуля всегда является полным квадратом, можно показать, что пифагоровы тройки соответствуют квадратам простых гауссовых целых, если гипотенуза является простым числом.
Распределение троек[править | править код]
Имеется множество результатов относительно распределения пифагоровых троек. В диаграмме рассеяния проявляются некоторые очевидные закономерности. Если катеты (a, b) примитивной тройки появляются на диаграмме, то и все произведения на целое число этих катетов должны также быть на диаграмме, и это свойство объясняет появление на диаграмме радиальных прямых из начала координат.
На диаграмме наблюдаются множества парабол с высокой плотностью точек, имеющих фокусы в начале координат. Параболы отражаются от осей с углом 45 градусов, и в той же точке третья парабола подходит к оси перпендикулярно.
Эти узоры можно объяснить следующим образом. Если натуральное число, то (a, , ) является пифагоровой тройкой. (Фактически, любая пифагорова тройка (a, b, c) может быть записана таким образом с целым n, возможно, после обмена a и b местами, поскольку и a, b не могут быть одновременно нечётными.) Пифагоровы тройки лежат тогда на кривых, заданных уравнениями . Таким образом, параболы отражаются от оси a, а соответствующие кривые с a и b меняются местами. Если a меняется при заданном n (то есть на выбранной параболе), целые значения b появляются относительно часто, если n является квадратом или произведением квадрата на небольшое число. Если некоторые такие значения лежат близко друг от друга, соответствующие параболы почти совпадают и тройки образуют узкую параболическую ленту. Например, 382 = 1444, 2 × 272 = 1458, 3 × 222 = 1452, 5 × 172 = 1445 и 10 × 122 = 1440. Соответствующая параболическая лента около n ≈ 1450 чётко видна на диаграмме рассеяния.
Угловые свойства, описанные выше следуют немедленно из функционального вида парабол. Параболы отражаются от оси a в точке a = 2n и производная b по a в этой точке равна −1. Таким образом, угол наклона равен 45°.
Поскольку кластеры, как и треугольники, повторяются при умножении на целую константу, значение 2n тоже принадлежит кластеру. Соответствующая парабола пересекает ось b под прямым углом в точке b = 2n, а потому является симметричным отражением параболы, которая получается обменом переменных a и b и которая пересекает ось a под прямым углом в точке a = 2n.
Альберт Фесслер (Albert Fässler) и др. показали значимость этих парабол в контексте конформных отображений[38][39].
Специальные случаи[править | править код]
Последовательность Платона[править | править код]
Случай n = 1 общей конструкции пифагоровых троек известен давно. Прокл, в своём комментарии к 47-му утверждению в первой книге Начал Евклида, описывает это следующим образом:
Некоторые методы получения таких треугольников этого вида легко получить, один из них принадлежит Платону, другой — Пифагору. (Последний) начал с нечётных чисел. Для этого он выбрал нечётное число в качестве меньшего из катетов. Затем он возвёл его в квадрат, вычел единицу и половину этой разницы использовал как второй катет. Наконец, он добавил единицу к этому катету и получил гипотенузу.
…Метод Платона работает с чётными числами. Он использует заданное чётное число в качестве одного из катетов. Половина этого числа возводится в квадрат и добавляется единица, что даёт гипотенузу, а вычитание единицы даёт второй катет. … И это даёт тот же треугольник, что и другой метод.
В виде уравнений:
Можно показать, что все пифагоровы тройки получаются из последовательности Платона (x, y, z) = p, (p2 − 1)/2 и (p2 + 1)/2, если позволить p принимать нецелые (рациональные) значения. Если в этой последовательности p заменить рациональной дробью m/n, получим ‘стандартный’ генератор троек 2mn, m2 − n2 и m2 + n2. Отсюда следует, что любой тройке соответствует рациональное значение p, которое можно использовать для получения подобного треугольника с рациональными сторонами, пропорциональными сторонам исходного треугольника. Например, платоновым эквивалентом тройке (6, 8, 10) будет (3/2; 2, 5/2).
Уравнение Якоби — Маддена[править | править код]
Уравнение
эквивалентно специальной диофантовой тройке
Существует бесконечное число решений этого уравнения, которые можно получить используя эллиптическую кривую. Два из этих решений:
Равные суммы двух квадратов[править | править код]
Один из способов генерации решений для — параметризовать a, b, c, d в терминах натуральных чисел m, n, p, q следующим образом:[40]
Равные суммы двух четвёртых степеней[править | править код]
Если даны два набора пифагоровых троек:
то задача поиска равных произведений катета и гипотенузы
как легко видеть, эквивалентна уравнению
то есть
для которого Эйлер получил решение . Поскольку он показал, что эта точка является рациональной точкой эллиптической кривой, то существует бесконечное число решений. Фактически, он также нашёл полиномиальную параметризацию 7-й степени.
Теорема Декарта об окружностях[править | править код]
В случае теоремы Декарта[en], когда все переменные являются квадратами,
Эйлер показал, что это эквивалентно трём пифагоровым тройкам:
Здесь тоже существует бесконечное число решений, а для специального случая уравнение упрощается до
которое имеет решение с небольшими числами и может быть решено как бинарная квадратичная форма[en].
Почти равнобедренные пифагоровы тройки[править | править код]
Имеются прямоугольные треугольники[en] с целыми сторонами, у которых длины катетов отличаются на единицу, например:
и бесконечное число других. Для них можно вывести общую формулу
где (x, y) являются решениями уравнения Пелля .
В случае, когда катет и гипотенуза отличаются на единицу, как в случаях
общим решением будет
откуда видно, что все нечётные числа (большие 1) появляются в примитивных пифагоровых тройках.
Обобщения[править | править код]
Имеется несколько вариантов обобщения концепции пифагоровых троек.
Пифагоровы четвёрки[править | править код]
Множество из четырёх натуральных чисел a, b, c и d, таких, что a2 + b2+ c2 = d2 называется пифагоровой четвёркой. Простейший пример — (1, 2, 2, 3), поскольку 12 + 22 + 22 = 32.
Следующий (примитивный) простейший пример — (2, 3, 6, 7), поскольку 22 + 32 + 62 = 72.
Все четвёрки задаются формулой
Пифагоровы n-наборы[править | править код]
Используя простое алгебраическое тождество
для произвольных x0, x1, просто доказать, что квадрат суммы n квадратов сам является суммой n квадратов, для чего положим x0 = x22 + x32 + … + xn2 и раскроем скобки[41]. Можно легко видеть, что пифагоровы тройки и четвёрки являются просто частными случаями x0 = x22 и x0 = x22 + x32 соответственно, что можно продолжать для других n, используя формулу для пятёрки квадратов
Поскольку сумма F(k,m) k последовательных квадратов, начиная с m2, задаётся формулой[42]
можно найти значения (k, m) такие, что F(k,m) является квадратом. Так, Хиршхорн нашёл формулу для последовательностей, в которых число членов само является квадратом[43],
и v ⩾ 5 есть любое натуральное число, не делящееся на 2 или 3. Наименьшее значение v = 5, откуда k = 25, что даёт хорошо известное значение из задачи Люка складирования пушечных ядер:
факт, который связан с решёткой Лича.
Кроме того, если в пифагоровом n-наборе (n ⩾ 4) все слагаемые являются последовательными натуральными числами, за исключением последнего, можно использовать равенство[44]
Поскольку вторая степень p сокращается, остаётся линейное уравнение, которое легко решается , хотя k и m следует выбрать так, чтобы p был целым, и пример получаем при k = 5 и m = 1:
Таким образом, получаем метод генерации пифагоровых n-наборов путём подбора x[45]:
где q = n − 2 и
Великая теорема Ферма[править | править код]
Обобщением концепции пифагоровых троек служит поиск троек натуральных чисел a, b и c, таких, что an + bn = cn для некоторого n, большего 2. Пьер Ферма в 1637 году высказал утверждение, что таких троек не существует, и это утверждение стало известно как Великая теорема Ферма, поскольку её доказательство или опровержение отняло много больше времени, чем любая другая гипотеза Ферма. Первое доказательство было дано Уайлсом в 1994 году.
n — 1 или n n-х степеней как n-я степень[править | править код]
Другим обобщением является поиск последовательностей из n + 1 натуральных чисел, для которых n-я степень последнего члена последовательности равна сумме n-х степеней предыдущих членов. Наименьшие последовательности для известных значений n:
- n = 3: {3, 4, 5; 6}.
- n = 4: {30, 120, 272, 315; 353}
- n = 5: {19, 43, 46, 47, 67; 72}
- n = 7: {127, 258, 266, 413, 430, 439, 525; 568}
- n = 8: {90, 223, 478, 524, 748, 1088, 1190, 1324; 1409}
В слегка отличном обобщении сумма (k + 1) n-х степеней приравнивается сумме (n − k) n-х степеней. Например:
- (n = 3): 13 + 123 = 93 + 103. Пример стал известным после воспоминаний Харди о разговоре с Рамануджаном о числе 1729, которое является наименьшим числом, которое можно представить в виде суммы двух кубов двумя различными способами.
Может существовать также n − 1 n-х степеней натуральных чисел, дающих в сумме n-ю степень натурального числа (хотя, согласно великой теореме Ферма, не для n = 3). Эти последовательности являются контрпримерами гипотезе Эйлера. Наименьшие известные контрпримеры[46][47]
- n = 4: (95800, 217519, 414560; 422481)
- n = 5: (27, 84, 110, 133; 144)
Тройки треугольника Герона[править | править код]
Треугольник Герона обычно определяется как треугольник с целыми сторонами, площадь которого тоже целое число, и мы будем полагать, что стороны треугольника различны. Длины сторон такого треугольника образуют тройку Герона (a, b, c), где a < b < c.
Ясно, что пифагоровы тройки являются тройками Герона, поскольку в пифагоровой тройке по меньшей мере один из катетов a и b является чётным числом, так что площадь треугольника ab/2 будет целым числом. Не всякая тройка Герона является пифагоровой, поскольку, например, тройка (4, 13, 15) с площадью 24 не пифагорова.
Если (a, b, c) является тройкой Герона, то таковой будет и (ma, mb, mc) при любом натуральном m, большим единицы.
Тройка Герона (a, b, c) примитивна, если a, b и c попарно взаимно просты (как и в случае пифагоровых троек). Ниже приведено несколько троек Герона, не являющихся пифагоровыми:
- (4, 13, 15) с площадью 24,
- (3, 25, 26) с площадью 36,
- (7, 15, 20) с площадью 42,
- (6, 25, 29) с площадью 60,
- (11, 13, 20) с площадью 66,
- (13, 14, 15) с площадью 84,
- (13, 20, 21) с площадью 126.
По формуле Герона, чтобы тройка натуральных чисел (a, b, c) с a < b < c была тройкой Герона, необходимо, чтобы
- (a2 + b2 + c2)2 − 2 (a4 + b4 + c4)
или, что то же самое,
- 2 (a2b2 + a2c2 + b2c2) − (a4 + b4 + c4)
было ненулевым полным квадратом, делящимся на 16.
Использование[править | править код]
Примитивные пифагоровы тройки используются в криптографии в качестве случайных последовательностей и для генерации ключей[48].
См. также[править | править код]
- Геронов треугольник
- Диофант II.VIII[en]
- Египетский треугольник
- Негипотенузное число
- Пифагорова четвёрка
- Простое число Пифагора
- Прямоугольный треугольник
- Сравнение по модулю
- Совершенный кубоид
- Теорема Пифагора
- Теорема Гильберта 90
- Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике
- Тригонометрические тождества
- Тройка Эйзенштейна
- Формула тангенса половинного угла
- Целочисленный треугольник
Примечания[править | править код]
- ↑ В. Серпинский. Пифагоровы треугольники. — М.: Учпедгиз, 1959. — 111 с.
- ↑ Robson, Eleanor (February 2002), Words and pictures: new light on Plimpton 322, American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) . — Т. 109 (2): 105–120, doi:10.2307/2695324, <http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Robson105-120.pdf> Архивная копия от 10 августа 2017 на Wayback Machine
- ↑ D. E. Joyce. Euclid’s Elements. — Clark University, June 1997. — С. Book X, Proposition XXIX.
- ↑ Douglas W. Mitchell. An Alternative Characterisation of All Primitive Pythagorean Triples // The Mathematical Gazette. — July 2001. — Т. 85, вып. 503. — С. 273–5. — JSTOR 3622017.
- ↑ Raymond A. Beauregard, E. R. Suryanarayan. Proofs Without Words: More Exercises in Visual Thinking / Roger B. Nelsen. — Mathematical Association of America, 2000. — Т. II. — С. 120. — ISBN 978-0-88385-721-2.
- ↑ Eli Maor. The Pythagorean Theorem. — Princeton University Press, 2007. — С. Appendix B.
- ↑ 1 2 3 Sierpinski, 2003.
- ↑ Houston, 1993, с. 141.
- ↑ Posamentier, 2010, с. 156.
- ↑ Несуществование решения, в котором и a, и b являются квадратами, первоначально доказано Пьером Ферма. Для других случаев, в которых c является одним из квадратов, см. в книге Стиллвела.
- ↑ Carmichael, 1959, с. 17.
- ↑ Carmichael, 1959, с. 21.
- ↑ Sierpinski, 2003, с. 4—6.
- ↑ Sierpinski, 2003, с. 23—25.
- ↑ MacHale, Bosch, 2012, с. 91—96.
- ↑ Sally, 2007, с. 74—75.
- ↑ Это следует из факта, что одно из чисел a или b делится на четыре, и из определения конгруэнтных чисел как площадей прямоугольных треугольников с рациональными сторонами
- ↑ Baragar, 2001, с. 301, упражнение 15.3.
- ↑ Bernhart, Price, 2005.
- ↑ Bernhart, Price, 2005, с. 6.
- ↑ Carmichael, 1959, с. 14.
- ↑ Rosenberg, Spillane, Wulf, May 2008, с. 656—663.
- ↑ Paul Yiu, 2008.
- ↑ Sierpinski, 2003, с. 31.
- ↑ Pickover, 2009, с. 40.
- ↑ Paul Yiu, 2008, с. 17.
- ↑ Weisstein, Eric W. Пифагорова тройка (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ 1 2 Trautman, 1998.
- ↑ Eckert, 1984.
- ↑ Paul Yiu, 2003.
- ↑ Последовательность A093536 в OEIS.
- ↑ Последовательность A225760 в OEIS.
- ↑ Alperin, 2005.
- ↑ Berggren, 1934.
- ↑ Дальнейшее обсуждение отношения «родитель — потомок» — Pythagorean triple (Wolfram) Архивная копия от 17 марта 2015 на Wayback Machine, Alperin, 2005.
- ↑ Stillwell, 2002, с. 110–2 Глава 6.6 Pythagorean Triples.
- ↑ Gauss, 1832 См. также Werke, 2:67-148.
- ↑ 1988 Preprint Архивная копия от 9 августа 2011 на Wayback Machine См. рисунок 2 на с. 3. Позднее это было напечатано в (Fässler 1991)
- ↑ Benito, Varona, 2002, с. 117–126.
- ↑ Nahin, Paul. An Imaginary Tale: The Story of p. 25—26.
- ↑ A Collection of Algebraic Identities: Sums of n Squares. Дата обращения: 15 марта 2015. Архивировано 6 марта 2012 года.
- ↑ Sum of consecutive cubes equal a cube. Архивировано из оригинала 15 мая 2008 года.
- ↑ Michael Hirschhorn. When is the sum of consecutive squares a square? // The Mathematical Gazette. — November 2011. — Т. 95. — С. 511–2. — ISSN 0025-5572.
- ↑ John F. Jr. Goehl. Reader reflections // Mathematics Teacher. — May 2005. — Т. 98, вып. 9. — С. 580.
- ↑ John F. Goehl, Jr. Triples, quartets, pentads // Mathematics Teacher. — May 2005. — Т. 98. — С. 580.
- ↑ Scott Kim. Bogglers // Discover. — May 2002. — С. 82.
Уравнение сложнее, лишь в 1988 году после 200 лет безуспешных попыток математиков доказать невозможность решить уравнение Ноам Элкис из Гарварда нашёл контрпример — 2.682.4404 + 15.365.6394 + 18.796.7604 = 20.615.6734:- Noam Elkies. On A4 + B4 + C4 = D4 // Mathematics of Computation. — 1988. — Т. 51. — С. 825–835.
- ↑ MacHale, Bosch, 2012, с. 91-96.
- ↑ S. Kak, M. Prabhu. Cryptographic applications of primitive Pythagorean triples // Cryptologia. — 2014. — Т. 38, вып. 3. — С. 215-222.
Литература[править | править код]
- R. D. Carmichael. The Theory of Numbers and Diophantine Analysis. — Dover Publ, 1959. — С. Diophantine analysis.
- Waclaw Sierpinski. Pythagorean Triangles. — Dover, 2003. — ISBN 978-0-486-43278-6.
- John Stillwell. Numbers and Geometry. — Springer, 1998. — С. 133. — (Undergraduate Texts in Mathematics). — ISBN 9780387982892.
- Thomas Koshy. Elementary Number Theory with Applications. — Academic Press, 2002. — С. 545. — ISBN 9780124211711.
- David Houston. Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking / Roger B. Nelsen. — Mathematical Association of America, 1993. — С. 141. — ISBN 978-0-88385-700-7.
- Alfred S. Posamentier. The Pythagorean Theorem: The Story of Its Power and Beauty. — Prometheus Books, 2010. — ISBN 9781616141813.
- Des MacHale, Christian van den Bosch. Generalising a result about Pythagorean triples // Mathematical Gazette. — 2012. — Т. 96.
- Judith D. Sally. Roots to Research: A Vertical Development of Mathematical Problems. — American Mathematical Society, 2007. — ISBN 9780821872673..
- Neal Koblitz. Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. — Springer, 1993. — Т. 97. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 9780387979663.
- Arthur Baragar. A Survey of Classical and Modern Geometries: With Computer Activities. — Prentice Hall, 2001. — ISBN 9780130143181.
- Paul Yiu. Heron triangles which cannot be decomposed into two integer right triangles. — 41st Meeting of Florida Section of Mathematical Association of America, 2008.
- Clifford A. Pickover. The Math Book. — Sterling, 2009. — С. Глава «Pythagorean Theorem and Triangles». — ISBN 1402757964.
- John Stillwell. Elements of Number Theory. — Springer, 2002. — ISBN 978-0-387-95587-2.
- Pythagorean Triples and the Unit Circle Архивная копия от 15 декабря 2011 на Wayback Machine, chap. 2-3, in «A Friendly Introduction to Number Theory Архивная копия от 6 марта 2015 на Wayback Machine» by Joseph H. Silverman, 3rd ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, ISBN 0-13-186137-9
- Дмитрий Викторович Аносов. Взгляд на математику и нечто из неё. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2003. — Т. 3. — 32 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — 3000+1500 экз. — ISBN 5-94057-111-5. Архивная копия от 12 января 2014 на Wayback Machine
Ссылки[править | править код]
- Paul Yiu. Recreational Mathematics // Course Notes, Dept. of Mathematical Sciences, Florida Atlantic University. — 2003.
- Frank R. Bernhart, H. Lee Price. Heron’s formula, Descartes circles, and Pythagorean triangles. — 2005. arXiv
- Steven Rosenberg, Michael Spillane, Daniel B. Wulf. Heron triangles and moduli spaces // Mathematics Teacher. — May 2008. — Т. 101.
- Gauss C. F. Theoria residuorum biquadraticorum // Comm. Soc. Reg. Sci. Gött. Rec.. — 1832. — Т. 4.
- Albert Fässler. Multiple Pythagorean number triples // American Mathematical Monthly. — 1991. — Т. 98, вып. 6. — JSTOR 2324870.
- Manuel Benito, Juan L. Varona. Pythagorean triangles with legs less than n. — 2002. — Т. 143. — doi:10.1016/S0377-0427(01)00496-4.
- Roger C. Alperin. The modular tree of Pythagoras // American Mathematical Monthly. — Mathematical Association of America, 2005. — Т. 112, вып. 9. — С. 807–816. — JSTOR 30037602.
- B. Berggren. Pytagoreiska trianglar (швед.) // Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi. — 1934. — Т. 17. — С. 129–139.
- Ernest Eckert. Primitive Pythagorean triples // The College Mathematics Journal. — Mathematical Association of America, 1992. — Т. 23, вып. 5. — С. 413–417. — JSTOR 2686417.
- Ernest J. Eckert, Preben Dahl Vesrergaard. Groups of integral triangles // The Fibonacci Quarterly. — 1989. — Т. 27, вып. 5. — С. 458—464.
- Ernest J. Eckert. The Group of Primitive Pythagorean Triangles // Mathematics Magazine. — 1984. — Т. 57.
- Noam Elkies. Pythagorean triples and Hilbert’s theorem 90.
- Artemas Martin. Rational right angled triangles nearly isosceles // The Analyst. — Annals of Mathematics, 1875. — Т. 3, вып. 2. — С. 47–50. — doi:10.2307/2635906. — JSTOR 2635906.
- Andrzej Trautman. Geometric universe / S. A. Hugget, L. J. Mason, K. P. Tod, S. T. Tsou, N. M. J. Woodhouse. — 1998.
- Weisstein, Eric W. Pythagorean Triple (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Besides Euclid’s formula, many other formulas for generating Pythagorean triples have been developed.
Euclid’s, Pythagoras’, and Plato’s formulas[edit]
Euclid’s, Pythagoras’ and Plato’s formulas for calculating triples have been described here:
The methods below appear in various sources, often without attribution as to their origin.
Fibonacci’s method[edit]
Leonardo of Pisa (c. 1170 – c. 1250) described this method[1][2] for generating primitive triples using the sequence of consecutive odd integers and the fact that the sum of the first terms of this sequence is . If is the -th member of this sequence then .
Choose any odd square number from this sequence () and let this square be the -th term of the sequence. Also, let be the sum of the previous terms, and let be the sum of all terms. Then we have established that and we have generated the primitive triple [a, b, c]. This method produces an infinite number of primitive triples, but not all of them.
EXAMPLE:
Choose . This odd square number is the fifth term of the sequence, because . The sum of the previous 4 terms is and the sum of all terms is giving us and the primitive triple [a, b, c] = [3, 4, 5].
Sequences of mixed numbers[edit]
Michael Stifel published the following method in 1544.[3][4] Consider the sequence of mixed numbers with . To calculate a Pythagorean triple, take any term of this sequence and convert it to an improper fraction (for mixed number , the corresponding improper fraction is ). Then its numerator and denominator are the sides, b and a, of a right triangle, and the hypotenuse is b + 1. For example:
Jacques Ozanam[5] republished Stifel’s sequence in 1694 and added the similar sequence with . As before, to produce a triple from this sequence, take any term and convert it to an improper fraction. Then its numerator and denominator are the sides, b and a, of a right triangle, and the hypotenuse is b + 2. For example:
With a the shorter and b the longer legs of a triangle and c its hypotenuse, the Pythagoras family of triplets is defined by c − b = 1, the Plato family by c − b = 2, and the Fermat family by |a − b| = 1. The Stifel sequence produces all primitive triplets of the Pythagoras family, and the Ozanam sequence produces all primitive triples of the Plato family. The triplets of the Fermat family must be found by other means.
Dickson’s method[edit]
Leonard Eugene Dickson (1920)[6] attributes to himself the following method for generating Pythagorean triples. To find integer solutions to , find positive integers r, s, and t such that is a perfect square.
Then:
From this we see that is any even integer and that s and t are factors of . All Pythagorean triples may be found by this method. When s and t are coprime, the triple will be primitive. A simple proof of Dickson’s method has been presented by Josef Rukavicka, J. (2013).[7]
Example: Choose r = 6. Then .
The three factor-pairs of 18 are: (1, 18), (2, 9), and (3, 6). All three factor pairs will produce triples using the above equations.
- s = 1, t = 18 produces the triple [7, 24, 25] because x = 6 + 1 = 7, y = 6 + 18 = 24, z = 6 + 1 + 18 = 25.
- s = 2, t = 9 produces the triple [8, 15, 17] because x = 6 + 2 = 8, y = 6 + 9 = 15, z = 6 + 2 + 9 = 17.
- s = 3, t = 6 produces the triple [9, 12, 15] because x = 6 + 3 = 9, y = 6 + 6 = 12, z = 6 + 3 + 6 = 15. (Since s and t are not coprime, this triple is not primitive.)
Generalized Fibonacci sequence[edit]
Method I[edit]
For Fibonacci numbers starting with F1 = 0 and F2 = 1 and with each succeeding Fibonacci number being the sum of the preceding two, one can generate a sequence of Pythagorean triples starting from (a3, b3, c3) = (4, 3, 5) via
for n ≥ 4.
Method II[edit]
A Pythagorean triple can be generated using any two positive integers by the following procedures using generalized Fibonacci sequences.
For initial positive integers hn and hn+1, if hn + hn+1 = hn+2 and hn+1 + hn+2 = hn+3, then
is a Pythagorean triple.[8]
Method III[edit]
The following is a matrix-based approach to generating primitive triples with generalized Fibonacci sequences.[9] Start with a 2 × 2 array and insert two coprime positive integers ( q,q’ ) in the top row. Place the even integer (if any) in the left-hand column.
Now apply the following “Fibonacci rule” to get the entries in the bottom
row:
Such an array may be called a “Fibonacci Box”. Note that q’, q, p, p’ is a generalized Fibonacci sequence. Taking column, row, and diagonal products we obtain the sides of triangle [a, b, c], its area A, and its perimeter P, as well as the radii ri of its incircle and three excircles as follows:
The half-angle tangents at the acute angles are q/p and q’/p’.
EXAMPLE:
Using coprime integers 9 and 2.
The column, row, and diagonal products are: (columns: 22 and 117), (rows: 18 and 143), (diagonals: 26 and 99), so
The half-angle tangents at the acute angles are 2/11 and 9/13. Note that if the chosen integers q, q’ are not coprime, the same procedure leads to a non-primitive triple.
Pythagorean triples and Descartes’ circle equation[edit]
This method of generating primitive Pythagorean triples also provides integer solutions to Descartes’ Circle Equation,[9]
where integer curvatures ki are obtained by multiplying the reciprocal of each radius by the area A. The result is k1 = pp’, k2 = qp’, k3 = q’p, k4 = qq’. Here, the largest circle is taken as having negative curvature with respect to the other three. The largest circle (curvature k4) may also be replaced by a smaller circle with positive curvature ( k0 = 4pp’ − qq’ ).
EXAMPLE:
Using the area and four radii obtained above for primitive triple [44, 117, 125] we obtain the following integer solutions to Descartes’ Equation: k1 = 143, k2 = 99, k3 = 26, k4 = (−18), and k0 = 554.
A Ternary Tree: Generating All Primitive Pythagorean Triples[edit]
Each primitive Pythagorean triple corresponds uniquely to a Fibonacci Box. Conversely, each Fibonacci Box corresponds to a unique and primitive Pythagorean triple. In this section we shall use the Fibonacci Box in place of the primitive triple it represents. An infinite ternary tree containing all primitive Pythagorean triples/Fibonacci Boxes can be constructed by the following procedure.[10]
Consider a Fibonacci Box containing two, odd, coprime integers x and y in the right-hand column.
It may be seen that these integers can also be placed as follows:
resulting in three more valid Fibonacci boxes containing x and y. We may think of the first Box as the “parent” of the next three. For example, if x = 1 and y = 3 we have:
Moreover, each “child” is itself the parent of three more children which can be obtained by the same procedure. Continuing this process at each node leads to an infinite ternary tree containing all possible Fibonacci Boxes, or equivalently, to a ternary tree containing all possible primitive triples. (The tree shown here is distinct from the classic tree described by Berggren in 1934, and has many different number-theoretic properties.) Compare: “Classic Tree”.[11] See also Tree of primitive Pythagorean triples.[12]
Generating triples using quadratic equations[edit]
There are several methods for defining quadratic equations for calculating each leg of a Pythagorean triple.[13] A simple method is to modify the standard Euclid equation by adding a variable x to each m and n pair. The m, n pair is treated as a constant while the value of x is varied to produce a “family” of triples based on the selected triple. An arbitrary coefficient can be placed in front of the “x” value on either m or n, which causes the resulting equation to systematically “skip” through the triples. For example, consider the triple [20, 21, 29] which can be calculated from the Euclid equations with a value of m = 5 and n = 2. Also, arbitrarily put the coefficient of 4 in front of the “x” in the “m” term.
Let and let
Hence, substituting the values of m and n:
Note that the original triple comprises the constant term in each of the respective quadratic equations. Below is a sample output from these equations. Note that the effect of these equations is to cause the “m” value in the Euclid equations to increment in steps of 4, while the “n” value increments by 1.
x | side a | side b | side c | m | n |
---|---|---|---|---|---|
0 | 20 | 21 | 29 | 5 | 2 |
1 | 54 | 72 | 90 | 9 | 3 |
2 | 104 | 153 | 185 | 13 | 4 |
3 | 170 | 264 | 314 | 17 | 5 |
4 | 252 | 405 | 477 | 21 | 6 |
Generating all primitive Pythagorean triples using half-angle tangents[edit]
A primitive Pythagorean triple can be reconstructed from a half-angle tangent. Choose r to be a positive rational number in (0, 1) to be tan(A / 2) for the interior angle A that is opposite the side of length a. Using tangent half-angle formulas, it follows immediately that α = sin(A) = 2r / (1 + r2) and β = cos(A) = (1 − r2) / (1 + r2) are both rational and that α2 + β2 = 1. Multiplying up by the smallest integer that clears the denominators of α and β recovers the original primitive Pythagorean triple. Note that if a < b is desired then r should be chosen to be less than √2 − 1.
The interior angle B that is opposite the side of length b will be the complementary angle of A. We can calculate s = tan(B / 2) = tan(π/4 − A/2) = (1 – r) / (1 + r) from the formula for the tangent of the difference of angles. Use of s instead of r in the above formulas will give the same primitive Pythagorean triple but with a and b swapped.
Note that r and s can be reconstructed from a, b, and c using r = a / (b + c) and s = b / (a + c).
Pythagorean triples by use of matrices and linear transformations[edit]
Let [a, b, c] be a primitive triple with a odd. Then 3 new triples [a1, b1, c1], [a2, b2, c2], [a3, b3, c3] may be produced from [a, b, c] using matrix multiplication and Berggren’s[11] three matrices A, B, C. Triple [a, b, c] is termed the parent of the three new triples (the children). Each child is itself the parent of 3 more children, and so on. If one begins with primitive triple [3, 4, 5], all primitive triples will eventually be produced by application of these matrices. The result can be graphically represented as an infinite ternary tree with [a, b, c] at the root node. An equivalent result may be obtained using Berggrens’s three linear transformations shown below.
Berggren’s three linear transformations are:
Alternatively, one may also use 3 different matrices found by Price.[10] These matrices A’, B’, C’ and their corresponding linear transformations are shown below.
Price’s three linear transformations are
The 3 children produced by each of the two sets of matrices are not the same, but each set separately produces all primitive triples.
For example, using [5, 12, 13] as the parent, we get two sets of three children:
Area proportional to sums of squares[edit]
All primitive triples with and with a odd can be generated as follows:[14]
Pythagorean triple | Semi-perimeter | Area | Incircle radius | Circumcircle radius |
---|---|---|---|---|
1 | ||||
2 | ||||
3 | ||||
Height-excess enumeration theorem[edit]
Wade and Wade[15] first introduced the categorization of Pythagorean triples by their height, defined as c – b, linking 3,4,5 to 5,12,13 and 7,24,25 and so on.
McCullough and Wade[16] extended this approach, which produces all Pythagorean triples when Write a positive integer h as pq2 with p square-free and q positive. Set d = 2pq if p is odd, or d= pq if p is even. For all pairs (h, k) of positive integers, the triples are given by
The primitive triples occur when gcd(k, h) = 1 and either h=q2 with q odd or h=2q2.
References[edit]
- ^ Fibonacci, Leonardo Pisano, (1225), Liber Quadratorum.
- ^ Fibonacci, Leonardo Pisano . The Book of Squares (Liber Quadratorum). An annotated translation into modern English by L. E. Sigler. (1987) Orlando, FL: Academic Press. ISBN 978-0-12-643130-8
- ^ Stifel, Michael, (1544), Arithmetica Integra.
- ^ Ozanam, Jacques (1814). “Recreations in Mathematics and Natural Philosophy”. 1. G. Kearsley: 49. Retrieved 2009-11-19.
- ^ Ozanam, Jacques, (1844). Science and Natural Philosophy: Dr. Hutton’s Translation of Montucla’s edition of Ozanam, revised by Edward Riddle, Thomas Tegg, London. Read online- Cornell University
- ^ Dickson, L. E. (1920), History of the Theory of Numbers, Vol.II. Diophantine Analysis, Carnegie Institution of Washington, Publication No. 256, 12+803pp Read online – University of Toronto
- ^ Rukavicka, J. (2013), Dickson’s Method for Generating Pythagorean Triples Revisited, European Journal of Pure and Applied Mathematics ISSN 1307-5543, Vol. 6, No. 3 (2013) p.363-364, online1 online2
- ^ Horadam, A. F., “Fibonacci number triples”, American Mathematical Monthly 68, 1961, 751-753.
- ^ a b Bernhart, Frank R.; Price, H. Lee (2005). “Heron’s formula, Descartes circles, and Pythagorean triangles”. arXiv:math/0701624v1.
- ^ a b Price, H. Lee (2008). “The Pythagorean Tree: A New Species”. arXiv:0809.4324 [math.HO].
- ^ a b Berggren, B. (1934). “Pytagoreiska trianglar”. Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi (in Swedish). 17: 129–139.
- ^ Carvalho, Alda; Pereira dos Santos, Carlos (2012). “A very useful Pythagorean tree”. In Silva, Jorge Nuno (ed.). Proceedings of the recreational mathematics colloquium II, University of Évora, Portugal, April 27–30, 2011. Lisboa: Associação Ludus. pp. 3–15. ISBN 9789899734623.
- ^ J. L. Poet and D. L. Vestal, Jr. (2005). “Curious Consequences of a Miscopied Quadratic, ” College Mathematics Journal 36, 273–277.
- ^ Barbeau, Edward, Power Play, Mathematical Association of America,1997, p. 51, item 3.
- ^ Wade, Peter, and Wade, William, “Recursions that produce Pythoagorean triples”, College Mathematics Journal 31, March 2000, 98-101.
- ^ McCullough, Darryl, and Wade, Elizabeth, “Recursive enumeration of Pythagorean triples”, College Mathematics Journal 34, March 2003, 107-111.
Конкурс научных проектов школьников
В рамках краевой научно-практической конференции «Эврика»
Малой академии наук учащихся Кубани
Исследование пифагоровых чисел
Секция математика.
Автор:
Червяк Виталий Геннадиевич, 9 класс
МОБУ СОШ №14
Кореновский район
Ст. Журавская
Научный руководитель:
Манько Галина Васильевна
Учитель математики
МОБУ СОШ №14
Кореновск 2011 г
Червяк Виталий Геннадиевич
Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс
Пифагоровы числа
Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14
Аннотация.
Тема исследования : Пифагоровы числа
Цели исследования:
- Исследовать пифагоровы числа;
- Понять, как получаются пифагоровы числа;
- Выяснить, какими свойствами обладают пифагоровы числа;
- Опытно-экспериментальным путём построить перпендикулярные прямые на местности, используя пифагоровы числа;
Задачи исследования:
- Выявление и развитие математических способностей;
- Расширение математического представления по данной теме;
- Формирование устойчивого интереса к предмету;
- Развитие коммуникативных и общеучебных навыков самостоятельной работы, умение вести дискуссию, аргументировать и т.д.;
- Формирование и развитие аналитического и логического мышления;
Методы исследования:
- Использование ресурсов сети Интернет;
- Обращение к справочной литературе;
- Проведение эксперимента;
Вывод:
- Эта работа может быть использована на уроке геометрии как дополнительный материал, для проведения элективных курсов или факультативов по математике, а также во внеклассной работе по математике;
2
Червяк Виталий Геннадиевич
Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс
Пифагоровы числа
Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14
Оглавление.
- Введение…………………………………………………………………3
- Основная часть
2.1 Историческая страничка……………………………………………………4
2.2 Доказательство чётности и нечётности катетов………………………………..5-6
2.3 Вывод закономерности для нахождения
пифагоровых чисел……………………………………………………………7
2.4 Свойства пифагоровых чисел ………………………………………………8
3. Заключение……………………………………………………………………9
4.Список использованных источников и литературы……………………10
Приложения……………………………………………………………………………………………11
Приложение I……………………………………………………………………11
Приложение II…………………………………………………………………..13
3
Червяк Виталий Геннадиевич
Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс
Пифагоровы числа
Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14
Введение
О Пифагоре и его жизни я услышал в пятом классе на уроке математики, и меня заинтересовало высказывание «Пифагоровы штаны во все стороны равны». При изучении теоремы Пифагора меня заинтересовали пифагоровы числа.Я поставил цель исследования: узнать больше о теореме Пифагора и «пифагоровых числах».
Актуальность темы. Ценность теоремы Пифагора и пифагоровых троек доказана многими учёнными мира на протяжении многих веков. Проблема, о которой пойдёт речь в моей работе выглядит довольно простой потому, что в основе её лежит математическое утверждение, которое всем известно, — теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах. Теперь тройки натуральных чисел x, y, z, для которых x2 + y2 = z2, принято называть пифагоровыми тройками. Оказывается, пифагоровы тройки знали уже в Вавилоне. Постепенно нашли их и греческие математики.
Цель данной работы
- Исследовать пифагоровы числа;
- Понять, как получаются пифагоровы числа;
- Выяснить, какими свойствами обладают пифагоровы числа;
- Опытно-экспериментальным путём построить перпендикулярные прямые на местности, используя пифагоровы числа;
В соответствии с целью работы поставлен ряд следующих задач:
1. Глубже изучить историю теоремы Пифагора;
2. Анализ универсальных свойств пифагоровых троек.
3. Анализ практического применения пифагоровых троек.
Объект исследования: пифагоровы тройки.
Предмет исследования: математика.
Методы исследования: –Использование ресурсов сети Интернет; -Обращение к справочной литературе; -Проведение эксперимента;
Теоретическая значимость: роль, которую играет открытие пифагоровых троек в науке; практическое применение открытия Пифагора в жизнедеятельности человека.
Прикладная ценность исследования заключается в анализе литературных источников и систематизации фактов.
4
Червяк Виталий Геннадиевич
Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс
Пифагоровы числа
Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14
Из истории пифагоровых чисел.
- Древний Китай:
Математическая книга Чу-пей: [ 2]
“Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4”.
- Древний Египет: [ 2]
Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета(согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или “натягиватели веревок”, строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3; 4 и 5.
- Вавилония: [ 3 ]
«Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку.”
- История теоремы Пифагора: [3], [5]
Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него.
В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора.
По-видимому, он первым нашёл её доказательство. В связи с этим была сделана следующую запись: «… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста».
5
Червяк Виталий Геннадиевич
Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс
Пифагоровы числа
Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14
Исследование Пифагоровых чисел.
- Каждый треугольник, стороны относятся как 3:4:5, согласно общеизвестной теореме Пифагора, – прямоугольный, так как
32 + 42 = 52.
- Кроме чисел 3,4 и 5 , существует, как известно, бесконечное множество целых положительных чисел а, в и с, удовлетворяющих соотношению
- А2 + в2 = с2.
- Эти числа называются пифагоровыми числами [4]
Пифагоровы тройки известны очень давно. В архитектуре древнелесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н.э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей. [ 1 ]
Прямоугольный треугольник, с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 называется египетским треугольником. Площадь этого треугольника равна совершенному числу 6. Периметр равен 12 – числу, которое считалось символом счастья и достатка.
С помощью верёвки разделенной узлами на 12 равных частей древние египтяне строили прямоугольный треугольник и прямой угол. Удобный и очень точный способ, употребляемый землемерами для проведения на местности перпендикулярных линий. Необходимо взять шнур и три колышка, шнур располагают треугольником так, чтобы одна сторона состояла из 3 частей, вторая из 4 долей и последняя из пяти таких долей. Шнур расположится треугольником, в котором есть прямой угол. [4]
Этот древний способ, по-видимому, применявшийся ещё тысячелетия назад строителями египетских пирамид, основан на том, что каждый треугольник, стороны которого относятся как 3:4:5, согласно теореме Пифагора, прямоугольный.
Нахождением пифагоровых троек занимались Евклид, Пифагор, Диофант и многие другие. [ 1]
Ясно, что если (x, y, z) – пифагорова тройка, то для любого натурального k тройка (kx, ky, kz) также будет пифагоровой тройкой. В частности, (6, 8, 10), (9, 12, 15) и т.д. являются пифагоровыми тройками.
6
По мере того, как числа возрастают, пифагоровы тройки встречаются всё реже и находить их становится все труднее и труднее. Пифагорейцы изобрели метод отыскания
таких троек и, пользуясь им, доказали, что пифагоровых троек существует бесконечно много.
Тройки, не имеющие общих делителей, больших 1, называются простейшими.
Рассмотрим некоторые свойства пифагоровых троек. [ 1]
Согласно теореме Пифагора эти числа могут служить длинами некоторого прямоугольного треугольника; поэтому а и в называют «катетами»,а с – « гипотенузой».
Ясно, что если а,в,с есть тройка пифагоровых чисел, то и ра,рв,рс, где р- целочисленный множитель,- пифагоровы числа.
Верно и обратное утверждение!
Поэтому будем вначале исследовать лишь тройки взаимно простых пифагоровых чисел (остальные получаются из них умножением на целочисленный множитель р).
Покажем, что в каждой из таких троек а,в,с один из «катетов»должен быть чётным, а другой нечётным. Будем рассуждать «от противного». Если оба «катета» а и в чётны, то чётным будет число а2+ в2, а значит и «гипотенуза». Но это противоречит тому, что числа а,в и с не имеют общих множителей, так как три чётных числа имеют общий множитель 2. Таким образом хоть один из « катетов» а и в нечётен.
Остаётся ещё одна возможность: оба «катета» нечётные, а «гипотенуза» чётная. Нетрудно доказать, что этого не может быть, так как если «катеты» имеют вид 2 х + 1 и 2у+1, то сумма их квадратов равна
4х2 + 4х + 1 + 4у2+ 4у +1 = 4 ( х2+ х + у2 + у) +2, т.е. представляет собой число, которое при делении на 4 даёт в остатке 2. Между тем квадрат всякого чётного числа должен делиться на 4 без остатка.
Значит, сумма квадратов двух нечётных чисел не может быть квадратом чётного числа; иначе говоря, наши три числа – не пифагоровы.
ВЫВОД:
Итак, из « катетов» а, в один чётный, а другой нечётный. Поэтому число а2+ в2 нечётно, а значит, нечётна и « гипотенуза» с.
Пифагор нашёл формулы, которые в современной символике могут быть записаны так: a=2n+1, b=2n(n+1), c=2 n2 +2n+1, где n – целое число.
Эти числа – пифагоровы тройки.
7
Червяк Виталий Геннадиевич
Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс
Пифагоровы числа
Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14
Вывод закономерности для нахождения пифагоровых чисел. [7]
Вот следующие пифагоровы тройки:
- 3, 4, 5; 9+16=25.
- 5, 12, 13; 25+144=225.
- 7, 24, 25; 49+576=625.
- 8, 15, 17; 64+225=289.
- 9, 40, 41; 81+1600=1681.
- 12, 35, 37; 144+1225=1369.
- 20, 21, 29; 400+441=881
Нетрудно заметить, что при умножении каждого из чисел пифагоровой тройки на 2, 3, 4, 5 и т.д., мы получим следующие тройки.
- 6, 8, 10;
- 9,12,15.
- 12, 16, 20;
- 15, 20, 25;
- 10, 24, 26;
- 18, 24, 30;
- 16, 30, 34;
- 21, 28, 35;
- 15, 36, 39;
- 24, 32, 40;
- 14, 48, 50;
- 30, 40, 50 и т.д.
Они так же являются Пифагоровыми числами/
8
Червяк Виталий Геннадиевич
Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс
Пифагоровы числа
Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14
Свойства пифагоровых чисел. [7]
- При рассмотрении пифагоровых чисел я увидел ряд свойств:
- 1) Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно трём;
- 2) Другое из них должно быть кратно четырём;
- 3) А третье из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти;
9
Червяк Виталий Геннадиевич
Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс
Пифагоровы числа
Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14
Заключение.
Геометрия, как и другие науки, возникла из потребностей практики. Само слово «геометрия» – греческое, в переводе означает «землемерие».
Люди очень рано столкнулись с необходимостью измерять земельные участки. Уже за 3-4 тыс. лет до н.э. каждый клочок плодородной земли в долинах Нила, Ефрата и Тигра, рек Китая имел значение для жизни людей. Это требовало определённого запаса геометрических и арифметических знаний.
Постепенно люди начали измерять и изучать свойства более сложных геометрических фигур.
И в Египте и в Вавилоне сооружались колоссальные храмы, строительство которых могло производиться только на основе предварительных расчётов. Также строились водопроводы. Всё это требовало чертежей и расчётов. К этому времени были хорошо известны частные случаи теоремы Пифагора, уже знали, что если взять треугольники со сторонами x, y, z, где x, y, z – такие целые числа, что x2 + y2 = z2 , то эти треугольники будут прямоугольными. [6]
Все эти знания непосредственным образом применялись во многих сферах жизнедеятельности человека.
Так до сих пор великое открытие учёного и философа древности Пифагора находит прямое применение в нашей жизни.
Строительство домов, дорог, космических кораблей, автомобилей, станков, нефтепроводов, самолётов, тоннелей, метро и многое, многое другое. Пифагоровы тройки находят прямое применение в проектировании множества вещей, окружающих нас в повседневной жизни.
А умы учёных продолжают искать новые варианты доказательств теоремы Пифагора.
- В результате моей работы мне удалось:
- 1. Больше узнать о Пифагоре, его жизни, братстве Пифагорейцев.
- 2. Познакомится с историей теоремы Пифагора .
- 3. Узнать о пифагоровых числах , их свойствах, научиться их находить и применять в практической деятельности.
10
Червяк Виталий Геннадиевич
Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс
Пифагоровы числа
Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14
Литература.
- Занимательная алгебра. Я.И. Перельман (с.117-120)
- www.garshin.ru
- image.yandex.ru
4. Аносов Д.В. Взгляд на математику и нечто из неё. – М.: МЦНМО, 2003.
5. Детская энциклопедия. – М.: Издательство Академии Педагогических Наук РСФСР, 1959.
6. Степанова Л.Л. Избранные главы элементарной теории чисел. – М.: Прометей, 2001.
7. В. Серпинский Пифагоровы треугольники. — М.: Учпедгиз, 1959. С.111