Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 29 сентября 2022 года; проверки требуют 4 правки.
Пирами́да (от др.-греч. πυραμίς, род. п. πυραμίδος) — многогранник, одна из граней которого (называемая основанием) — произвольный многоугольник, а остальные грани (называемые боковыми гранями) — треугольники, имеющие общую вершину[1]. По числу углов основания различают пирамиды треугольные (тетраэдр), четырёхугольные и т. д.
Пирамида является частным случаем конуса[2].
История развития пирамиды в геометрии[править | править код]
Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Объём пирамиды был известен древним египтянам. Первым греческим математиком, кто установил, чему равен объём пирамиды, был Демокрит
[3], а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке (книга XI, определение 12[4]).
Элементы пирамиды[править | править код]
SO — высота
SF — апофема
OF — радиус вписанной в основание окружности
- вершина пирамиды — общая точка боковых граней, не лежащая в плоскости основания;
- основание — грань, которой не принадлежит вершина пирамиды;
- боковые грани — треугольные грани, сходящиеся в вершине;
- боковые рёбра — рёбра, являющиеся сторонами двух боковых граней (и, соответственно, не являющиеся сторонами основания);
- высота пирамиды — перпендикуляр из вершины пирамиды на её основание;
- апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины;
- диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через её вершину и диагональ основания.
Развёртка пирамиды[править | править код]
Развёртка правильной пятиугольной пирамиды:
1. в плоскости основания («звезда»)
2. в плоскости одной из боковых граней
Развёрткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга).
Приступая к изучению развёртки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую плёнку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путём изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещён с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развёртывающейся, а полученную плоскую фигуру — её развёрткой.
Свойства[править | править код]
Если все боковые рёбра равны, то:
- вокруг основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
- боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы;
- также верно и обратное, то есть если боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы, или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые рёбра пирамиды равны.
Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:
- в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
- высоты боковых граней равны;
- площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.
Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами[править | править код]
Описание сферы вокруг правильной пирамиды:
SD — высота пирамиды.
AD — радиус окружности, описывающей основание.
В — середина ребра боковой грани
С — точка пересечения плоскостей проходящих через середину рёбер перпендикулярно им.
AC=CS — радиус сферы описывающей пирамиду
Сфера, вписанная в правильную пирамиду:
D — центр основания
SF — апофема
ASD — биссекторная плоскость угла между боковыми гранями
BCE — биссекторная плоскость угла между основанием и боковой гранью
С — точка пересечения всех биссекторных плоскостей
CK=CD — радиус сферы вписанной в пирамиду
Сфера[править | править код]
- около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие)[5]. Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
- в пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.
Конус[править | править код]
- Конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);[6]
- Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые рёбра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);
- Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.
Цилиндр[править | править код]
- Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.
- Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).
Формулы, связанные с пирамидой[править | править код]
- Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:
- где — площадь основания и — высота;[7]
- где — объём параллелепипеда;
- Также объём треугольной пирамиды (тетраэдра) может быть вычислен по формуле[8]:
- где — скрещивающиеся рёбра , — расстояние между и , — угол между и ;
- Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:
- Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:
- Для нахождения площади боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:
- где — апофема , — периметр основания, — число сторон основания, — боковое ребро, — плоский угол при вершине пирамиды.
Особые случаи пирамиды[править | править код]
Правильная пирамида[править | править код]
Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.
Тогда она обладает такими свойствами:
Прямоугольная пирамида[править | править код]
Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.
Тетраэдр[править | править код]
Тетраэдром называется треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды. Кроме того, существует большое различие между понятиями «правильная треугольная пирамида» и «правильный тетраэдр». Правильная треугольная пирамида — это пирамида с правильным треугольником в основании (грани же должны быть равнобедренными треугольниками). Правильным тетраэдром является тетраэдр, у которого все грани являются равносторонними треугольниками.
См. также[править | править код]
- Усечённая пирамида
- Бипирамида
Примечания[править | править код]
- ↑ Александров А. Д., Вернер А. Л. Геометрия. Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 2003. — 271 с. — ISBN 5-09-010773-4.
- ↑ Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч. 1. Пособие для учителей. Под ред. Л. В. Сабинина. М., Просвещение, 1978. 320 с. С. 253.
- ↑ Б. Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. — 3-е изд.. — М.: КомКнига, 2007. — 456 с. — ISBN 978-5-484-00848-3.
- ↑ М. Е. Ващенко-Захарченко. Начала Евклида с пояснительным введением и толкованиями. — Киев, 1880. — С. 473. — 749 с.
- ↑ Саакян С. М., Бутузов В. Ф. Изучение геометрии в 10—11-х классах: книга для учителя. — 4-е изд., дораб.. — М.: Просвещение, 2010. — 248 с. — (Математика и информатика). — ISBN 978-5-09-016554-9.
- ↑ Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 2008. — 175 с. — 60 000 экз. — ISBN 978-5-09-019708-3.
- ↑ Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, §357.
- ↑ Кушнир И. А. Триумф школьной геометрии. — К.: Наш час, 2005. — 432 с. — ISBN 966-8174-01-1.
- ↑ Готман Э. Свойства правильной пирамиды, вписанной в сферу Архивная копия от 22 января 2012 на Wayback Machine // Квант. — 1998. — № 4.
Литература[править | править код]
- Александров А. Д., Вернер А. Л. Геометрия. Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 2003. — 271 с. — ISBN 5-09-010773-4.
- Калинин А. Ю., Терешин Д. А. Стереометрия. 11 класс. — 2-е изд. — М.: Физматкнига, 2005. — 332 с. — ISBN 5-89155-134-9.
- А. П. Киселёв, Геометрия по Киселёву, arΧiv:1806.06942 [math.HO].
- Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 2008. — 175 с. — 60 000 экз. — ISBN 978-5-09-019708-3.
Ссылки[править | править код]
- Бумажные модели пирамид Архивная копия от 4 января 2010 на Wayback Machine (англ.)
- «Начала» Евклида.
Многогранник, одна грань которого является (n)-угольником, а остальные грани — треугольники с общей вершиной, называется пирамидой, (n)-угольник называется основанием пирамиды, а треугольники — боковыми гранями.
Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды.
Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются рёбрами пирамиды.
В зависимости от количества сторон основания пирамиды могут быть треугольными, четырёхугольными, пятиугольными и т. д.
Перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды.
Важно знать, где на плоскости основания находится проекция вершины пирамиды, она может быть в центре основания, на стороне основания, за пределами многоугольника основания. Решение задачи в большей степени зависит от расположения этой точки.
Чтобы нарисовать пирамиду, нужно соблюдать определённый порядок:
1. первым рисуется основание,
2. по условию задачи находится проекция вершины на плоскости основания,
3. вертикально проводится высота,
4. проводятся рёбра.
На рисунке изображена четырёхугольная пирамида (SABCD)
(первой пишут букву вершины).
Основание — четырёхугольник (ABCD).
Вершина проецируется в точку пересечения диагоналей (O) — основание высоты или проекция вершины.
(SA), (SB), (SC), (SD) — рёбра пирамиды,
(AB), (BC), (CD), (DA) — стороны основания.
В курсе средней школы в основном есть задачи, в которых даны:
– правильная пирамида (вершина проецируется в центр основания);
– пирамида, вершина которой проецируется в центр описанной окружности;
– пирамида, вершина которой проецируется в центр вписанной окружности;
– пирамида, высота которой совпадает с боковым ребром;
– пирамида, высота которой также является высотой боковой грани.
Углы, которые образованы боковой гранью и основанием пирамиды, называются двугранными углами при основании пирамиды.
Двугранный угол между боковой гранью (SCD) и гранью основания равен линейному углу
∠
(OES). Этот угол образован отрезками (OE) и (SE), лежащими в этих гранях и перпендикулярных их общей прямой (CD). То есть (OE)
⊥CD
и (SE)
⊥CD
.
Чтобы определить этот угол, часто нужно использовать теорему о трёх перпендикулярах.
Углы, которые образованы боковым ребром и его проекцией на плоскость основания, называются углами между боковым ребром и плоскостью основания.
На рисунке
∠
(OCS).
Угол, который образован двумя боковыми гранями, называется двугранным углом при боковом ребре пирамиды.
Угол, который образован двумя боковыми рёбрами одной грани пирамиды, называется углом при вершине пирамиды.
Основные формулы пирамиды
Площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех боковых граней пирамиды:
S=S1+S2+S3+…
(Некоторые формулы годятся только для определённых видов пирамиды.)
Площадь полной поверхности
Sп.п.=S+Sоснования
.
Объём пирамиды (V =)
13Sоснования
(H), где (H) — высота пирамиды.
Формула объёма используется для пирамид любого вида.
Источники:
Рис. 1. Пирамида, © ЯКласс.
Объем правильной треугольной пирамиды
Пусть сторона основания равна ( displaystyle a), а боковое ребро равно ( displaystyle b). Нужно найти ( displaystyle {{S}_{осн}}) и ( displaystyle H).
( displaystyle {{S}_{осн}}) – это площадь правильного треугольника ( displaystyle ABC).
Вспомним, как искать эту площадь.
Используем формулу площади:
( displaystyle S=frac{1}{2}abcdot sin gamma )
У нас «( displaystyle a)» – это ( displaystyle a), а «( displaystyle b)» — это тоже ( displaystyle a), а ( displaystyle sin gamma =sin 60{}^circ =frac{sqrt{3}}{2})
Значит, ( displaystyle {{S}_{ABC}}=frac{1}{2}{{a}^{2}}frac{sqrt{3}}{2}=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}).
Теперь найдем ( displaystyle H).
По теореме Пифагора для ( displaystyle Delta SOC)
( displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{C}^{2}})
Чему же равно ( displaystyle OC)?
Это радиус описанной окружности в ( displaystyle Delta ABC), потому что пирамида правильная и, значит, ( displaystyle O) — центр ( displaystyle Delta ABC)
Найдем ( displaystyle OC) (Подробнее смотри в теме «Правильный треугольник»).
( displaystyle OC=frac{2}{3}CK), так как ( displaystyle O) — точка пересечения и медиан тоже.
( displaystyle C{{K}^{2}}=A{{C}^{2}}-A{{K}^{2}}) (теорема Пифагора для ( displaystyle Delta ACK))
( displaystyle C{{K}^{2}}-{{a}^{2}}-frac{{{a}^{2}}}{4}=frac{3{{a}^{2}}}{4}); ( displaystyle CK=frac{asqrt{3}}{2})
Значит, ( displaystyle OC=frac{2}{3}cdot frac{asqrt{3}}{2}=frac{asqrt{3}}{3})
Подставим ( displaystyle OC) в формулу для ( displaystyle H).
( displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{C}^{2}}={{b}^{2}}-{{left( frac{asqrt{3}}{3} right)}^{2}}={{b}^{2}}-frac{{{a}^{2}}}{3})
И подставим все в формулу объема:
( displaystyle V=frac{1}{3}{{S}_{ABC}}cdot H=frac{1}{3}cdot frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}cdot sqrt{{{b}^{2}}-frac{{{a}^{2}}}{3}})
( displaystyle V=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{12}sqrt{{{b}^{2}}-frac{{{a}^{2}}}{3}}).
Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е. ( displaystyle b=a)), то формула получается такой:
( displaystyle V=frac{{{a}^{3}}}{6sqrt{2}}).
Вы уже знакомы с пирамидой, т. е. многогранником, одна грань которого является многоугольником, а остальные грани-треугольники имеют общую вершину.
Треугольные грани пирамиды, имеющие общую вершину, называют боковыми гранями, а эту общую вершину — вершиной пирамиды. Ребра боковых граней, сходящиеся в вершине пирамиды, называют боковыми ребрами пирамиды. Многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды, называют основанием пирамиды (рис. 107).
Пирамиды разделяют на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон их оснований. Пирамида, изображенная на рисунке 107, — пятиугольная, а на рисунке 108, — восьмиугольная. Треугольную пирамиду называют еще тетраэдром. У тетраэдра все грани являются треугольниками (рис. 109).
Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости ее основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 108 показана высота 
Плоскость, проходящая через два боковых ребра пирамиды, не принадлежащие одной грани, называется диагональной плоскостью, а сечение пирамиды диагональной плоскостью — диагональным сечением. На рисунке 111 показано диагональное сечение шестиугольной пирамиды.
Пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а основание ее высоты совпадает с центром этого многоугольника, называется правильной пирамидой (рис. 112).
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой пирамиды.
Отметим, что в правильной пирамиде:
- боковые ребра равны;
- боковые грани равны;
- апофемы, равны;
- двугранные углы при основании равны;
- двугранные углы при боковых ребрах равны;
- каждая точка высоты равноудалена от вершин основания;
- каждая точка высоты равноудалена от ребер основания;
- каждая точка высоты равноудалена от боковых граней.
Отметим, что если в пирамиде равны все:
- боковые ребра, то около ее основания можно описать окружность, и центр этой окружности совпадает с основанием высоты пирамиды (рис. 113);
- двугранные углы при основании, то в это основание можно вписать окружность, и центр этой окружности совпадает с основанием высоты пирамиды (рис. 114).
Боковые грани составляют боковую поверхность пирамиды, а боковые грани вместе с основанием — полную поверхность пирамиды.
Вы знаете, что боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра ее основания и апофемы.
Теорема 1.
Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то:
- а) боковые ребра и высота разделяются на пропорциональные части;
- б) в сечении получается многоугольник, подобный основанию;
- в) площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины пирамиды.
Используя рисунок 115, докажите эту теорему самостоятельно.
Секущая плоскость, параллельная основанию пирамиды, разделяет ее на две части (рис. 116). Одна из этих частей также является пирамидой, а другая — многогранником, который называется усеченной пирамидой.
Параллельные грани усеченной пирамиды называются ее основаниями (рис. 117). Основания усеченной пирамиды — подобные многоугольники, стороны которых попарно параллельны, поэтому ее боковые грани являются трапециями.
Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания пирамиды к плоскости другого основания.
Усеченная пирамида называется правильной, если она является частью правильной пирамиды. Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды называется апофемой усеченной пирамиды. На рисунке 118 показана четырехугольная правильная усеченная пирамида и одна из ее апофем.
Теорема 2.
Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров ее оснований и апофемы:
Доказательство:
Пусть есть правильная 
-угольная усеченная пирамида (рис. 119). Пусть 
и 
— соответственно периметры нижнего и верхнего оснований и 
— апофема пирамиды.
Боковая поверхность данной пирамиды состоит из 
равных трапеций. Пусть 
и 
— основания одной из этих трапеций, тогда ее площадь равна 
. Учитывая, что боковая поверхность пирамиды состоит из 
таких трапеций, получим, что
Теперь установим формулу для вычисления объема пирамиды.
Тела, имеющие равные объемы, называются равновеликими.
Теорема 3.
Треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики.
Доказательство:
Пусть есть две треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами (рис. 120). Разделим высоты одной и другой пирамид на 
долей и через точки деления проведем плоскости, параллельные основаниям. Этим самым пирамиды разделяются на 
частей. Для каждой части первой пирамиды построим наибольшие по объему призмы, целиком содержащиеся в пирамиде, а для каждой части другой пирамиды — наименьшие по объему призмы, целиком содержащие эту часть.
Пусть 
и 
— объемы первой и второй пирамид, a 
и 
— суммарные объемы призм, построенных для этих пирамид. При счете от оснований пирамид призма в 
-й части первой пирамиды равновелика призме для 
-й части второй пирамиды, так как у этих призм равновелики основания и равные высоты. Поэтому объем больше объема на объем первой призмы, у которой основанием является основание второй пирамиды, а высота равна 
, где 
— высота пирамиды (см. рис. 120), т.е. 
, или 
, где 
— площадь основания пирамиды. Теперь учтем, что 
, a 
. Поэтому 
, или 
. При увеличении значения переменной 
значение выражения 
стремится к нулю, а это означает, что 
, или
Такие же рассуждения можно провести, если первую и вторую пирамиды поменять ролями. В результате получим неравенство
Из неравенств (1) и (2) следует, что 
.
Теорема 4.
Объем пирамиды равен третьей доле произведения площади ее основания и высоты:
Доказательство:
Пусть есть треугольная пирамида 
(рис. 121). Достроим ее до призмы 
с основанием 
(рис. 122). Отделим от призмы данную пирамиду, получится четырехугольная пирамида 
(рис. 122 и 123). Диагональная плоскость 
разделяет ее на две пирамиды 
и 
, у которых одна и та же высота, проведенная из вершины 
, и равные основания 
и 
. Поэтому, в соответствии с теоремой 3, пирамиды и равновелики. Сравним пирамиду с данной пирамидой . У них равные основания 
и 
и высоты, проведенные из вершин 
и 
, поэтому эти пирамиды также равновелики. Получается, что все три пирамиды , и равновелики. Поскольку объем призмы равен произведению 
площади 
основания и высоты призмы 
, которая равна высоте пирамиды , то объем пирамиды , т. е. третьей части призмы , равен третьей доле этого объема, т. е. 
.
Пусть теперь есть произвольная пирамида 
(рис. 124). Через диагонали 
основания 
, выходящие из одной вершины 
, проведем диагональные сечения, они разделят данную пирамиду на треугольные пирамиды 
. Поскольку все они имеют общую высоту 
, то
Пример:
Найдем объем усеченной пирамиды, нижнее и верхнее основания которой имеют площади 
и 
, а высота равна (рис. 125).
Для этого достроим данную усеченную пирамиду до полной. Пусть высота дополнительной пирамиды равна 
. Искомый объем 
можно найти как разность объемов полной и дополнительной пирамид:
Чтобы найти высоту 
, используем установленное в теореме 1 утверждение о том, что площади сечений пирамиды относятся как квадраты их расстояний от вершины:
Решим это уравнение, учитывая, что 
и 
— положительные числа:
Таким образом, объем 
усеченной пирамиды равен третьей доле произведения высоты 
пирамиды и суммы площадей и оснований пирамиды и их среднего геометрического 
.
- Конус в геометрии
- Сфера в геометрии
- Шар в геометрии
- Правильные многогранники в геометрии
- Возникновение геометрии
- Призма в геометрии
- Цилиндр в геометрии
- Стереометрия – формулы, определение и вычисление
Пирамида. Формулы и свойства пирамиды
Определение.
Пирамида — это многогранная объемная фигура, ограниченная плоским многоугольником (основой) и треугольниками, имеющих общую вершину, не лежащую в плоскости основания.
 |
| Рис.1 |
Определение. Боковая грань – это треугольник, у которого один угол лежит в вершине пирамиды, а противоположная ему сторона совпадает со стороной основания (многоугольника).
Определение. Боковые ребра – это общие стороны боковых граней. У пирамиды столько ребер сколько углов у многоугольника.
Определение. Высота пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из вершины на основание пирамиды.
Определение. Апофема – это перпендикуляр боковой грани пирамиды, опущенный из вершины пирамиды к стороне основания.
Определение. Диагональное сечение – это сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания.
Определение. Правильная пирамида – это пирамида, в которой основой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания.
Объём и площадь поверхности пирамиды
Формула. Объём пирамиды через площадь основы и высоту:
Определение. Боковая поверхность пирамиды – это совокупная площадь всех боковых граней пирамиды.
Определение. Полная поверхность пирамиды – это совокупность площадей боковой поверхности и площади основания пирамиды.
Формула. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через периметр основания и апофему:
Свойства пирамиды
Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания (круга).
Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами.
Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с плоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.
Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамиды проектируется в ее центр.
Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых граней равны.
Свойства правильной пирамиды
1. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.
2. Все боковые ребра равны.
3. Все боковые ребра наклонены под одинаковыми углами к основанию.
4. Апофемы всех боковых граней равны.
5. Площади всех боковых граней равны.
6. Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские) углы.
7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описанной сферы будет точка пересечения перпендикуляров, которые проходят через середину ребер.
8. В пирамиду можно вписать сферу. Центром вписанной сферы будет точка пересечения биссектрис, исходящие из угла между ребром и основанием.
9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, один угол равен π/n, где n – это количество углов в основании пирамиды.
Связь пирамиды со сферой
Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многогранник вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.
Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу.
В пирамиду можно вписать сферу, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.
Связь пирамиды с конусом
Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды.
Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны между собой.
Конус называется описанным вокруг пирамиды, если их вершины совпадают, а основание конуса описана вокруг основания пирамиды.
Конус можно описать вокруг пирамиды если, все боковые ребра пирамиды равны между собой.
Связь пирамиды с цилиндром
Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одной основе цилиндра, а основание пирамиды вписано в другую основу цилиндра.
Цилиндр можно описать вокруг пирамиды если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.
Определение. Усеченная пирамида (пирамидальная призма) – это многогранник, который находится между основанием пирамиды и плоскостью сечения, параллельной основанию. Таким образом пирамида имеет большую основу и меньшую основу, которая подобна большей. Боковые грани представляют собой трапеции.
Определение. Треугольная пирамида (четырехгранник) – это пирамида в которой три грани и основание являются произвольными треугольниками.
В четырехгранник четыре грани и четыре вершины и шесть ребер, где любые два ребра не имеют общих вершин но не соприкасаются.
Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, которые образуют трехгранный угол.
Отрезок, соединяющий вершину четырехгранника с центром противоположной грани называется медианой четырехгранника (GM).
Бимедианой называется отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, которые не соприкасаются (KL).
Все бимедианы и медианы четырехгранника пересекаются в одной точке (S). При этом бимедианы делятся пополам, а медианы в отношении 3:1 начиная с вершины.
Определение. Наклонная пирамида – это пирамида в которой одно из ребер образует тупой угол (β) с основанием.
Определение. Прямоугольная пирамида – это пирамида в которой одна из боковых граней перпендикулярна к основанию.
Определение. Остроугольная пирамида – это пирамида в которой апофема больше половины длины стороны основания.
Определение. Тупоугольная пирамида – это пирамида в которой апофема меньше половины длины стороны основания.
Определение. Правильный тетраэдр – четырехгранник у которого все четыре грани – равносторонние треугольники. Он является одним из пяти правильных многоугольников. В правильного тетраэдра все двугранные углы (между гранями) и трехгранные углы (при вершине) равны.
Определение. Прямоугольный тетраэдр называется четырехгранник у которого прямой угол между тремя ребрами при вершине (ребра перпендикулярны). Три грани образуют прямоугольный трехгранный угол и грани являются прямоугольными треугольниками, а основа произвольным треугольником. Апофема любой грани равна половине стороны основы, на которую падает апофема.
Определение. Равногранный тетраэдр называется четырехгранник у которого боковые грани равны между собой, а основание – правильный треугольник. У такого тетраэдра грани это равнобедренные треугольники.
Определение. Ортоцентричный тетраэдр называется четырехгранник у которого все высоты (перпендикуляры), что опущены с вершины до противоположной грани, пересекаются в одной точке.
Определение. Звездная пирамида называется многогранник у которого основой является звезда.
Определение. Бипирамида – многогранник, состоящий из двух различных пирамид (также могут быть срезаны пирамиды), имеющих общую основу, а вершины лежат по разные стороны от плоскости основания.
