Как найти пло щадь поверхности многогранника

Приветствую, сообщество Хакнем!

Сегодня в рубрике #хакнем_математика продолжим цикл статей, посвященных решению задач из ОГЭ и ЕГЭ по математике. Иногда в комментариях читатели спрашивают — зачем вы это пишите, и кому это нужно? Отвечаю — поверьте, кому-то это точно нужно! И даже, если моя статья поможет хоть 5-ти учащимся, я буду рада.

Недавно мой сын 11-классник пришёл ко мне с вопросом по задаче 8 (стереометрия) из ЕГЭ профильного уровня: «Ох, уж мне эта стереометрия, вроде решаю правильно, а ответ не сходится». Вот эта задача:

Задача 1

При решении этой задачи нам необходимо знать одну лишь формулу — формулу нахождения площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда с измерениями a, b, c: S = 2 ×(ab+ bc+ ac).

Как рассуждал сын? Он нашёл площадь нижнего параллелепипеда и площадь верхнего, и сложил результаты:

1. Площадь нижнего с измерениями 5×4×3 равна: S = 2 (5×4 + 4×3 + 5×3) = 94

2. Площадь верхнего с измерениями 3×2×3 равна: S = 2 (3×2 + 2×3 + 3×3) = 42

Если сложить эти два результата, получится 136. Где же ошибка?

Ошибка в том, что в найденных площадях и нижнего и верхнего параллелепипедов содержится площадь прямоугольника со сторонами 2×3 (S = 6, показана на рисунке красным, которая в площадь поверхности многогранника не входит.

Таким образом, из полученного результата надо вычесть две таких площади: 136 – 2×6 = 124. Ответ: 124.

Разберём ещё подобные задачи.

Задача 2

Решение:

Чтобы упростить решение задачи, достроим наш многогранник до параллелепипеда с измерениями 2×1×3.

Его площадь равна: S = 2 × (2×1 + 1×3 + 2×3) = 22.

Осталось вычесть площади «лишних» прямоугольников. Посмотрите на рисунок:

• прямоугольник (его площадь), показанный розовой штриховкой, оставляем, так он входит в многогранник;
• голубой тоже нужен;
• а вот 2 зелёных (со сторонами 1 × 2) — лишние, их площади нужно вычесть.

Итак, S = 22 – 2 × (1×2) = 22 – 4 = 18.

Ответ: 18.

Задача 3

Решение:

А эту задачу решим немного другим способом. Если вы внимательно посмотрите на рис. в условии, то увидите, что это параллелепипед с вырезанным уголком (ну или с вдавленным). И если бы была такая возможность, и мы могли бы взять за уголок и потянуть, как показано стрелкой на рисунке, то параллелепипед станет «целым».

А это значит, чтобы найти искомую площадь поверхности многогранника нужно найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с измерениями 5×5×3:

S = 2 × (5×5 + 5×3 + 5×3) = 110.

Ответ: 110.

Задача 4

Решение:

Достроим снова для наглядности многогранник до прямоугольного параллелепипеда с измерениями 4×6×4. Его площадь:

S = 2×(4×6 + 6×4 + 4×4) = 128.

• площадь жёлтого прямоугольника уже вошла в найденную площадь поверхности параллелепипеда;
• 2 площади зелёных прямоугольников со сторонами 1×4 (S = 4) нужно добавить к найденной площади параллелепипеда;
• 2 площади сиреневых прямоугольников со сторонами 1×2 (S = 2) — лишние, и поскольку они вошли в площадь параллелепипеда, а в искомом многограннике их на самом деле нет, то их вычтем.

Итак, S = 128 + 2×4 – 2×2 = 132.

Ответ: 132.

А в заключении приведу задачу с условием и рисунком, что и в задаче 1, но найти нужно объём многогранника.

Задача 5.

Решение:

Здесь всё намного проще. Достаточно найти объёмы 2-х параллелепипедов с измерениями 4×5×3 и 3×2×3 и сложить их.

Вспоминаем, что объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями a, b, c находится по формуле: V = a×b×c.

V1 = 4 × 5 × 3 = 60;

V2 = 3 × 2 × 3 = 18;

V = 60 + 18 = 78.

Ответ: 78.

Не путайте на экзамене объём и площадь поверхности.

Вы всегда можете распечатать решение этих задач из Дзен или скопировать себе ссылку на статью, а при подготовке к экзамену ещё раз перечитать решение и вспомнить.

Удачи!

Кстати, принесла эти задачи своим коллегам на работу (не в школу, так как моя работа никак с ней не связана), так вот они с интересом эти задачки порешали. В ход пошли различные подручные “модели” и сложенные фигурки из бумаги. Ведь самое сложное в них — понять что лишнее, а что уже входит. Хорошая гимнастика ума!

Если нашли ошибку или опечатку, пишите в комментариях, буду благодарна.

#хакнем_математика (👈 подпишись на этот хэштег, чтобы получать новый интересный и познавательный контент по математике 🥳

Автор: #ирина_чудневцева координатор канала Хакнем Школа, 42 года, город Ярославль

Похожие статьи автора:

Если у вас есть познавательный материал, тёплые воспоминания и интересные истории из школьной жизни, которые вы хотели бы опубликовать в нашем канале, или вы просто хотите стать автором канала, напишите нам об этом 👉 story@haknem.com