Как найти плошадь поверхности прямоугольной призмы

1. 

   1

   Отметьте длину, ширину и высоту призмы. У каждой прямоугольной призмы есть длина, ширина и высота. Нарисуйте призму и подпишите ее различные ребра латинскими буквами l, w и h.

   • Если вы не уверены, как отметить какое ребро, выберите любой угол призмы. Отметьте соответствующими буквами три ребра, выходящие из этого угла.
   • Пусть, например, основанием призмы является прямоугольник 3 на 4 сантиметра, а высота призмы составляет 5 сантиметров. Так как длинная сторона основания равна 4 сантиметрам, получаем l = 4, w = 3 и h = 5.

2. 

   2

   Взгляните на шесть граней призмы. Чтобы покрыть всю поверхность фигуры, необходимо закрасить все ее шесть граней. Представьте себе каждую грань, либо возьмите коробку из-под овсяных хлопьев и посмотрите на нее:

   • По одной грани расположено сверху и снизу, причем они имеют одинаковый размер.^[1]
     
   • По одной грани находится впереди и сзади, их площади равны.
   • По грани расположено слева и справа, они также одинаковы.
   • Если вам сложно представить эту картину, разрежьте коробку по краям и разверните ее.^[2]
     

3. 

   3

   Найдем площадь основания призмы. Для начала узнаем площадь лишь одной грани, а именно, нижней. Эта грань, как и все остальные, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника была отмечена вами как длина, а вторая – как ширина. Чтобы найти площадь прямоугольника, необходимо перемножить длину двух его сторон. Таким образом, Площадь (нижней грани) = длина, умноженная на ширину = lw.

   • Возвращаясь к нашему примеру, для площади основания призмы получаем 4 сантиметра x 3 сантиметра = 12 квадратных сантиметров.

4. 

   4

   Найдем площадь верхней грани. Но подождите – мы же установили, что верхняя и нижняя грань имеют одинаковую площадь. Таким образом, площадь верхней грани также равна lw.

   • В нашем примере площадь верхней грани составляет 12 квадратных сантиметров.

5. 

   5

   Определим площадь передней и задней граней. Вернемся к нашему рисунку и взглянем на переднюю грань: ее сторонами являются ширина и высота. Таким образом, площадь передней грани = ширина, умноженная на высоту = wh. Площадь задней грани также составляет wh.

   • В нашем примере w = 3 сантиметра и h = 5 сантиметров, поэтому площадь передней грани составляет 3 сантиметра x 5 сантиметров = 15 квадратных сантиметров. Площадь задней грани также равна 15 квадратным сантиметрам.

6. 

   6

   Вычислим площадь левой и правой граней. Их размер одинаков, поэтому достаточно найти площадь левой грани. Она ограничена длиной и высотой призмы. Таким образом, площадь левой грани составляет lh; площадь правой грани также равна lh.

   • В нашем примере l = 4 сантиметра и h = 5 сантиметров, так что площадь левой грани = 4 сантиметра x 5 сантиметров = 20 квадратных сантиметров. Площадь правой грани также равна 20 квадратным сантиметрам.

7. 

   7

   Сложим найденные площади. Итак, мы нашли площадь каждой из шести граней призмы. Сложив их вместе, найдем площадь поверхности всей призмы: lw + lw + wh + wh + lh + lh. Эту формулу можно использовать для вычисления площади поверхности любой прямоугольной призмы.

   • Завершая рассмотрение нашего примера, найдем площадь приведенной в нем призмы, сложив все синие числа, полученные ранее: 12 + 12 + 15 + 15 + 20 + 20 = 94 квадратных сантиметра.

   Реклама

1. 

   1

   Упростим формулу. Мы уже знаем, как вычислить площадь поверхности любой прямоугольной призмы. Однако это можно сделать быстрее, если провести несложные алгебраические преобразования. Начнем с полученного выше уравнения: Площадь прямоугольной призмы = lw + lw + wh + wh + lh + lh. Объединяя одинаковые слагаемые, получаем:

   • Площадь прямоугольной призмы = 2lw + 2wh + 2lh

2. 

   2

3. 

   3

   Проверим полученную формулу на нашем примере. Вернемся к рассмотренной ранее призме в виде коробки с длиной 4, шириной 3 и высотой 5 сантиметров. Подставим эти числа в нашу формулу:

   • Площадь = 2(lw + wh + lh) = 2 x (lw + wh + lh) = 2 x (4×3 + 3×5 + 4×5) = 2 x (12 + 15 + 20) = 2 x (47) = 94 квадратных сантиметра. Этот ответ совпадает с тем, что мы получили ранее. С помощью данного уравнения площадь поверхности прямоугольной призмы можно вычислить намного быстрее.

   Реклама

Советы

• Площадь всегда измеряется в “квадратных единицах”, таких как квадратные сантиметры или квадратные дюймы.^[3]
  Квадратный сантиметр в точности соответствует своему названию: это площадь квадрата с длиной стороны 1 сантиметр. Если площадь поверхности призмы равна 50 квадратным сантиметрам, это значит, что для покрытия всей поверхности призмы понадобится ровно 50 таких квадратов.
• Некоторые учителя вместо понятия “ширина” используют термин “глубина” призмы. Это неважно, лишь бы вы ясно различали три отдельные ребра призмы.
• Если вы не уверены в том, где у призмы верх, высотой можно назвать любое из трех ребер. За длину обычно принимают самое длинное ребро, но и это не столь важно. Главное, пользоваться одними и теми же обозначениями на протяжении всего решения задачи.^[4]
  

Реклама

Surface Area Help

1. 

   1

   Label the length, width, and height of your rectangular prism. Each rectangular prism has a length, a width, and a height. Draw a picture of the prism, and write the symbols l, w, and h next to three different edges of the shape.^[2]
   

   • If you’re not sure which sides to label, pick any corner. Label the three lines that meet at that corner.
   • For example: A box has a base that measures 3 inches by 4 inches, and it stands 5 inches tall. The long side of the base is 4 inches, so l = 4, w = 3, and h = 5.

2. 

   2

   Look at the six faces of the prism. To cover the whole surface area, you’d need to paint six different “faces.” Think about each one — or find a box of cereal and look at them directly:^[3]
   

   • There are a top and bottom face. Both are the same size.^[4]
     
   • There are a front and a back face. Both are the same size.
   • There are a left and right face. Both are the same size.
   • If you have trouble picturing this, cut a box apart along the edges and lay it out.^[5]
     

   Advertisement

3. 

   3

   Find the area of the bottom face. To start out, let’s find the surface area of just one face: the bottom. This is a rectangle, just like every face. One edge of the rectangle is labeled length and the other is labeled width. To find the area of the rectangle, just multiply the two edges together.^[6]
   Area (bottom edge) = length times width = lw.

   • Going back to our example, the area of the bottom face is 4 inches x 3 inches = 12 square inches.

4. 

   4

   Find the area of the top face. Wait a second — we already noticed that the top and bottom faces are the same size. This must also have an area of lw^[7]
   .

   • In our example, the top area is also 12 square inches.

5. 

   5

   Find the area of the front and back faces. Go back to your diagram and look at the front face: the one with one edge labeled width and one labeled height. The area of the front face = width times height = wh. The area of the back is also wh.

   • In our example, w = 3 inches and h = 5 inches, so the area of the front is 3 inches x 5 inches =15 square inches. The area of the back face is also 15 square inches.

6. 

   6

   Find the area of the left and right faces. We’ve just got two faces left, each the same size. One edge is the length of the prism, and one edge is the height of the prism. The area of the left face is lh and the area of the right face is also lh.

   • In our example, l = 4 inches and h = 5 inches, so the area of the left face = 4 inches x 5 inches = 20 square inches. The area of the right face is also 20 square inches.

7. 

   7

   Add the six areas together. Now you’ve found the area of each of the six faces. Add them all together to get the area of the whole shape: lw + lw + wh + wh + lh + lh. You can use this formula for any rectangular prism, and you will always get the surface area.^[8]
   

   • To finish our example, just add up all the blue numbers above: 12 + 12 + 15 + 15 + 20 + 20 = 94 square inches.

Advertisement

1. 

   1

   Simplify the formula. You now know enough to find the surface area of any rectangular prism. You can do it faster if you’ve learned some basic algebra. Start with our equation above: Area of a rectangular prism = lw + lw + wh + wh + lh + lh. If we combine all the terms that are the same, we get:^[9]
   

   • Area of a rectangular prism = 2lw + 2wh + 2lh

2. 

   2

   Factor out the two. If you know how to factor in algebra, you can make it even shorter:^[10]
   

   • Area of a Rectangular Prism = 2lw + 2wh + 2lh = 2(lw + wh + lh).

3. 

   3

   Test it on an example.^[11]
   Let’s go back to our example box, with length 4, width 3, and height 5. Plug these numbers into the formula:

   • Area = 2(lw + wh + lh) = 2 x (lw + wh + lh) = 2 x (4×3 + 3×5 + 4×5) = 2 x (12 + 15 + 20) = 2 x (47) = 94 square inches. That’s the same answer we got before. Once you’ve practiced doing these equations, this is a much faster way to find the surface area.

Advertisement

Advertisement

• Areas always use “square units,” like square inches or square centimeters.^[12]
  A square inch is just what it sounds like: a square that’s one inch wide and one inch long. If a prism has a surface area of 50 square inches, that means it takes 50 of those squares to cover every surface on the prism.

• If you don’t know which way up the prism is, you can call any side the height. The length is usually the longest side, but even that’s not really important. As long as you stick with the same names for the whole problem, you’ll be fine.^[13]
  

• Some teachers use “breadth” or “depth” instead of one of these names. That’s fine, as long as you label each side clearly.

Did this summary help you?