Как найти плошадь в задаче

Как найти плошадь в задаче

Две фигуры называют равными, если одну их них можно так наложить на другую,
что эти фигуры совпадут.

Площади равных фигур равны. Их периметры тоже равны.

Площадь квадрата

Запомните!
!

Для вычисления площади квадрата нужно умножить его длину на саму себя.

S = a · a

Пример:

площадь квадрата
SEKFM = EK · EK

SEKFM = 3 · 3 = 9 см2

Формулу площади квадрата, зная
определение степени,
можно записать следующим образом:

S = a2

Площадь прямоугольника

Запомните!
!

Для вычисления площади прямоугольника нужно умножить его длину на ширину.

S = a · b

Пример:

площадь прямоугольника
SABCD = AB · BC

SABCD = 3 · 7 = 21 см2

Запомните!
!

Нельзя вычислять периметр или площадь, если длина и ширина выражены в разных единицах длины.

Обязательно проверяйте, чтобы и длина, и ширина были выражены в одинаковых единицах, то есть обе в см, м и т.д.

Площадь сложных фигур

Запомните!
!

Площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей.

Задача: найти площадь огородного участка.

площадь фигуры

Так как фигура на рисунке не является ни квадратом, ни прямоугольником, рассчитать её площадь можно используя
правило выше.

Разделим фигуру на два прямоугольника, чьи площади мы можем легко рассчитать по известной формуле.

площадь сложной фигуры
SABCE = AB · BC
SEFKL = 10 · 3 = 30 м2
SCDEF = FC · CD
SCDEF = 7 · 5 = 35 м2

Чтобы найти площадь всей фигуры, сложим площади найденных прямоугольников.
S = SABCE + SEFKL
S = 30 + 35 = 65 м2

Ответ: S = 65 м2 — площадь огородного участка.

Свойство ниже может вам пригодиться при решении задач на площадь.

Запомните!
!

Диагональ прямоугольника делит прямоугольник на два равных треугольника.

Площадь любого из этих треугольников равна половине площади прямоугольника.

Рассмотрим прямоугольник:

диагональ прямоугольника делит на равные треугольники

АС — диагональ прямоугольника
ABCD. Найдём площадь треугольников
знак треугольника
ABC и
знак треугольникаACD

Вначале найдём площадь прямоугольника по формуле.

SABCD = AB · BC
SABCD = 5 · 4 = 20 см2

Sзнак треугольника
ABC = SABCD : 2

Sзнак треугольника
ABC = 20 : 2 = 10 см2

Sзнак треугольника
ABC =
Sзнак треугольника
ACD = 10 см2

Ваши комментарии

Важно!
Галка

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Пришелец пожимает плечами

Оставить комментарий:

3 декабря 2015 в 22:54

Ирина Петренко
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Ирина Петренко
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

как написать правильно площадь треугольника?undecided

0
Спасибоthanks
Ответить

9 декабря 2015 в 19:41
Ответ для Ирина Петренко

Тима Клюев
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 8

(^-^)
Тима Клюев
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 8


S(рисуешь мини треугольник) = ,,,,,

0
Спасибоthanks
Ответить

Источник

Решение задач на вычисление площадей многоугольников чаще всего сводится к поиску величин отдельных элементов рассматриваемых фигур и дальнейшему применению соответствующих формул площадей.

Во многих задачах наряду с сугубо геометрическими приемами решения (дополнительные построения, применение равенства фигур и т. п.) используются и методы алгебры (составление уравнений или систем уравнений на основе метрических соотношений между элементами фигуры).

В ходе решения особое внимание следует уделить тому, однозначно ли данные задачи определяют взаимное расположение элементов фигуры.

Пример:

Найдите площадь трапеции, в которой одно из оснований равно 24 см, высота 12 см, а боковые стороны — 13 см и 20 см.

Решение:

Пусть Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

1) Для трапеции Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения (рис. 152, а): из треугольника Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения по теореме Пифагора имеем Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения аналогично из треугольника Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения имеем Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения тогда Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

2) Для трапеции Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения (рис. 152, б): из треугольника Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения по теореме Пифагора имеем Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения аналогично из треугольника Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения имеем Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

3) Для трапеции Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения (рис. 152, в): из треугольника Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения по теореме Пифагора имеем Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения аналогично из треугольника Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения имеем Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

4) Для трапеции Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения (рис. 152, г): из треугольника Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения по теореме Пифагора имеем Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения аналогично из треугольника Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения имеем Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения тогда Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения т.е. точки Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения расположены на прямой в указанном порядке.

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения
Ответ: Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Рассмотренная задача наглядно демонстрирует одну из причин, по которым в процессе решения геометрической задачи может возникать многовариантность. Но даже если такая ситуация не возникает, взаимное расположение элементов фигур нуждается в обосновании.

Пример:

Основания трапеции равны 10 см и 35 см, а боковые стороны — 15 см и 20 см. Найдите площадь трапеции.

Прежде всего заметим, что решение данной задачи фактически сводится к нахождению высоты трапеции. Итак, пусть дана трапеция Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определенияРешение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определенияРешение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Естественно было бы провести, как в предыдущей задаче, высоты Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения (рис. 153) и составить уравнение на основании теоремы Пифагора, примененной к треугольникам Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения и Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Такое решение позволит получить правильный ответ, но не будет полным, ведь принадлежность точек Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения отрезку Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения нужно обосновать. Попробуем избежать необходимости такого обоснования, применив для решения другое дополнительное построение.

Решение:

Проведем через вершину Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения прямую Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения параллельную Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения (рис. 154).

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Поскольку по построению Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения — параллелограмм, то Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения следовательно, Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определенияСтороны треугольника Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения пропорциональны числам 3, 4, 5, следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, он является прямоугольным с гипотенузой Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

По формуле Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения находим высоту этого треугольника, которая одновременно является и высотой трапеции: Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения Следовательно, Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Ответ: 270 Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Как видим, этот способ намного более рационален, в частности, с точки зрения вычислений. Рассмотрим еще одну задачу, для решения которой используется дополнительное построение.

Пример:

Диагонали трапеции равны 30 см и 40 см и пересекаются под прямым углом. Найдите площадь трапеции.

Попробуем решить эту задачу чисто геометрическими методами. Основная сложность заключается в том, что данные отрезки не являются сторонами одного треугольника. Попробуем «исправить» эту ситуацию.

Решение:

Пусть дана трапеция Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения в которой Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определенияРешение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения Проведем через вершину Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения прямую Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определенияпараллельную диагонали Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения (рис. 155).

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Очевидно, что по построению угол Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения будет прямым, т.е. треугольник Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения прямоугольный с гипотенузой Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения С другой стороны, Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения — параллелограмм, тогда Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Обратим внимание на то, что треугольники Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения равновеликие, поскольку Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения а высоты, проведенные к этим сторонам, являются высотами трапеции. Таким образом, Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения т.е. искомая площадь трапеции равна площади треугольника Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения которая, в свою очередь, равна полупроизведению его катетов: 
Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения
Ответ: 600 Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Применение площадей

Теорема (об отношении площадей подобных треугольников)

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство:

 Пусть Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения с коэффициентом Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения т.е. Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определенияДокажем, что

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Проведем в данных треугольниках высоты Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения (рис. 161).

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Прямоугольные треугольники Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения подобны, поскольку Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения Это означает, что Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения т.е. Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения Учитывая, что Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения имеем:

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Пример:

Средняя линия отсекает от данного треугольника треугольник с площадью 8 Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения Найдите площадь данного треугольника.

Решение:

Пусть Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения — средняя линия треугольника Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения параллельная стороне  Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения(рис. 162), Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения 

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Треугольники Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения подобны по двум сторонам и углу между ними, причем Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения Тогда по доказанной теореме Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения откуда Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения
Ответ: Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Метод площадей

Понятия площади и формулы ее вычисления могут применяться даже в тех задачах, в условиях которых площадь не упоминается. Рассмотрим такой пример.

Пример:

Стороны параллелограмма равны 16 см и 12 см. Высота параллелограмма, проведенная к большей стороне, равна 3 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей стороне.

Решение:

Пусть дан параллелограмм со сторонами Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения к которым проведены высоты Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения длину которой необходимо найти (рис. 163).

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

По формуле площади параллелограмма Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения откуда Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Таким образом, Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Ответ: 4 см.

При решении этой задачи площадь параллелограмма вычислялась двумя разными способами. Поскольку площадь многоугольника независимо от способа ее вычисления определяется однозначно, то полученные выражения приравнивались, благодаря чему удалось связать известные величины с искомой. Такой метод, основанный на использовании площади как вспомогательной величины, называется методом вспомогательной площади или просто методом площадей.

Заметим, что из формул площади параллелограмма Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения и площади треугольника Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения следует важное утверждение: в параллелограмме (треугольнике) большей является высота, проведенная к меньшей стороне, меньшей — высота, проведенная к большей стороне.

Метод площадей используется как в задачах на вычисление, так и для доказательства утверждений.

Пример:

Сумма расстояний от точки, взятой внутри равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от выбора точки и равна высоте треугольника. Докажите.

Решение:

Пусть точка Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения лежит внутри равностороннего треугольника Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения со стороной Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения и Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения — расстояния от данной точки до сторон треугольника (рис. 164).

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Соединим точку Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения с вершинами треугольника. Площадь треугольника  Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения равна сумме площадей треугольников Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения и Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения в которых отрезки Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения являются высотами. Имеем:

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Отсюда Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения т.е. сумма рассматриваемых расстояний равна высоте треугольника и не зависит от выбора точки Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Другие доказательства теоремы Пифагора

Исторически появление и доказательство теоремы Пифагора связаны с вычислением площадей. Поэтому в классической формулировке этой теоремы речь идет не о квадратах сторон прямоугольного треугольника, а о площадях соответствующих фигур:

  • площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

Рисунок 165, который наглядно воплощает эту формулировку, стал своеобразным символом геометрии и среди гимназистов позапрошлого столетия получил название «пифагоровы штаны».

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Шутливый стишок про «пифагоровы штаны» школьники запоминали на всю жизнь.

Докажем теорему Пифагора с помощью площадей.

Доказательство:

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

 Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения и гипотенузой Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения (рис. 166, а). Достроим его до квадрата со стороной Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения так, как показано на рисунке 166, б. Площадь этого квадрата равна Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения Построенный квадрат состоит из четырех равных прямоугольных треугольников площадью Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения и четырехугольника со сторонами длиной Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения который является квадратом (докажите это самостоятельно). Итак, имеем:    ^

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

т.е. Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Теорема доказана. 

На рисунках 166, в, г показаны другие способы доказательства теоремы Пифагора с помощью площадей. В трактатах индийского математика XII ст. Бхаскари один из них сопровождался только одним словом: «Смотри!». В целом сегодня известно более 150 разных способов доказательства этой знаменитой теоремы. Но каждый из вас может изобрести и свой собственный способ.

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Итоги главы 3.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения
Сумма углов многоугольника
Сумма углов выпуклого Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения-угольника равна Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения
Сумма внешних углов выпуклого Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения-угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения
Описанный многоугольник

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат в этой окружности.

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Описанный многоугольник.

Многоугольником называют описанным около окружностей, если все его стороны касаются этой окружности.

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Аксиомы площадей

  1. Равные многоугольники имеют равные площади.
  2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
  3. Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, равна единице площади

Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равные площади

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения где Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения – стороны прямоугольника.

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения где Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения — сторона квадрата

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определенияРешение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения где Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения — сторона параллелограмма,

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения — проведенная к ней высота

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения где Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения– сторона треугольника, Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения– проведенная к ней высота.

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения– катеты прямоугольного треугольника.

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения где Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения– сторона треугольника.

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения где Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения – диагонали ромба.

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения где Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения основание трапеции, Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения– высота трапеции.

Теорема об отношении площадей подобных треугольников Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия

Историческая справка:

Вычисление площадей многоугольников — первая среди тех практических задач, благодаря которым появилась геометрия как наука. Но не всегда представление об измерении площадей было таким, как сегодня.

Например, древние египтяне при вычислении площади любого треугольника брали половину произведения двух его сторон. Так же пять столетий назад измеряли площадь треугольника и в Древней Руси. Чтобы найти площадь четырехугольника, который не является квадратом, в Вавилоне использовали формулу произведения полусумм его противолежащих сторон.

В Средние века для вычисления площади треугольника со стороной и проведенной к ней высотой, которые выражаются целым числом Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения брали сумму членов натурального ряда от 1 до Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения т.е. число Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Кстати, в то время знали и правильную формулу площади этого треугольника Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения Ее обосновал средневековый математик Герберт, который в X ст. даже занимал какое-то время престол Римского Папы под именем Сильвестра II.

Древние вавилоняне еще четыре тысячи лет назад умели правильно вычислять площадь квадрата, прямоугольника, трапеции. Немало формул площадей и объемов, с которыми вы познакомитесь в старших классах, открыл знаменитый греческий ученый Архимед (ок. 287-212 гг. до н. э.). И это все при том, что в те древние времена не было даже алгебраической символики!

Сегодня, благодаря значительно более широкому применению алгебры в геометрии, мы имеем возможность дать куда более простые и понятные решения многих задач, чем это было возможно в те далекие времена.

  • Тела вращения: цилиндр, конус, шар
  • Четырехугольник
  • Площади фигур в геометрии
  • Площади поверхностей геометрических тел
  • Эллипс
  • Гипербола
  • Парабола
  • Многогранник
Источник

Давайте вспомним, как найти площадь прямоугольника. Чтобы найти
площадь прямоугольника, надо длину умножить на ширину.

Вот формула для нахождения площади прямоугольника:

S = a · b

В этой формуле латинской буквой S обозначается площадь, буквами a и b  – стороны прямоугольника.

Выполним задание, в котором надо найти площадь
прямоугольника со сторонами 5 см и 3 см.

Решение. Итак, чтобы найти площадь
прямоугольника, надо его длину умножить на ширину.

Произведение чисел 5 и 3 равно 15. Значит, площадь прямоугольника
равна 15 квадратным сантиметрам. Не забудьте, что площадь измеряется именно в
квадратных единицах. В данной задаче это квадратные сантиметры. Также важно
помнить, что длина и ширина должны быть выражены в одинаковых единицах длины.

3 · 5 =
15 (см2)

Ответ: площадь прямоугольника равна 15 см2.

Теперь давайте найдём площадь квадрата со стороной 4 см.

Решение. У этого квадрата каждая
сторона равна 4 см, поэтому умножим 4 на 4 и получится, что площадь квадрата
равна 16 квадратным сантиметрам.

4 · 4 =
16 (см2)

Ответ: площадь квадрата равна 16 см2.

Ну а сейчас перейдём к решению задач, в которых нам надо будет
найти площадь сложных фигур.

Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке.

Эта фигура не является ни прямоугольником, ни квадратом. Но мы
можем разделить эту фигуру на два прямоугольника, например, вот таким образом.

 А площади прямоугольников мы легко можем найти с помощью
известной формулы.

Напомним, что противоположные стороны прямоугольника равны.

Итак, стороны первого прямоугольника равны 5 см и 4 см.

5 · 4 =
20 (см2) – площадь первого прямоугольника

Найдём площадь второго прямоугольника.

Ширина этого прямоугольника равна 2 см.

7 – 4 = 3 (см) – длина второго прямоугольника

3 · 2 = 6
(см2) – площадь второго прямоугольника

Мы нашли площади прямоугольников, из которых состоит сложная
фигура. Чтобы найти площадь этой фигуры, надо сложить найденные площади.

20 + 6 = 26
(см2) – площадь сложной фигуры

Ответ: площадь фигуры, изображённой на рисунке, равна 26 см2.

Площадь этой сложной фигуры найти другим способом. Можно разделить
её на два прямоугольника вот таким образом.

Найдём площадь первого прямоугольника.

Одна его сторона равна 4 см.

5 – 2 = 3 (см) – длина стороны первого прямоугольника

4 · 3 =
12 (см2) – площадь первого прямоугольника

Теперь найдём площадь второго прямоугольника.

7 · 2 =
14 (см2) – площадь второго прямоугольника

12 + 14 =
26 (см2) – площадь сложной фигуры

Ответ: площадь фигуры, изображённой на рисунке, равна 26 см2.

Решим следующую задачу.

Найдём площадь ещё одной фигуры, изображённой на рисунке.

Чтобы найти площадь этой фигуры, тоже разделим её на простые
фигуры. Сделаем это вот таким образом.

Получилось 3 прямоугольника.

Найдём площадь первого прямоугольника.

7 · 2 =
14 (см2) – площадь первого прямоугольника

Найдём площадь второго прямоугольника.

7 – 4 = 3 (см) – длина одной стороны второго прямоугольника

8 – 2 – 3 = 3 (см) – длина другой стороны второго прямоугольника

Получается, что это квадрат, так как длина всех его сторон равна 3
см.

3 · 3 = 9
(см2) – площадь квадрата

И найдём площадь последнего прямоугольника.

Его ширина равна 3 см. Длина равна 7 см.

3 · 7 =
21 (см2) – площадь третьего прямоугольника

Таким образом, мы нашли площади всех трёх фигур, на которые
разделили данную сложную фигуру. Площадь этой сложной фигуры найдём как сумму
площадей трёх фигур.

14 + 9 + 21 =
44 (см2) – площадь сложной фигуры

Ответ: площадь фигуры, изображённой на рисунке, равна 44 см2

Отметим, что площадь этой фигуры можно было бы найти, разделив её
на простые фигуры и вот таким образом:

И решим ещё одну задачу.

Найдите площадь незаштрихованной фигуры.

На рисунке изображён прямоугольник со сторонами 9 см и 5 см.
Внутри этого прямоугольника расположен ещё один прямоугольник со сторонами 5 см
и 3 см. Давайте найдём площадь каждого из них.

9 · 5 =
45 (см2) – площадь большего прямоугольника

5 · 3 =
15 (см2) – площадь меньшего прямоугольника

А как найти площадь незаштрихованной фигуры? Площадь этой фигуры
найдём, если из площади большего прямоугольника вычтем площадь меньшего
прямоугольника.

45 – 15 =
30 (см2) – площадь незаштрихованной фигуры

Ответ: площадь незаштрихованной фигуры равна 30 см2.

Источник
Объем, площадь, периметр. Задачи для начальной школы

Чтобы найти площадь прямоугольника, надо его ширину умножить на длину.

Формула площади

S = a * b

Чтобы найти периметр прямоугольника, надо сложить все его стороны.

Формула периметра

Р = а * 2 + b * 2 или Р = (а + b ) * 2

Формулы площади и периметра для квадрата выглядят так:

S = a * a

Р = а * 4

Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, надо умножить его длину на ширину и высоту.

Формула объема

V = a * b * c

Формула объема для куба

V = a * a * a

Задачи

  • Длина прямоугольника равна 5 см, а ширина – 4 см. Найдите площадь и периметр прямоугольника.
  • Сторона квадрата равна 20 см. Найдите площадь и периметр квадрата.
  • Вычислите периметр квадрата со стороной 6 дм.
  • Вычислите площадь прямоугольника, длины сторон которого равны 12 мм и 8 мм.
  • Длина прямоугольника равна 30 см, ширина – на 10 см меньше. Найдите Р и S этого прямоугольника.
  • Длина одной стороны прямоугольника 4 см, а ширина в 2 раза больше. Найдите периметр и площадь прямоугольника.
  • Сторона квадрата равна 10 дм. Чему равен периметр?
  • Ширина прямоугольника 9 дм, а длина в 2 раз больше ширины. Найдите Р и S этого прямоугольника.
  • Площадь прямоугольника 54 см², его длина 9 см. Чему равна ширина прямоугольника?
  • Периметр квадрата равен 20 см. Найдите его площадь.
  • Площадь прямоугольника равна 360 см², его длина 6 см. Найдите периметр этого прямоугольника.
  • Периметр прямоугольника равен 40 дм. Ширина – 5 дм. Найдите его площадь?
  • Сад около дома имеет ширину 20 м, а длину – 30 м. Какой длины надо поставить вокруг сада. Какова площадь сада?
  • Прямоугольный параллелепипед имеет следующие грани – 6 см, 8 см, 10см. Найдите объем параллелепипеда.
  • Высота комнаты 3 м, ширина 6 м, а длина 10 м. Сколько кубических метров воздуха находится в комнате? Найдите площадь пола, потолка, стен?
  • Найдите объем бассейна, если его глубина 3 м, ширина 12м, длина 20 м.
  • Длина аквариума 50 см, ширина – 30 см, высота 40 см. Сколько литров воды можно в него налить (до краев)?
  • Найдите объем книги. Толщина – 2 см, ширина – 15 см, а длина – 20 см.

Также посмотрите дополнительные задания по темам:

Задания на таблицу умножения и деления.

Уравнения простые и составные, 3 класс.

Карточки для развития внимания на каждый день (примеры с несколькими действиями плюс упражнение на внимание).

Единицы времени.

Примеры на порядок действий (примеры с несколькими действиями).

Единицы длины и Единицы веса.

Источник

Для решения задач на нахождения периметра и площади прямоугольников и квадратов необходимо освоить следующие основные формулы:

a — длина
b — ширина
P — периметр
S — площадь

Формулы площади и периметра для квадрата

P = a + a + a + a; P = a · 4 — периметр квадрата
S = a · a; S = a² — площадь квадрата

Формулы площади и периметра для прямоугольника

P = a + b + a + b; P = 2a + 2b;
P = (a + b) · 2 — периметр прямоугольника
S = a ·  b — площадь прямоугольника

Задачи на нахождение площади и периметра

Примеры решения задач разной сложности на нахождение периметра и площади

Задача 1

Каков периметр треугольника ABC?

Задача 1

Ответ: периметр треугольника равен 125 см.

Задача 2

Красный треугольник является равносторонним со стороной 23 сантиметров. Чему равен его периметр?

Задача 2

Ответ: Все три стороны равностороннего треугольника равны. Таким образом, его периметр равен 23 · 3 = 69 см.

Задача 3

Равнобедренный треугольник имеет периметр 37 сантиметров, а его основание имеет длину 9 сантиметров. Каждая из двух других сторон будет иметь длину _____ см.?

Ответ: Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны. Сумма равных сторон будет 37 – 9 = 28 см. Значит, каждая из них будет равна 28 : 2 = 14 см.

Задача 4

У Тимы есть сад в форме квадрата со стороной 9 метров. Какова длина забора, который опоясывает сад?

Ответ: Все стороны квадрата равны. Длина забора P равна длине стороны умноженной на 4. P = 4 · 9 = 36 метров.

Задача 5

В прямоугольнике ABCD красная сторона составляет 18 см, а синяя сторона 12 см. Чему равен периметр прямоугольника?

Задача 5

Ответ: Периметр прямоугольника равен 60 см.

Задача 6

Длина прямоугольника 8 дм, ширина 7 дм. Найди его площадь?

Ответ: Площадь прямоугольника 56 м².

Задача 7

Площадь витрины квадратной формы 64м². Узнай ее периметр.

Ответ: Периметр витрины равен 32 м.

Задача 8

Длина прямоугольника 9 дм, ширина 7 см. Найдите его площадь.

Ответ: Площадь прямоугольника равна 630 см².

Задача 9

Парк имеет форму прямоугольника с длиной 24 метра и шириной 18 метров. Если на его сторонах надо посадить деревья с отступом в 2 метра друг от друга, то сколько нужно деревьев?

Задача 9

Ответ: 42 дерева.

Задача 10

Каков периметр синей фигуры?

Задача 10

Ответ: Здесь есть два квадрата, у которых есть общая часть стороны. Так как сторона квадрата равна 10 см и часть стороны равна 8 см, то общая часть 2 см, а оставшаяся часть второго квадрата равна 8 см.
Периметр равен 10 + 10 + 8 + 10 + 10 + 10 + 8 + 10 = 76 см.

Задача 11

Два прямоугольных участка имеют одинаковую площадь. Длина первого – 48 м, а ширина 30 м. Чему равна длина второго участка, если его ширина на 6 м больше ширины первого участка?

Ответ: Длина второго участка 40 м.

Задача 12

Найди периметр квадрата со стороной 8 см.


Ответ: Периметр квадрата 32 см.


Задача 13

Сторона квадрата 6 см. Найди длину прямоугольника с таким же периметром и шириной 3 см.


Решение:

6 · 4 = 24 (см) -находим периметр квадрата
3 + 3 = 6 (см) -сумма ширины прямоугольника
24 — 6 = 18 (см)- сумма двух длин прямоугольника
18 : 2 = 9 (см)

Ответ: Длина прямоугольника 9 см.

Задача 14

Длина бассейна прямоугольной формы 15 м. Найди периметр бассейна, если его площадь 120 м2.



Решение:

120:15=8 (м)- ширина бассейна
(8+15)·2= 46 (м)

Ответ: Периметр бассейна 46 метров

Задача 15

Периметр квадрата 8 см. Из трех таких квадратов сложили прямоугольник. Найди периметр получившегося прямоугольника.


Решение:

8:4=2 (см)- сторона квадрата
2+2+2+2+2+2+2+2=16(см)

Ответ: Периметр прямоугольника 16 см.

Задача 16

Ученику нужно было начертить прямоугольник со сторонами 5 см и 9 см, а он начертил его со сторонами 6 и 8 см. На сколько см² он ошибся?


Решение:

5 · 9 = 45 (см²)
6 · 8 = 48 (см²)
48 — 45 = 3 (см²)

Ответ: Ученик ошибся на 3 см²

Задача 17

Ширина окна прямоугольной формы 4 дм, а длина в 2 раза больше. Вычисли площадь окна.


Решение:

4·2=8 (дм) -длина окна
8·4=32 (дм²)

Ответ: Площадь окна 32 дм²

Задача 18

Один прямоугольный участок имеет длину 36 м, а ширину 20 м. Найдите ширину другого участка с такой же площадью, если его длина на 6 м меньше длины первого участка.

Ответ: Ширина другого участка 24 м.


Задача 19

У какой фигуры площадь больше и на сколько: у квадрата со стороной 4 см или у прямоугольника со сторонами 2 см и 6 см?

Ответ: Площадь квадрата больше на 4 см.

Задача 20

Длина стороны квадрата 6 см. Узнайте площадь и периметр квадрата.

Ответ: Площадь квадрата 36 см², периметр квадрата 24 см.

Задача 21

У прямоугольника длина 7 см, ширина 5 см. Узнайте площадь и периметр прямоугольника.

Ответ: Площадь прямоугольника 35 м², периметр прямоугольника 24 см.

Задача 22

Сторона клумбы квадратной формы 8 м. 7/16 всей площади клумбы засажено ромашками, а остальная площадь – незабудками. На какой площади клумбы посажены незабудки?

Решение:

1) 8 ∙ 8 = 64 (площадь клумбы)
2) 64 : 16 = 4(1/16 клумбы)
3) 4 ∙ 7 = 28 (плошадь клумбы засаженая ромашками)
4) 64 – 28 = 36

Ответ: Незабудками засажено 36 м².


Задача 23

Длина прямоугольника 6 см. Чему равна его площадь, если периметр составляет 18 см?

Решение:

1) 6 ∙ 2 = 12
2) 18 – 12 = 6
3) 6 : 2 = 3 (ширина прямоугольника)
4) 3 ∙ 6 = 18

Ответ: Площадь прямоугольника 18 м².

Задача 24

Площадь прямоугольного стола 4800 кв см. Его ширина 60 см. Чему равен его периметр?

Решение:

1) 4800 : 60 = 80 (длина стола)
2) 60 ∙ 2 = 120 см
3) 80 ∙ 2 = 160 см
4) 120 + 160 = 280 см

Ответ: Периметр стола 280 см.


Задача 25

Периметр прямоугольника 40 см. Одна сторона 5 см. Чему равна его площадь?

Решение:

1) 5 ∙ 2 = 10
2) 40 – 10 = 30
3) 30 : 2 = 15 (другая сторона прямоугольника)
4) 5 ∙ 15 = 75

Ответ: Площадь прямоугольника 75 см².

Задача 26

Площадь квадрата 49 кВ дм. Узнайте его периметр.

Решение:

1) 49 : 7 = 7 (сторона квадрата)
2) 7 ∙ 4 = 28 (периметр квадрата)

Ответ: Периметр квадрата равен 28 дм.

Задача 27

Ширина окна прямоугольной формы 4 дм, а длина в 2 раза больше. Вычислите площадь окна.

Решение:

1) 4 ∙ 2 = 8 (длина окна)
2) 4 ∙ 8 = 32

Ответ: Площадь окна равна 32 м².

Задача 28

Длина участка земли 54 м. ширина – 48 м. 5/9 площади засажено картофелем. Остальная часть участка – капустой. Какая площадь засажена капустой?

Решение:

1) 54 ∙ 48 = 2592 (площадь участка земли)
2) 2592 : 9 = 288 (1/9 площади)
3) 288 ∙ 5 = 1440 (5/9 площади)
4) 2592 – 1440 = 1152

Ответ: Капустой засадили 1152 м².

Задача 29

Найди периметр квадрата со стороной 16 см.

Ответ: Периметр квадрата 64 см.

Задача 30

Найди длину прямоугольника с помощью уравнения, если его ширина 7 см, а периметр равен 40 см.

Решение:

P = (a + b) · 2 — периметр прямоугольника
или
(a + b) · 2 = P,

где a —  длина = ?, b —  ширина = 7 см, P —  периметр = 40 см.

Составим уравнение:

(а + 7) · 2 = 40
2а + 14 = 40
2а = 40 – 14
2а = 26
а = 26 : 2
а = 13

Ответ: Длина прямоугольника 13 см.

Задача 31

Найди ширину прямоугольника, если его длина 10 см, а периметр равен 30 см.

Ответ: Ширина прямоугольника 5 см.

Задача 32

Периметр квадрата 24 см. Найди его площадь.

Решение:

24 : 4 = 6 (см)
6 · 6 = 36 (см²)

Ответ: Площадь квадрата 36 см².

Задача 33

Периметр прямоугольника 36 см. Длина его 4 см. Найди площадь прямоугольника.

Ответ: Площадь прямоугольника 56 см².

Задача 34

Площадь прямоугольника 40 см². Ширина его 4 см. Чему равен периметр прямоугольника?

Решение:

40 : 4 = 10 (см)
(10 + 4) · 2 = 28 (см)

Ответ: Периметр прямоугольника 28 см.

Задача 35

Ребро куба равно 2 сантиметров. Найти площадь всех граней куба.

Задача 35

Решение:

Куб — многогранник, поверхность которого состоит из шести одинаковых по площади квадратов.

У куба 8 вершин, 12 рёбер, 6 граней (поверхностей).

Если S = a · a — площадь квадрата, тогда
S = (a · a) · 6 — площадь всех граней куба, из условия задачи a = 2, тогда S = 2 · 2 · 6
2 · 2 · 6 = 24 (см²)

Ответ: Площадь всех граней куба равна 24 см².

Задача 36

Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок). Найдите площадь получившейся фигуры.

Задача 36

Ответ: Площадь получившейся фигуры равна 44.

Задача 37

Площадь одной клетки равна 1см.

  • Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке A.
  • Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке B.
  • Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке C.
  • Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке D.
  • Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке E.

Задача 37

Ответ: Площадь фигуры A 18,5 см², площадь фигуры B 20,5 см², площадь фигуры C 30,5 см², площадь фигуры A 18,5 см², площадь фигуры E 12 см².

Задача 38

Найдите площади и периметры фигурок. Сделайте вывод.

Задача 38

Ответ: Пусть каждая из сторон клетки равна 1 см, тогда применив формулу площади квадрата S = a · a получим площадь одной клетки 1 · 1 = 1 см²

Фигура A — прямоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда 1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры; фигура A имеет четыре стороны, тогда 1 + 4 + 1 + 4 = 10 см — периметр фигуры.

Фигура B — квадрат состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда 1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры; фигура B имеет четыре стороны, тогда 2 + 2 + 2 + 2 = 8 см — периметр фигуры.

Фигура C — неправильный многоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда 1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры; фигура C имеет шесть сторон, тогда 3 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 = 10 см — периметр фигуры.

Фигура D — неправильный многоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда 1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры; фигура D имеет восемь сторон, тогда 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 10 см — периметр фигуры.

Фигура E — неправильный многоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда 1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры; фигура E имеет восемь сторон, тогда 1 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10 см — периметр фигуры.

Вывод: Фигуры A, B, C, D, E имеют одинаковую площадь, но наименьший периметр имеет квадрат. У разных по форме плоских фигур, с одинаковой площадью, наименьший периметр всегда имеет квадрат. 

Задача 39

Квадрат в данной фигуре имеет периметр 24 см. Синий треугольник – периметр 15 см. Каков периметр красной фигуры?

Задача 39

Ответ: Периметр красной фигуры равен 27 см.

Задача 40

Периметр каждого из зеленых квадратов 12 см. Каков периметр большого квадрата?

Задача 40

Ответ: Периметр равен 36 см.

Задача 41

Площадь прямоугольника 72 см2. Какова длина и ширина прямоугольника, если ширина в 2 раза меньше, чем его длина?

Ответ: Длина прямоугольника равна 12 см. а ширина – 6 см.

Задача 42

Найти периметр прямоугольника, если сторона (катет) a = 6 см, а сторона (катет) b = 8 см.

Задача 42

Ответ: Периметр прямоугольника равен 24 см.

Задача 43

Периметр красного квадрата равен 16см. Красные треугольники равносторонние. Каково расстояние проползет улитка по пути ABCDFGHA?

Задача 43

Ответ: Расстояние пройденное улиткой будет равно 28 см.

Задача 44

В зале длиной 12 м и шириной 8 м надо покрыть пол квадратными плитками. Сколько потребуется плиток, если площадь каждой плитки 4 дм2?

Ответ: 2400 плиток.

Задача 45

Каков периметр зеленой зоны, если ширина синей зоны равна 3 метра?

Задача 45

Ответ: Периметр зеленой зоны равен 100 метров.

Источник

Добавить комментарий