Как найти площадь арки циклоиды - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Из настоящей статьи Вы научитесь находить площадь фигуры в пространстве, которая задана параметрическими кривыми.
Для этого Вам нужно знать минимум формул и хорошые знания из интегрирования.
Если имеем x=x(t), y=y(t) – параметрическое уравнение кусково-гладкой простой замкнутой кривой на промежутке [0;T], что проходит против часовой стрелки и ограничивает слева от себя фигурой то ее площадь S находим за формулой
Данный цикл задач в первую очередь облегчит учебу студентам мех-мату Львовского национального университета имени Ивана Франко при прохождении практикума из математического анализа.
Студенты всех Вузов могут набираться практики на подобных интегралах, и изучать методику вычисления площади.
Первый номер в примерах отвечает номеру основного задания из сборника М. В. Заболоцький, Фединяк С.И., Филевич П.В. “Практикум из математического анализа” (рядом стоит номер из сборника Б. П. Демидовича).

Для запоминания основных моментов схема интегрирования и нахождения площадей из примера в пример будет повторяться. По возможности сами решения будут проиллюстрированы подинтегральными кривыми.

Прибор 2.100 (2413) Найти площадь фигуры, которая ограничена кривыми, заданными в параметрической форме x=a(t-sin(t)), y=a(1-cos(t)) на промежутке [0;2*Pi] и y=0.

Вычисление: Циклоида – плоская трансцендентная кривая, которая определяется кинематически как траектория фиксированной точки круга радиуса a, что катится без скольжения по прямой.
Найдем производные по переменной t заданных функций:
x’=a(1-cos(t));
y’=a*sin(t).
Пределы интегрирования известны по условию – [0;2*Pi].
Запишем подинтегральную функцию за формулой x’*y-x*y’ (поскольку кривая (циклоида) проходит за ходом часовой стрелки):
Вычислим площадь фигуры ограниченной одною аркой циклоиды:

Определенные интегралы методом интегрирования частями вычисляются достаточно быстро.
Также не забывайте, что площадь измеряется в единицах квадратных.

Пример 2.101 (2414) Вычислить площадь фигуры, которая ограничена параметрическими кривыми x=2t-t², y=2t²-t³.

Вычисление: Вычислим производные по переменной t функций:
x’=2-2t;
y’=4t-3t².
Найдем пределы интегрирования – точки пересечения кривой, которая ограничивает заданную фигуру:
x=0 при t₁=0, t₂=2 и
y=0 при t₁=0, t₂=2 .
Поэтому имеем период ровный T=2.
Запишем подинтегральную функцию по формуле x’*y-x*y’ (поскольку кривая проходит против часовой стрелки):

Вычислим площадь фигуры, которая ограничена заданной кривой:

Здесь, как видите, интеграл найти вообще просто, подобные примеры на практических из математического анализа Вы возможно вычисляли огромное количество раз.

Пример 2.102 (2417.1) Найти площадь фигуры, которая ограничена параметрическими кривыми

Вычисление: Продифференцируем функции по переменной t:

Запишем пределы интегрирования (нужно предварительно исследовать функцию):
T=[0;2*Pi].
Запишем подинтегральную функцию за формулой x’*y

Вычислим площадь фигуры по формуле для параметрических кривых:

Определенный интеграл достаточно простой в плане вычислений.

Пример 2.103 (2415) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
x=a(cos(t)+t*sin(t)), y=a(sin(t)-t*cos(t)) (развертка круга) и x=a, .

Вычисление: Найдем производные функций по переменной t:

Пределы интегрирования выписываем из начального условия – [0;2*Pi].
Выведем подинтегральную функцию за формулой x’*y-x*y’

Вычислим площадь фигуры, которая ограничена заданной кривой и прямыми:

Следует заметить, что при интегрировании по углу не учитывается площадь треугольника S₁, что заштрихована серым.
Без построения графика функции учесть необходимость находить дополнительную площадь достаточно трудно.

Пример 2.104 (2416) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
x=a(2*cos(t)-cos(2t)), y=a(2*sin(t)-sin(2t)).

Вычисление: Вычислим производные по переменной t функций:

Запишем пределы интегрирования:
Сложим уравнение подинтегральной функции по формуле x’*y-x*y’

Через определенный интеграл вычисляем площадь фигуры, которая ограничена заданной кривой:

Интеграл не сложный, а конечная формула простая для расчетов площади.

Пример 2.105 (2417) Найти площадь фигуры, ограниченной параметрическими кривыми (эволюта эллипса)

Вычисление: Эволюта – множество точек центров кривизны кривой.
По отношению к своей эволюте любая кривая является эвольвентой (інволютою, то есть разверткой этой кривой).
Найдем производные функций по переменной t :

Пределы интегрирования равны:

Запишем подинтегральную функцию по формуле
x’*y-x*y’:

Интегрированием за периодом находим площадь фигуры, которая ограничена заданной кривой:

Пример 2429 Возведя уравнение к параметрическому виду, найти площади фигуры, ограниченной кривой (астроида).
Вычисление: Перепишем уравнение астроиды в виде

Пусть x=a*cos³(t), y=a*sin³(t).
Нетрудно подставить и убедиться, что это именно та подстановка которая будет уравнением астроиды в параметрической форме.
Далее по аналогии с примером 2.105 будем иметь

В следующих публикациях Вы найдете больше примеров на нахождение площади фигуры с помощью определенного интеграла.

Источник

Циклоида

Формула

Площадь арки циклоиды — это число, характеризующее арку (или часть арки) циклоиды в единицах измерения площади.

Арка циклоиды — это область, ограниченная циклоидой и осью абсцисс при 0 ≤ x ≤ 2π.

Рассмотрим арки циклоиды при 0 ≤ t ≤ 2π.

Содержание

1 Обозначения
2 Формула
3 Вывод формулы
4 См. также
5 Другие формулы

Обозначения[править]

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса первой точки дуги;

y₁ — ордината первой точки дуги;

t₁ — параметр (меньший) первой точки дуги;

x₂ — абсцисса второй точки дуги;

y₂ — ордината второй точки дуги;

t₂ — параметр (больший) второй точки дуги;

R — радиус производящей окружности;

t — параметрическая переменная;

x = R(t − sint) — параметрическое уравнение абсциссы циклоиды;

y = R(1 − cost) — параметрическое уравнение ординаты циклоиды;

S_цикл — площадь арки (или части арки) циклоиды.

Формула[править]

${displaystyle S_{text{арк.цикл.}}=R^{2}left({frac {3}{2}}t_{2}-2sin t_{2}+{frac {1}{4}}sin 2t_{2}right)-R^{2}left({frac {3}{2}}t_{1}-2sin t_{1}+{frac {1}{4}}sin 2t_{1}right),}$

${displaystyle 0leq t_{1}leq t_{2}leq 2pi }$

Площадь полной (от 0 до 2π) арки циклоиды равна площади трёх производящих кругов, S_{арк.цикл} = 3πR².

Вывод формулы[править]

${displaystyle S_{text{арк.цикл.}}=int limits _{t_{1}}^{t_{2}}R(1-cos t)[R(t-sin t)]_{t}^{'}dt=int limits _{t_{1}}^{t_{2}}R^{2}(1-cos t)^{2}dt=}$

${displaystyle =R^{2}int limits _{t_{1}}^{t_{2}}(1-2cos t+cos ^{2}t)dt=R^{2}int limits _{t_{1}}^{t_{2}}left(1-2cos t+{frac {1+cos 2t}{2}}right)dt=}$

${displaystyle =R^{2}int limits _{t_{1}}^{t_{2}}left({frac {3}{2}}-2cos t+{frac {1}{2}}cos 2tright)dt=left.R^{2}left({frac {3}{2}}t-2sin t+{frac {1}{4}}sin 2tright)right|_{t_{1}}^{t_{2}}=}$

${displaystyle =R^{2}left({frac {3}{2}}t_{2}-2sin t_{2}+{frac {1}{4}}sin 2t_{2}right)-R^{2}left({frac {3}{2}}t_{1}-2sin t_{1}+{frac {1}{4}}sin 2t_{1}right)}$

Для вывода используется формула «площадь плоской фигуры» в параметрической форме.

См. также[править]

Длина дуги циклоиды

Другие формулы[править]

площадь плоской фигуры;
площадь круга;
площадь сегмента круга;
площадь сектора круга;
площадь серпа;
площадь эллипса;
площадь сегмента эллипса;
площадь сектора эллипса;
площадь серпа эллипса;
площадь сегмента параболы;
площадь сегмента гиперболы;
площадь сектора кардиоиды;
площадь сектора лемнискаты Бернулли;
площадь сегмента правильного многоугольника;
площадь сектора правильного многоугольника;
площадь арки синусоиды;
площадь арки косинусоиды;
площадь, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс;
площадь, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс;
площадь арки циклоиды;
площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс;
площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс.

Источник

Уравнения кривых. Циклоида.

Циклоида (от греческого – круглый). – кривая которую формирует фиксированная точка окружности радиуса r, катящейся без скольжения по неподвижной прямой. Термин “циклоида” предложил Г. Галилей.

Точки, в которых циклоида пересекается с прямой, по которой катится окружность (эту окружность обозначают как производящую, а прямую, по которой она катится, – направляющую), обозначают как точки возврата, а самые высокие точки на циклоиде, размещенные посредине между соседними точками возврата, именуют вершинами циклоиды,

Обозначим горизонтальную ось координат как прямую, по которой катится формирующая окружность радиуса r. Тогда имеем нижеследующие уравнения в прямоугольной системе координат:

Циклоида характеризуется параметрическими уравнениями:

Циклоиду можно получить в результате решения дифференциального уравнения:

Циклоида ⁠

совместно с Еленой Зёрнышкиной

Помните оранжевые пластмассовые катафоты — светоотражатели, прикрепляющиеся к спицам велосипедного колеса? Прикрепим катафот к самому ободу колеса и проследим за его траекторией. Полученные кривые принадлежат семейству циклоид.

Колесо при этом называется производящим кругом (или окружностью) циклоиды.

Но давайте вернёмся в наш век и пересядем на более современную технику. На пути байка попался камушек, который застрял в протекторе колеса. Провернувшись несколько кругов с колесом, куда полетит камень, когда выскочит из протектора? Против направления движения мотоцикла или по направлению?

Как известно, свободное движение тела начинается по касательной к той траектории, по которой оно двигалось. Касательная к циклоиде всегда направлена по направлению движения и проходит через верхнюю точку производящей окружности. По направлению движения полетит и наш камушек.

Помните, как Вы катались в детстве по лужам на велосипеде без заднего крыла? Мокрая полоска на вашей спине является житейским подтверждением только что полученного результата.

Век XVII — это век циклоиды. Лучшие учёные изучали её удивительные свойства.

Какая траектория приведёт тело, движущееся под действием силы тяжести, из одной точки в другую за кратчайшее время? Это была одна из первых задач той науки, которая сейчас носит название вариационное исчисление.

Минимизировать (или максимизировать) можно разные вещи — длину пути, скорость, время. В задаче о брахистохроне минимизируется именно время (что подчёркивается самим названием: греч. βράχιστος — наименьший, χρόνος — время).

Первое, что приходит на ум, — это прямолинейная траектория. Давайте также рассмотрим перевёрнутую циклоиду с точкой возврата в верхней из заданных точек. И, следуя за Галилео Галилеем, — четвертинку окружности, соединяющую наши точки.

Сделаем бобслейные трассы с рассмотренными профилями и проследим, какой из бобов приедет первым.

История бобслея берёт своё начало в Швейцарии. В 1924 году во французском городе Шамони проходят первые зимние Олимпийские игры. На них уже проводятся соревнования по бобслею для экипажей двоек и четвёрок. Единственный год, когда на Олимпийских играх экипаж боба состоял из пяти человек, был 1928. С тех пор в бобслее всегда соревнуются мужские экипажи двойки и четвёрки. В правилах бобслея много интересного. Конечно же, существует ограничения на вес боба и команды, но существуют даже ограничения на материалы, которые можно использовать в коньках боба (передняя пара их подвижна и связана с рулём, задняя закреплена жёстко). Например, радий не может использоваться при изготовлении коньков.

Дадим старт нашим четвёркам. Какой же боб первым приедет к финишу? Боб зелёного цвета, выступающий за команду Математических этюдов и катившийся по циклоидальной горке, приходит первым!

Почему же Галилео Галилей рассматривал четвертинку окружности и считал, что это наилучшая в смысле времени траектория спуска? Он вписывал в неё ломаные и заметил, что при увеличении числа звеньев время спуска уменьшается. Отсюда Галилей естественным образом перешёл к окружности, но сделал неверный вывод, что эта траектория наилучшая среди всех возможных. Как мы видели, наилучшей траекторией является циклоида.

Через две данные точки можно провести единственную циклоиду с условием, что в верхней точке находится точка возврата циклоиды. И даже когда циклоиде приходится подниматься, чтобы пройти через вторую точку, она всё равно будет кривой наискорейшего спуска!

Ещё одна красивая задача, связанная с циклоидой, — задача о таутохроне. В переводе с греческого ταύτίς означает «тот же самый», χρόνος, как мы уже знаем — «время».

Сделаем три одинаковые горки с профилем в виде циклоиды, так, чтобы концы горок совпадали и располагались в вершине циклоиды. Поставим три боба на разные высоты и дадим отмашку. Удивительнейший факт — все бобы приедут вниз одновременно!

Зимой Вы можете построить во дворе горку изо льда и проверить это свойство вживую.

Задача о таутохроне состоит в нахождении такой кривой, что, начиная с любого начального положения, время спуска в заданную точку будет одинаковым.

Христиан Гюйгенс доказал, что единственной таутохроной является циклоида.

Конечно же, Гюйгенса не интересовал спуск по ледяным горкам. В то время учёные не имели такой роскоши заниматься науками из любви к искусству. Задачи, которые изучались, исходили из жизни и запросов техники того времени. В XVII веке совершаются уже дальние морские плавания. Широту моряки умели определять уже достаточно точно, но удивительно, что долготу не умели определять совсем. И один из предлагавшихся способов измерения широты был основан на наличии точных хронометров.

Первым, кто задумал делать маятниковые часы, которые были бы точны, был Галилео Галилей. Однако в тот момент, когда он начинает их реализовывать, он уже стар, он слеп, и за оставшийся год своей жизни учёный не успевает сделать часы. Он завещает это сыну, однако тот медлит и начинает заниматься маятником тоже лишь перед смертью и не успевает реализовать замысел. Следующей знаковой фигурой был Христиан Гюйгенс.

Он заметил, что период колебания обычного маятника, рассматривавшегося Галилеем, зависит от изначального положения, т.е. от амплитуды. Задумавшись о том, какова должна быть траектория движения груза, чтобы время качения по ней не зависело от амплитуды, он решает задачу о таутохроне. Но как заставить груз двигаться по циклоиде? Переводя теоретические исследования в практическую плоскость, Гюйгенс делает «щёчки», на которые наматывается веревка маятника, и решает ещё несколько математических задач. Он доказывает, что «щёчки» должны иметь профиль той же самой циклоиды, тем самым показывая, что эволютой циклоиды является циклоида с теми же параметрами.

Параметрическое уравнение циклоиды и уравнение в декартовых координатах

5. Параметрическое уравнение циклоиды и уравнение в декартовых координатах

Допустим, что у нас дана циклоида, образованная окружностью радиуса а с центром в точке А.

Если выбрать в качестве параметра, определяющего положение точки, угол t=∟NDM на который успел повернуться радиус, имевший в начале качения вертикально е положение АО, то координаты х и у точки М выразятся следующим образом:

х= OF = ON – NF = NM – MG = at-a sin t,

y= FM = NG = ND – GD = a – a cos t

Итак параметрические уравнения циклоиды имеют вид:

При изменении t от -∞ до +∞ получится кривая, состоящая из бесчисленного множества таких ветвей, какая изображена на данном рисунке.

Так же, помимо параметрического уравнения циклоиды, существует и ее уравнение в декартовых координатах:

, где r – радиус окружности, образующей циклоиду.

6. Задачи на нахождение частей циклоиды и фигур, образованных циклоидой

Задача №1. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды, уравнение которой задано параметрически

Решение. Для решения данной задачи, воспользуемся известными нам фактами из теории интегралов, а именно:

Площадь криволинейного сектора.

Рассмотрим некоторую функцию r = r(ϕ), определенную на [α, β].

Будем считать, что r и ϕ — полярные координаты точки. Тогда любому

r₀ — полярные координаты точки. Если ϕ будет меняться, «пробегая» весь[α, β], то переменная точка M опишет некоторую кривую AB, заданную

уравнением r = r(ϕ).

Определение 7.4. Криволинейным сектором называется фигура, ограниченная двумя лучами ϕ = α, ϕ = β и кривой AB, заданной в полярных

координатах уравнением r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.

Теорема. Если функция r(ϕ) > 0 и непрерывна на [α, β], то площадь

криволинейного сектора вычисляется по формуле:

Эта теорема была доказана ранее в теме определенного интеграла.

Исходя из приведенной выше теоремы, наша задача о нахождении площади фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды, уравнение которой задано параметрические x= a (t – sin t) , y= a (1 – cos t) , и осью Ох, сводится к следующему решению.

Решение. Из уравнения кривой dx = a(1−cos t) dt. Первая арка циклоиды соответствует изменению параметра t от 0 до 2π. Следовательно,

Задача №2. Найти длину одной арки циклоиды

Так же в интегральном исчислении изучалась следующая теорема и следствие из нее.

Теорема. Если кривая AB задана уравнением y = f(x), где f(x) и f ’ (x) непрерывны на [a, b], то AB является спрямляемой и

Следствие. Пусть AB задана параметрически

L_AB = (1)

Пусть функции x(t), y(t) непрерывно-дифференцируемые на [α, β]. Тогда

формулу (1) можно записать так

Сделаем замену переменных в этом интеграле x = x(t), тогда y’(x)= ;

dx= x’(t)dt и, следовательно:

А теперь вернемся к решении нашей задачи.

Решение. Имеем , а поэтому

= 8a

Задача №3. Надо найти площадь поверхности S, образованной от вращения одной арки циклоиды

В интегральном исчислении существует следующая формула для нахождения площади поверхности тела вращения вокруг оси х кривой, заданной на отрезке [a,b] параметрически: x=φ(t), y=ψ(t) (t₀ ≤t ≤t₁)

|S|=

Применяя эту формулу для нашего уравнения циклоиды получаем:

Задача №4. Найти объем тела, полученного при вращении арки циклоиды

В интегральном исчислении при изучении объемов есть следующее замечание:

Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию задана параметрическими уравнениями и функции в этих уравнениях удовлетворяют условиям теоремы о замене переменной в определенном интеграле, то объем тела вращения трапеции вокруг оси Ох, будет вычисляться по формуле

Воспользуемся этой формулой для нахождения нужного нам объема.

Итак, в ходе выполнения данной работы были выяснены основные свойства циклоиды. Так же научились строить циклоиду, выяснила геометрический смысл циклоиды. Как оказалось циклоида имеет огромное практическое применение не только в математике, но и в технологических расчетах, в физике. Но у циклоиды есть и другие заслуги. Ею пользовались ученые XVII века при разработке приемов исследования кривых линий, — тех приемов, которые привели в конце концов к изобретению дифференциального и интегрального исчислений. Она же была одним из «пробных камней», на которых Ньютон, Лейбниц и их первые исследователи испытывали силу новых мощных математических методов. Наконец, задача о брахистохроне привела к изобретению вариационного исчисления, столь нужного физикам сегодняшнего дня. Таким образом, циклоида оказалась неразрывно связанной с одним из самых интересных периодов в истории математики.

1. Берман Г.Н. Циклоида. – М., 1980

2. Веров С.Г. Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды // Квант. – 1975. – №5

3. Веров С.Г. Тайны циклоиды// Квант. – 1975. – №8.

4. Гаврилова Р.М., Говорухина А.А., Карташева Л.В., Костецкая Г.С.,Радченко Т.Н. Приложения определенного интеграла. Методические указания и индивидуальные задания для студентов 1 курса физического факультета. — Ростов н/Д: УПЛ РГУ, 1994.

5. Гиндикин С.Г. Звездный век циклоиды // Квант. – 1985. – №6.

6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. – М.,1969

[1] Такая линия и называется «огибающей». Всякая кривая линия есть огибающая своих касательных.

[spoiler title=”источники:”]

http://etudes.ru/etudes/cycloid/

http://kazedu.com/referat/187764/3

[/spoiler]

Источник

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной осью 0x и одной аркой циклоиды

Рис. 2. Первая арка циклоиды. Циклоида представляет собой линию, которую описывает точка на ободе катящегося без проскальзывания колеса.

Решение. Представим интеграл в терминах переменной t.

Учитывая, что x(0)=0, и , получаем

Источник

Вычисление площади фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрическом виде.

Пусть x=x(t), y=y(t),
где
–
параметрические уравнения кусочно-гладкой
кривой. Если данные уравнения определяют
некоторую функцию y=f(x)
на отрезке [a,b]
(без ограничения общности будем считать,
что
на
отрезке [a,b]),
то площадь криволинейной трапеции,
ограниченной осью OX,
кривой y=f(x)
и прямыми x=a и x=b,
может быть найдена по формуле
.

Вводя
замену переменной y=y(t), x=x(t), dx= x’(t)dt,
получим формулу для вычисления площади
фигуры при параметрическом задании
границы:

Аналогично
может быть получена формула

Таким
образом, вычисление площади фигуры,
ограниченной кривой в параметрической
форме, может быть рассмотрено как замена
переменной при вычислении площади в
декартовых координатах.

Если x=x(t), y=y(t),
–
параметрические уравнения кусочно-гладкой
замкнутой кривой, пробегаемой в
положительном направлении (то есть
таким образом, что фигура, ограниченная
заданным контуром остается слева), то
площадь S этой
фигуры равна:

где
–
значения параметра, соответствующие
началу и концу обхода контура фигуры в
положительном направлении.

Пример
1. Найти площадь фигуры, ограниченной
кривой, заданной параметрически:
.

Решение.
Выясним, какую фигуру ограничивает
заданная кривая. Функции x=x(t)
и y=y(t)
определены, непрерывны и дифференцируемы
при любом действительном значении
параметра
.
Если
,
то
,
а если
,
то
.

Наибольшее
значение x принимает
при x’(t)=0,
2-2t=0; t=1, x(1)=1; y(1)=1.
Если x=0,
то t=2
или t=0.
При этих же значениях параметра y=0.
Таким образом, точка с координатами
(0;0) является точкой самопересечения.
Следовательно, искомая площадь ограничена
петлей кривой, расположенной в первом
квадранте, и соответствует изменению
параметра от t=0
до t=2
при положительном направлении обхода
(рисунок 7).

Рисунок
7.

Площадь
искомой фигуры можно вычислить по
формуле

Поскольку
некоторые кривые могут быть заданы
простыми параметрическими уравнениями,
то вычисление площади фигуры, ограниченной
замкнутой кривой, в декартовых координатах
зачастую удобнее проводить, перейдя к
параметрической форме записи.

Пример
2. Вычислить площадь фигуры ограниченной
эллипсом
.

Решение.
Запишем уравнение эллипса в параметрической
форме: x=a×cost, y=b×sint,
.
Возрастание параметра от 0 до
2p соответствует
положительному направлению обхода.
Наиболее простой вид подынтегральное
выражение примет, если воспользоваться
формулой

;

Вычисление длины дуги кривой.

Пусть
в декартовой системе координат на
плоскости дана кривая, являющаяся
графиком непрерывной дифференцируемой
функции y=f(x)
с непрерывной производной на отрезке
[a,b].
Разобьем отрезок [a,b]
произвольным образом на n частей
точками
.
Найдем значения функции f(x)
в точках разбиения. Тогда дуга кривой f(x)
на [a,b]
разобьется на n частей
точками

.
Проведем хорды
и
обозначим их длины
соответственно.
Полученная ломаная
имеет
длину
.

Определение. Длиной
дуги кривой y=f(x)
на отрезке [a,b]
называется предел, к которому стремится
длина вписанной ломаной при стремлении
к нулю длины ее наибольшего звена (или,
что то же самое, при неограниченном
увеличении числа точек деления)

Длина
отдельного звена ломаной может быть
найдена как длина отрезка
:

Поскольку
функция f(x)
непрерывна и дифференцируема на всем
промежутке [a,b],
то, по теореме Лагранжа о дифференцируемых
функциях, найдется такая точка
на
отрезке
,
что

Если
обозначить
,
то формулу для
можно
переписать в виде

Таким
образом, длина дуги y=f(x)
на отрезке [a,b]
определяется формулой

в
силу непрерывности f’(x)
и определения интегральной суммы.
Выражение
называется
дифференциалом дуги.

Если
кривая задана уравнением x=f(y), yÎ[a,b],
то, рассуждая аналогично, можно получить
формулу

,
.

Если
кривая на плоскости задана
параметрически: x=x(t), y=y(t),
;
,
где x(t), y(t)
– дифференцируемые функции, имеющие
на отрезке
непрерывную
производную, то, выполнив замену
переменной в предыдущих формулах,
получим:

,
.

Если
задана пространственная кривая
параметрическими
уравнениями x=x(t), y=y(t), z=z(t),
,
где x(t), y(t), z(t)
– дифференцируемые на отрезке
функции
с непрерывной производной, то длина
кривой вычисляется по формуле

,
.

Пусть
в полярных координатах кривая задана
уравнением
,
где
–
дифференцируемая функция с непрерывной
на
производной
.
Запишем формулы перехода от декартовой
системы координат к полярной:
.
Если в эти формулы подставить
,
то получится параметрическое задание
кривой, где параметр
–
полярный угол. Тогда по формуле для
параметрически заданной функции можно
найти длину дуги кривой: