Как найти площадь тетраэдра
Тетраэдром в стереометрии называется многогранник, который состоит из четырёх треугольных граней. Тетраэдр имеет 6 рёбер и по 4 грани и вершины. Если у тетраэдра все грани являются правильными треугольниками, то и сам тетраэдр называется правильным. Площадь полной поверхности любого многогранника, в том числе и тетраэдра можно рассчитать, зная площади его граней.
Инструкция
Чтобы найти площадь полной поверхности тетраэдра, необходимо вычислить площадь треугольника составляющего его грань.
Если треугольник равносторонний, то его площадь равна
S = √3 * 4 / a², где a – ребро тетраэдра,
тогда площадь поверхности тетраэдра находится по формуле
S = √3 * a².
В случае, если тетраэдр является прямоугольным, т.е. все плоские углы при одной из его вершин являются прямыми, то площади трёх его граней являющихся прямоугольными треугольниками можно рассчитать по формуле
S = a * b *1/2,
S = a * c *1/2,
S = b * c *1/2,
площадь третьей грани можно рассчитать по одной из общих формул для треугольников, например по формуле Герона
S = √(p * (p – d) * (p – e) * (p – f)), где p = (d + e + f)/2 – полупериметр треугольника.
В общем случае, площадь любого тетраэдра можно рассчитать, используя формулу Герона для вычисления площадей каждой его грани.
Источники:
- площадь поверхности тетраэдра
- Найдите площадь сечения тетраэдра биссекторной плоскостью
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Геометрия. Объясните, пожалуйста, как найти площадь сечения тетраэдра.
мойше цехновицер
Ученик
(9),
на голосовании
7 лет назад
В тетраэдре DABC угол DBA = угол DBC = 90 градусов, DB = 6, AB = BC = 8, AC = 12. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через середину DB и параллельной плоскости ADC (построил). Найдите площадь сечения. Как это сделать?
Голосование за лучший ответ
Михаил Ужов
Эксперт пока не указал должность
7 лет назад
Две грани – прямоугольные треугольники. Стороны сечения – средние линии этих треугольников, равные половинам гипотенузы.
Гипотенуза равна √(DB²+AB²)=√(36+64)=10; Стороны равны по 5.
Третья сторона сечения равна половине АС, 12/2=6
А дальше – формула Герона:
р=(5+5+6)/2=8
S=√(8×3×3×2)=12
Юлия Коваленко
Мудрец
(18185)
7 лет назад
Можно и как сказал Михаил, но зачем такие сложности?
Допустим, обозначь точку сечения на стороне ВС как С1, на стороне АВ как А1, на стороне DВ как D1. У тебя получается, что СС1=С1В, АА1=А1В, DD1=D1B.Находишь D1B, С1В, А1В. По теореме Пифагора считаешь D1C1, А1D1. А1С1=1/2АС как средняя линия треугольника АВС. Итак, ты нашёл все стороны треугольника сечения и доказал, что он равнобедренный. Проводишь в нём высоту, считаешь её, по формуле S=1/2основания*высоту находишь его площадь.
Тетраэдр – это уникальная пирамида с равносторонним треугольником в основании, которое идентично боковым граням. Таким образом, у тетраэдра всего четыре треугольные грани, которые конгруэнтны между собой – и это главное условие для правильных многогранников, ряд которых открывает тетраэдр. Площадь боковой поверхности тетраэдра будет равна трем площадям треугольников, а площадь полной поверхности тетраэдра – четырем. Для их нахождения достаточно знать всего лишь сторону треугольника:
