В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности правильной призмы разных видов (треугольной, четырехугольной и шестиугольной), а также, разберем примеры решения задач для закрепления материала.
Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. А прямой фигура является в том случае, если ее боковые грани перпендикулярны основаниям.
-
Формула площади правильной призмы
- 1. Общая формула
-
2. Площадь правильной треугольной призмы
- 3. Площадь правильной четырехугольной призмы
- 4. Площадь правильной шестиугольной призмы
- Примеры задач
Формула площади правильной призмы
1. Общая формула
Площадь (S) полной поверхности призмы равна сумме площади ее боковой поверхности и двух площадей основания.
Sполн. = Sбок. + 2Sосн.
Площадь боковой поверхности прямой призмы равняется произведению периметра ее основания на высоту.
Sбок. = Pосн. ⋅ h
Формула периметра и площади основания правильной призмы зависит от вида многогранника. Ниже мы рассмотрим самые популярные виды.
2. Площадь правильной треугольной призмы
Основание: равносторонний треугольник.
| Площадь | Формула |
| основание |  |
| боковая поверхность | Sбок. = 3ah |
| полная |  |
microexcel.ru
3. Площадь правильной четырехугольной призмы
Основание: квадрат.
| Площадь | Формула |
| основание | Sосн. = a2 |
| боковая поверхность | Sбок. = 4ah |
| полная | Sполн. = 2a2 + 4ah |
microexcel.ru
Примечание: Если высота правильной четырехугольной призмы равняется длине стороны ее основания, значит мы имеем дело с кубом, площадь одной грани которого равна a2. А так как все шесть граней куба равны, то полная площадь его поверхности равняется 6a2.
4. Площадь правильной шестиугольной призмы
Основание: правильный шестиугольник
| Площадь | Формула |
| основание |  |
| боковая поверхность | Sбок. = 6ah |
| полная |  |
microexcel.ru
Примеры задач
Задание 1:
Сторона правильной треугольной призмы равна 6 см, а ее высота – 8 см. Найдите полную площадь поверхности фигуры.
Решение:
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные нам значения:
Задание 2:
Площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы составляет 400 см2. Найдите ее высоту, если известно, что сторона основания равна 5 см.
Решение:
Выведем выражение для нахождения высоты призмы из формулы ее полной площади:
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Призма представляет собой объемную (трехмерную) фигуру с двумя параллельными (и равными) гранями.[1]
Две параллельные грани являются треугольниками и называются основаниями. Также в треугольной призме есть три боковые грани. Чтобы найти площадь поверхности треугольной призмы, сначала нужно вычислить площадь боковой поверхности, затем вычислить общую площадь оснований и, наконец, сложить эти площади. Площадь поверхности призмы находится по формуле: 
, где 
– площадь поверхности, 
– площадь боковой поверхности, 
– площадь одного основания.
-
1
-
2
Вычислите периметр одного основания. Основание представляет собой треугольник, поэтому имеет три стороны. Периметра треугольника вычисляется по формуле:
, где , , – стороны треугольника.[4]
Не имеет значения, какое основание рассматривать, так как оба основания равны.[5]
- Например, стороны основания равны 6 см, 5 см и 4 см; чтобы вычислить периметр, нужно сложить три стороны: . Таким образом, периметр одного основания равен 15 см.
- Например, стороны основания равны 6 см, 5 см и 4 см; чтобы вычислить периметр, нужно сложить три стороны:
-
3
Подставьте периметр основания в формулу для вычисления площади боковой поверхности призмы. Значение периметра подставляется вместо
.
- Например, .
- Например,
-
4
Подставьте высоту призмы в формулу для вычисления площади боковой поверхности призмы. Высота призмы равна любой стороне боковой грани, которая не принадлежит основанию. Как правило (но не всегда), такой стороной является более длинная сторона боковой грани.
- Например, если высота призмы равна 9 см, формула запишется так: .
- Например, если высота призмы равна 9 см, формула запишется так:
-
5
Перемножьте периметр одного основания и высоту призмы. Получится площадь боковой поверхности призмы (в квадратных единицах). Это первое значение, необходимое для вычисления площади поверхности призмы (вторым значением является площадь основания).
- Например, . Таким образом, площадь боковой поверхности призмы равна 135 см2.
Реклама
- Например,
-
1
-
2
Подставьте основание треугольника в формулу для вычисления площади треугольника. Не перепутайте основание с другой стороной треугольника. Основание – это сторона, к которой проведена высота (то есть сторона, перпендикулярная высоте).
- Например, если основание треугольника равно 6 см, формула запишется так: .
- Например, если основание треугольника равно 6 см, формула запишется так:
-
3
Подставьте высоту треугольника в формулу для вычисления площади треугольника. Умножьте основание на высоту, а результат разделите на 2. Получится площадь основания (в квадратных единицах). Это второе значение, необходимое для вычисления площади поверхности призмы.
Реклама
-
1
Запишите формулу для вычисления площади поверхности призмы. Формула:
, где где – площадь поверхности, – площадь боковой поверхности, – площадь одного основания.[8]
-
2
Подставьте площадь боковой поверхности в формулу. Это общая площадь трех боковых граней (то есть площади оснований не учитываются), которая была вычислена в первом разделе. Площадь боковой поверхности подставляется вместо
.
- В нашем примере площадь боковой поверхности равна 135 см2, поэтому формула запишется так: .
- В нашем примере площадь боковой поверхности равна 135 см2, поэтому формула запишется так:
-
3
Подставьте площадь основания в формулу. Подставляйте площадь только одного основания, а не сумму площадей двух оснований. Площадь основания подставляется вместо
.
- В нашем примере площадь основания равна 9,9 см2, поэтому формула запишется так: .
- В нашем примере площадь основания равна 9,9 см2, поэтому формула запишется так:
-
4
Проведите вычисления. Умножьте площадь основания на 2, а затем к результату прибавьте площадь боковой поверхности. Получится площадь поверхности треугольной призмы (в квадратных единицах).
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 163 917 раз.
Была ли эта статья полезной?
На чтение 4 мин Просмотров 65.8к. Опубликовано 13 февраля, 2019
Здесь вы найдёте: Объем правильной треугольной призмы понятие, Объем призмы треугольной формула нахождения, Площадь треугольной призмы
Треугольная призма — это трехмерное тело, образованное соединением прямоугольников и треугольников. В этом уроке вы узнаете, как найти размер внутри (объем) и снаружи (площадь поверхности) треугольной призмы.
Содержание
- Призма треугольная — определение
- Элементы треугольной призмы
- Виды треугольных призм
- Прямая треугольная призма
- Наклонная треугольная призма
- Основные формулы для расчета треугольной призмы
- Объем треугольной призмы
- Площадь боковой поверхности призмы
- Площадь полной поверхности призмы
- Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.
- Пример призмы
- Задачи на расчет треугольной призмы
Призма треугольная — определение
Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.
Элементы треугольной призмы
Треугольники ABC и A1B1C1 являются основаниями призмы.
Четырехугольники A1B1BA, B1BCC1 и A1C1CA являются боковыми гранями призмы.
Стороны граней являются ребрами призмы (A1B1, A1C1, C1B1, AA1, CC1, BB1, AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней.
Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h).
Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя.
Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы.
Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей четырехугольных граней призмы.
Виды треугольных призм
Треугольная призма бывает двух видов: прямая и наклонная.
У прямой призмы боковые грани прямоугольники, а у наклонной боковые грани — параллелограммы (см. рис.)
Прямая треугольная призма
Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой.
Наклонная треугольная призма
Призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований, называется наклонной.
Основные формулы для расчета треугольной призмы
Объем треугольной призмы
Чтобы найти объем треугольной призмы, надо площадь ее основания умножить на высоту призмы.
Объем призмы = площадь основания х высота
или
V=Sосн . h
Площадь боковой поверхности призмы
Чтобы найти площадь боковой поверхности треугольной призмы, надо периметр ее основания умножить на высоту.
Площадь боковой поверхности треугольной призмы = периметр основания х высота
или
Sбок=Pосн.h
Площадь полной поверхности призмы
Чтобы найти площадь полной поверхности призмы, надо сложить ее площади оснований и площадь боковой поверхности.
так как Sбок=Pосн.h, то получим:
Sполн.пов.=Pосн.h+2Sосн
Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.
Свойства призмы:
Верхнее и нижнее основания призмы – это равные многоугольники.
Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.
Боковые ребра призмы параллельные и равны.
Совет: при расчете треугольной призмы вы должны обратить внимание на используемые единицы. Например, если площадь основания указана в см2, то высота должна быть выражена в сантиметрах, а объем — в см3 . Если площадь основания в мм2, то высота должна быть выражена в мм, а объем в мм3 и т. д.
Пример призмы
В этом примере:
— ABC и DEF составляют треугольные основания призмы
— ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями
— Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.
— Точки A, B, C, D, E, F являются вершинами призмы.
Задачи на расчет треугольной призмы
Задача 1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
Решение: Объем прямой призмы равен V = Sh, где S — площадь основания, а h — боковое ребро. Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:
V = 1/2 · 6 · 8 · 5 = 120.
Задача 2.
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.
Решение:
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = Sосн ·h.
Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S2 = S1k2 = S122 = 4S1.
Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.
Таким образом, искомый объём равен 20.
Download Article
Download Article
A prism is a three-dimensional shape with two parallel, congruent bases.[1]
In a triangular prism, the bases are triangles. A triangular prism also has three lateral sides. To find the surface area of triangular prism, you first need to find the area of the lateral sides, then you need to find the area of the bases. Finally, you need to add these two areas together to find the total surface area. These steps are represented by the formula 
, where equals the lateral area of the prism and equals the area of one base.
-
1
-
2
Calculate the perimeter of one base. The base is a triangle, so it will have three sides. The area of the perimeter of a triangle is
, where , , and are the length of each side of the triangle.[4]
It doesn’t matter which base you use to calculate, because the two bases of a prism are congruent.- For example, if the base has three sides measuring 6 cm, 5 cm, and 4 cm, to calculate the perimeter, you would add up all three sides: . So, the perimeter of one base is 15 cm.
Advertisement
- For example, if the base has three sides measuring 6 cm, 5 cm, and 4 cm, to calculate the perimeter, you would add up all three sides:
-
3
Plug the perimeter into the lateral area formula. Make sure you substitute for the variable
in the formula.
- For example, .
- For example,
-
4
Plug the height of the prism into the lateral area formula. The height of the prism is the same as the length of the side of any lateral face that is not connected to the base. Usually (but not always) this will be the longer side of the lateral face.
- For example, if the height of the prism is 9 cm, your formula will look like this: .
- For example, if the height of the prism is 9 cm, your formula will look like this:
-
5
Multiply the perimeter of one base with the height of the prism. The result will give you, in square units, the lateral surface area of the prism. This is the first value you need to find the total surface area of the prism, so set this value aside while you calculate the area of the base.[5]
- For example, , So, the lateral surface area of the prism is 135 square centimeters.
- For example,
Advertisement
-
1
-
2
Plug the base of the triangle into the formula. Don’t confuse the base for another side of the triangle. The base is the side perpendicular to the height.[7]
- For example, if the base of the triangle is 6 cm, your formula will look like this: .
- For example, if the base of the triangle is 6 cm, your formula will look like this:
-
3
Plug the height of the triangle into the formula. Multiply the base by the height. Then, take half of this value. This will give you the area of the base, in square units. This is the second value you need to calculate the total surface area of the prism.[8]
Advertisement
-
1
Set up the formula for finding the surface area of a prism. The formula is
, where equals the surface area of the prism, equals the lateral area of the prism, and equals the area of one base.
-
2
Plug the lateral area into the formula. This is the surface area of all sides of the prism that are not the base. You should have calculated this previously. Make sure that you substitute the lateral area for the variable
.[9]
- For example, if the lateral area of your triangular prism is 135 square centimeters, your formula will look like this: .
- For example, if the lateral area of your triangular prism is 135 square centimeters, your formula will look like this:
-
3
Plug the area of one base into the formula. Make sure you use the area of just one base, not the total area of both bases combined. Substitute the base area for the variable
.
- For example, if the area of one base of your prism is 9.9 square centimeters, your formula will look like this: .
- For example, if the area of one base of your prism is 9.9 square centimeters, your formula will look like this:
-
4
Complete the calculations. Multiply the area of the base by 2, then add the lateral area. This will give you the total surface area, in square units, of your triangular prism.
Advertisement
Add New Question
-
Question
Can you make a clearer description of how to find the surface area of a triangular prism? I am so confused about how to do it, and I am freaked out that I will fail the test in school because of it!
A triangular prism is just a box with triangles for the top and bottom. The walls of the box are the same as they are for any other box – rectangular.
To find the surface area of the entire prism, you just find the surface area of the top, the bottom, and each wall – then you add them all together. So focus on each step on its own, as if it were its own problem, and write down the answer. What is the surface area of the triangular top? (Write that down.) What is the surface area of the triangular bottom? (Write that down.) Do the same for each wall, then add them all together. Then you’re done! You’ll find shortcuts along the way, but if they’re confusing you now, don’t worry about them.
-
Question
How can I find the surface area of the triangular prism without knowing its height?
It is not possible to find the surface area of a prism without knowing the height of the prism. If you are given the volume of the prism, it might be possible to derive the height from the formula V = bh, where V equals the volume, b equals the area of the base, and h equals the height. If you know the volume and the area of the base, you can solve for h. From here you can go on to calculate the surface area using the steps above.
-
Question
I’m very confused on how to find the 2B, can you help?
2B refers to the total area of the two triangular bases. As with any triangle, calculate the area of either triangular base by multiplying the “base” of the triangle (the length of one of its sides) by its height (the perpendicular distance from that side to the opposite vertex) and then dividing by 2. That gives you the area of either triangular base (B) of the prism. Multiply by 2 to get 2B, the total area of the two triangular bases. To that area you then add the “lateral” area (L) of the prism to get the total surface area (L + 2B).
See more answers
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
Video
Thanks for submitting a tip for review!
Things You’ll Need
- Writing utensil
- Paper
- Calculator (optional)
- Ruler (optional)
References
About This Article
Article SummaryX
To find the surface area of a triangular prism, use the formula Surface Area = L + 2B, where L is the lateral area and B is the area of the base. Find the lateral area by calculating the perimeter of the base and multiply it by the height of the prism. Then, find the base area by multiplying the base by the height of the triangle and dividing by 2. Next, plug the lateral area and base area into the Surface Area formula. Multiply the area of the base by 2 and add the lateral area to get your answer. Be sure to label your answer with the proper units squared. If you want to learn how to find the height of the base triangles, keep reading the article!
Did this summary help you?
Thanks to all authors for creating a page that has been read 331,661 times.
