Как найти площадь большего диагонального сечения призмы - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Как найти площадь диагонального сечения призмы

Призма — это многогранник с двумя параллельными основаниями и боковыми гранями в форме параллелограмма и в количестве, равном числу сторон многоугольника основания.

Инструкция

В произвольной призме боковые ребра расположены под углом к плоскости основания. Частным случаем является прямая призма. В ней боковые стороны лежат в плоскостях, перпендикулярных основаниям. В прямой призме боковые грани — прямоугольники, а боковые ребра равны высоте призмы.

Диагональное сечение призмы — часть плоскости, полностью заключенная во внутреннем пространстве многогранника. Диагональное сечение может быть ограничено двумя боковыми ребрами геометрического тела и диагоналями оснований. Очевидно, что число возможных диагональных сечений при этом определяется количеством диагоналей в многоугольнике основания.

Или границами диагонального сечения могут служить диагонали боковых граней и противоположные стороны оснований призмы. Диагональное сечение прямоугольной призмы имеет форму прямоугольника. В общем случае произвольной призмы форма диагонального сечения – параллелограмм.

В прямоугольной призме площадь диагонального сечения S определяется по формулам:
S=d*H
где d — диагональ основания,
H — высота призмы.
Или S=a*D
где а — сторона основания, принадлежащая одновременно плоскости сечения,
D — диагональ боковой грани.

В произвольной непрямой призме диагональное сечение — параллелограмм, одна сторона которого равна боковому ребру призмы, другая – диагонали основания. Или сторонами диагонального сечения могут быть диагонали боковых граней и стороны оснований между вершинами призмы, откуда проведены диагонали боковых поверхностей. Площадь параллелограмма S определяется формулой:
S=d*h
где d — диагональ основания призмы,
h — высота параллелограмма — диагонального сечения призмы.
Или S=a*h
где а — сторона основания призмы, являющаяся и границей диагонального сечения,
h — высота параллелограмма.

Для определения высоты диагонального сечения недостаточно знать линейные размеры призмы. Необходимы данные о наклоне призмы к плоскости основания. Дальнейшая задача сводится к последовательному решению нескольких треугольников в зависимости от исходных данных об углах между элементами призмы.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

В правильный шестиугольной призме все ребра равны 5 найдите площадь большего диагонального сечения (желательно с рисунком).

На этой странице сайта вы найдете ответы на вопрос В правильный шестиугольной призме все ребра равны 5 найдите площадь большего диагонального сечения (желательно с рисунком)?,
относящийся к категории Геометрия. Сложность вопроса соответствует базовым
знаниям учеников 10 – 11 классов. Для получения дополнительной информации
найдите другие вопросы, относящимися к данной тематике, с помощью поисковой
системы. Или сформулируйте новый вопрос: нажмите кнопку вверху страницы, и
задайте нужный запрос с помощью ключевых слов, отвечающих вашим критериям.
Общайтесь с посетителями страницы, обсуждайте тему. Возможно, их ответы
помогут найти нужную информацию.

Источник

Многогранник, две грани которого равные -угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные граней – параллелограммы, называют -угольной призмой.

Два -угольника называют основаниями призмы, а параллелограммы – боковыми гранями. Стороны граней называют ребрами призмы, а концы ребер – вершинами призмы.

На рисунке 9.41 изображена пятиугольная призма, на рисунке 9.42 – треугольная, а на рисунке 9.43 – четырехугольная.

На рисунке 9.42 треугольники и – основания призмы , параллелограммы , , – боковые грани, отрезки , , – боковые ребра, отрезки , , , , , – ребра оснований, точки , , , , , – вершины призмы.

Если грани призмы не имеют общего ребра, то их называют противоположными, если грани имеют общее ребро, то – смежными. На рисунке 9.43 грани и , и , а также и являются противоположными, а, например, грани и – смежными.

Две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называют противоположными. Например, на рисунке 9.43 вершины и – противоположные.

Диагональю призмы называют отрезок, соединяющий две противоположные вершины (например, диагональ на рисунке 9.41).

Треугольная призма не имеет противоположных граней, не имеет противоположных вершин и не имеет диагоналей.

Прямой призмой называют призму, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям ее оснований (рис. 9.42). Боковые грани прямой призмы – прямоугольники.

Наклонной призмой называют призму, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям ее оснований (рис. 9.41 и 9.43). Боковые грани наклонной призмы – параллелограммы (некоторые боковые грани могут быть и прямоугольниками).

Высотой призмы называют перпендикуляр, заключенный между основаниями призмы. Высота прямой призмы равна длине ее бокового ребра (рис. 9.42), высота наклонной призмы – не равна (рис. 9.41 и 9.43).

Диагональным сечением призмы называют сечение, содержащее диагональ призмы. На рисунке 9.44 построены диагональные сечения и четырехугольной призмы .

Параллелепипедом называют призму, основание которой – параллелограмм (рис. 9.44).

Прямым параллелепипедом называют параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны плоскостям его оснований (рис. 9.45).

Прямоугольным параллелепипедом называют прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник. На рисунке 9.46 изображен прямоугольный параллелепипед.

Свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда: квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений:

, (9.1)

где , , – длины ребер, выходящих из одной вершины, – диагональ параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда находят по формуле:

. (9.2)

Кубом называют прямоугольный параллелепипед с равными ребрами. Все грани куба – квадраты (рис. 9.47).

Объем куба с ребром находят по формуле:

. (9.3)

Площадь поверхности куба с ребром находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{n.}=6a^2$ . (9.4)

Диагональ куба с ребром а находят по формуле:

. (9.5)

Объем прямой призмы высоты и периметром основания находят по формуле:

$LaTeX formula: V=S_{o.} cdot h$ . (9.6)

Площадь поверхности прямой призмы находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{n.}=2S_{o.}+S_{delta .}$ . (9.7)

Площадь боковой поверхности прямой призмы высоты и периметром основания находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{delta .}=P_{o.} cdot h$ . (9.8)

Объем наклонной призмы можно вычислить по формуле:

$LaTeX formula: V=S_{o.} cdot h$ . (9.9)

Площадь поверхности наклонной призмы можно вычислить по формуле:

$LaTeX formula: S_{n.}=2S_{o.}+S_{delta .}$ , (9.10)

а также по формулам:

$LaTeX formula: V=S_{c.} cdot l$ , (9.9.1)

$LaTeX formula: S_{delta.}=P_{c.} cdot l$ , (9.10.1)

где сечение, перпендикулярное ребру (рис. 9.48).

Правильной призмой называют прямую призму, основанием которой является правильный многоугольник.

Пример 1. Найдите объем и площадь поверхности куба, зная, что его диагональ см.

Решение. Согласно формуле 9.5 и см. По формуле 9.3 $LaTeX formula: V=(2sqrt{3})^2=24sqrt{3}$ ( $LaTeX formula: _{CM}\^3$ ), а по формуле 9.4 $LaTeX formula: S_{n.}=6 cdot (2sqrt{3})^2=72$ ( $LaTeX formula: _{CM}\^2$ ).

Ответ: $LaTeX formula: _{CM}\^3$ ; $LaTeX formula: _{CM}\^2$ .

Пример 2. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого равна , а его измерения относятся как .

Решение. Согласно условию задачи запишем измерения параллелепипеда: , , .

Согласно свойству диагонали прямоугольного параллелепипеда 9.1, получим: , , откуда . Тогда , , .

Зная три измерения параллелепипеда, по формуле 9.2 найдем его объем: .

Ответ: .

Пример 3. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами см и см. Высота призмы равна см. Найдите площадь поверхности и объем призмы.

Решение. 1. Площадь треугольника с катетами и найдем по формуле $LaTeX formula: S=frac{1}{2}ab$ . Получим: $LaTeX formula: S=frac{1}{2} cdot 10 cdot 8=40$ ( $LaTeX formula: _{CM}\^2$ ).

2. Гипотенузу найдем по теореме Пифагора: (см).

3. Площадь боковой поверхности призмы найдем по формуле 9.8 : $LaTeX formula: S_{delta .}=(10+8+2sqrt{41}) cdot 8=16(9+sqrt{41})$ ( $LaTeX formula: _{CM}\^2$ ).

4. Согласно формуле 9.7 , найдем площадь полной поверхности призмы:

$LaTeX formula: S_{n.}=2 cdot 40+16(9+sqrt{41})=16(14+sqrt{41})$ ( $LaTeX formula: _{CM}\^2$ ).

5. Объем призмы найдем по формуле 9.6 :

( $LaTeX formula: _{CM}\^3$ ).

Ответ: $LaTeX formula: _{CM}\^2$ ; $LaTeX formula: _{CM}\^3$ .

Пример 4. Объем наклонной треугольной призмы равен , а боковое ребро . Правильный треугольник – сечение, перпендикулярное боковому ребру (рис. 9.49). Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

Решение. 1. Согласно формуле 9.9.1 запишем: $LaTeX formula: 270=S_{c.} cdot 10$ , откуда $LaTeX formula: S_{c.}=27$ .

2. Площадь правильного треугольника со стороной находят по формуле $LaTeX formula: S=frac{sqrt{3}a^2}{4}$ . Тогда $LaTeX formula: 27=frac{sqrt{3}a^2}{4}$ , $LaTeX formula: a^2=9cdot 4cdot sqrt{3}$ , .

3. Найдем периметр треугольника : .

4. Согласно формуле 9.10.1 , найдем площадь боковой поверхности призмы: $LaTeX formula: S_{delta.}=18sqrt[4]{3} cdot 10=180sqrt[4]{3}$ .

Ответ: .

Пример 5. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна см, а диагонали его боковых граней равны см и см. Определите объем параллелепипеда.

Решение. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед (рис. 9.50), где , и его измерения; см – диагональ.

Согласно свойству 9.1 . Рассмотрим треугольник . Так как см, то . Рассмотрим треугольник . Так как см, то .

Запишем и решим систему уравнений $LaTeX formula: begin{cases} a^2+b^2+c^2=36, \ b^2+c^2=16, \ a^2+c^2=25 . end{cases}$

Из второго уравнения системы выразим и получим: . Из третьего уравнения выразим и получим: .

Подставим полученные значения и в первое уравнение системы и найдем значение :

, , см.

Зная , определим значения и :

, см; , см.

Согласно формуле 9.2 найдем объем параллелепипеда: ( $LaTeX formula: _{CM}\^3$ ).

Ответ: $LaTeX formula: _{CM}\^3$ .

Пример 6. Определите объем правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ образует с плоскостью боковой грани угол $LaTeX formula: 30^{circ}$ , а сторона основания равна .

Решение. Согласно условию задачи основанием призмы является квадрат со стороной (рис. 9.51).

Так как отрезок является проекцией диагонали призмы на грань , то угол является углом наклона диагонали призмы к плоскости боковой грани и $LaTeX formula: angle AB_1D=30^{circ}$ .

Рассмотрим треугольник . По свойству катета лежащего против угла $LaTeX formula: 30^{circ}$ запишем .

Так как согласно свойству 9.1 диагонали прямоугольного параллелепипеда , то , , .

Найдем объем призмы по формуле 9.9 :

Ответ: .

Пример 7. Найдите объем правильной шестиугольной призмы (рис. 9.52), зная, что большая диагональ призмы равна и образует с плоскостью основания призмы угол $LaTeX formula: 30^{circ}$ .

Решение. Рассмотрим большее диагональное сечение призмы и прямоугольный треугольник . Поскольку диагональ призмы и образует с плоскостью основания угол $LaTeX formula: 30^{circ}$ , то катет , лежащий против угла $LaTeX formula: 30^{circ}$ , равен половине гипотенузы, следовательно, высота призмы .

Из теоремы Пифагора: , , .

Так как в основании призмы лежит правильный шестиугольник со стороной , то и $LaTeX formula: a=frac{sqrt{3}}{2}$ .

По формуле $LaTeX formula: S=frac{3sqrt{3}a^2}{2}$ найдем площадь основания призмы: $LaTeX formula: S_{o.}=frac{9sqrt{3}}{8}$ .

По формуле 9.9 найдем объем призмы: $LaTeX formula: V=frac{9sqrt{3}}{8}$ .

Ответ: $LaTeX formula: frac{9sqrt{3}}{8}$ .

1. Треугольная призма не имеет диагоналей.

2. Различайте прямую и наклонную призму: у наклонной призмы – боковые грани параллелограммы, у прямой призмы – боковые грани прямоугольники.

3. Если основание призмы – параллелограмм (ромб, прямоугольник, квадрат), то такую призму называют параллелепипедом. Длины ребер, выходящих из одной вершины параллелепипеда, называют его измерениями.

Источник

Содержание:

Ранее вы уже знакомились с призмой, т. е. многогранником, две грани которого — равные

Что такое призма

Равные грани-многоугольники призмы лежат в параллельных плоскостях и называются основаниями призмы, а остальные грани-параллелограммы — боковыми гранями. Ребра боковых граней, не принадлежащие основаниям, называют боковыми ребрами. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называют диагональю призмы (рис. 1). Плоскость, проходящая через два боковых ребра призмы, не принадлежащих одной грани, называется диагональной плоскостью, а сечение призмы диагональной плоскостью — диагональным сечением. На рисунке 2 показаны два диагональных сечения призмы.

Призмы разделяют на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон их оснований. Призма, изображенная на рисунке 1, — шестиугольная, а на рисунке 2, — девятиугольная.

Отличают прямые и наклонные призмы в зависимости от того, перпендикулярны или не перпендикулярны боковые ребра призмы ее основаниям. Обычно при изображении прямой призмы ее боковые ребра проводят вертикально.

Прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной призмой. В прямой призме все боковые грани — прямоугольники, а в правильной — равные прямоугольники.

Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания призмы к плоскости другого основания, называется высотой призмы. На рисунке 3 показаны две высоты и призмы . У прямой призмы ее высота равна боковому ребру.

Боковые грани составляют боковую поверхность призмы, а боковые грани вместе с основаниями — полную поверхность призмы.

Теорема 1.

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра ее перпендикулярного сечения и длины бокового ребра:

Доказательство:

Пусть имеется -угольная призма . Пересечем ее плоскостью , перпендикулярной боковому ребру. Получим перпендикулярное сечение , стороны которого перпендикулярны сторонам параллелограммов, составляющим боковую поверхность призмы. Поэтому для боковой поверхности получим:

При переходе (1) мы учли, что все боковые ребра призмы равны друг другу, при переходе (2) — то, что сумма выражает периметр перпендикулярного сечения призмы, а множитель — длину бокового ребра.

Следствие 1.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания и высоты.

Действительно, перпендикулярное сечение прямой призмы равно ее основанию, а боковое ребро является высотой.

Частным видом призмы является параллелепипед, т. е. призма, основанием которой является параллелограмм. Параллелепипед, как и призма, может быть прямым или наклонным. Прямой параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники, называется прямоугольным параллелепипедом. Прямоугольный параллелепипед, у которого три ребра, выходящие из одной вершины, равны друг другу, называется кубом.

У параллелепипеда все грани — параллелограммы, из которых у прямого параллелепипеда прямоугольниками являются боковые грани, а у прямоугольного параллелепипеда — все грани.

12 ребер параллелепипеда разделяются на три четверки равных ребер (рис. 5), его 6 граней — на три пары равных граней (рис. 6), а 4 диагонали пересекаются в одной точке, являющейся центром симметрии параллелепипеда (рис. 7).

Прямой параллелепипед еще имеет ось симметрии (рис. 8) и плоскость симметрии (рис. 9). Прямоугольный параллелепипед имеет три оси симметрии (рис. 10) и три плоскости симметрии (рис. 11).

Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, называют измерениями прямоугольного параллелепипеда. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (рис. 12), и все его диагонали равны друг другу.

Важной характеристикой плоской фигуры является ее площадь. Подобной характеристикой тела является его объем. Будем считать, что изучаемые нами тела имеют объем.

За единицу объема принимают объем куба с ребром 1. На практике пользуются разными единицами объема: как метрическими — кубический миллиметр, кубический сантиметр, кубический дециметр, кубический метр, кубический километр, так и неметрическими — галлон, барель, бушель, кварта.

Для объема тела выполняются его основные свойства:

равные тела имеют равные объемы;
если тело разделено на части, то его объем равен сумме объемов этих частей.

При этом равными фигурами называют фигуры, которые преобразуются друг в друга определенным движением. Например, равными являются две шестиугольные правильные призмы, у которых соответственно равны стороны оснований и высоты (рис. 13), или два цилиндра с соответственно равными радиусами оснований и образующими (рис. 14). Тело, изображенное на рисунке 15, можно разделить на цилиндр и конус, и его объем равен сумме объемов этих цилиндра и конуса.

Два тела с равными объемами называют равновеликими телами. Равные тела являются равновеликими, но не наоборот.

Вы знаете, что объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений , , (рис. 16): .

Учитывая, что в формуле произведение выражает площадь основания прямоугольного параллелепипеда, а число — его высоту , получим, что объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты: .

Теорема 2.

Объем произвольного параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты:

Доказательство:

Пусть имеется произвольный параллелепипед (рис. 17). Через ребро проведем плоскость, перпендикулярную ребру , она отсечет от параллелепипеда треугольную призму (рис. 18). После параллельного сдвига этой призмы в направлении отрезка получим призму . Параллелепипед равновелик с данным параллелепипедом . Выполненное преобразование параллелепипеда также сохраняет объем параллелепипеда, площадь его основания и высоту.

У параллелепипеда его боковые грани и перпендикулярны плоскости основания. К граням и , которые не перпендикулярны плоскости основания, применим такое же преобразование, в результате которого получим прямой параллелепипед (рис. 19), в котором сохраняются объем, площадь основания и высота.

Наконец, применив еще раз такое преобразование к граням и прямого параллелепипеда , получим прямоугольный параллелепипед (рис. 20), сохранив объем параллелепипеда, площадь его основания и высоту.

Значит,

Множитель есть площадь основания параллелепипеда , а множитель выражает его высоту, так как есть перпендикуляр, возведенный из точки основания к другому основанию . Значит, объем произвольного параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты.

Теорема 3.

Объем призмы равен произведению площади ее основания и высоты:

Доказательство:

Рассмотрим сначала треугольную призму (рис. 21). Дополним ее до параллелепипеда (рис. 22). Точка пересечения диагоналей диагонального сечения этого параллелепипеда является его центром симметрии. Это означает, что достроенная призма симметрична данной призме относительно центра , а потому эти призмы равны друг другу. Значит, объем параллелепипеда равен удвоенному объему данной призмы.

Объем параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты. Но площадь его основания равна удвоенной площади основания данной призмы, а высота параллелепипеда равна высоте призмы.

Отсюда следует, что объем призмы равен площади ее основания и высоты. Теперь рассмотрим произвольную призму (рис. 23).

Диагональными сечениями, проходящими через вершину , разобьем ее на треугольные призмы-части , , …, , , которые все имеют одну и ту же высоту, равную высоте данной призмы. Объем данной призмы равен сумме объемов призм-частей. По уже доказанному для объема данной призмы получим:

Учитывая, что сумма в скобках выражает площадь S основания данной призмы, получим:

Следствие 2.

Объем прямой призмы равен произведению площади ее основания и бокового ребра.

Призма и её сечения

С призмой вы уже знакомы. Несмотря на это, мы напомним определение призмы и её свойства.

Призма -это многогранник, две грани которого равные n-угольники (основания), лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней – параллелограммы (рис. 22).

В зависимости от того перпендикулярны ли боковые грани призмы его основаниям или нет, призмы делят на прямые или наклонные. На рисунке 23.а изображена прямая призма, а на рисунке 23.b – наклонная. Очевидно, что боковые грани прямой призмы – прямоугольники.

Если основания прямой призмы являются правильными многоугольниками, то её называют правильной (рис. 24). Боковые грани правильной призмы это равные между собой прямоугольники.

Перпендикуляр, опущенный из некоторой точки одного основания к другому, называют его перпендикуляром (рис. 23.b).

Сечение призмы, проходящее через соответствующие диагонали его оснований, называют диагональным сечением (рис. 24.а) и их число равно числу диагоналей одного из оснований.

Перпендикулярным сечением призмы называют сечение перпендикулярное всем его боковым рёбрам (рис. 25). так как число диагоналси выпуклого n-угольника, то число диагональных сeчeний n-угольной призмы также равно .

В каждом диагональном сечении призмы можно провести две диагонали. Следовательно, n-угольная призма имеет диагоналей.

Пример:

В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами соответственно равны 7 см, 15 см и 20 см. Найдите расстояние между большей боковой гранью и противолежащим боковым ребром.

Решение:

Известно, что расстояние между параллельными прямыми равно длине перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной прямой на другую. Тогда длины сторон перпендикулярного сечения ABC (рис. 26). Наибольшая грань призмы проходит через наибольшую сторону АС= 20 см этого сечения. Расстояние от рёбра призмы В₂В₁ до плоскости грани равно высоте BD треугольника ABC.

Тогда по формуле Герона получаем:

С другой стороны, .

Отсюда или см.

Ответ: 4,2 см.

Параллелепипед и куб

Призма, основаниями которой являются параллелограммы, называют параллелепипедом (рис. 27). Параллелепипеды также как и призмы могут быть прямыми (рис. 27.а) и наклонными (рис. 27.b).

Грани параллелепипеда, не имеющие общую вершину, называют противоположными гранями.

У параллелепипеда:

—12 рёбер, каждые четыре из которых равны (рис. 28.а),
—6 граней, которые попарно параллельны и равны (рис. 28.b),
—4 диагонали, которые пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (рис. 28.с),
—точка пересечения диагоналей – центр его симметрии (рис. 28.с). Прямой параллелепипед имеет ось симметрии (рис. 28.d) и плоскость симметрии (рис. 28.e).

Прямой параллелепипед, основания которого являются прямоугольники, называют прямоугольным параллелепипедом (рис. 29). Очевидно, что все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.

Прямоугольный параллелепипед имеет три оси симметрии (рис. 30) и три плоскости симметрии (рис. 31).

Длины трех рёбер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда называют его измерениями.

Свойство: В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали d равен сумме квадратов его измерений: а, b и с (рис.32):

Прямоугольный параллелепипед, все измерения которого равны, называют кубом. Очевидно, что все грани куба являются равными квадратами. Куб имеет один центр симметрии, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Выше были перечислены свойства призмы. Некоторые из них были показаны в 10 классе. Доказательства остальных свойств проще, поэтому их доказательства вы можете провести самостоятельно.

Площади боковой и полной поверхности призмы

На рисунке 33 проведены высоты НН₁ DD₁ призмы

АВСDЕ–А₁В₁С₁D₁Е₁. Очевидно, что высоты правильной призмы будут равны её боковому рёбру.

Боковая поверхность призмы (точнее, площадь боковой поверхности)равна сумме боковых поверхностей ее граней, а полная поверхнасть равна сумме боковой поверхности и площадей двух ее оснований.

Теорема. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра ее основания на высоту:

Доказательство. Пусть высота данной прямой призмы равна , а периметр основания (рис. 34). Известно, что каждая грань прямой призмы является прямоугольником. Основания прямоугольников равны соответствующим сторонам основания призмы, а высоты равны высоте призмы.

Тогда

Теорема. Боковая поверхность произвольной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения призмы на ее боковое ребро:

Доказательство. Пусть периметр перпендикулярного сечения призмы равен Р (рис. 35). Сечение делит призму на две части (рис. 36.а). Совершим параллельный перенос одной из этих частей так, чтобы основания нашей призмы совпали. В результате мы получим новую прямую призму (рис. 36.b). Очевидно, что, боковая поверхность этой призмы равна боковой поверхности данной. Её основанием является перпендикулярное сечение, а боковое ребро равно .

Тогда по доказанной выше теореме:

Объем призмы

Одним из свойств, характеризующих геометрические тела в пространстве, является понятие объема. Каждый предмет (тело) занимает некоторую часть пространства. Например, кирпич по сравнению со спичечным коробком занимает большую часть пространства. Для сравнения этих частей между собой вводится понятие объёма.

Объём – это величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

Любое тело имеет определённый объём, выраженный положительным числом.
Равные тела имеют равные объёмы.
Если тело разбито на несколько частей, то его объём равен сумме объёмов этих частей.
Объём куба, ребро которого равно единице, равен единице.

Объём – также как длина и площадь, является величиной. В зависимости от выбора единицы длины, объём единого куба измеряют в кубических единицах:

1 см³, 1 дм³, 1 м³ и т. д.

Объёмы тел измеряют различными способами или вычисляют. Например, объёмы маленьких предметов можно измерить с помощью сосудов (мензурки) с мелкими делениями (шкалами) (рис. 46). А объём ведра можно измерить с помощью сосуда, имеющего единичный объём, наполнив его водой (рис. 47). Но таким способом мы не можем измерить объёмы всех тел. В таких случаях объём вычисляют различными способами. Ниже рассмотрим их без доказательств.

Объём параллелепипеда

Теорема. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерeний (рис.48): .

Следствие. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту (рис. 49): .

Теорема. Объём произвольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту (рис. 50): .

Это свойство вытекает из вышеупомянутого следствия. На рисунке 50 показано как данный параллелепипед преобразовать в прямоугольный параллелепипед. Воспользовавшись этим самостоятельно обоснуйте свойство.

Нахождение объёма призмы

Теорема. Объём прямой призмы равен произведению площади его основания на высоту (рис. 51): .

Доказательство. 1 случай. Пусть основанием призмы будет прямоугольный треугольник (рис 51.а). Эту призму можно дополнить равной ей призмой до прямоугольного параллелепипеда (рис. 51 .b).

Если объём данной призмы, площадь её основания и высота V, S и h, то объём полученного прямоугольного параллелепипеда, площадь его основания и высота будут соответственно равны 2V, 2S и h.

Следовательно или

2 случай. Пусть S – площадь произвольной n – угольной прямой призмы и h – её высота. Основание призмы – n-угольник делится диагоналями на треугольники, каждый из которых можно разделить на прямоугольные треугольники (рис. 52). В результате данная призма разделится на конечное число прямых призм, основания которых являются прямоугольными треугольниками. Высоты этих призм равны h , а сумма площадей оснований этих призм равна площади основания данной призмы:

Объём данной призмы равен сумме объёмов составляющих её треугольных призм:

или

Теорема. Объём произвольной призмы равен произведению площади его основания на высоту:

По рисунку 5.3 докажите эту теорему самостоятельно, сначала для треугольной призмы (рис. 5.3.а), затем для любой призмы (рис. 5.3.b).

Пример:

Стороны основания прямого параллелепипеда равны а и b, а угол между ними 30°. Найдите его объём, если площадь его боковой поверхности равна S.

Решение:

Обозначим высоту параллелепипеда h(рис. 54).

Тогда по условию задачи:

Цилиндр в геометрии
Пирамида в геометрии
Конус в геометрии
Сфера в геометрии
Возникновение геометрии
Геометрические преобразования в геометрии
Планиметрия – формулы, определение и вычисление
Стереометрия – формулы, определение и вычисление

Источник

3.1.
Макет прямоугольника ABCD
со сторонами а
и b
перегнут по диагонали BD
так, что плоскости треугольников BAD
и
BCD
стали взаимно перпендикулярны. Найдите
длину отрезка АС.

3.2.
Две прямоугольные трапеции с углами
60º лежат в перпендикулярных плоскостях
и имеют большее общее основание. Большие
боковые стороны равны 4 см и 8 см. Найдите
расстояние между вершинами прямых и
вершинами тупых углов трапеций, если
вершины их острых углов совпадают.

3.3.
Задан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.
Найдите угол между прямой CD₁
и плоскостью BDC₁.

3.4.
На ребре АВ
куба ABCDA₁B₁C₁D₁
взята точка Р
– середина этого ребра. Постройте
сечение куба плоскостью, проходящей
через точки C₁,
P,
D,
и найдите площадь этого сечения, если
ребро куба равно а.

3.5.
Через сторону AD
прямоугольника ABCD
проведена плоскость 
так, что диагональ BD
составляет с этой плоскостью угол 30º.
Найдите угол между плоскостью
прямоугольника и плоскостью ,
если АВ
= а,
AD
= b.
Определите, при каком соотношении а
и b
задача имеет решение.

3.6.
Найдите геометрическое место точек,
равноудаленных от прямых, определенных
сторонами треугольника.

12.2. Призма. Параллелепипед

Призмой
называется
многогранник, две грани которого –
равные
n-угольники
(основания),
лежащие в параллельных плоскостях,
а остальные n
граней – параллелограммы (боковые
грани).
Боковым
ребром призмы
называется сторона боковой грани, не
принадлежащая основанию.

Призма,
боковые ребра которой перпендикулярны
плоскостям оснований, называется прямой
призмой
(рис. 12.9). Если боковые ребра не
перпендикулярны плоскостям оснований,
то призма называется наклонной.
Правильной
призмой
называется прямая призма, основания
которой – правильные многоугольники.

Рис. 12.9

Высотой
призмы
называется расстояние между плоскостями
оснований. Диагональю
призмы
называется отрезок, соединяющий две
вершины, не принадлежащие одной грани.
Диагональным
сечением называется
сечение призмы плоскостью, проходящей
через два боковых ребра, не принадлежащих
одной грани. Перпендикулярным
сечением называется
сечение призмы плоскостью, перпендикулярной
боковому ребру призмы.

Площадью
боковой поверхности призмы
называется сумма площадей всех боковых
граней. Площадью
полной поверхности называется
сумма площадей всех граней призмы (т. е.
сумма площадей боковых граней и площадей
оснований).

Для
произвольной призмы верны формулы:

(12.1)

где S_бок
– площадь боковой поверхности; P
– периметр перпендикулярного сечения;
l
– длина бокового ребра; S_полн
– площадь полной поверхности; S_осн
– площадь основания; V
– объем призмы; H
– высота; Q
– площадь перпендикулярного сечения.

Для прямой
призмы верны формулы:

где p
– периметр основания; l
– длина бокового ребра; H
– высота.

Параллелепипедом
называется призма, основанием которой
служит параллелограмм. Параллелепипед,
у которого боковые ребра перпендикулярны
к основаниям, называется прямым
(рис. 12.10). Если боковые ребра не
перпендикулярны основаниям, то
параллелепипед называется наклонным.
Прямой параллелепипед, основанием
которого является прямоугольник,
называется прямоугольным.
Прямоугольный
параллелепипед, у которого все ребра
равны, называется кубом.

Рис. 12.10

Грани
параллелепипеда, не имеющие общих
вершин, называются противолежащими.
Длины ребер, исходящих из одной вершины,
называются измерениями
параллелепипеда. Так как параллелепипед
– это призма, то основные его элементы
определяются аналогично тому, как они
определены для призм.

Теоремы:

Диагонали
параллелепипеда пересекаются в одной
точке и делятся ею пополам.
В
прямоугольном параллелепипеде квадрат
длины диагонали равен сумме квадратов
трех его измерений:
Все
четыре диагонали прямоугольного
параллелепипеда равны между собой.

Для
произвольного параллелепипеда верны
формулы:

Для прямого
параллелепипеда верны формулы:

(12.2)

где p
– периметр основания; l
– длина бокового ребра; H
– высота прямого параллелепипеда.

Для
прямоугольного параллелепипеда верны
формулы:

(12.3)

где p
– периметр основания; H
– высота; d
– диагональ; a,
b,
c
– измерения параллелепипеда.

Для куба верны
формулы:

где d
– диагональ куба;
a
– длина ребра.

Пример 1.
Диагональ прямоугольного
параллелепипеда равна 33 дм, а его
измерения относятся, как 2 : 6 : 9.
Найти измерения параллелепипеда.

Решение.
Для нахождения измерений параллелепипеда
воспользуемся формулой (12.3), т. е. тем
фактом, что квадрат гипотенузы
прямоугольного параллелепипеда равен
сумме квадратов его измерений. Обозначим
через k
коэффициент пропорциональности. Тогда
измерения параллелепипеда будут равны
2k, 6k
и 9k.
Запишем формулу (12.3) для данных задачи:

т. е.

Решая это уравнение относительно
k,
получим:

Значит, измерения параллелепипеда равны
6 дм, 18 дм и 27 дм.

Пример 2.Найти объем наклонной
треугольной призмы, основанием которой
служит равносторонний треугольник со
стороной 8 см, если боковое ребро равно
стороне основания и наклонено под углом
60º к основанию.

Решение.Сделаем рисунок
(рис.12.11).

Рис. 12.11

Для того чтобы найти объем
наклонной призмы, необходимо знать
площадь ее основания и высоту. Площадь
основания данной призмы – это площадь
равностороннего треугольника со стороной
8 см. Вычислим ее:

Высотой призмы является
расстояние между ее основаниями. Из
вершины А₁
верхнего основания опустим перпендикуляр
на плоскость нижнего основания А₁D.
Его длина и будет высотой призмы.
Рассмотрим А₁АD:

так как это угол наклона бокового ребра
А₁А
к плоскости основания, А₁А
= 8 см. Из этого треугольника находим
А₁D:

Теперь вычисляем объем по формуле
(12.1):

Получаем ответ: 192 см³.

Пример 3.
Боковое ребро правильной шестиугольной
призмы равно 14 см. Площадь наибольшего
диагонального сечения равна 168 см².
Найти площадь полной поверхности призмы.

Решение.Сделаем рисунок (рис.
12.12)

Рис. 12.12

Наибольшее диагональное
сечение – прямоугольник AA₁D₁D,
так как диагональ AD
правильного шестиугольника ABCDEF
является наибольшей. Для того чтобы
вычислить площадь боковой поверхности
призмы, необходимо знать сторону
основания и длину бокового ребра.

Зная площадь диагонального
сечения (прямоугольника), найдем диагональ
основания.

Поскольку
то

Так как
то АВ
= 6 см.

Тогда периметр основания
равен:

Найдем площадь боковой поверхности
призмы:

Площадь правильного шестиугольника со
стороной 6 см равна:

Находим площадь полной поверхности
призмы:

Получаем ответ:

Пример 4.
Основанием прямого параллелепипеда
служит ромб. Площади диагональных
сечений 300 см²
и 875 см².
Найти площадь боковой поверхности
параллелепипеда.

Решение.Сделаем рисунок (рис.
12.13).

Рис. 12.13

Обозначим сторону ромба через
а,
диагонали ромба d₁
и d₂,
высоту параллелепипеда h.
Чтобы найти площадь боковой поверхности
прямого параллелепипеда, необходимо
периметр основания умножить на высоту:

(формула (12.2)). Периметр основания р
= АВ + ВС + + CD
+ DA
= 4AB
= 4a,
так как ABCD
– ромб. Н = АА₁
= h. Таким
образом
Необходимо найти а
и h.

Рассмотрим диагональные
сечения. АА₁С₁С
– прямоугольник, одна сторона которого
диагональ ромба АС
= d₁,
вторая – боковое ребро АА₁ = h,
тогда

Аналогично для сечения ВВ₁D₁D
получим:

Используя свойство
параллелограмма такое, что сумма
квадратов диагоналей равна сумме
квадратов всех его сторон, т. е.
получаем:

Из первых двух равенств
выразим
и подставим в третье. Получим:

и далее

Тогда

Получаем ответ: 1850 см².

Пример 5.
На ребрах СС₁,
AD и АВ
куба ABCDA₁B₁C₁D₁
взяты соответственно точки Р,
М, R
– середины этих ребер. Построить сечение
куба плоскостью, проходящей через точки
Р, М,
R. Считая
ребро куба равным 24 см, найти площадь
полученного сечения.

Решение.Сделаем рисунок (рис.
12.14).

Рис. 12.14

Построение.
Прямая MR
– след секущей плоскости на плоскости
нижнего основания.

Получается искомое сечение куба PNRMK.
Для вычисления его площади воспользуемся
теоремой о площади ортогональной
проекции многоугольника на плоскость.
Рассмотрим многоугольник PNRMK,
его ортогональная проекция – СВRMD,
определим, где угол между плоскостями
этих многоугольников. Ребром двугранного
угла является прямая MR.
Из точки Р
опустим перпендикуляр на прямую MR:

точка Е
– середина отрезка MR.

– угол между плоскостью многоугольника
и его проекцией. Теорему запишем в виде