Как найти площадь части шестиугольника

На этой странице вы найдете калькуляторы и формулы, которые помогут найти и рассчитать площадь правильного шестиугольника по стороне или радиусам вписанной и описанной окружностей.

Шестиугольник представляет собой многоугольник, к которого все внутренние углы равны 120 градусов, а все стороны равны между собой.

Содержание:
  1. калькулятор площади правильного шестиугольника
  2. формула площади правильного шестиугольника через длину стороны
  3. формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности
  4. формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности
  5. формула площади правильного шестиугольника через периметр
  6. примеры задач

Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны

Площадь правильного шестиугольника через длину стороны

S = dfrac{3 sqrt{3} a^2}{2}

a – длина стороны шестиугольника

Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

Площадь правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

S = 2 sqrt{3}r^2

r – радиус вписанной окружности

Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

Площадь правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

S = dfrac{3 sqrt{3} R^2}{2}

R – радиус описанной окружности

Формула площади правильного шестиугольника через периметр

Площадь правильного шестиугольника через периметр

S = dfrac{P^2 sqrt{3}}{24}

P – периметр шестиугольника

Примеры задач на нахождение площади правильного шестиугольника

Задача 1

Найдите площадь правильного шестиугольника, радиус вписанной окружности которого равен 9 см.

Решение

Исходя из того, что из условия задачи нам известен радиус вписанной окружности, мы воспользуемся формулой.

S = 2 sqrt{3}r^2 = 2 sqrt{3} cdot 9^2 = 2 sqrt{3} cdot 81 = 162 sqrt{3} : см^2 approx 280.59223 : см^2

Ответ: 162 sqrt{3} : см^2 approx 280.59223 : см^2

Проверить правильность решения нам поможет калькулятор .

Задача 2

Найдите площадь правильного шестиугольника со стороной равной 1 см.

Решение

Для этой задачи нам подойдет формула.

S = dfrac{3 sqrt{3} a^2}{2} = dfrac{3 sqrt{3} cdot 1^2}{2} = dfrac{3 sqrt{3} cdot 1}{2} = dfrac{3 sqrt{3}}{2} : см^2 approx 2.59808 : см^2

Ответ: dfrac{3 sqrt{3}}{2} : см^2 approx 2.59808 : см^2

Проверим ответ .

1)начерти такой шестиугольник?
2)Как можно найти площадь данного шестиугольника? (разделить его на части? Дополнить до прямоугольника? перестроить часть фигуры?) найди его площадь
3)Вычисли объём призмы, основанием которой является данный шестиугольник, а высота призмы равна 8см 5мм

Удачник66

Светило науки – 13455 ответов – 145139 раз оказано помощи

1) Начертите сами по клеточкам, это совсем просто.
2) Разобьем его на прямоугольник 1х4 см и 2 треугольника с основанием
 4 см и высотой 1 см.
S = a*b + 2*a*h/2 = 4*1 + 2*4*1/2 = 8 кв.см.
3) Высота призмы H = 8,5 см
Объем призмы V = S*H = 8*8,5 = 68 куб.см.

Как найти площадь шестиугольника

Как найти площадь шестиугольника

Шестиугольник – это многоугольник, имеющий 6 сторон и 6 углов. В зависимости от того, правильный шестиугольник или нет, существует несколько методов нахождения его площади. Мы рассмотрим все.

1

Как найти площадь правильного шестиугольника

Формулы для вычисления площади правильного шестиугольника – выпуклого многоугольника с шестью одинаковыми сторонами.

Дана длина стороны:

  • Формула площади: S = (3√3*a²)/2
  • Если длина стороны a известна, то подставив её в формулу, мы легко найдём площадь фигуры.
  • В противном случае длину стороны можно найти через периметр и апофему.
  • Если задан периметр, то мы просто делим его на 6 и получаем длину одной стороны. Например, если периметр равен 24, то длина стороны будет равняться 24/6 = 4.
  • Апофема – перпендикуляр, проведённый из центра к одной из сторон. Чтобы найти длину одной стороны, подставляем длину апофемы в формулу а = 2*m/√3. То есть, если апофема m = 2√3, то длина стороны а = 2*2√3/√3 = 4.

Дана апофема:

  • Формула площади: S = 1/2*p*m, где p – периметр, m – апофема.
  • Найдём через апофему периметр шестиугольника. В предыдущем пункте мы научились находить длину одной стороны через апофему: а = 2*m/√3. Осталось только этот результат умножить на 6. Получаем формулу периметра: p = 12*m/√3.

Дан радиус описанной окружности:

  • Радиус описанной вокруг правильного шестиугольника окружности равен стороне этого шестиугольника.
    Формула площади: S = (3√3*a²)/2

Дан радиус вписанной окружности:

  • Формула площади: S = 3√3*r², где r = √3*a/2 (a – одна из сторон многоугольника).

2

 Как найти площадь неправильного шестиугольника

Формулы для вычисления площади неправильного шестиугольника – многоугольника, стороны которого не равны между собой.

Метод трапеции:

  • Делим шестиугольник на произвольные трапеции, вычисляем площадь каждой из них и складываем.
  • Основные формулы площади трапеции: S = 1/2*(a + b)*h, где a и b – основания трапеции, h – высота.
    S = h*m, где h – высота, m – средняя линия.

Известны координаты вершин шестиугольника:

  • Для начала запишем координаты точек, причём, располагая их не в хаотичном порядке, а последовательно друг за другом. Например:
    A: (-3, -2)
    B: (-1, 4)
    C: (6, 1)
    D: (3, 10)
    E: (-4, 9)
    F: (-5, 6)
  • Далее, внимательно, умножаем координату x каждой точки на координату y следующей точки:
    -3*4 = -12
    -1*1 = -1
    6*10 = 60
    3*9 = 27
    -4*6 = -24
    -5*(-2) = 10
    Результаты складываем:
    -12 – 1 + 60 + 27 – 24 + 10 = 60
    Далее умножаем координату y каждой точки на координату x следующей точки.
    -2*(-1) = 2
    4*6 = 24
    1*3 = 3
    10*(-4) = -40
    9*(-5) = -45
    6*(-3) = -18
    Результаты складываем:
    2 + 24 + 3 – 40 – 45 – 18 = -74
    Из первого результата вычитаем второй:
    60 -(-74) = 60 + 74 = 134
    Полученное число делим на два:
    134/2 = 67
    Ответ: 67 квадратных единиц.

  • Также для нахождения площади шестиугольника вы можете разбить его на треугольники, квадраты, прямоугольники, параллелограммы и так далее. Найти площади составляющих его фигур и сложить.

Итак, методы нахождения площади шестиугольника на все случаи жизни изучены. Теперь вперёд, применять полученные знания! Удачи!

Правильный шестиугольник: свойства, формулы, площадь

Знаете ли вы, как выглядит правильный шестиугольник?
Этот вопрос задан не случайно. Большинство учащихся 11 класса не знают на него ответа.

Правильный шестиугольник — такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны.

Железная гайка. Снежинка. Ячейка сот, в которых живут пчелы. Молекула бензола. Что общего у этих объектов? — То, что все они имеют правильную шестиугольную форму.

Правильный шестиугольник

Многие школьники теряются, видя задачи на правильный шестиугольник, и считают, что для их решения нужны какие-то особые формулы. Так ли это?

Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников.
Правильный шестиугольник

Мы знаем, что площадь правильного треугольника: S_1 = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 4}a^2.

Тогда площадь правильного шестиугольника — в шесть раз больше.

S = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 3sqrt{3}}{displaystyle 2}a^2, где a — сторона правильного шестиугольника.

Обратите внимание, что в правильном шестиугольнике расстояние от его центра до любой из вершин одинаково и равно стороне правильного шестиугольника.

Значит, радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен его стороне.
Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, нетрудно найти.
Он равен genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 2}a.
Теперь вы легко решите любые задачи ЕГЭ, в которых фигурирует правильный шестиугольник.

1. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной sqrt{3}.

Рисунок к задаче 1

Радиус такой окружности равен genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 2}a.

Ответ: 1,5.

2. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Рисунок к задаче 2

Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.

Ответ: 6.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Правильный шестиугольник: свойства, формулы, площадь» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Шестиугольник — это многоугольник, имеющий шесть сторон и шесть углов. В правильном шестиугольнике все стороны равны, а углы образуют шесть равносторонних треугольников. Есть несколько способов найти площадь шестиугольника, в зависимости от того, имеете ли вы дело с правильным или неправильным шестиугольником. Из этой статьи вы узнаете, как именно находить площадь этой фигуры.

  1. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 1

    1

    Запишите формулу. Так как правильный шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольников, то формула образована из формулы нахождения площади равностороннего треугольника: Площадь = (3√3 s2)/ 2 где s — длина стороны правильного шестиугольника.[1]

  2. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 2

    2

    Определите длину одной стороны. Если известна длина стороны, то просто запишите ее. В нашем случае длина стороны — 9 см. Если длина стороны неизвестна, но известен периметр или апофема (высота одного из шести равносторонних треугольников, перпендикулярная стороне), то можно найти и длину стороны. Вот, как это делается:

    • Если известен периметр, то просто разделите его на 6 и получите длину стороны. Если, например, периметр — 54 см, то, разделив 54 на 6, мы получим 9 см, длину стороны.[2]
    • Если известна только апофема, то длину стороны можно вычислить, подставив апофему в формулу a = x√3 и затем умножив ответ на 2. Это делается потому, что апофема представляет собой сторону x√3 образуемого ей треугольника с углами 30-60-90 градусов. Если, например, апофема — 10√3, то x — 10 и длина стороны будет равна 10 * 2 или 20.
  3. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 3

    3

    Подставьте значение длины стороны в формулу. Просто подставляем 9 в изначальную формулу. Получаем: площадь = (3√3 x 92)/2

  4. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 4

    4

    Упростите ответ. Решите уравнение и запишите ответ. Ответ должен быть указан в квадратных единицах, ведь мы имеем дело с площадью. Вот, как это делается:

    • (3√3 x 92)/2 =
    • (3√3 x 81)/2 =
    • (243√3)/2 =
    • 420.8/2 =
    • 210.4 см2

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 5

    1

    Запишите формулу. Площадь = 1/2 x периметр x апофему.[3]

  2. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 6

    2

    Запишите апофему. Скажем, она равна 5√3 см.

  3. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 7

    3

    Используйте апофему для нахождения периметра. Апофема перпендикулярна стороне шестиугольника и создает треугольник с углами 30-60-90. Стороны такого треугольника соответствуют пропорции x-x√3-2x, где сторона короткой стороны, лежащей напротив угла в 30 градусов, представлена x, длина длинной стороны, лежащей напротив угла в 60 градусов, представлена x√3, а гипотенуза представлена 2x.[4]

    • Апофема — сторона, представленная x√3. Таким образом, подставляем апофему в формулу a = x√3 и решаем. Если, например, длина апофемы — 5√3, то подставляем это число в формулу и получаем 5√3 см = x√3, или x = 5 см.
    • Решая через x, мы нашли длину короткой стороны треугольника — 5 см. Эта длина представляет собой половину длины стороны шестиугольника. Умножив 5 на 2, мы получаем 10 см, длину стороны.
    • Подсчитав, что длина стороны равна 10, умножаем это число на 6 и получаем периметр шестиугольника. 10 см х 6 = 60 см.
  4. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 8

    4

    Подставьте все известные данные в формулу. Сложнее всего найти периметр. Теперь надо лишь подставить апофему и периметр в формулу и решить:

    • Площадь = 1/2 x периметр x апофему
    • Площадь = 1/2 x 60 см x 5√3 см
  5. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 9

    5

    Упрощайте ответ до тех пор, пока не избавитесь от квадратных корней. Окончательный ответ укажите в квадратных единицах.

    • 1/2 x 60 см x 5√3 см =
    • 30 x 5√3 см =
    • 150√3 см =
    • 259. 8 см2

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 10

    1

    Запишите координаты всех вершин по осям x и y. Если известны вершины шестиугольника, то первым делом надо начертить таблицу с двумя колонками и семью рядами. Каждый ряд будет назван по названию по одной из шести точек (точка А, точка В, точка С и так далее), каждая колонка будет названа по осям x или у, соответствующим координатам точек по этим осям. Запишите координаты точки А по осям x и у справа от точки, координаты точки В — справа от точки В и так далее. Внизу повторно укажите координаты первой точки. Для примера скажем, что мы имеем дело со следующими точками, в формате (x, у):[5]

    • A: (4, 10)
    • B: (9, 7)
    • C: (11, 2)
    • D: (2, 2)
    • E: (1, 5)
    • F: (4, 7)
    • A (снова): (4, 10)
  2. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 11

    2

    Умножьте координаты каждой точки по оси x на координаты по оси у следующей точки. Это можно представить себе так: мы проводим диагональ вниз и вправо от каждой координаты по оси x. Запишем результаты справа от таблицы. Затем сложим их.

    • 4 x 7 = 28
    • 9 x 2 = 18
    • 11 x 2 = 22
    • 2 x 5 = 10
    • 1 x 7 = 7
    • 4 x 10 = 40
      • 28 + 18 + 22 + 10 + 7 + 40 = 125
  3. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 12

    3

    Умножьте координаты каждой точки по оси у на координаты по оси x следующей точки. Это можно представить себе так: мы проводим диагональ вниз и влево от каждой координаты по оси у. Перемножив все координаты, складываем результаты.

    • 10 x 9 = 90
    • 7 x 11 = 77
    • 2 x 2 = 4
    • 2 x 1 = 2
    • 5 x 4 = 20
    • 7 x 4 = 28
    • 90 + 77 + 4 + 2 + 20 + 28 = 221
  4. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 13

    4

    Вычтите из первой суммы координат вторую сумму координат. Вычитаем 221 из 125 и получаем -96. Итак, ответ: 96, площадь может быть только положительной.

  5. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 14

    5

    Разделите разность на два. Делим 96 на 2 и получаем площадь неправильного шестиугольника. Окончательный ответ: 48 квадратных единиц.

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 15

    1

    Найдите площадь правильного шестиугольника с отсутствующим треугольником. Если вы столкнулись с правильным шестиугольником, в котором отсутствует один или более треугольников, то прежде всего нужно найти его площадь, как если бы он был целым. Потом необходимо найти площадь «отсутствующего» треугольника и вычесть ее из общей площади. В итоге вы получите площадь имеющейся фигуры.[6]

    • Например, если мы выяснили, что площадь правильного треугольника — 60 см2, а площадь отсутствующего треугольника — 10 см2, то: 60 см2 – 10 см2 = 50 см2.
    • Если известно, что в шестиугольнике не хватает точно одного треугольника, то его площадь можно найти, умножив общую площадь на 5/6, так как мы имеем 5 и 6 треугольников. Если не хватает двух треугольников, то умножаем на 4/6 (2/3) и так далее.
  2. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 16

    2

    Разбейте неправильный шестиугольник на треугольники. Найдите площади треугольников и сложите их. В зависимости от имеющихся данных существует множество способов найти площадь треугольника.[7]

  3. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 17

    3

    Найдите в неправильном шестиугольнике какие-то другие фигуры: треугольники, прямоугольники, квадраты. Найдите площади составляющих шестиугольник фигур и сложите их.[8]

    • Один из видов неправильного шестиугольника состоит из двух параллелограммов. Для нахождения их площадей просто перемножьте основания на высоты и затем сложите их площади.

    Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 128 512 раз.

Была ли эта статья полезной?

Добавить комментарий