Как найти площадь через двойной интеграл



1.3. Как найти площадь плоской фигуры
с помощью двойного интеграла?

Двойной интеграл  численно

равен площади плоской фигуры  (области интегрирования). Сначала рассмотрим задачу в общем

виде.

А именно вычислим площадь фигуры , ограниченной линиями . Для определённости считаем, что  на отрезке .

Площадь заштрихованной фигуры численно равна , и сейчас мы «раскрутим» тему.

Выберем первый способ обхода области:

Таким образом:
И сразу важный технический приём: повторные интегралы можно считать по отдельности. Сначала внутренний

интеграл, затем – внешний интеграл. Данный способ настоятельно рекомендую «чайникам», да и не только им. Потому что это

удобно.

1) Вычислим внутренний интеграл, при этом интегрирование проводится по переменной «игрек»:

Неопределённый интеграл тут простейший, и далее используется банальная формула Ньютона-Лейбница, с той лишь

разницей, что пределами интегрирования являются не числа, а функции. Сначала подставили в «игрек» (первообразную

функцию) верхний предел, затем – нижний предел

2) Результат первого пункта нужно подставить во внешний интеграл:

Более компактная запись всего решения выглядит так:

Полученная формула  – это в

точности рабочая формула для вычисления площади плоской

фигуры с помощью обычного определённого интеграла!

То есть, задача вычисления площади с помощью двойного интеграла мало чем отличается от задачи нахождения площади с

помощью определённого интеграла!

Пример 9

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь фигуры , ограниченной линиями ,

Решение: изобразим область  на чертеже:

Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле:

Выберем следующий порядок  обхода области (1-й способ):

Здесь и далее я не буду останавливаться на том, как выполнять обход, т.к. выше были приведены очень подробные

разъяснения.
Таким образом:

Как уже отмечалось, начинающим лучше вычислять повторные интегралы по отдельности, этого же метода буду

придерживаться и я:

1) Сначала разбираемся с внутренним интегралом:

Здесь мы ВМЕСТО «игрек» сначала подставили верхний предел интегрирования , а затем – нижний: . Если вы запамятовали формулу  Ньютона-Лейбница, обязательно

найдите её в приложениях! На всякий случай я приложил к данному курсу Справку по интегралам и

Справку по производным.

2) Результат, полученный на первом шаге, подставляем во внешний интеграл:

Пункт 2 – это фактически нахождение площади плоской фигуры с

помощью определённого интеграла. Обо всех тонкостях решения этой задачи (а их немало) можно ознакомиться по ссылке

выше либо в курсе Определённые и несобственные интегралы.

Это китайское напоминание.

Ответ:

Несмотря на то, что эту задачу мы неоднократно решали ранее, здесь ещё есть о чём поговорить.

Любопытное задание для самостоятельного решения:

Пример 10

С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , ,

Примерный образец чистового оформления задачи в конце книги.

В двух предыдущих примерах значительно выгоднее использовать первый способ

обхода области, любознательные читатели, кстати, могут изменить порядок обхода и вычислить площади вторым способом. Если

не допустите ошибку, то, естественно, получатся те же самые значения площадей.

Но в ряде случаев более эффективен второй способ обхода области, и в

заключение курса молодого «ботана» рассмотрим ещё пару примеров на эту тему:

Пример 11

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры , ограниченной линиями ,

Решение: нас с нетерпением ждут две параболы, которые «лежат на боку». Улыбаться не нужно, похожие вещи в

кратных интегралах встречаются частенько.

Представим параболу  в

виде двух функций:
 – верхняя ветвь и  – нижняя ветвь.
Аналогично, представим параболу  в виде верхней  и нижней  ветвей.

Графики строим поточечно, причём, по причине симметрии, вычислений у нас в два раза меньше. В результате получается вот

такая причудливая фигура:

Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле:

Что будет, если мы выберем первый способ обхода области? Во-первых,

данную область придётся разделить на две части. А во-вторых, мы будем наблюдать сию печальную картину:  (следим по чертежу!!!).  Интегралы, конечно,

не «убийственные», но… есть старая математическая присказка: кто с корнями дружен, тому зачёт не нужен.

Поэтому из недоразумения, которое дано в условии, выразим обратные функции:

Обратные функции в данном примере обладают тем преимуществом, что задают сразу всю параболу целиком без

всяких там веток, корней и прочего дерева.

И, согласно второму способу, обход области будет следующим:

Таким образом:

Как говорится, ощутите разницу.

1) Расправляемся с внутренним интегралом:

Результат подставляем во внешний интеграл:

2)

Интегрирование по переменной «игрек» не должно смущать, была бы буква «зю» – замечательно бы проинтегрировалось и по ней.

Также обратите внимание на первый шаг: подынтегральная функция  является чётной, а отрезок интегрирования симметричен относительно

нуля. Поэтому отрезок можно споловинить, а результат – удвоить. Что добавить…. Всё!

Ответ:

Для проверки своей техники интегрирования можете попробовать вычислить . Ответ должен получиться точно таким же.

Пример 12

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

Это пример для самостоятельного решения. Интересно отметить, что если вы попробуете использовать первый способ обхода

области, то фигуру придётся разделить уже не на две, а на три части! И, соответственно, получится три пары повторных

интегралов. Бывает и такое.

Итак, начальный мастер-класс подошёл к завершению, и пора переходить на гроссмейстерский уровень. Обязательно с хорошим

настроением! – оранжевым настроением – прямо как сейчас у меня, а почему оно такое, я объясню чуть позже:

1.4. Как вычислить произвольный двойной интеграл?

1.2.1. Как изменить порядок обхода области?

| Оглавление |



Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

а) Объём.

Как мы знаем, объем
V
тела, ограничен­ного поверхностью
,
где
–
неотрицательная функ­ция, плоскостьюи цилиндрической поверхностью,
направ­ляющей для которой служит
граница областиD,
а образующие параллельны оси Oz,
равен двойному интегралу от функции
по областиD
:

Пример 1. Вычислить
объем тела, ограниченного поверхностями
x=0,
у=0, х+у+z=1,
z=0
(рис. 17).

Рис.17
Рис.18

Решение.
D
– заштрихованная на рис. 17 треугольная
область в плоскости Оху,
ограниченная прямыми x=0,
у=0, x+y=1.
Расставляя пределы в двойном интеграле,
вычислим объем:

Итак,
куб. единиц.

Замечание 1.
Если тело, объем которого ищется,
ограни­чено сверху поверхностью
а снизу—поверхностью,
причем проекцией обеих поверхностей
на пло­скостьОху
является область D,
то объем V
этого тела равен разности объемов двух
«цилиндрических» тел; первое из этих
цилиндрических тел имеет нижним
основанием область D,
а верх­ним – поверхность
второе тело имеет нижним осно­ванием
также областьD,
а верхним – поверхность
(рис.18).

Поэтому объём V
равен разности двух двойных интегралов
:

или

(1)

Легко, далее,
доказать, что формула (1) верна не только
в том случае, когда
инеотрицательны, но и тогда, когдаи–
любые непрерывные функции, удовлетворяющие
соотношению

Замечание 2.
Если в области D
функция
меняет
знак, то разбиваем область на две части:
1) областьD₁
где
2) областьD₂
,где
.
Предположим, что областиD₁
и D₂
таковы, что двойные интегралы по этим
обла­стям существуют. Тогда интеграл
по области D₁
будет положи­телен и будет равен
объему тела, лежащего выше плоскости
Оху. Интеграл
по D₂
будет отрицателен и по абсолютной
величине равен объему тела, лежащего
ниже плоскости Оху,
Следовательно, интеграл по D
будет выражать раз­ность соответствующих
объемов.

б) Вычисление
площади плоской области.

Если мы со­ставим
интегральную сумму для функции
по областиD,
то эта сумма будет равна площа­ди S,

при любом способе
разбиения. Пере­ходя к пределу в правой
части равен­ства, получим

Если область D
правильная , то площадь выразится
двукратным интегралом

Производя
интегрирование в скобках, имеем,
очевидно,

Пример 2. Вычислить
площадь области, ограниченной кривыми

Рис.19

Решение. Определим
точки пересечения данных кривых
(Рис.19). В точке пересечения ординаты
равны, т.е.
,
отсюдаМы
получили две точки пересечения

Следовательно,
искомая площадь

5. Вычисление площади поверхности.

Пусть требуется
вычислить площадь поверхности,
ограниченной линией Г (рис.20); поверхность
задана уравнением
где функциянепрерывна и имеет непрерывные частные
производные. Обозначим проекцию линии
Г на плоскостьOxy
через L.
Область на плоскости Oxy,
ограниченную линией L,
обозначим D.

Разобьём произвольным
образом область D
на n
элементарных площадок
В
каждой площадкевозьмём точкуТочкеP_i
будет соответствовать на поверхности
точка
Через точкуM_i
проведём касательную плоскость к
поверхности. Уравнение её примет вид

(1)

На этой плоскости
выделим такую пло­щадку
,
которая проектируется на плоскостьОху
в виде площадки
.
Рассмотрим сумму всех площадок

Предел
этой суммы, когда наибольший из диаметров
пло­щадок–
стремится к нулю, мы будем называтьплощадью
по­верхности,
т. е. по определению положим

(2)

Займемся теперь
вычислением площади поверхности.
Обозна­чим через

угол между
касательной плоскостью и плоскостью
Оху.

Рис.20
Рис.21

На основании
известной формулы аналитической
геометрии можно написать (рис.21)

или

(3)

Угол
есть в то же время угол между осьюOz
и перпендикуляром к плоскости (1). Поэтому
на основании уравнения (1) и формулы
аналитической геометрии имеем

Следовательно,

Подставляя это
выражение в формулу (2), получим

Так как предел
интегральной суммы, стоящей в правой
части последнего равенства, по определению
представляет собой двойной интеграл
то окончательно получаем

(4)

Это и есть формула,
по которой вычисляется площадь поверхности

Если уравнение
поверхности дано в виде
или в видето соответствующие формулы для вычисления
поверхности имеют вид

(3^’)

(3^’’)

где D^’
и D^’’
– области на плоскостях Oyz
и Oxz,
в которые проектируется данная
поверхность.

а) Примеры.

Пример 1. Вычислить
поверхность
сферы

Решение. Вычислим
поверхность верхней половины сферы
(рис.22). В этом случае

Следовательно,
подынтегральная функция примет вид

Область интегрирования
определяется условием
.
Таким образом, на основании формулы (4)
будем иметь

Для вычисления
полученного двойного интеграла перейдём
к полярным координатам. В полярных
координатах граница области интегрирования
определяется уравнением
Следовательно,

Пример2. Найти
площадь той части поверхности цилиндра
которая вырезается цилиндром

Рис.22
Рис.23

Решение. На рис.23
изображена
часть искомой поверхности. Уравнение
поверхности имеет вид;
поэтому

Область интегрирования
представляет собой четверть круга, т.е.
определяется условиями

Следовательно,

Список использованной
литературы.

1. А.Ф. Бермант ,И.Г.
   Араманович

Краткий курс
математического анализа для втузов:
Учебное пособие для втузов: – М.: Наука,
Главная редакция физико-математической
литературы , 1971 г.,736с.

1. Н.С. Пискунов

Дифференциальное
и интегральное исчисления для втузов,
Том 2:

Учебное пособие
для втузов.-13-е изд. -М. :Наука, Главная
редакция физико-математической
литературы, 1985.-560с.

1. В.С. Шипачёв

Высшая
математика: Учебное пособие для втузов:
– М: Наука,

Главная редакция
физико-математической литературы.

Соседние файлы в предмете Алгебра и геометрия

• #
• #
• #

Разберем готовые ответы к примерам на нахождение площади плоской фигуры, которая ограничена кривыми через двойные интегралы.
Задание не сложные, а вся схема нахождения площади требует всего трех вещей:
знание элементарных функций и умение искать точки их пересечения;
понимание как через криволинейные интегралы искать площадь, умение правильно расставлять пределы;
хорошых знаний теории вычисления интегралов, поскольку к этому все сводится.

ЗАДАНИЕ 4.1 Найти площадь плоской фигуры, которая образована линиями:
x=4-y², x+2y=4.
Решение: Фигура ограничена x=4-y² – параболой с вершиной в точке O(4;0) и ветками влево;
но x+2y=4 – прямой, которая отрезается на осях в точках (4;0) и (0;2).
Найдем точки пересечения графиков функций из системы уравнений:

При ее решении получим две точки

График параболы и прямой приведен на рисунку

Запишем пределы интегрирования:
D: 0≤x≤4,
Здесь имеем y=√(4-x) – уравнение верхней части параболы x=4-y^2;
Вычислим площадь фигуры нахождением двойного интеграла:

Площадь равна 1,33 единиц квадратных.

ЗАДАНИЕ 4.2 Найти площадь плоской фигуры, которая образована кривыми:
y=2-x, y²=4x+4.
Решение: y^2=4x+4 – парабола с вершиной в точке O (-1;0) и ветками вправо;
y=2-x, x+y=2 – прямая, которая отрезается на осях в точках (2;0) и (0;2).
Складываем систему уравнений для нахождения точек пересечения графиков заданных кривых:

При решении получим две точки

График области интегрирования имеет вид

Пределы в области D:
-6≤x≤2, 0,25y²-1≤y≤2-y.
Находим площадь фигуры через криволинейный интеграл:

Кратный интеграл не трудно интегрировать.

ЗАДАНИЕ 4.3 Найти площадь плоской фигуры, которая образована линиями:
x²+y²=4, x²+y²=4x.
Решение: Область интегрирования ограничена x²+y²=4 – кругом с центром в точке O₁(0;0) и радиусом R=2;
x²+y²=4x, x²-4x+4+y²=4, (x-2)²+y²=2² – круг с центром в точке O₁(2;0) и радиусом R=2.
Найдем точки пересечения графиков заданных функций из системы уравнений:

отсюда

График фигуры, площадь которой ищем приведен на рисунку 

Расставим пределы в области D
(поскольку область симметрична относительно прямой y=0, то будем рассматривать ее половину, а результат умножим на 2):
D: 0≤y≤√3,
Здесь записали:
– уравнение левого полукруга (x-2)²+y²=4;
– уравнение правого полукруга x²+y²=4.
Вычислим площадь фигуры через двойной интеграл:

При интегрировании получили арксинусы, дальше подставили пределы интегрирования и округлили конечные значения.

ЗАДАНИЕ 4.4 Найти площадь плоской фигуры, которая образована кривыми:
x²+y²=2x, x²+y²=4x, y=x, y=0.
Решение: Начнем вычисление с анализа того, что собой представляет фигура, площадь которой нужно найти.
Сведем уравнения к простому виду
x²+y²=2x, x²-2x+1 +y²=1, (x-1)²+y²=1² – круг с центром в точке O₁(1;0) и радиусом R=1.
x²+y²=4x, x²-4x+4+y²=4, (x-2)²+y²=2² – круг с центром в точке O₁(2;0) и радиусом R=2.
y=x – прямая, которая является биссектрисой первой и третьей четверти. 
Рисунок к задаче илюстрирует площадь которой фигуры нужно найти

Поскольку поверхность ограничена кругами, то целесообразно перейти к полярным координатам.

Найдем якобиан перехода:

Запишем заданные функции в полярной системе координат:

отсюда

отсюда
y=0, тогда
y=x, тогда
Это нам нужно, чтобы знать пределы в новой системе координат.
Пределы интегрирования в полярной системе координат:

Вычислением кратного интеграла находим площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми:

Конечное значение площади можно еще округлить.
Из этого примера Вы ознакомились как искать площадь в полярной системе координат.
В следующей статье разберем еще несколько примеров на нахождение площади фигур интегрированием.

Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла

Евгений Николаевич Беляев

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Основные формулы

Если везде в области $D$ на координатной плоскости $xOy$ для формулы $I=iint limits _{D}fleft(x,yright)cdot dxcdot dy $ положить $fleft(x,yright)equiv 1$, то, в соответствии со своим геометрическим смыслом, двойной интеграл будет численно равен площади $S$ области интегрирования $D$, то есть $S=iint limits _{D}dxcdot dy $. В полярной системе координат эта же самая формула приобретает вид $S=iint limits _{D^{*} }rho cdot drho cdot dphi $.

Пусть некоторая поверхность $Q$ задана уравнениям $z=f_{1} left(x,yright)$. Вычислим площадь той части поверхности $Q$, которая проецируется на координатную плоскость $xOy$ в область $D_{1} $, где функция $f_{1} left(x,yright)$ непрерывна и имеет непрерывные частные производные. Тогда искомую площадь можно вычислить по формуле $S=iint limits _{D_{1} }sqrt{1+left(frac{partial z}{partial x} right)^{2} +left(frac{partial z}{partial y} right)^{2} } cdot dxcdot dy $.

Если уравнение поверхности $Q$ задано в виде $x=f_{2} left(y,zright)$ или $y=f_{3} left(x,zright)$, то соответствующие формулы для вычисления площади поверхности имеют следующий вид:

Здесь $D_{2} $ и $D_{3} $ — области, в которые проецируется поверхность $Q$ на координатные плоскости $yOz$ и $xOz$ соответственно.

Применение формул на практике

Задача 1

Замкнутая область $D$ на плоскости определяется пересечением параболы $y=2cdot x^{2} -16cdot x+31$ с двумя прямыми в точках $A$ и $B$ при $x_{A} =3$ и $x_{B} =6$ соответственно. Эти прямые, в свою очередь, пересекаются в заданной точхе $Cleft(5,9right)$. С помощью двойного интеграла вычислить площадь области $D$, рассматривая её как правильную в направлении оси $Oy$.

1. Находим координаты точки $Aleft(x_{A} ,y_{A} right)$:

$y_{A} =2cdot x_{A}^{2} -16cdot x_{A} +31=2cdot 3^{2} -16cdot 3+31=1$. Получаем $Aleft(3,1right)$.

2. Находим координаты точки $Bleft(x_{B} ,y_{B} right)$:

$y_{B} =2cdot x_{B}^{2} -16cdot x_{B} +31=2cdot 6^{2} -16cdot 6+31=7$. Получаем $Bleft(6,7right)$.

3. Находим уравнение прямой $AC$. Она проходит через точки $Aleft(3,1right)$ и $Cleft(5,9right)$. Её уравнение имеет вид $y=a_{1} cdot x+b_{1} $. Угловой коэффициент: $a_{1} =frac{9-1}{5-3} =4$, смещение $b_{1} =1-4cdot 3=-11$. Окончательно $y=4cdot x-11$.
4. Находим уравнение прямой $CB$. Она проходит через точки $Cleft(5,9right)$ и $Bleft(6,7right)$. Её уравнение имеет вид $y=a_{2} cdot x+b_{2} $. Угловой коэффициент: $a_{2} =frac{7-9}{6-5} =-2$, смещение $b_{2} =9-left(-2right)cdot 5=19$. Окончательно $y=-2cdot x+19$.
5. Заданная область $D$ является правильной в направлении оси $Oy$. Нижняя граница области образована параболой. Верхняя граница области состоит из двух участков: прямой $AC$ и прямой $CB$. Поэтому область $D$ разбиваем на две подобласти (левую $D_{1} $ и правую $D_{2} $) вертикальной прямой, проходящей через точку $C$.
6. Площади подобластей определяем с помощью двойного интеграла $S=iint limits _{D}dxcdot dy $. При этом двойной интеграл для каждой подобласти будем вычислять с помощью двукратного интеграла $S=iint limits _{D}dxcdot dy =int limits _{a}^{b}dxcdot int limits _{phi _{1} left(xright)}^{phi _{2} left(xright)}dy $.
7. Находим площадь $S_{1} $ левой подобласти $D_{1} $, которая слева ограничена прямой $x=3$, справа — прямой $x=5$, снизу — параболой $y=2cdot x^{2} -16cdot x+31$, сверху — прямой $AC$, уравнение которой $y=4cdot x-11$. Таким образом, $a=3$, $b=5$, $phi _{1} left(xright)=2cdot x^{2} -16cdot x+31$, $phi _{2} left(xright)=4cdot x-11$. Для вычисления площади $S_{1} $ левой подобласти $D_{1} $ окончательно получаем интеграл $S_{1} =int limits _{3}^{5}dxcdot int limits _{2cdot x^{2} -16cdot x+31}^{4cdot x-11}dy $.
8. Сначала вычисляем внутренний интеграл $I_{1} $, в котором интегрирование выполняется по $y$, а $x$ считается постоянной:

[I_{1} =int limits _{2cdot x^{2} -16cdot x+31}^{4cdot x-11}dy =left[yright]_{2cdot x^{2} -16cdot x+31}^{4cdot x-11} =]

[=left(4cdot x-11right)-left(2cdot x^{2} -16cdot x+31right)=-2cdot x^{2} +20cdot x-42.]

9. Теперь полученную функцию от $x$ следует проинтегрировать по $x$:

[S_{1} =int limits _{3}^{5}I_{1} cdot dx =int limits _{3}^{5}left(-2cdot x^{2} +20cdot x-42right)cdot dx =]

[=-2cdot int limits _{3}^{5}x^{2} cdot dx +20cdot int limits _{3}^{5}xcdot dx -42cdot int limits _{3}^{5}dx =-2cdot left[frac{x^{3} }{3} right]_{3}^{5} +20cdot left[frac{x^{2} }{2} right]_{3}^{5} -42cdot left[xright]_{3}^{5} =]

[=-2cdot frac{1}{3} cdot left[5^{3} -3^{3} right]+20cdot frac{1}{2} cdot left[5^{2} -3^{2} right]-42cdot left[5-3right]=]

[=-frac{2}{3} cdot 98+10cdot 16-42cdot 2approx 10,667.]

10. Находим площадь $S_{2} $ правой подобласти $D_{2} $, которая слева ограничена прямой $x=5$, справа — прямой $x=6$, снизу — параболой $y=2cdot x^{2} -16cdot x+31$, сверху — прямой $CB$, уравнение которой $y=-2cdot x+19$. Таким образом, $a=5$, $b=6$, $phi _{1} left(xright)=2cdot x^{2} -16cdot x+31$, $phi _{2} left(xright)=-2cdot x+19$. Для вычисления площади $S_{2} $ правой подобласти $D_{2} $ окончательно получаем интеграл $S_{2} =int limits _{5}^{6}dxcdot int limits _{2cdot x^{2} -16cdot x+31}^{-2cdot x+19}dy $.
11. Сначала вычисляем внутренний интеграл $I_{2} $, в котором интегрирование выполняется по $y$, а $x$ считается постоянной:

[I_{2} =int limits _{2cdot x^{2} -16cdot x+31}^{-2cdot x+19}dy =left[yright]_{2cdot x^{2} -16cdot x+31}^{-2cdot x+19} =]

[=left(-2cdot x+19right)-left(2cdot x^{2} -16cdot x+31right)=-2cdot x^{2} +14cdot x-12.]

12. Теперь интегрируем по $x$ полученную функцию от $x$:

[S_{2} =int limits _{5}^{6}I_{2} cdot dx =int limits _{5}^{6}left(-2cdot x^{2} +14cdot x-12right)cdot dx =]

[=-2cdot frac{1}{3} cdot left[6^{3} -5^{3} right]+14cdot frac{1}{2} cdot left[6^{2} -5^{2} right]-12cdot left[6-5right]=]

[=-frac{2}{3} cdot 91+7cdot 11-12cdot 1approx 4,333.]

13. Площадь области $D$ равна $S=S_{1} +S_{2} =10,667+4,333=15$ кв.ед.

«Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла» 👇

Задача 2

На горизонтальной плоскости $xOy$ находится вертикальное цилиндрическое сооружение. Пол сооружения (область $D$) имеет вид прямоугольника с вершинами $Oleft(0,0right)$, $Mleft(5,0right)$, $Kleft(5,7right)$ и $Nleft(0,7right)$. Крыша сооружения имеет вид купола и описывается уравнением $z=sqrt{left(4cdot x+5right)^{3} } +sqrt{left(2cdot y+6right)^{3} } $. Требуется с помощью двойного интеграла вычислить площадь крыши этого сооружения.

1. Площадь крыши сооружения вычисляем по формуле $S=int limits _{a}^{b}dxcdot int limits _{phi _{1} left(xright)}^{phi _{2} left(xright)}sqrt{1+left(frac{partial z}{partial x} right)^{2} +left(frac{partial z}{partial y} right)^{2} } cdot dy $. Здесь $z=sqrt{left(4cdot x+5right)^{3} } +sqrt{left(2cdot y+6right)^{3} } $.

Его прямоугольный пол является правильным в направлении оси $Oy$. Прямые $x=a$ и $x=b$ ограничивают пол в направлении оси $Ox$ сзади и спереди, следовательно, $a=0$, $b=5$. Линии $phi _{1} left(xright)$ и $phi _{2} left(xright)$ ограничивают пол в направлении оси $Oy$ слева и справа, следовательно, $phi _{1} left(xright)=0$, $phi _{2} left(xright)=7$. Окончательно $S=int limits _{0}^{5}dxcdot int limits _{0}^{7}sqrt{1+left(frac{partial z}{partial x} right)^{2} +left(frac{partial z}{partial y} right)^{2} } cdot dy $.

2. Находим частную производную $frac{partial z}{partial x} $:

[frac{partial z}{partial x} =frac{partial left(sqrt{left(4cdot x+5right)^{3} } +sqrt{left(2cdot y+6right)^{3} } right)}{partial x} =frac{partial sqrt{left(4cdot x+5right)^{3} } }{partial x} =6cdot sqrt{4cdot x+5} .]

3. Находим частную производную $frac{partial z}{partial y} $:

[frac{partial z}{partial y} =frac{partial left(sqrt{left(4cdot x+5right)^{3} } +sqrt{left(2cdot y+6right)^{3} } right)}{partial y} =frac{partial sqrt{left(2cdot y+6right)^{3} } }{partial y} =3cdot sqrt{2cdot y+6} .]

4. Находим подкоренное выражение интеграла:

[W=1+left(frac{partial z}{partial x} right)^{2} +left(frac{partial z}{partial y} right)^{2} =144cdot x+18cdot y+235.]

Таким образом, для нахождения площади нужно вычислить интеграл

[S=int limits _{0}^{5}dx int limits _{0}^{7}sqrt{W} cdot dy =int limits _{0}^{5}dx int limits _{0}^{7}sqrt{144cdot x+18cdot y+235} cdot dy .]

5. Находим внутренний интеграл:

[I=int limits _{0}^{7}sqrt{144cdot x+18cdot y+235} cdot dy =frac{1}{27} cdot left(144cdot x+361right)^{frac{3}{2} } -frac{1}{27} cdot left(144cdot x+235right)^{frac{3}{2} } .]

6. Находим площадь крыши:

[S=int limits _{0}^{5}Icdot dx =frac{1}{27} cdot int limits _{0}^{5}left(144cdot x+361right)^{frac{3}{2} } cdot dx -frac{1}{27} cdot int limits _{0}^{5}left(144cdot x+235right)^{frac{3}{2} } cdot dx ;]

[I_{1} =int limits _{0}^{5}left(144cdot x+361right)^{frac{3}{2} } cdot dx =left[frac{1}{144} cdot frac{left(144cdot x+361right)^{frac{5}{2} } }{frac{5}{2} } right]_{0}^{5} approx 99845,86;]

[I_{2} =int limits _{0}^{5}left(144cdot x+235right)^{frac{3}{2} } cdot dx =left[frac{1}{144} cdot frac{left(144cdot x+235right)^{frac{5}{2} } }{frac{5}{2} } right]_{0}^{5} approx 75938,31;]

окончательно $S=frac{1}{27} cdot left(99845,86-75938,31right)approx 885,46$ кв.ед.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 19.01.2023

Вычисление площади поверхности

Пример 1

Пусть в пространстве задана кусочно-гладкая поверхность $sigma $, однозначно проектирующаяся в область $mathbf { textit { D } } $ на плоскости $mathbf { textit { Оху } } $. Пусть эта поверхность задаётся уравнением $sigma :;z=f(x,y),;(x,y)in D$. Тогда площадь этой поверхности выражается формулой

$ s(sigma )=iintlimits_D { sqrt { 1+left( { frac { partial f } { partial x } }right)^2+left( { frac { partial f } { partial y } }right)^2 } dxdy } . $

Мы докажем эту формулу позже, когда будем изучать поверхностные интегралы. Сейчас рассмотрим пример: найти площадь лепестков, вырезаемых цилиндром $mathbf { textit { x } } ^ { 2 } +mathbf { textit { y } } ^ { 2 } $ = 2$mathbf { textit { ax } } $ из сферы $mathbf { textit { x } } ^ { 2 } +mathbf { textit { y } } ^ { 2 } +mathbf { textit { z } } ^ { 2 } $ = 4$mathbf { textit { a } } ^ { 2 } $ .

Решение:

На рисунке изображён верхний из этих лепестков. Уравнение поверхности $z=sqrt { 4a^2-x^2-y^2 } ,$ вычисляем производные $frac { partial z } { partial x } =-frac { x } { sqrt { 4a^2-x^2-y^2 } } , quad frac { partial z } { partial y } =-frac { y } { sqrt { 4a^2-x^2-y^2 } } ,$ и $s(sigma )=iintlimits_D { sqrt { 1+frac { x^2+y^2 } { 4a^2-x^2-y^2 } dxdy } } =2aiintlimits_D { frac { dxdy } { sqrt { 4a^2-x^2-y^2 } } } $.

Область $mathbf { textit { D } } $ – сдвинутый на $mathbf { textit { а } } $ единиц по оси $mathbf { textit { Ох } } $ круг, поэтому вычисляем в полярных координатах, учитывая симметрию поверхности относительно плоскостей $mathbf { textit { Оху } } $ и $mathbf { textit { Охz } } $:

$s(sigma )=4cdot 2aiintlimits_ { D_ { r,varphi } } { frac { rdrdvarphi } { sqrt { 4a^2-r^2 } } } =8aintlimits_0^ { pi /2 } { dvarphi intlimits_0^ { 2acos varphi } { left( { 4a^2-r^2 }right)^ { -1/2 } rdr } } =-8aintlimits_0^ { pi /2 } { dvarphi left. { left( { 4a^2-r^2 }right)^ { 1/2 } }right|_0^ { 2acos varphi } } = \ =8aintlimits_0^ { pi /2 } { left[ { 2a-2asqrt { 1-cos ^2varphi } }right]dvarphi } =16a^2left. { left( { varphi +cos varphi }right) }right|_0^ { pi /2 } =16a^2left( { pi /2-1 }right)$.

Пример 2

Вычислить площадь cферы радиуса (a.)

Решение:

Рассмотрим верхнюю полусферу. Ее уравнение имеет вид $ { { x^2 } + { y^2 } + { z^2 } = { a^2 } } ;; { text { или } ;;z = sqrt { { a^2 } – { x^2 } – { y^2 } } . } $

Очевидно, область интегрирования (R) представляет собой круг с таким же радиусом (a,) расположенный в центре координат. Площадь полусферы вычисляется по формуле $ { S_ { largefrac { 1 } { 2 } normalsize } } = iintlimits_R { sqrt { 1 + { { left( { frac { { partial z } } { { partial x } } }right) } ^2 } + { { left( { frac { { partial z } } { { partial y } } }right) } ^2 } } dxdy } .$

Найдем частные производные. $ { frac { { partial z } } { { partial x } } } = { frac { partial } { { partial x } } sqrt { { a^2 } – { x^2 } – { y^2 } } } = { frac { { – { 2 } x } } { { { 2 } sqrt { { a^2 } – { x^2 } – { y^2 } } } } } = { – frac { x } { z } , } $ $ { frac { { partial z } } { { partial y } } } = { frac { partial } { { partial y } } sqrt { { a^2 } – { x^2 } – { y^2 } } } = { frac { { – { 2 } y } } { { { 2 } sqrt { { a^2 } – { x^2 } – { y^2 } } } } } = { – frac { y } { z } . } $

Подставляя найденные производные, получаем $ { { S_ { largefrac { 1 } { 2 } normalsize } } = iintlimits_R { sqrt { 1 + { { left( { frac { { partial z } } { { partial x } } }right) } ^2 } + { { left( { frac { { partial z } } { { partial y } } }right) } ^2 } } dxdy } } = { iintlimits_R { sqrt { 1 + frac { { { x^2 } } } { { { z^2 } } } + frac { { { y^2 } } } { { { z^2 } } } } dxdy } } = { iintlimits_R { sqrt { frac { { { z^2 } + { x^2 } + { y^2 } } } { { { z^2 } } } } dxdy } } = { iintlimits_R { frac { a } { z } dxdy } . } $

Преобразуем двойной интеграл в полярные координаты. $ { { S_ { largefrac { 1 } { 2 } normalsize } } = iintlimits_R { frac { a } { z } dxdy } } = { intlimits_0^ { 2pi } { intlimits_0^a { frac { a } { { sqrt { { a^2 } – { r^2 } } } } rdrdtheta } } } = { aintlimits_0^ { 2pi } { dtheta } intlimits_0^a { frac { { rdr } } { { sqrt { { a^2 } – { r^2 } } } } } } = { – 2pi aintlimits_0^a { frac { { dleft( { { a^2 } – { r^2 } }right) } } { { 2sqrt { { a^2 } – { r^2 } } } } } } = { – 2pi aleft. { left( { sqrt { { a^2 } – { r^2 } } }right) }right|_ { r = 0 } ^a } = { – 2pi aleft( { 0 – a }right) = 2pi { a^2 } . } $

Площадь поверхности полной сферы, соответственно, равна $S = 2 { S_ { largefrac { 1 } { 2 } normalsize } } = 4pi { a^2 } .$