Как найти площадь через периметр куба

Онлайн-калькулятор площади поверхности куба

У куба есть двенадцать ребер, то есть, отрезков, которые являются сторонами квадратов.
Также он имеет восемь вершин и шесть граней.
У куба есть диагональ, соединяющая противоположные вершины.

Формула площади поверхности куба

Площадь поверхности куба – это сумма площадей всех его граней:

S=S1+S2+S3+S4+S5+S6S=S_1+S_2+S_3+S_4+S_5+S_6

Площадь каждой грани одинакова, то есть:

S1=S2=S3=S4=S5=S6=S′S_1=S_2=S_3=S_4=S_5=S_6=S’

S′S’ — площадь любой грани куба.

Тогда полная площадь поверхности куба запишется как:

S=6⋅S′S=6cdot S’

Рассмотрим на примерах разные способы вычисления полной площади поверхности куба.

Формула площади поверхности куба по длине ребра куба

Площадь каждой грани куба вычисляется как площадь квадрата, со стороной ребра куба по формуле:

S′=a⋅a=a2S’=acdot a=a^2

aa — сторона куба.

Отсюда, окончательно площадь поверхности куба:

Формула площади поверхности куба по диагонали куба

По теореме Пифагора, диагональ куба связанна с длиной его ребра по формуле:

d2=a2+a2+a2d^2=a^2+a^2+a^2
d2=3⋅a2d^2=3cdot a^2
d=3⋅ad=sqrt{3}cdot a

Отсюда:

a=d3a=frac{d}{sqrt{3}}

Подставим в формулу для площади:

S=6⋅a2=6⋅(d3)2=2⋅d2S=6cdot a^2=6cdotBig(frac{d}{sqrt{3}}Big)^2=2cdot d^2

Формула площади поверхности куба по длине диагонали квадрата (грани куба)

По теореме Пифагора, диагональ квадрата ll связанна с его стороной aa:

l2=a2+a2l^2=a^2+a^2
l2=2⋅a2l^2=2cdot a^2
l=2⋅al=sqrt{2}cdot a

Тогда сторона квадрата:

a=l2a=frac{l}{sqrt{2}}

Подставляем в формулу для площади и получаем:

S=6⋅a2=3⋅l2S=6cdot a^2=3cdot l^2

Разберем более сложные примеры.

Формула площади поверхности куба по площади вписанного в куб шара

В куб вписан шар площади SшарS_{text{шар}}. Тогда радиус RR этого шара равен половине длины стороны куба aa:

R=a2R=frac{a}{2}

Площадь шара дается формулой:

Sшар=4⋅π⋅R2S_{text{шар}}=4cdotpicdot R^2

Отсюда найдем радиус шара:

R=Sшар4⋅πR=sqrt{frac{S_{text{шар}}}{4cdotpi}}

Сторона грани куба:

a=2⋅R=2⋅Sшар4⋅πa=2cdot R=2cdotsqrt{frac{S_{text{шар}}}{4cdotpi}}

Наконец площадь поверхности куба:

S=6⋅a2=6⋅SшарπS=6cdot a^2=frac{6cdot S_{text{шар}}}{pi}

Не знаете, кто сможет решить контрольную работу на заказ для вас? Наши эксперты с удовольствием окажут вам помощь!

Тест по теме “Площадь поверхности куба”

Площадь куба, она же площадь полной поверхности куба, равна увеличенной в шесть раз площади одной его грани. Так как площадь куба зависит только от ребра, зная ее, можно легко вычислить ребро и затем все остальные параметры куба.
S_(п.п.)=6a^2
a=√(S_(п.п.)/6)

Соответственно, площадь стороны куба – одной его грани, будет равна площади полной поверхности разделенной на шесть, а площадь боковой поверхности, состоящей из четырех граней, – двум третям площади полной поверхности куба.
S=S_(п.п.)/6
S_(б.п.)=2/3 S_(п.п.)

Для того чтобы найти объем куба, необходимо его ребро возвести в третью степень. Используя полученную формулу ребра куба через площадь полной поверхности, получим, что объем куба равен одной шестой квадратного корня из площади куба в третьей степени, деленной на шесть.
V=a^3=(√(S_(п.п.)/6))^3=1/6 √(〖S_(п.п.)〗^3/6)

Периметр куба можно найти, умножив ребро куба на 12. Если подставить вместо ребра квадратный корень через площадь куба, то получим следующую формулу для периметра куба:
P=12a=12√(S_(п.п.)/6)

Диагональ одной стороны куба является по определению диагональю квадрата, которая вычисляется как произведение стороны квадрата на корень из двух. Так как ребро куба является стороной этого квадрата, то диагональ будет равна квадратному корню из площади, деленной на 3.
d=a√2=√(S_(п.п.)/3)

Чтобы рассчитать диагональ куба, необходимо провести дополнительное построение на чертеже, соединяющее ребро куба и одну из вершин диагонали в прямоугольный треугольник. Это дает возможность воспользоваться теоремой Пифагора и вычислить диагональ куба через площадь, подставив формулу вместо ребра куба. (рис.2.1)
a^2+d^2=D^2
D^2=a^2+2a^2
D^2=3a^2
D=a√3=√(S_(п.п.)/2)

Радиус сферы, вписанной в куб, по определению равен половине ребра куба или половине квадратного корня из площади куба, деленной на шесть. (рис. 2.2)
r=a/2=1/2 √(S_(п.п.)/6)

Радиус сферы, описанной вокруг куба, представлен половиной диагонали куба, которая равна площади полной поверхности куба, деленной на два, под корнем. (рис.2.3)
R=D/2=1/2 √(S_(п.п.)/6)