Площадь четырехугольника
Площадь произвольного четырехугольника, формулы и калькулятор для вычисления в режиме онлайн. Для вычисления площади произвольного четырехугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь произвольного четырехугольника или проверить уже выполненные вычисления.
В окончании статьи приведены ссылки для вычисления частных случаев четырехугольников: квадрата, трапеции, параллелограмма, прямоугольника, ромба.
Площадь четырехугольника по диагоналям и углу между ними
Площадь четырехугольника через стороны и углы между этими сторонами
При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:
Площадь четырехугольника вписанного в окружность, вычисляемая по Формуле Брахмагупты
Данная формула справедлива только для четырехугольников, вокруг которых можно описать окружность.
При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:
Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность
Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.
При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:
Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность, определяемая через стороны и углы между ними
Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.
Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°
Таблица с формулами площади четырехугольника
| исходные данные (активная ссылка для перехода к калькулятору) |
эскиз | формула | |
| 1 | диагональ и угол между ними | ||
| 2 | стороны и углы между этими сторонами | ||
| 3 | стороны (по Формуле Брахмагупты) |
||
| 4 | стороны и радиус вписанной окружности | ||
| 5 | стороны и углы между ними |
Площадь частных случаев четырехугольников
Для вычисления частных случаев четырехугольников можно воспользоваться формулами и калькуляторами, приведенными в других статьях сайта:
Определения
Четырехугольник – это геометрическая плоская фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками.
Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.
Площадь четырехугольника – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками.
Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км 2 , м 2 , см 2 , мм 2 и т.д.
Четырехугольники
теория по математике 📈 планиметрия
Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.
Выпуклый четырехугольник
Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости (то есть все его стороны расположены только с одной стороны прямой, прямая НЕ разбивает фигуру) относительно прямой, содержащей любую его сторону. На рисунке показан выпуклый четырехугольник АВСD.
Определение
Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины. На рисунке 2 диагоналями являются отрезки АС и BD.
Виды и свойства выпуклых четырехугольников
Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.
Прямоугольник
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.
На рисунке видно, что углы А, В, C и D прямые, то есть равны 90 градусов. Свойства прямоугольника, его периметр и площадь
- Противоположные стороны прямоугольника равны (АВ=CD, ВС=АD).
- Диагонали прямоугольника равны (АС=ВD).
- Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
- Периметр прямоугольника – это сумма длин всех сторон: Р=(а + b) × 2, где а и b соседние (смежные) стороны прямоугольника
- Площадь прямоугольника – это произведение длин соседних (смежных) сторон, формула для нахождения площади прямоугольника:
S=ab, где a и b соседние стороны прямоугольника.
Квадрат
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Свойства квадрата
- Диагонали квадрата равны (BD=AC).
- Диагонали квадрата пересекаются под углом 90 градусов.
- Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам (BO=OD, AO=OC).
- Периметр квадрата – это сумма длин всех сторон. Так как все стороны квадрата равны, то его можно найти по формуле Р=4×а, где а — длина стороны квадрата.
- Площадь квадрата – это произведение длин соседних сторон, формула для нахождения площади прямоугольника S=a 2 , где a — длина стороны квадрата.
Параллелограмм
Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Трапеция
Трапеция – это четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции.
Виды трапеций
Трапеция называется прямоугольной, если у нее боковая сторона перпендикулярна основаниям. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла.
углы А и С равны по 90 градусов
Средняя линия трапеции
Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.
Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN.
Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC.
По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС.
Ответ: см. решение
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30 0 и 135 0 , а СD =17
Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.
Рассмотрим треугольник CНD, где CD=17, угол Н=90 0 , следовательно, треугольник прямоугольный. Найдем величину угла DCН, 135 0 – 90 0 =45 0 (так как провели высоту CН). Отсюда следует, что угол D=45 0 , так как треугольник прямоугольный. Значит, треугольник является равнобедренным (углы D и DCН равны по 45 градусов).
Найдем катеты CН и DН по теореме Пифагора, как катет равнобедренного треугольника по формуле с=а √ 2 , где с=17. Следовательно, CН = 17 √ 2 . . = 17 √ 2 2 . . .
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ, где угол В равен 30 градусов, а катет АМ= CН= 17 √ 2 2 . . . Зная, что катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, найдем АВ (она будет в два раза больше катета). АВ=2 × 17 √ 2 2 . . =17 √ 2
Ответ: см. решение
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найти площадь этой трапеции.
Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула
S = a + b 2 . . h , для которой у нас известны и основания, и высота. Подставим в неё эти значения и вычислим: S = 7 + 11 2 . . ∙ 7 = 18 2 . . ∙ 7 = 9 ∙ 7 = 63
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 22 √ 2 . Найти диагональ этого квадрата.
Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.
Обозначим диагональ АВ, точкой О – центр окружности, С – один из углов квадрата. Покажем расстояние от центра окружности до стороны квадрата – радиус r. Если радиус равен 22 √ 2 , то сторона квадрата будет в два раза больше, т.е. 44 √ 2 .
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, который является равнобедренным (так как по условию дан квадрат) и боковые стороны равны по 44 √ 2 . Нам надо найти диагональ, т.е. гипотенузу данного треугольника. Вспомним, что для нахождения гипотенузы равнобедренного треугольника есть формула с=а √ 2 , где с – гипотенуза, а – катет. Подставим в неё наши данные:
с=44 √ 2 × √ 2 =44 √ 4 =44 × 2=88
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле S= d 1 d 2 s i n a 2 . . , где d 1 и d 2 длины диагоналей четырехугольника, а – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d 1 , если d 2 =16, sin a= 2 5 . . , a S=12,8
Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу:
12,8= d 1 × 16 × 2 5 . . 2 . .
В правой части можно сократить 16 и 2 на 2: 12,8= d 1 × 8 × 2 5 . . 1 . .
Теперь умножим 8 на дробь 2 5 . . , получим 3,2: 12,8= d 1 × 3 , 2
Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: d 1 =12,8:3,2=4
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.
При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
Задание №1
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.
| Объекты | яблони | теплица | сарай | жилой дом |
| Цифры |
Решение
Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:
при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж — 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5.
Итак, получили следующее:
1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом.
Заполняем нашу таблицу:
| Объекты | яблони | теплица | сарай | жилой дом |
| Цифры | 3 | 5 | 1 | 7 |
Записываем ответ: 3517
Задание №2
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?
Решение
Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).
Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м».
Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок.
Задание №3
Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.
Решение
Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.
Задание №4
Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина — 6 м (3 клетки).
Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м
Задание №5
Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.
| Номер магазина | Расход краски | Масса краски в одной банке | Стоимость одной банки краски | Стоимость доставки заказа |
| 1 | 0,25 кг/кв.м | 6 кг | 3000 руб. | 500 руб. |
| 2 | 0,4 кг/кв.м | 5 кг | 1900 руб. | 800 руб. |
Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?
Решение
Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:
1 магазин: 232х0,25=58 кг
2 магазин: 232х0,4=92,8 кг
Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:
1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа)
2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.
Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:
1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.
2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.
Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей.
Ответ: см. решение
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
найдите площадь четырехугольника авсд если его диагонали перпендикулярны и равны 3 см и 6 см?
Математика | 5 – 9 классы
найдите площадь четырехугольника авсд если его диагонали перпендикулярны и равны 3 см и 6 см.
S = (3 * 6) / 2(тк это ромб)
Четыре окружности, построенные как на диаметрах на сторонах выпуклого четырехугольника ABCD, имеют общую точку, лежащую внутри четырехугольника, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон ?
Четыре окружности, построенные как на диаметрах на сторонах выпуклого четырехугольника ABCD, имеют общую точку, лежащую внутри четырехугольника, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника, взаимно перпендикулярны.
Найдите площадь четырехугольника ABCD, если длина диагонали AC = √2 см.
Выберите 3 правильных ответа?
Выберите 3 правильных ответа.
Какие из высказываний верны.
1)Если диагонали четырехугольника равно, то он прямоугольник.
2)Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он параллелограмм 3)Если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то он ромб 4)Диагонали прямоугольника являются биссектриссами его углов 5)В ромбе все высоты равны 6)Если в ромбе все углы равны, то он квадрат.
Найдите площадь четырехугольника ABCD, если его диагонали перпендикулярны и равны 10 см и 6 см?
Найдите площадь четырехугольника ABCD, если его диагонали перпендикулярны и равны 10 см и 6 см.
Сделайте пожалуйста с рисунком.
1) Если в четырехугольнике диагонали делятся точкой пересечения пополам, то он является ромбом?
1) Если в четырехугольнике диагонали делятся точкой пересечения пополам, то он является ромбом.
2) если диагонали трапеции равны, то её боковые стороны равны.
3) Если в четырехугольнике боковые стороны равны, а две другие – нет, то это трапеция.
4) Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это ромб.
Прямая АМ перпендикулярна к плоскости квадрата АВСД диагонали которого пересекаются в точке О?
Прямая АМ перпендикулярна к плоскости квадрата АВСД диагонали которого пересекаются в точке О.
Докажите что прямая ВД перпендикулярна к плоскости АМО.
Около четырехугольника ABCD описана окружность с центром в точке О?
Около четырехугольника ABCD описана окружность с центром в точке О.
Диагонали четырехугольника перпендикулярны.
Найдите длину стороны BC, если расстояние от точки О до стороны AD равно 1.
Из вершины А и С правильного четырехугольника АВСД проведены прямые перпендикулярные его диагонали АС а через вершины ВиД прямые перпендикулярный диагонали ВД?
Из вершины А и С правильного четырехугольника АВСД проведены прямые перпендикулярные его диагонали АС а через вершины ВиД прямые перпендикулярный диагонали ВД.
Прямые попарно Пересекаются и образует четырёхугольник KLMN найдите сторону четыр KLMN если диагональ АС равна 5.
Верно ли высказывание : если диагонали четырехугольника равны, то это четырехугольник – прямоугольник?
Верно ли высказывание : если диагонали четырехугольника равны, то это четырехугольник – прямоугольник?
Найдите площадь равнобедренной трапеции у которой высота равна 16 см а диагонали взаимно перпендикулярны?
Найдите площадь равнобедренной трапеции у которой высота равна 16 см а диагонали взаимно перпендикулярны.
Диагонали четырехугольника abcd вписанного в окружность перпендикулярны, угол acb = 10°, bdc = 70°?
Диагонали четырехугольника abcd вписанного в окружность перпендикулярны, угол acb = 10°, bdc = 70°.
Найти углы четырехугольника.
Вы перешли к вопросу найдите площадь четырехугольника авсд если его диагонали перпендикулярны и равны 3 см и 6 см?. Он относится к категории Математика, для 5 – 9 классов. Здесь размещен ответ по заданным параметрам. Если этот вариант ответа не полностью вас удовлетворяет, то с помощью автоматического умного поиска можно найти другие вопросы по этой же теме, в категории Математика. В случае если ответы на похожие вопросы не раскрывают в полном объеме необходимую информацию, то воспользуйтесь кнопкой в верхней части сайта и сформулируйте свой вопрос иначе. Также на этой странице вы сможете ознакомиться с вариантами ответов пользователей.
[spoiler title=”источники:”]
http://matematika.my-dict.ru/q/6355937_najdite-plosad-cetyrehugolnika-avsd-esli-ego/
[/spoiler]
Содержание
Площади различных многоугольников
Площадь прямоугольника
Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.
Доказательство
Рассмотрим прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=a$ и $BC=b$.
Докажем, что его площадь $S=ab$.
Достроим прямоугольник $ABCD$ до квадрата $AEGK$, продлив прямую $AD$ за
точку $D$ на отрезок $DE=a$, и прямую $AB$ за точку $B$ на отрезок
$BK=b$.
Тогда $BCHK$ и $CFED$ – это квадраты, и их площади равны
соответственно $b^2$ и $a^2$.
Кроме того, $CFGH$ – это прямоугольник со сторонами $a$ и $b$, следовательно, его площадь
равна площади $ABCD$.
Обозначим площадь $ABCD$ за $S$.
Тогда
$S_{AEGK}=S_{BCHK}+S_{CFED}+2S=a^2+b^2+2S$.
С другой стороны
$S_{AEGK}=(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$.
Откуда получаем, что $2ab=2S$, то
есть $S=ab$.
Площадь прямоугольного треугольника
Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению его катетов.
Доказательство
Рассмотрим прямоугольный треугольник $triangle ABC$, в котором $BC=a, AC=b$ и $a C=90^circ$.
Докажем, что $S_{triangle ABC}=dfrac{ab}{2}$.
Достроим треугольник $triangle ABC$ до прямоугольника $ADBC$.
Тогда
$S_{ADBC}=ab=2S_{triangle ABC}$.
Следовательно, $S_{triangle ABC}=dfrac{ab}{2}$.
Площадь треугольника
Площадь треугольника равна половине произведения любой из его сторон
и проведенной к ней высоты.
Доказательство
Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $BH$ – это высота.
Докажем, что $S_{ABC}=dfrac{1}{2}cdot BHcdot AC.$
Возможны три случая:
-
точка $H$ совпадает с одним из концов отрезка $AC$, например с точкой $C$;
-
точка $H$ принадлежит отрезку $AC$ и не совпадает с его концами;
-
точка $H$ лежит за пределами отрезка $AH$.
Первый случай
Пусть высота из точки $B$ падает в один из
концов отрезка $AC$, например в вершину $C$.
Тогда $BC=BH$ и $triangle ABC$ – прямоугольный, следовательно, по
теореме получаем $S_{ABC}=dfrac{1}{2}cdot BHcdot AC$.
Второй случай
Пусть высота $BH$ падает внутрь отрезка $AC$.
Тогда высота $BH$ разбивает треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника $ABH$ и $BHC$,
следовательно, $S_{ABC}=S_{ABH}+S_{BHC}=dfrac{1}{2}cdot BHcdot
AH+dfrac{1}{2}cdot BHcdot HC=dfrac{1}{2}cdot BHcdot
(AH+HC)=frac{1}{2}cdot BHcdot AC$.
Третий случай
Пусть высота $BH$ падает вне отрезка $AC$, например за точку $C$.
Тогда
$S_{ABC}=S_{ABH}-S_{BCH}=dfrac{1}{2}cdot BHcdot
AH-dfrac{1}{2}cdot BHcdot CH=dfrac{1}{2}cdot BHcdot
(AH-CH)=dfrac{1}{2}cdot BHcdot AC$.
Площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту,
проведенную к этой стороне.
Доказательство
Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, в котором сторона $AD=a$ и высота $BH=h$.
Докажем, что $S_{ABCD}=ah$.
Проведем диагональ $AC$.
По свойствам параллелограмма, диагональ делит его на два равных треугольника.
Следовательно, $S_{triangle ABC}=S_{ADC}=dfrac{1}{2}cdot ah$.
Тогда $S_{ABCD}=2S_{ACD}=ah$.
Площадь трапеции
Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму ее
оснований.
Доказательство
Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой $BH=h$ – высота, и основания $AD=a, BC=b$.
Докажем, что $S_{ABCD}=hcdotdfrac{a+b}{2}$.
Проведем диагональ $AC$.
Тогда $S_{triangle ABD}=dfrac{1}{2}cdot ah$, $S_{triangle BCD}=dfrac{1}{2} ah$, поскольку высоты этих треугольников, проведенные к сторонам $AD$ и $BC$ соответственно, равны высоте
трапеции.
Тогда $S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}=dfrac{1}{2}(ah+bh)=hcdotdfrac{a+b}{2}$.
Площадь ромба
Площадь ромба равна полупроизведению его диагоналей.
Доказательство
Рассмотрим ромб $ABCD$, в котором диагонали $AC=d_1$ и $BD=d_2$.
Докажем, что $S_{ABCD}=dfrac{1}{2}cdot d_1d_2$.
Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.
Диагонали разбивают ромб на четыре равных треугольника $triangle ABO,
triangle BCO, triangle CDO, triangle DAO$.
Следовательно, $S_{ABCD}=4S_{ABO}=4cdotdfrac{1}{2}dfrac{d_1}{2}dfrac{d_2}{2}=dfrac{1}{2}cdot
d_1d_2$.
Теорема (о площади четырехугольника с перпендикулярными диагоналями)
Площадь выпуклого четырехугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями равна полупроизведению его диагоналей.
Доказательство
Рассмотрим четырехугольник $ABCD$ в котором $ACperp BD$.
Пусть $AC$ пересекает $BD$ в точке $O$.
Обозначим $BO=a, CO=b, DO=c, AO=d$.
Тогда
$S_{ABCD}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{AOD}=dfrac{1}{2}ad+dfrac{1}{2}ab+dfrac{1}{2}bc+dfrac{1}{2}cd=dfrac{1}{2}(a(b+d)+c(b+d))=dfrac{1}{2}(a+c)(b+d)=dfrac{1}{2}ACcdot BD$
Теорема (о площадях боковых треугольников в трапеции)
Два треугольника, образованные боковыми сторонами трапеции и
отрезками ее диагоналей, равны по площади.
Доказательство
Рассмотрим трапецию $ABCD$, у которой диагонали $AC$ и $BD$
пересекаются в точке $O$.
Докажем, что $S_{triangle AOB}=S_{triangle COD}$.
Рассмотрим треугольники $triangle ABD$ и $triangle ACD$.
У этих треугольников общее основание $AD$, кроме того их
высоты, проведенные к стороне $AD$ из точек $B$ и $C$ соответственно, тоже равны.
Следовательно, $S_{triangle ABD}=S_{triangle ACD}$.
Но тогда $S_{triangle AOB}=S_{triangle ABD}-S_{triangle AOD}=S_{triangle ACD}-S_{triangle AOD}=S_{triangle COD}$.
OBRAZOVALKA.COM
OBRAZOVALKA.COM – образовательный портал
Наш сайт это площадка для образовательных консультаций, вопросов и ответов для школьников и студентов .
На вопросы могут отвечать также любые пользователи, в том числе и педагоги.
Консультацию по вопросам и домашним заданиям может получить любой школьник или студент.
pingadstinin603
Вопрос по математике:
Найдите площадь четырехугольника ABCD, если его диагонали перпендикулярны и равны 10 см и 6 см. Сделайте пожалуйста с рисунком. Заранее СПАСИБО )
Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?
Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок – бесплатно!
Ответы и объяснения 1
rystheamo
Всё просто) Рисовать даже не надо.
Запомните четырехугольник, у которого диагонали перпендикулярны это либо квадрат, либо ромб. Но в задании разные диагонали значит это ромб.
По формуле S=(d1·d2)/2
S=(10·6)/2=30 см²
Знаете ответ? Поделитесь им!
Гость ?
Как написать хороший ответ?
Как написать хороший ответ?
Чтобы добавить хороший ответ необходимо:
- Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете
правильный ответ; - Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не
побуждал на дополнительные вопросы к нему; - Писать без грамматических, орфографических и
пунктуационных ошибок.
Этого делать не стоит:
- Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся
уникальные и личные объяснения; - Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не
знаю» и так далее; - Использовать мат – это неуважительно по отношению к
пользователям; - Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?
Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует?
Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие
вопросы в разделе Математика.
Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи –
смело задавайте вопросы!
Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.
Ответ
Всё просто) Рисовать даже не надо.
Запомните четырехугольник, у которого диагонали перпендикулярны это либо квадрат, либо ромб. Но в задании разные диагонали значит это ромб.
По формуле S=(d1·d2)/2
S=(10·6)/2=30 см²
