Как найти площадь четырехугольника по его вершинам

Формулы площади

Основные свойства и виды

К выпуклым четырехугольникам можно отнести практически все известные нам фигуры, состоящие из четырех углов и сторон. Можно выделить следующие:

Все эти фигуры объединяет не только то, что они четырехугольные, но и то, что они еще и выпуклые. Достаточно просто рассмотреть схему:

Что такое четырех угольник

Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Площадь четырехугольника равна полупроизведению его диагоналей и угла между ними.

Четырехугольник – это многоугольник с четырьмя вершинами, три из которых не лежат на одной прямой.

Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, три из которых не лежат на одной прямой, последовательно соединенная отрезками.

Формулы площади квадрата

где S – площадь квадрата,
a – длина стороны квадрата,
d – длина диагонали квадрата.

Определения и соглашения

В приведённой ниже таблице будут указаны определения и договорённости, которые будут использоваться в дальнейшем во время наших рассуждений.

1. Четырёхугольник – это фигура из четырёх точек (вершин), из которых любые три не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон) последовательно их соединяющих.
2. Диагональ — отрезок, соединяющий вершины многоугольника не лежащие на одной стороне (её обозначение – латинская буква d).
3. Площадь фигуры — это численное значение территории, заключённой внутри многоугольника (её обозначение – латинская буква S).
4. Синус угла — это число равное отношению противоположного катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. (её обозначение – запись sin).
5. Косинус угла — это число равное отношению прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. В дальнейшем в статье для его обозначения будем использовать латинскую запись cos.
6. Описанная окружность — это окружность, которой принадлежат все вершины многоугольника ( её радиуса обозается буквой R).
7. Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. В дальнейшем в статье для обозначения её радиуса будем использовать латинскую букву r.
8. Угол между сторонами a и b будем обозначать следующей записью (a,b).

Площадь четырехугольника, заданного координатами

Формула площади четырехугольника по координатам используется для расчета площади фигур, которые располагаются в системе координат. В этом случае для начала требуется расчет длин необходимых сторон. В зависимости от типа четырехугольника может меняться и сама формула. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника, используя квадрат, который лежит в системе координат XY .

Мы знаем, что все стороны фигуры равны, и формула площади квадрата находится по формуле:
Найдем одну из сторон, к примеру, AB :
Подставим значения в формулу:
Знаем, что все стороны одинаковые. Подставляем значение в формулу расчета площади:

Формула вычисления площади

Площадь (S) выпуклого четырехугольника равняется одной второй (половине) произведения его диагоналей и синуса угла между ними:

S = 1/2 * d₁ * d₂ * sin α

Нахождение площади четырёхугольника различными способами и методами

Узнаем как найти площадь четырёхугольника когда даны его диагонали и образуемый при их пересечении острый угол. Тогда площадь четырёхугольника будет вычисляться по формуле: S = 1/2*d1*d2*sin(d1,d2).

Рассмотрим пример. Пусть d1 = 15 сантиметров, d2 = 12 сантиметров, и угол между ними 30 градусов. Определим S. S = 1/2*15*12*sin30 = 1/2*15*12*1/2 = 45 сантиметров квадратных.

Теперь пусть даны стороны и противолежащие углы четырёхугольника.

Пусть a, b, c, d известные стороны многоугольника; p – его полупериметр. Корень квадратный выражения условимся обозначать как rad (от латинского radical). Формула площади четырёхугольника будет находиться по формуле: S = rad(( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p − d ) − a b c d ⋅ c o s^2( (a,b) + (c,d))/2), где p = 1/2*(a + b + c + d).

На первый взгляд, формула кажется очень сложной и вычурной. Однако ничего сложного здесь нет, что мы и докажем, рассмотрев пример. Пусть данные нашего условия следующие: a = 18 миллиметров, b = 23 миллиметра, c = 22 миллиметра, d = 17 миллиметров. Противолежащие углы будут равны (a,b) = 0,5 градуса и (c,d) = 1,5 градуса. Для начала находим полупериметр: p = 1/2*(18 + 23 + 22 + 17) = 1/2*80 = 40 миллиметров.

Теперь найдём квадрат косинуса полусуммы противолежащих углов: c o s^2( (a,b) + (c,d))/2) = c o s^2(0,5 + 1,5)/2 = c o s1*c o s1 = (1/2)*(1/2) = 0,9996.

Подставим полученные данные в нашу формулу, получим: S = rad((40 – 18)*(40 – 23)*(40 – 22)*(40 – 17) – 18*23*22*17*0,97) = rad(22*17*18*23 – 18*23*22*17*1/4) = rad((22*17*18*23*(1 – 0,9996)) = rad(154836*0,0004) = rad62 = 7,875 миллиметра квадратного.

Разберёмся как находить площадь с помощью вписанной и описанной окружностей. При решении задач данной темы имеет смысл сопровождать свои действия вспомогательным рисунком, хотя это требование и не является обязательным.

Если есть вписанная окружность и нужно найти площадь четырёхугольника формула имеет вид:

Снова возьмём на рассмотрение пример: a = 16 метров, b = 30 метров, c = 28 метров, d = 14 метров, r = 6 метров. Подставим аши значения в формулу, получим:

S = ((16 +30 + 28 + 14)/2)*6 = 44*6 = 264 метров квадратных.

Теперь займёмся вариантом когда окружность описана вокруг четырёхугольника. Здесь мы сможем воспользоваться следующей формулой:

S = rad((p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ), где p равно половине длины периметра. Пускай в нашем случае стороны имеют следующие значения a = 26 дециметров, b = 35 дециметров, c = 39 дециметров, d = 30 дециметров.

Первым делом определим полупериметр, p = (26 + 35 + 39 + 30)/2 = 65 дециметров. Подставим найденное значение в нашу формулу. Получим:

S = rad((65 – 26)*(65 – 35)*(65 – 39)*(65 – 30)) = rad(39*30*26*35) = 1032 (округлённо) дециметров квадратных.

Особые виды четырехугольников

Четырехугольники могут обладать дополнительными свойствами, образуя особые виды геометрических фигур:

• Параллелограмм
• Ромб
• Прямоугольник
• Квадрат
• Трапеция
• Дельтоид
• Контрпараллелограмм

Квадрат, прямоугольник и другие параллелограммы

• Квадрат — это параллелограмм, у которого все стороны равны и пересекаются под прямым углом.
• Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все стороны пересекаются под прямым углом.
• Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

• ‘Площадь = длина х высота, или S = a х h.
• Пример: если длина прямоугольника равна 10 см, а ширина равна 5 см, то площадь этого прямоугольника: S = 10 х 5 = 50 квадратных сантиметров.
• Не забывайте, что площадь измеряется в квадратных единицах (квадратных метрах, квадратных сантиметрах и так далее).

• Площадь = сторона х сторона, или S = a 2.
• Пример: если сторона квадрата равна 4 см (a = 4), то площадь этого квадрата: S = a 2 = 4 х 4 = 16 квадратных сантиметров.

• Площадь = (диагональ1 х диагональ2)/2, или S = (d₁ × d₂)/2
• Пример: если диагонали ромба равны 6 см и 8 см, то площадь этого ромба: S = (6 х 8)/2 = 24 квадратных сантиметров.

• Пример: если длина ромба равна 10 см, а его высота равна 3 см, то площадь такого ромба равна 10 х 3 = 30 квадратных сантиметров.

• Площадь = сторона х высоту, или S = a × h
• Площадь = (диагональ1 × диагональ2)/2, или S = (d₁ × d₂)/2
• Пример: если сторона квадрата равна 4 см, то его площадь равна 4 х 4 = 16 квадратных сантиметров.
• Пример: диагонали квадрата равны по 10 см. Вы можете найти площадь этого квадрата по формуле: (10 х 10)/2 = 100/2 = 50 квадратных сантиметров.

Пример задачи

Найдите площадь выпуклого четырехугольника, если его диагонали равны 5 и 9 см, а угол между ними составляет 30°.

Решение:
Подставляем в формулу известные нам значения и получаем: S = 1/2 * 5 см * 9 см * sin 30° = 11,25 см 2 .

Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются. Действительно, это явление можно наблюдать визуально, достаточно взглянуть на рисунок:

На рисунке слева изображен невыпуклый четырехугольник или четырехсторонник. Как угодно. Как видно, диагонали не пересекаются, по крайней мере, не все. Справа изображен выпуклый четырехугольник. Тут уже наблюдается свойство диагоналей пересекаться. Это же свойство можно считать признаком выпуклости четырехугольника.

Свойства длин сторон четырехугольника

Модуль разности любых двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других его сторон.

Важно. Неравенство верно для любой комбинации сторон четырехугольника. Рисунок приведен исключительно для облегчения восприятия.

В любом четырёхугольнике сумма длин трёх его сторон не меньше длины четвёртой стороны.

Важно. При решении задач в пределах школьной программы можно использовать строгое неравенство ( a, b, c, d формула полупериметра будет выглядеть так:
Зная стороны, выводим формулу. Площадь четырехугольника представляет собой корень из произведения разности полупериметра с длиной каждой стороны:

Четырехугольник и окружность

Четырехугольник, описанный вокруг окружности (окружность, вписанная в четырехугольник).

Главное свойство описанного четырехугольника:

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны.

Четырехугольник, вписанный в окружность (окружность, описанная вокруг четырехугольника)

Главное свойство вписанного четырехугольника:

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180 градусов.

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

где d₁ и d₂ – диагонали четырёхугольника , а φ – любой из четырёх углов между ними (рис. 1).

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а h_a – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

,

где r – радиус вписанной в ромб окружности , а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Доказательство . Поскольку каждая из диагоналей ромба является биссектрисой угла , а каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла, то точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от всех сторон ромба и является центром вписанной в ромб окружности . Отсюда следует, в частности, что высота ромба в 2 раза больше радиуса вписанной окружности (рис.4). Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам) , то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,

(рис.6).

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора , составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида , дельтоида , можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

Решение. Задание 3, Вариант 2

Найти площадь четырехугольника ABCD, если его вершины имеют координаты A(1;1),B(-3;2),C(3;1)и D(2;-2).

Проще всего найти площадь ABCD как сумму площадей треугольников ABC и ACD. Основание этих треугольников AC=2, а высоты соответственно 1 и 3. Площадь ABCD равна 1+3=4.

Проверьте, что вы соединили вершины четырехугольника по порядку: ABCD.

Это полезно

В нашей статье вы найдете всю необходимую теорию для решения задания №9 ЕГЭ по теме «Графики функций». Это задание появилось в 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня.

• 
• 
• 
• 

Наш онлайн-курс по Физике

Все темы ЕГЭ с нуля

Можно не только читать, но и смотреть новые объяснения и разборы на нашем YouTube канале!

Пожалуйста, подпишитесь на канал и нажмите колокольчик, чтобы не пропустить новые видео

Задавайте свои вопросы в комментариях и оставляйте задачи, которые вы хотите, чтобы мы разобрали.

Мы обязательно ответим!

Мы заметили, что Вы регулярно пользуетесь нашими материалами для подготовки по физике.

Результат будет выше, если готовиться по отработанной методике.

У нас есть онлайн-курсы как для абитуриентов, так и для преподавателей.

Задачи на координатной сетке

Задачи на координатной сетке

Площадь фигур на координатной сетке или плоскости можно решить несколькими способами:

1. Достроить фигуру до прямоугольника или квадрата.

2. Найти площадь прямоугольника.

3. Найти площади всех дополнительных фигур (чаще всего это прямоугольные треугольники или трапеции).

4. Из площади прямоугольника вычесть все площади дополнительных фигур.

Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют координаты $(0;5), (4;7), (7;0), (11;2)$.

1. Достроим параллелограмм до прямоугольника

2. Найдем длину и ширину прямоугольника:

Чтобы найти длину стороны, параллельную какой либо оси, надо из большей координаты отнять меньшую координату.

Длина стороны $EF= 11$, стороны $FK= 7$. Подставим в формулу площади данные и сделаем вычисления: $S_= 11·7=77$.

3. Найдем площади дополнительных (ненужных) фигур:

4. Из площади прямоугольника вычтем все площади дополнительных фигур и таким образом получим площадь искомого параллелограмма.

• Второй способ

1. Если линии фигуры идут ровно по клеточкам и можно посчитать длины сторон, высот и т.д., то считаем клеточки и определяем величины.

2. Подставляем известные значения в формулу площади.

• Третий способ.

Площадь искомой фигуры можно найти по формуле Пика:

$S=<Г>/<2>+В-1$, где $Г$ – количество узлов на границе фигуры (на сторонах и вершинах);

$В$ – количество узлов внутри фигуры.

Узел – это уголок клетки или пересечение линий

Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки $1 см × 1$ см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Отметим красными точками узлы на границе фигуры (Г), а желтыми – узлы внутри фигуры (В).

Подставим данные в формулу Пика: $S=<7>/<2>+6-1=3.5+6-1=8.5$

Площади некоторых фигур

Площадь треугольника:

1. $S=/<2>$, где $h_a$ – высота, проведенная к стороне $а$
2. Для прямоугольного треугольника $S=/<2>$, где $а$ и $b$ – катеты прямоугольного треугольника.
3. Для равностороннего треугольника $S=√3>/<4>$, где $а$ – длина стороны.

Площади четырехугольников:

1. Прямоугольник $S=a·b$, где $а$ и $b$ – смежные стороны.
2. Ромб $S=/<2>$, где $d_1$ и $d_2$ – диагонали ромба
3. Трапеция $S=<(a+b)·h>/<2>$, где $а$ и $b$ – основания трапеции, $h$ – высота трапеции.
4. Квадрат $S=a^2$, где $а$ – сторона квадрата.
5. Параллелограмм $S=a·h_a$, где $h_a$ – высота, проведенная к стороне $а$.

Площадь круга:

$S=π·R^2$, где $π=3.14, R$ – радиус окружности.

Площадь сектора:

$S=n°>/<360>=<πR^2 n°>/<360>$, где $n°$ – это градусная мера центрального угла, отсекающего заданный сектор.

Площадь кольца:

В прямоугольнике и квадрате центр описанной окружности лежит в точке пересечения диагоналей, а радиус описанной окружности равен половине диагонали.

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы и радиус равен половине гипотенузы.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В: АС$ – противолежащий катет; $ВС$ – прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ – противолежащий катет; $АС$ – прилежащий катет.

1. Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
4. Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

$cos BOA= – cos BOC$;

$ctg BOA= – ctg BOC$.

Углы в окружности.

1. Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

2. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами, называется вписанным. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается

Найдите величину угла MPK. Ответ дайте в градусах.

Угол $МРК$ равен половине градусной меры дуги $МК$, так как он вписанный. Чтобы отыскать градусную меру дуги, посмотрим, на сколько таких дуг мы можем разделить всю окружность, потом $360°$ разделим на полученное количество.

Дуга $МК$ отсекается хордой, занимающей две клетки. Разделим такими хордами всю окружность, получилось $8$ дуг.

$360:8=45°$, составляет градусная мера дуги $МК$.

Прямые на координатной плоскости

Координаты середины отрезка равны среднему арифметическому координат его концов.

Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки $В(2;8)$ и $A(6;4)$.

Пусть точка $М$ – середина отрезка $ВА$. Чтобы найти абсциссу данной точки, надо найти среднее арифметическое абсцисс концов отрезка:

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости имеет вид $y=kx+b$, где $k$ и $b$ – это коэффициенты.

Уравнение можно задать с помощью формулы:

Точки пересечения прямой с осями координат:

Если прямая пересекает ось Ох, то в уравнении прямой координата $у = 0$, а если прямая пересекает ось Оу, то уравнении прямой координата $х = 0$.

Две прямые на координатной плоскости будут параллельны, если в уравнениях прямых будут равны коэффициенты k.

Если уравнение первой прямой: $y=k_<1>x+b_1$;

Уравнение второй прямой: $y= k_<2>x+b_2$, то при параллельности прямых, $k_1=k_2$.

[spoiler title=”источники:”]

http://ege-study.ru/ru/ege/podgotovka/matematika/probnyj-ege/2018-2/fevral/zadanie-3-reshenie/variant-2/

http://examer.ru/ege_po_matematike/teoriya/koord_setka

[/spoiler]

Знаете ответ?

Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех вершин, три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, соединяющих их.

Существует множество четырехугольников. К ним относятся параллелограммы, квадраты, ромбы, трапеции. Найти площадь квадрата можно найти по сторонам, площадь ромба легко вычисляется по диагоналям. В произвольном четырехугольнике также можно использовать все элементы для вывода формулы площади четырехугольника. Для начала рассмотрим формулу площади четырехугольника через диагональ. Для того, чтобы ее использовать потребуются длины диагоналей и размер острого угла между ними. Зная необходимые данные можно проводить пример расчета площади четырехугольника по такой формуле:

Половина произведения диагоналей и синуса острого угла между ними является площадью четырехугольника. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через диагональ.

Пусть дан четырехугольник с двумя диагоналями d1=5 см;d2=4см. Острый угол между ними равен α = 30°. Формула площади четырехугольника через диагонали легко применяется для известных условий. Подставим данные:

На примере расчета площади четырехугольника через диагонали понимаем, что формула очень похожа на расчет площади параллелограмма.

Площадь четырехугольника по сторонам

Когда известны длины сторон фигуры, можно применить формулу площади четырехугольника по сторонам. Для применения этих расчетов потребуется найти полупериметр фигуры. Мы помним, что периметр – это сумма длин всех сторон. Полупериметр – это половина периметра. В нашем прямоугольнике со сторонами a, b, c, d формула полупериметра будет выглядеть так:
Зная стороны, выводим формулу. Площадь четырехугольника представляет собой корень из произведения разности полупериметра с длиной каждой стороны:

Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через стороны. Дан произвольный четырехугольник со сторонами a = 5 см, b = 4 см, с = 3 см, d = 6 см. Для начала найдем полупериметр:

используем найденное значение для расчета площади:

Площадь четырехугольника, заданного координатами

Формула площади четырехугольника по координатам используется для расчета площади фигур, которые располагаются в системе координат. В этом случае для начала требуется расчет длин необходимых сторон. В зависимости от типа четырехугольника может меняться и сама формула. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника, используя квадрат, который лежит в системе координат XY.

Area of a quadrilateral is the space inside the boundary of a quadrilateral or in other words, the space enclosed by the edges of a quadrilateral. A quadrilateral can be defined as a closed two-dimensional shape that has four sides or edges, and also four corners or vertices. In mensuration, the shape of objects is classified based on the number of sides of the polygon. For example, a shape with three edges is a triangle, a shape with four edges is a quadrilateral, a shape with five edges is a pentagon, and so on. Quadrilaterals or any polygons can be classified into two categories, regular quadrilaterals/polygons i.e., all sides are of equal length, and irregular quadrilaterals i.e., all sides are not equal.

What is a Quadrilateral?

A quadrilateral is a polygon with four sides. A closed two-dimensional figure, formed by joining the four non-collinear points is called a quadrilateral. A quadrilateral has four sides, four angles, and four vertices. The sides of the quadrilateral may or may not be equal. Various types of quadrilaterals can be defined based on the properties of their angles, sides, and diagonals, some of which are as follows:

• Rectangle
• Square
• Rhombus
• Parallelogram
• Trapezium
• Kite

Properties of Quadrilateral

All quadrilaterals have some common properties that are as follows:

• A closed figure has four sides.
• The summation of the Interior angles of a quadrilateral is 360 degrees.
• The four sides can vary in length or maybe equal depending upon the type of quadrilateral.

What is the Area of Quadrilateral?

Area of a quadrilateral is the space enclosed by all the boundaries of a quadrilateral. Area of a quadrilateral is measured in square units such as m², in², cm², etc. Area of a regular quadrilateral is calculated by using different formulas. For calculating the area of irregular quadrilateral various formulas are used which are discussed below in this article.

Area of Quadrilateral Formula by Dividing it into Two Triangles

In a quadrilateral ABCD, the length of the diagonal BD is ‘d’. ABCD can be divided into two triangles Δ ABD, and Δ BCD by the diagonal BD. For calculating the area of the quadrilateral ABCD we calculate the area of individual triangles and add them accordingly. But for calculating area of a triangle, its height must be known. Let us assume that the heights of the triangles ABD and BCD be h₁ and h₂ respectively. 

Area of the triangle ABD = (1/2) × d × h₁.

Area of the triangle BCD = (1/2) × d × h₂.

From the figure, the area of the quadrilateral ABCD = area of ΔABD + area of ΔBCD.

Area of the quadrilateral ABCD = (1/2) × d × h₁+ (1/2) × d × h₂ = (1/2) × d ×( h₁+h₂ ).

Thus, the formula used to find the area of a quadrilateral is,

Area of Quadrilateral = (1/2) × Diagonal × (Sum of heights) = (1/2) × d ×( h₁+h₂ )

Area of Quadrilateral with Vertices

If vertices of a quadrilateral are given then its area is calculated by the given formula. Suppose  A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃), and D(x₄, y₄) be the vertices of a quadrilateral ABCD.

Then its area is calculated by using two different methods which are discussed below:

Area of Quadrilateral Using Coordinates

Follow the directions of the arrow, and add the diagonal products, i.e., x₁y₂, x₂y₃, x₃y₄, and x₄y₁.

(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₄ + x₄y₁)….(i)

Now, follow the dotted arrows and add the diagonal products, i.e., x₂y₁, x₃y₂, x₄y₃, and x₁y₄.

(x₂y₁ + x₃y₂ + x₄y₃ + x₁y₄)….(ii)

Now, subtract equation (ii) from (i) and multiply the result by 1/2.

(1/2) × [(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₄ + x₄y₁) – (x₂y₁ + x₃y₂ + x₄y₃ + x₁y₄)]

Thus, the formula for the area of the quadrilateral when vertices are given:

Area of Quadrilateral Using Area of Triangle

For this method, we divide the given quadrilateral into two triangles and then find the area of each triangle separately. At last, both the area of triangles are added to find the final area of the quadrilateral.

Area of quadrilateral ABCD = Area of triangle ABD + Area of triangle BCD

Area of a triangle with vertices P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂), and R(x₃, y₃) is given by

Area of Quadrilateral Using Bretschneider′s Formula

When two opposite angles and all the sides of a quadrilateral are given, we can calculate its area using Bretschneider’s Formula which is the extension of heron’s formula for quadrilaterals and is given as follows:

How to find the Area of a Quadrilateral?

Area of a quadrilateral is found by using the steps discussed below:

Step 1: Mark the length of the diagonal and the length of the perpendicular to it from both vertices.

Step 2: Put these values in the given formula Area = (1/2) × d ×( h₁+h₂ ), where d is the length of the diagonal and h_1, h₂ are lengths of the perpendicular from diagonal to opposite vertices.

Step 3: Answer obtained from the above step is the required area and is measured in unit²

Area of Some Quadrilaterals

Some specific quadrilaterals are very common and are used in our daily life and their formula for areas are explained in the article given below:

Area of a Square

A square is a special case of a rectangle in which the four sides are equal and all the sides are parallel to each other. In a square diagonal bisect perpendicularly to each other.

Read More on Area of Square

Area of a Rectangle

A rectangle is a closed figure having four sides in which opposite sides are equal and parallel to each other and the diagonals of the rectangles bisect at 90 degrees.

Read More on Area of Rectangle

Area of Rhombus 

A Rhombus is a special case of the square in which all the four sides and opposite angles are the same in measure and the opposite sides are parallel and the sum of the adjacent angles of a rhombus is equal to 180 degrees.

Read More on Area of Rhombus

Area of Parallelogram

The quadrilateral in which opposite sides are equal and parallel to each other is known as a parallelogram. In this, diagonals bisect each other and the opposite angles are of equal measure in which the sum of two adjacent angles of a parallelogram is equal to 180 degrees.

Read More on Area of Parallelogram

Area of Trapezium

This quadrilateral is somewhat different from the others as there is only one pair of the opposite side of a trapezium parallel to each other and the adjacent sides are supplementary to each other and the diagonals bisect each other in the same ratio.

Read More on Area of Trapezium

Area of Kite

Kite is a special quadrilateral in which each pair of consecutive sides is congruent, but the opposite sides are not congruent. In this, the largest diagonal of a kite bisects the smallest diagonal.

Read More on Area of Kite

Solved Example on Area of Quadrilateral

Example 1: Find the area of the quadrilateral ABCD when its vertices are (1, 2), (5, 6), (4, −6), and (−5, 2).

Solution:

Let A(1, 2), B(5, 6), C(4, -6), and D(-5, 2) be the vertices of a quadrilateral ABCD.

A(1, 2) = (x₁, y₁), B(5, 6) = (x₂, y₂), C(4, -6) = (x₃, y₃), D(-5, 2) = (x₄, y₄)

We know that,

Area of Quadrilateral = (1/2) × [(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₄ + x₄y₁) – (x₂y₁ + x₃y₂ + x₄y₃ + x₁y₄)]

⇒ Area of Quadrilateral = (½). {[1(6) + 5(-6) + 4(2) + (-5)2] – {[5(2) + 4(6) + (-5)(-6) + 1(2)]}

⇒ Area of Quadrilateral = (½).[(6 – 30 + 8 – 10) – (10 + 24 + 30 + 2)]

⇒ Area of Quadrilateral  = (½) [-26 – 66]

⇒ Area of Quadrilateral = 92/2 (area is never negative)

⇒ Area of Quadrilateral = 46 unit²

Example 2: Find the area of the trapezium if height is 5 cm and AB and CD are given as 10 and 6 cm respectively.

Solution: 

Given, AB = 10cm, CD = 6cm, height = 5cm

According to the formulae,

Area of Trapezium = (1/2) h (AB+CD)

⇒ Area of Trapezium = 1/2 x 5 x (10 + 6)

⇒ Area of Trapezium = 40 cm²

Example 3: Find the area of a kite whose longest and shortest diagonals are 20cm and 10cm respectively.

Solution: 

Length of longest diagonal, D₁= 20 cm

Length of shortest diagonal, D₂= 10 cm

So, Area of kite =1/2 x D₁ x D₂

⇒ Area of kite = 1/2 x 20 x 10

⇒ Area of kite  = 100 cm²

Example 4: Calculate the area of a parallelogram, if the base and height are 10 m and 15 m respectively.

Solution: 

Given, base = 10 m and height = 15 m

Area of Parallelogram = Base x Height

⇒ Area of Parallelogram = 10 x 15

⇒ Area of Parallelogram = 150 m²

Example 5: Given the area of the rhombus is 120-meter square then find the length of one of the diagonals if the other diagonal is of length 12 m.

Solution: 

Since we know that,

Area of Rhombus = (1/2) x Diagonal₁ x Diagonal₂ 

Putting all the known values, we get

120 = (1/2) x Diagonal 1 x Diagonal 2

Diagonal 2 = 20 m

FAQs on Area of Quadrilateral

Question 1: What is the area of a quadrilateral?

Answer:

Area of the quadrilateral is the region inside the boundary of a quadrilateral. It is the total space occupied by a quadrilateral in 2-D plane. It is measured in square units.

Question 2: How to find the area of a quadrilateral?

Answer:

Area of quadrilateral is found using formula given below:

Area of Quadrilateral = (1/2) × [(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₄ + x₄y₁) – (x₂y₁ + x₃y₂ + x₄y₃ + x₁y₄)]

where (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃), and (x₄, y₄) are the vertices of a quadrilateral.

Question 3: What are the different types of quadrilaterals?

Answer:

Different types of quadrilateral are:

• Square
• Rectangle
• Rhombus
• Kite
• Parallelogram
• Trapezium

Question 4: Write the uses of quadrilaterals.

Answer:

Area of quadrilateral is used in the field of architecture, agriculture, design, and navigation also it helps to find distance between two points. It is required to find the area of buildings, park and other complexes.

Question 5: How to calculate the area of a quadrilateral if one of its diagonals and both perpendiculars from the vertices are given?

Answer:

When the diagonal(d) and the length of both perpendiculars (h, H) from the vertices are given, then the area of the quadrilateral is calculated by the formula:

Area of quadrilateral = (½) × d × (h + H)

Question 6: What are the two main types of quadrilaterals?

Answer:

The two main types of a quadrilateral are

• Regular Quadrilateral
• Irregular Quadrilateral

Question 7: How to find the Area of a Quadrilateral using Heron’s Formula?

Answer:

To find area of triangle using Heron’s Formula use the following steps:

Step 1: Divide the quadrilateral in two triangles by joining its diagonal.

Step 2: Find the area of both triangles using Heron’s formula.

Step 3: Add both the areas to get the final answer.

Была ли эта статья полезной?