Как найти площадь четырехугольника вписанного в шестиугольник

Площадь четырехугольника

Площадь произвольного четырехугольника, формулы и калькулятор для вычисления в режиме онлайн. Для вычисления площади произвольного четырехугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь произвольного четырехугольника или проверить уже выполненные вычисления.

В окончании статьи приведены ссылки для вычисления частных случаев четырехугольников: квадрата, трапеции, параллелограмма, прямоугольника, ромба.

Площадь четырехугольника по диагоналям и углу между ними

Площадь четырехугольника через стороны и углы между этими сторонами

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Площадь четырехугольника вписанного в окружность, вычисляемая по Формуле Брахмагупты

Данная формула справедлива только для четырехугольников, вокруг которых можно описать окружность.

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность

Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность, определяемая через стороны и углы между ними

Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°

Таблица с формулами площади четырехугольника

исходные данные (активная ссылка для перехода к калькулятору)	эскиз	формула
1	диагональ и угол между ними
2	стороны и углы между этими сторонами
3	стороны (по Формуле Брахмагупты)
4	стороны и радиус вписанной окружности
5	стороны и углы между ними

Площадь частных случаев четырехугольников

Для вычисления частных случаев четырехугольников можно воспользоваться формулами и калькуляторами, приведенными в других статьях сайта:

Определения

Четырехугольник – это геометрическая плоская фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь четырехугольника – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км 2 , м 2 , см 2 , мм 2 и т.д.

Площадь вписанного четырехугольника

Как найти площадь вписанного четырехугольника?

I способ.

Площадь вписанного четырёхугольника может быть найдена по формуле Брахмагупты:

где p — полупериметр четырёхугольника, то есть

(формулу Герона можно рассматривать как частный случай этой формулы при d=0).

Площадь четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, можно найти как сумму площадей треугольников, например, ABC и ADC.

Из треугольника ABC по теореме косинусов

Аналогично, из треугольника ADC

Так как четырехугольник ABCD вписан в окружность,

Приравниваем правы части равенств для AC²

Найдём синус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество

(так как их сумма равна 180º, а sin(180º-α )=sinα).

В частных случаях: если в окружность вписан правильный четырёхугольник (то есть квадрат), прямоугольник либо четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны — решение задачи может быть упрощено.

Площадь любого четырёхугольника, в том числе, и вписанного, равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними:

В следующий раз рассмотрим конкретные примеры нахождения площади вписанного четырёхугольника.

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Правильный шестиугольник – это геометрическая фигура; правильный многоугольник с 6 равными углами и сторонами.

Общая формула вычисления площади

Площадь (S) правильного шестиугольника вычисляется по формуле ниже, где a – длина его стороны:

Формула получена следующим образом:

Правильный шестиугольник состоит из шести равных равносторонних треугольников. Площадь каждого рассчитывается так:

Следовательно, площадь правильного шестиугольника равна:

Площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность

Сторона правильного шестиугольника равняется радиусу окружности, описанной вокруг него (a=r).

Это значит, что формула площади может быть представлена в таком виде (а заменяем на r):

Примеры задач

Задание 1
Сторона правильного шестиугольника равна 8 см. Найдите его площадь.

Решение:
Используем первую формулу, в которой задействована длина стороны:

Задание 2
Вычислите площадь правильного шестиугольника, ели радиус описанной вокруг нее окружности равен 15 см.

Решение:
Воспользуемся второй формулой (через радиус окружности):

[spoiler title=”источники:”]

Площадь вписанного четырехугольника

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

[/spoiler]

Источник

Как рассчитать площадь правильного шестиугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь правильного шестиугольника онлайн. Для расчета задайте длину стороны или радиус окружности.

Шестиугольник – многоугольник у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 120°.

Через сторону

Формула для нахождения площади правильного шестиугольника через сторону:

Через радиус описанной окружности

Формула для нахождения площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

Правильный шестиугольник: свойства, формулы, площадь

Знаете ли вы, как выглядит правильный шестиугольник?
Этот вопрос задан не случайно. Большинство учащихся 11 класса не знают на него ответа.

Правильный шестиугольник — такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны.

Железная гайка. Снежинка. Ячейка сот, в которых живут пчелы. Молекула бензола. Что общего у этих объектов? — То, что все они имеют правильную шестиугольную форму.

Многие школьники теряются, видя задачи на правильный шестиугольник, и считают, что для их решения нужны какие-то особые формулы. Так ли это?

Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников.

Мы знаем, что площадь правильного треугольника: .

Тогда площадь правильного шестиугольника — в шесть раз больше.

, где — сторона правильного шестиугольника.

Обратите внимание, что в правильном шестиугольнике расстояние от его центра до любой из вершин одинаково и равно стороне правильного шестиугольник.

Значит, радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен его стороне.
Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, нетрудно найти.
Он равен .
Теперь вы легко решите любые задачи ЕГЭ, в которых фигурирует правильный шестиугольник.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .

Радиус такой окружности равен .

. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Общая формула вычисления площади

Площадь (S) правильного шестиугольника вычисляется по формуле ниже, где a – длина его стороны:

Формула получена следующим образом:

Следовательно, площадь правильного шестиугольника равна:

Площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность

Сторона правильного шестиугольника равняется радиусу окружности, описанной вокруг него (a=r).

Это значит, что формула площади может быть представлена в таком виде (а заменяем на r):

Примеры задач

Задание 1
Сторона правильного шестиугольника равна 8 см. Найдите его площадь.

Решение:
Используем первую формулу, в которой задействована длина стороны:

Решение:
Воспользуемся второй формулой (через радиус окружности):

[spoiler title=”источники:”]

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/pravilnyj-shestiugolnik-i-ego-ploshhad/

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

[/spoiler]

Источник

Как найти площадь вписанного четырехугольника?

I способ.

Площадь вписанного четырёхугольника может быть найдена по формуле Брахмагупты:

где p — полупериметр четырёхугольника, то есть

$[p = frac{{a + b + c + d}}{2}.]$

(формулу Герона можно рассматривать как частный случай этой формулы при d=0).

II способ.

Из треугольника ABC по теореме косинусов

$[A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2 cdot AB cdot BC cdot cos angle ABC.]$

Аналогично, из треугольника ADC

$[A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} - 2 cdot AD cdot DC cdot cos angle ADC.]$

Так как четырехугольник ABCD вписан в окружность,

$[angle ABC + angle ADC = {180^o}]$

Так как cos(180º-α)= — cosα

$[cos angle ADC = cos ({180^o} - angle ABC) = - cos angle ADC]$

Отсюда,

$[A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} + 2 cdot AD cdot DC cdot cos angle ABC.]$

Приравниваем правы части равенств для AC²

$[A{D^2} + D{C^2} + 2 cdot AD cdot DC cdot cos angle ABC = ]$

$[ = A{B^2} + B{C^2} - 2 cdot AB cdot BC cdot cos angle ABC.]$

Отсюда,

$[ - A{B^2} + B{C^2} - A{D^2} - D{C^2},]$

$[ = A{B^2} + B{C^2} - A{D^2} - D{C^2}]$

$[cos angle ABC = frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{D^2} - D{C^2}}}{{2(AB cdot BC + AD cdot DC)}}.]$

Найдём синус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество

$[{sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1]$

(для 0º<α<180º sinα>0)

$[sin angle ABC = sqrt {1 - {{(cos angle ABC)}^2}} ]$

и по формуле

$[S = frac{1}{2}a cdot b cdot sin alpha ]$

найдём

$[{S_{Delta ABC}} = frac{1}{2} cdot AB cdot BC cdot sin angle ABC.]$

Аналогично,

$[{S_{Delta ADC}} = frac{1}{2} cdot AD cdot DC cdot sin angle ADC,]$

(так как их сумма равна 180º, а sin(180º-α )=sinα).

$[{S_{ABCD}} = {S_{Delta ABC}} + {S_{Delta ADC}}.]$

$[S = frac{1}{2}{d_1} cdot {d_2} cdot sin varphi ]$

В следующий раз рассмотрим конкретные примеры нахождения площади вписанного четырёхугольника.

Источник

Правильный многоугольник

формулы, признаки и свойства правильного многоугольника
формулы правильного n-угольника
правильный треугольник
правильный четырехугольник
правильный шестиугольник
правильный восьмиугольник

Формулы, признаки и свойства правильного многоугольника

Многоугольником называется часть площади, которая ограничена замкнутой ломаной линией, не пересекающей сама себя.

Многоугольники отличаются между собой количеством сторон и углов.

Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Признаки правильного многоугольника

Многоугольник будет правильным, если выполняется следующее условие: все стороны и углы одинаковы.

a1=a2=a3=…=an-1=an

α1=α2=α3=…=αn-1=αn

где a₁…a_n — длины сторон правильного многоугольника,
α₁…α_n — внутренние углы между стронами правильного многоугольника.

Основные свойства правильного многоугольника

Все стороны равны:
a1=a2=a3=…=an-1=an
Все углы равны:
α1=α2=α3=…=αn-1=αn
Центр вписанной окружности O_в совпадает с центром описанной окружности O_о, что и образуют центр многоугольника O.
Сумма всех углов n-угольника равна:180°·n-2
Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°: β1+β2+β3+…+βn-1+βn=360°
Количество диагоналей (D_n) n-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины: Dn = n·n-32
В любой многоугольник можно вписать окружность и описать круг; при этом площадь кольца, образованная этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника: S = π4·a2
Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O.

Формулы правильного n-угольника

Формулы длины стороны правильного n-угольника

Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности

a = 2·r·tg180°n

(через градусы),

a = 2·r·tgπn

(через радианы)

Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности

a = 2·R·sin180°n

(через градусы),

a = 2·R·sinπn

(через радианы)

Формулы радиуса вписанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны

r = a:2·tg180°n

(через градусы),

r = a:2·tgπn

(через радианы)

Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны

R = a:2·sin180°n

(через градусы),

R = a:2·sinπn

(через радианы)

Формулы площади правильного n-угольника

Формула площади n-угольника через длину стороны

S = n·a24·ctg180°n

Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности

S = n·r2·tg180°n

Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности

S = n·R22·sin360°n

Формула периметра правильного многоугольника

Формула периметра правильного n-угольника

Периметр правильного n-угольника равен произведению длины одной стороны правильного n-угольника на количество его сторон.

P = n·a

Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника

Формула угла между сторонами правильного n-угольника

αn = n-2n·180°

Правильный треугольник

Правильный треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного треугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°.

Формулы правильного треугольника

Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности

Сторона правильного треугольника равна удвоенному произведению радиуса вписанной окружности на корень из трёх.

a = 2·r·3

Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности

Сторона правильного треугольника равна произведению радиуса описанной окружности на корень из трёх.

a = R·3

r = a·36

R = a·33

Формула площади правильного треугольника через длину стороны

S = a2·34

Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности

S = r2·3·3

Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности

S = R2·3·34

Углы между сторонами правильного треугольника

α1=α2=α3=60°

Правильный четырехугольник

Правильный четырехугольник — это квадрат.

Формулы правильного четырехугольника

Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности

Сторона правильного четырехугольника равна двум радиусам вписанной окружности.

a = 2·r

Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности

Сторона правильного четырехугольника равна произведению радиуса описанной окружности на корень из двух.

a = R·2

Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны

Радиус вписанной окружности правильного четырехугольника равен половине стороны четырехугольника.

r = a2

Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны

Радиус описанной окружности правильного четырехугольника равен половине произведения стороны четырехугольника на корень из двух.

R = a·22

Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны

Площадь правильного четырехугольника равна квадрату стороны четырехугольника.

S = a2

Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности

Площадь правильного четырехугольника равна четырем радиусам вписанной окружности четырехугольника.

S = 4·r2

Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности

Площадь правильного четырехугольника равна двум квадратам радиуса описанной окружности.

S = 2·R2

Углы между сторонами правильного четырехугольника

α1=α2=α3=α4=90°

Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного шестиугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 120°.

Формулы правильного шестиугольник

Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

a = 2·r·33

Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

Длина стороны правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности.

a = R

Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны

r = a·32

Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны

R = a

Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны

S = a2·3·32

Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

S = r2·2·3

Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

S = R2·3·32

Углы между сторонами правильного шестиугольника

α1=α2=α3=α4=α5=α6=120°

Правильный восьмиугольник

Правильный восьмиугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного восьмиугольник равны между собой, все углы также равны и составляют 135°.

Формулы правильного восьмиугольника

Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности

a = 2·r·2-1

Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности

a = R·2-2

Формула радиуса вписанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны

r = a·2+12

Формула радиуса описанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны

R = a·4+222

Формула площади правильного восьмиугольника через длину стороны

S = a2·2·2+1

Формула площади правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности

S = r2·8·2-1

Формула площади правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности

S = R2·2·2

Углы между сторонами правильного восьмиугольника

α1=α2=α3=α4=α5=α6=α7=α8=135°

Коротко о важном
Таблицы
Формулы
Формулы по геометрии
Теория по математике

Источник

Как рассчитать площадь четырехугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь четырехугольника онлайн. Для расчета задайте длину сторон, длины диагоналей и угол между ними, противолежащие углы, радиус окружности.

Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.

Через диагонали и угол между ними
Через стороны и противолежащие углы
Площадь вписанного четырехугольника в окружность
Площадь описанного четырехугольника около окружности через радиус
Площадь описанного четырехугольника около окружности через стороны и противолежащие углы

Через диагонали и угол между ними

Формула для нахождения площади четырехугольников через диагонали и угол между ними:

d1, d2 – диагонали; α – угол между диагоналями.

Через стороны и противолежащие углы

Формула для нахождения площади четырехугольников через стороны и противолежащие углы:

p – полупериметр четырехугольника; a, b, c, d – стороны четырехугольника; α, β – противолежащие углы.

Площадь вписанного четырехугольника в окружность

Формула Брахмагупты для нахождения площади вписанного четырехугольника в окружность:

p – полупериметр четырехугольника; a, b, c, d – стороны четырехугольника.

Площадь описанного четырехугольника около окружности через радиус

Формула для нахождения площади описанного четырехугольника около окружности через радиус:

p – полупериметр четырехугольника; r – радиус вписанной окружности; a, b, c, d – стороны четырехугольника.

Площадь описанного четырехугольника около окружности через стороны и противолежащие углы

Формула для нахождения площади описанного четырехугольника около окружности через стороны и противолежащие углы:

p – полупериметр четырехугольника; a, b, c, d – стороны четырехугольника; α, β – противолежащие углы.

Источник