Как найти площадь цилиндра через осевое сечение

Цилиндр представляет собой геометрическое тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями и цилиндрической поверхностью.

Цилиндр состоит из боковой поверхности и двух оснований. Формула площади поверхности цилиндра включает в себя отдельный расчет площади оснований и боковой поверхности. Так как основания в цилиндре равны, то полная его площадь будет рассчитываться по формуле:

Пример расчета площади цилиндра мы рассмотрим после того, как узнаем все необходимые формулы. Для начала нам понадобится формула площади основания цилиндра. Так как основанием цилиндра является круг, то нам потребуется применить формулу площади круга:
Мы помним, что в этих расчетах используется постоянное число Π = 3,1415926, которое рассчитано как соотношение длины окружности к ее диаметру. Это число является математической константой. Пример расчета площади основания цилиндра мы также рассмотрим чуть позже.

Площадь боковой поверхности цилиндра

Формула площади боковой поверхности цилиндра представляет собой произведение длины основания на его высоту:

А теперь рассмотрим задачу, в которой нам потребуется рассчитать полную площадь цилиндра. В заданной фигуре высота h = 4 см, r = 2 см. Найдем полную площадь цилиндра.
Для начала рассчитаем площадь оснований:
Теперь рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности цилиндра. В развернутом виде она представляет прямоугольник. Его площадь рассчитывается по приведенной выше формуле. Подставим в нее все данные:
Полная площадь круга представляет собой сумму двойной площади основания и боковой:

Рассмотрим пример расчета площади осевого сечения цилиндра. Для этого возьмем условия из задачи, указанной выше. Чтобы найти величину нам потребуется диаметр. Мы знаем, что он равен двойному радиусу:

Подставим данные:

Существует большое количество задач, связанных с цилиндром. В них нужно находить радиус и высоту тела или вид его сечения. Плюс ко всему, иногда требуется вычислить площадь цилиндра и его объем.

Какое тело является цилиндром?

В курсе школьной программы изучается круговой, то есть являющийся таковым в основании, цилиндр. Но выделяют еще и эллиптический вид данной фигуры. Из названия ясно, что его основанием будет эллипс или овал.

Оснований у цилиндра два. Они равны друг другу и соединены отрезками, которые совмещают соответствующие точки оснований. Они называются образующими цилиндра. Все образующие параллельны друг другу и равны. Именно они составляют боковую поверхность тела.

В общем случае цилиндр — это наклонное тело. Если образующие составляют прямой угол с основаниями, то говорят уже о прямой фигуре.

Интересно, что круговой цилиндр является телом вращения. Он получается от поворота прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Основные элементы цилиндра

Основные элементы цилиндра выглядят следующим образом.

1. Высота. Она является кратчайшим расстоянием между основаниями цилиндра. Если он прямой, то высота совпадает с образующей.
2. Радиус. Совпадает с тем, который можно провести в основании.
3. Ось. Это прямая линия, которая содержит центры обоих оснований. Ось всегда параллельна всем образующим. В прямом цилиндре она перпендикулярна основаниям.
4. Осевое сечение. Оно образуется при пересечении цилиндра плоскостью, содержащей ось.
5. Касательная плоскость. Она проходит через одну из образующих и перпендикулярна осевому сечению, которое проведено через эту образующую.

Как связан цилиндр с вписанной в него или описанной около него призмой?

Иногда встречаются задачи, в которых нужно вычислить площадь цилиндра, а известны при этом некоторые элементы связанной с ним призмы. Как соотносятся эти фигуры?

Если призма вписана в цилиндр, то ее основания – равные многоугольники. Причем они вписаны в соответствующие основания цилиндра. Боковые ребра призмы совпадают с образующими.

У описанной призмы в основаниях находятся правильные многоугольники. Они описаны около кругов цилиндра, являющихся его основаниями. Плоскости, которые содержат грани призмы, касаются цилиндра по образующим.

О площади боковой поверхности и основания для прямого кругового цилиндра

Если сделать развертку боковой поверхности, то получится прямоугольник. Его стороны будут совпадать с образующей и длиной окружности основания. Поэтому боковая площадь цилиндра будет равна произведению этих двух величин. Если записать формулу, то получится следующее:

S_бок= l * н,

где н — образующая, l — длина окружности.

Причем последний параметр вычисляется по формуле:

l = 2 π * r,

здесь r — радиус окружности, π – число “пи”, равное 3,14.

Поскольку основание – круг, то его площадь вычисляется с помощью такого выражения:

S_осн = π * r².

О площади всей поверхности прямого кругового цилиндра

Так как она образована двумя основаниями и боковой поверхностью, то нужно сложить эти три величины. То есть полная площадь цилиндра будет вычисляться по формуле:

S_пол = 2 π * r * н + 2 π * r².

Часто ее записывают в другом виде:

S_пол= 2 π * r (н + r).

О площадях наклонного кругового цилиндра

Что касается оснований, то там все формулы те же, ведь они по-прежнему круги. А вот боковая поверхность уже не дает прямоугольника.

Для расчета площади боковой поверхности наклонного цилиндра потребуется перемножить значения образующей и периметра сечения, которое будет перпендикулярно выбранной образующей.

Формула выглядит так:

S_бок= х * Р,

где х — длина образующей цилиндра, Р — периметр сечения.

Сечение, кстати, лучше выбирать такое, чтобы оно образовывало эллипс. Тогда будут упрощены расчеты его периметра. Длина эллипса вычисляется по формуле, которая дает приблизительный ответ. Но его часто бывает достаточно для задач школьного курса:

l = π * (а + в),

где «а» и «в» — полуоси эллипса, то есть расстояния от центра до ближайшей и самой дальней его точек.

Площадь всей поверхности нужно вычислять с помощью такого выражения:

S_пол = 2 π * r² + х * Р.

Чему равны некоторые сечения прямого кругового цилиндра?

Когда сечение проходит через ось, то его площадь определяется как произведение образующей и диаметра основания. Это объясняется тем, что оно имеет вид прямоугольника, стороны которого совпадают с обозначенными элементами.

Чтобы найти площадь сечения цилиндра, являющегося параллельным осевому, потребуется тоже формула для прямоугольника. В этой ситуации одна его сторона будет по-прежнему совпадать с высотой, а другая равна хорде основания. Последняя же совпадает с линией сечения по основанию.

Когда сечение перпендикулярно оси, то оно имеет вид круга. Причем его площадь такая же, как у основания фигуры.

Возможно еще пересечение под некоторым углом к оси. Тогда в сечении получается овал или его часть.

Примеры задач

Задание №1. Дан прямой цилиндр, площадь основания которого 12,56 см². Необходимо вычислить полную площадь цилиндра, если его высота равна 3 см.

Решение. Необходимо воспользоваться формулой для полной площади кругового прямого цилиндра. Но в ней не хватает данных, а именно радиуса основания. Зато известна площадь круга. Из нее легко вычислить радиус.

Он оказывается равным квадратному корню из частного, которое получается от деления площади основания на пи. После деления 12,56 на 3,14 выходит 4. Квадратный корень из 4 — это 2. Поэтому радиус будет иметь именно такое значение.

Теперь можно подсчитать площадь боковой поверхности. Для этого следует умножить пи на радиус, высоту и 2. Произведение будет выглядеть так: 3,14 * 3 * 2 * 2. Итогом действий является: 37,68 см².

Для того чтобы сосчитать полную площадь нужно сложить два основания (12,56 см²) и боковую поверхность (37,68 см²). В результате получается число 50,24 см².

Ответ: S_пол = 50,24 см².

Задание №2. Цилиндр с радиусом 5 см пресечен плоскостью, параллельной оси. Расстояние от сечения до оси равно 3 см. Высота цилиндра — 4 см. Требуется найти площадь сечения.

Решение. Форма сечения — прямоугольная. Одна его сторона совпадает с высотой цилиндра, а другая равна хорде. Если первая величина известна, то вторую нужно найти.

Для этого следует сделать дополнительное построение. В основании проводим два отрезка. Оба они будут начинаться в центре окружности. Первая будет заканчиваться в центре хорды и равняться известному расстоянию до оси. Вторая — на конце хорды.

Получится прямоугольный треугольник. В нем известны гипотенуза и один из катетов. Гипотенуза совпадает с радиусом. Второй катет равен половине хорды. Неизвестный катет, умноженный на 2, даст искомую длину хорды. Вычислим его значение.

Для того чтобы найти неизвестный катет, потребуется возвести в квадрат гипотенузу и известный катет, вычесть из первого второе и извлечь квадратный корень. Квадраты равны 25 и 9. Их разность – 16. После извлечения квадратного корня остается 4. Это искомый катет.

Хорда будет равна 4 * 2 = 8 (см). Теперь можно вычислить площадь сечения: 8 * 4 = 32 (см²).

Ответ: S_сеч равна 32 см².

Задание №3. Необходимо вычислить площадь осевого сечения цилиндра. Известно, что в него вписан куб с ребром 10 см.

Решение. Осевое сечение цилиндра совпадает с прямоугольником, который проходит через четыре вершины куба и содержит диагонали его оснований. Сторона куба является образующей цилиндра, а диагональ основания совпадает с диаметром. Произведение этих двух величин даст площадь, которую нужно узнать в задаче.

Для поиска диаметра потребуется воспользоваться знанием того, что в основании куба – квадрат, а его диагональ образует равносторонний прямоугольный треугольник. Гипотенуза его является искомой диагональю фигуры.

Для ее расчета потребуется формула теоремы Пифагора. Нужно возвести в квадрат сторону куба, умножить ее на 2 и извлечь квадратный корень. Десять во второй степени — это сто. Умноженное на 2 — двести. Квадратный корень из 200 равен 10√2.

Сечение – это снова прямоугольник со сторонами 10 и 10√2. Его площадь легко сосчитать, перемножив эти значения.

Ответ. S_сеч = 100√2 см².

Содержание:

Цилиндром называется тело, полученное вращением прямоугольника вокруг оси, проходящей через его сторону (рис. 26). На рисунке 27 показано образование цилиндра при вращении прямоугольника

Образующая цилиндра является его высотой.

Поверхность цилиндра можно развернуть на плоскость, в результате получится прямоугольник, представляющий боковую поверхность цилиндра, и два круга, представляющих его основания. На рисунке 30 показан цилиндр и его развертка.

Теорема 4.

Боковая поверхность цилиндра равна произведению длины окружности основания и образующей:

На плоскости важной конфигурацией, которая часто встречается в задачах, является сочетание окружности с прямой. Подобной пространственной конфигурацией является сочетание цилиндра с плоскостью.

Если цилиндр пересечь плоскостью, параллельной основанию, то получится круг, равный основанию (рис. 31), а если плоскостью, перпендикулярной основанию, то — прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра (рис. 32). Осевое сечение цилиндра, т. е. сечение плоскостью, проходящей через ось цилиндра, является прямоугольником, стороны которого равны высоте цилиндра и диаметру его основания (рис. 33).

Будем двигать плоскость, проходящую через ось цилиндра, параллельно самой себе (рис. 34). При этом две противолежащие стороны прямоугольника-сечения цилиндра, являющиеся хордами оснований, будут уменьшаться, а две другие стороны, которые являются образующими цилиндра, — сближаться до того момента, пока не совпадут. Получим плоскость, содержащую образующую цилиндра и не имеющую с ним других общих точек. Такая плоскость называется касательной плоскостью цилиндра. Любая прямая, проведенная в касательной плоскости цилиндра и отличная от образующей, имеет с цилиндром единственную общую точку. Такая прямая называется касательной прямой цилиндра.

Теорема 5.

Если плоскость касается цилиндра по некоторой образующей, то ей перпендикулярна плоскость, проходящая через эту образующую и ось цилиндра.

Доказательство:

Пусть плоскость касается цилиндра с осью по образующей (рис. 35). Докажем, что плоскость, содержащая образующую и ось , перпендикулярна плоскости .

Проведем прямую , которая пересекает прямую в точке , прямую в точке и перпендикулярна оси . Через точку проведем плоскость , перпендикулярную образующей . Эта плоскость пересекает цилиндр по кругу, центр которого находится в точке , а плоскость — по прямой , касающейся окружности с центром . Учитывая свойство касательной к окружности, можем утверждать, что прямая перпендикулярна радиусу окружности с центром в точке . Кроме того, поскольку прямая параллельна прямой , то прямая перпендикулярна прямой . Получили, что прямая перпендикулярна как прямой , так и прямой , которые пересекаются и лежат в плоскости . Поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая перпендикулярна плоскости . Но плоскость, содержащая образующую и ось , проходит и через прямую . Поэтому она, по признаку перпендикулярности плоскостей, перпендикулярна плоскости .

Теорема 5 выражает свойство касательной плоскости цилиндра.

Теорема 6.

Плоскость касается цилиндра, если она проходит через его образующую и перпендикулярна плоскости, содержащей эту образующую и ось цилиндра.

Доказательство:

Пусть плоскость содержит образующую цилиндра и перпендикулярна плоскости, проходящей через эту образующую и ось (рис. 36). Докажем, что плоскость не имеет с цилиндром других общих точек, кроме точек образующей .

Пусть — точка плоскости , не принадлежащая образующей . Через эту точку проведем плоскость , перпендикулярную оси . Она пересечет цилиндр по кругу с центром , образующую в некоторой точке и плоскость по прямой . Поскольку плоскости и обе перпендикулярны плоскости , то их линия пересечения также перпендикулярна плоскости , а потому . Учитывая, что и — соответственно гипотенуза и катет прямоугольного треугольника , получим, что . Значит, точка не принадлежит цилиндру с осью .

Теорема 6 выражает признак касательной плоскости цилиндра.

Пусть имеется цилиндр (рис. 37). Впишем в одно из оснований цилиндра многоугольник , через его вершины проведем образующие , , …, , и соединим их другие концы , , …, , . В результате получим призму . Ее называют призмой, вписанной в цилиндр, а сам цилиндр называют цилиндром, описанным около призмы.

Если цилиндр описан около призмы, то основания цилиндра описаны около оснований призмы, а боковая поверхность цилиндра содержит боковые ребра призмы.

Подобным образом вводится понятие призмы, описанной около цилиндра, и цилиндра, вписанного в призму (рис. 38). Если призма описана около цилиндра, то ее основания описаны около оснований цилиндра, а боковые грани касаются боковой поверхности цилиндра.

Теорема 7.

Объем цилиндра равен произведению площади его основания и образующей:

Доказательство:

Пусть имеется цилиндр с осью (рис. 39). В него впишем правильную призму и, кроме того, около него опишем правильную призму . В соответствии с теоремой 3 объем первой призмы равен произведению площади многоугольника и высоты призмы, которая равна боковому ребру , а объем второй — произведению площади многоугольника и той же высоты. Объем самого цилиндра заключен между этими объемами.

Будем количество сторон оснований призмы делать все большим и большим. Тогда объем первой призмы увеличивается, объем второй — уменьшается, а разность между ними стремится к нулю, если количество сторон становится неограниченно большим. То число, к которому приближаются объемы обеих призм, принимается за объем цилиндра.

В описанном процессе высота призмы остается равной боковому ребру, которое равно образующей цилиндра, а площади многоугольников и стремятся к площади круга, лежащего в основании цилиндра. Значит, объем цилиндра равен произведению площади основания и образующей цилиндра:

Поверхность цилиндра

Ещё один важный класс пространственных фигур – тела вращения. Цилиндр является одним из них, мы познакомимся с ним глубже. Свойства цилиндра похожи на свойства призм, мы последовательно изучим их.

Тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон называют цилиндром (точнее, прямой круговой цилиндр) (рис. 75). При вращении прямоугольника одна его сторона остаётся неподвижной. Её называют осью цилиндра. Поверхность, образованную при вращении противоположной стороны прямоугольника называют цилиндрической поверхностью, а саму сторону образующей цилиндра. Две другие стороны прямоугольника при этом вращении образуют два равных круга, которые называют основаниями цилиндра (рис. 76).

Замечание. Тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон называют прямым круговым цилиндром. Более широкое понятие цилиндра вводят следующим образом.

Пусть в пространстве параллельный перенос переводит плоскую фигуру F₁, в фигуру F2. Тело, состоящее из этих фигур и отрезков, соединяющих их соответствующие точки, называют цилиндром (рис. 77).

Если при параллельном переносе образующая перпендикулярна плоскости фигуры F_{1 ,} цилиндр называют прямым (рис. 78.а), в противном случае наклонным цилиндром (рис. 78.b). На рисунке 78.с изображена Пизанская башня, имеющая вид наклонного цилиндра.

Если фигура F₁ является кругом, то цилиндр называют круговым цилиндром.

Только прямой круговой цилиндр является телом вращения. В дальнейшем мы будем рассматривать прямые круговые цилиндры, которые для краткости будем называть цилиндрами.

Основания цилиндра являясь равными кругами, лежат на параллельных плоскостях. Перпендикуляр, опущенный из некоторой точки одного основания на другое, называют его высотой.

Расстояние между параллельными плоскостями равно высоте цилиндра. Ось цилиндра также является его высотой.

Образующие цилиндра параллельны и равны. Точно также, длины высоты, оси и образующих цилиндра будут равны между собой.

Сечением цилиндра плоскостью параллельной его оси является прямоугольник (рис.79.а). Две противоположные его стороны – это образующие цилиндра, а две другие стороны – соответствующие параллельные хорды оснований цилиндра.

В частности, осевое сечение также прямоугольник, образованный сечением цилиндра плоскостью, проходящей через его ось (рис. 79.b).

Диагонали осевого сечения цилиндра проходят через точку являющуюся серединой отрезка, соединяющего центры оснований цилиндра. Следовательно, эта точка Q есть центр симметрии цилиндра (рис. 79.с).

Плоскость, проходящая через точку Q перпендикулярно оси цилиндра является его плоскостью симметрии (рис. 80). Любая плоскость, проходящая через ось цилиндра также будет ось симметрии цилиндра (рис. 81).

Пример:

Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь которого Q. Найдите площадь основания цилиндра.

Решение:

Сторона квадрата равна . Она равна диаметру

основания. Поэтому его площадь равна

Докажите самостоятельно эту теорему пользуясь рисунком 82.

Следствие. Полная поверхность цилиндра равна сумме его боковой поверхности и площадей двух его оснований:

или

Пусть дан произвольный цилиндр. Впишем в одно из его оснований многоугольник (рис. 83). Через вершины многогранника проведём образующие цилиндра , другие концы которых и последовательно соединим отрезками. В результате получим призму . Эту призму называют призмой, вписанной в цилиндр. А цилиндр называют цилиндром, вписанным в призму. Если призма вписана в цилиндр, то основание призмы будет вписано в основание цилиндра и боковые рёбра призмы будут лежать на боковой поверхности цилиндра.

Ясно, что если вокруг основания призмы можно описать окружность, то вокруг призмы можно описать цилиндр.

Аналогично вводятся понятия призмы, описанной вокруг цилиндра и цилиндра, вписанного в призму (рис. 84). Если призма описана вокруг цилиндра, то основание призмы будет описано вокруг основания цилиндра и боковые грани призмы будут касаться боковой поверхности цилиндра.

Ясно, что если в основание призмы можно вписать окружность, то вокруг цилиндра можно описать призму.

Объём цилиндра

Теорема. Объём цилиндра равен произведению площади его основания и образующей цилиндра:

Доказательство. Пусть дан цилиндр с осью ОО₁ (рис. 85). Впишем в него призму и опишем вокруг него призму . Обозначим объём цилиндра V, а объёмы вписанной и описанной призм V₁ и V₂ , тогда имеет место двойное неравенство . Объёмы призм находят по следующим формулам: и

Будем всё больше и больше увеличивать число n сторон оснований призм. Тогда объём вписанной призмы будет увеличиваться, а объём описанной призмы уменьшаться. Если число n сторон увеличивать неограниченно, то разность между объёмами будет стремится к нулю. Число, к которому приближаются объёмы вписанной и описанной призм, принимают за объём данной призмы. При этом площади многогранников и будут стремиться к площади S круга, лежащего в основании цилиндра. Следовательно,

Исторические сведения:

В произведении Абу Райхна Беруни «Книга о началах искусства астрономии» («Астрономия») как введение в стереометрию в разделе о геометрии приводятся следующие определения фигур:

Куб – физическая фигура, похожая на кубик для игры в нарды, ограниченная с шести сторон квадратами.

Призма – представляет собой фигуру, ограниченную по бокам плоскостями в форме квадрата или прямоугольника, а сверху и снизу -двумя треугольниками. В этом определении Беруни приведено описание частного вида призмы, а именно треугольной призмы.

Книга Беруни «Канон Масьуда» написана в 1037 году. В ней приведены правила нахождения объёмов параллелепипеда и призмы: «Если тело не четырёхугольное или другого вида, то его расчёт таков: найди площадь, умножь его на глубину, в итоге получишь объём». В произведении Абу Али ибн Сино «Книга знания» в разделе «Основы изучения геометрических тел» дано описание тела и треугольной призмы. А также описаны условия взаимного равенства двух призм. Ибн Сино даёт следующее определение призмы: «Призма – тело, ограниченное двумя плоскими треугольными сторонами.»

В произведении Аль Каши «Книга счёта» приведёт много примеров расчета площадей поверхностей и объёмов тел. Благодаря своим глубоким знаниям в математике, геометрии, тригонометрии, механике и астрономии он пользовался вниманием и уважением Улугбека. Аль Каши наряду с многоугольниками изучачл призмы, пирамиды, цилиндры, конусы, усечённые конусы.

Таблица приближенных значений тригонометрических функций: