Как найти площадь цилиндра вписанного в конус - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Цилиндр вписан в конус, если одно основание цилиндра лежит в плоскости основания конуса, а окружность другого основания — на боковой поверхности конуса. Конус, соответственно, в этом случае называется описанным около цилиндра.

Оси конуса и вписанного в него цилиндра совпадают. Верхнее основание цилиндра совпадает с сечением конуса плоскостью, параллельной основанию.

Рассмотрим осевое сечение комбинации тел. Оно представляет собой равнобедренный треугольник с вписанным в него прямоугольником.

Здесь SO=H — высота конуса, OA=OB=R — радиус конуса, OF=OM=r — радиус цилиндра, OO1=h — высота цилиндра, SA=SB=l — образующие конуса, NF=KM=h — образующие цилиндра.

Прямоугольные треугольники SOB и KMB подобны (по общему острому углу B). Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$[frac{{SO}}{{KM}} = frac{{OB}}{{MB}}, Rightarrow frac{H}{h} = frac{R}{{R - r}}.]$

Найдем отношение объемов конуса и вписанного в него цилиндра:

$[frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = frac{{frac{1}{3}pi {R^2}H}}{{pi {r^2}h}} = frac{1}{3} cdot frac{{{R^2}}}{{{r^2}}} cdot frac{H}{h}]$

С учетом предыдущего соотношения для высот конуса и цилиндра, имеем:

$[frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = frac{1}{3} cdot frac{{{R^2}}}{{{r^2}}} cdot frac{R}{{R - r}} = frac{{{R^3}}}{{3{r^2}(R - r)}}.]$

Найдем отношение боковой поверхности конуса к боковой поверхности вписанного цилиндра:

$[frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = frac{{pi Rl}}{{2pi rh}} = frac{{Rl}}{{2rh}}]$

Из прямоугольного треугольника SOB по теореме Пифагора

$[S{B^2} = O{B^2} + S{O^2}, Rightarrow l = sqrt {{R^2} + {H^2}} ]$

Таким образом,

$[frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = frac{{Rsqrt {{R^2} + {H^2}} }}{{2rh}}.]$

Источник

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту.

Леонид Вишняков

Профи

(508),
на голосовании

5 лет назад

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна 3 корень из 2.Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Голосование за лучший ответ

Источник

Геометрия, 11 класс

Урок №10. Комбинации тел вращения

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

комбинации конуса и цилиндра, конуса и усеченного конуса, цилиндра и усеченного конуса, нескольких сфер;
цилиндр, описанный около конуса, конус, описанный около цилиндра, усеченный конус, описанный около конуса и цилиндра;
цилиндр, вписанный в конус, конус, вписанный в цилиндр, усеченный конус, вписанный в конус и цилиндр.

Глоссарий по теме

Определение

Конус вписан в цилиндр, если основание конуса совпадает с основанием цилиндра, а вершина совпадает с центром другого основания цилиндра. Цилиндр, соответственно, в этом случае называется описанным около конуса.

Определение

Конус вписан в другой конус, если его вершина лежит в центре основания второго конуса, а основание лежит на боковой поверхности.

Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 136-147.

Дополнительная литература:

Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-84.

Открытые электронные ресурсы:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”. https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Комбинации цилиндра и конуса

Определение

В любой конус можно вписать цилиндр.

Осевое сечение цилиндра, вписанного в конус – представляет собой равнобедренный треугольник с вписанным в него прямоугольником.

SO=H — высота конуса

OA=OB=R — радиус конуса

OF=OM=r — радиус цилиндра

OO₁=h — высота цилиндра

SA=SB=L — образующие конуса

NF=KM=h (l)— образующие цилиндра.

∆SOB и ∆KMB – прямоугольные

∆SOB∆KMB (по общему острому углу B)

Поэтому:

, то есть: .

Отношение боковой поверхности конуса к боковой поверхности вписанного цилиндра (через радиусы основания и образующие)

, то есть .

Таким образом:

Определение

В любой цилиндр можно вписать конус.

OS – ось цилиндра и ось конуса, высота цилиндра и конуса

OA – радиус конуса и радиус цилиндра

SA=SB=L – образующие конуса,

CA=DB=l – образующие цилиндра

∆SOA, ∆SCA, ∆SDB и ∆SOB – прямоугольные

∆SOA=∆SCA, ∆SDB = ∆SOB, поэтому 2S_∆ASB=2S_ACDB.

Отношение боковой поверхности конуса к боковой поверхности описанного около него цилиндра (через радиус основания и высоту)

, то есть .

2. Комбинация двух конусов

Определение

OS – ось конусов, высота большого конуса

OH – высота малого конуса

OA – радиус большого конуса

CH – радиус малого конуса

AS=SB=L

OC=OD=l

Задача

В дне кашпо, имеющего форму конуса с площадью боковой поверхности 15π дм и радиусом основания 3 дм, сделано отверстие для того чтобы в него можно было вставить горшок для цветов, имеющий форму цилиндра. Определите радиус этого отверстия так, чтобы горшок для цветов был вписан в конус и имел форму равностороннего цилиндра.

Дано:

Цилиндр вписан в конус

S_б.п.к.=15π дм

R=3дм

d_ц =l_ц

Найти r.

Решение:

AS=L – образующая конуса

KC=l – образующая цилиндра

AO=R – радиус основания конуса

KO=r – радиус цилиндра

πRL=15π

L=15π: (3π)=5

Рассмотрим подобные треугольники AKC и AOS.

В них: .

АО=3 (по условию)

KA=3-r

OS=4 (из прямоугольного треугольника AOS с катетом 3 и гипотенузой 5.

KC=2r

6r=4(3-r)

6r=12-4r

10r=12

r=1,2 (дм)

Ответ: r=1,2 (дм)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. В конус, осевым сечением которого является прямоугольный треугольник, вписан равносторонний цилиндр. Найдите отношение площадей полных поверхностей конуса и цилиндра.

Решение:

Сделаем чертеж осевого сечения

Обозначим радиус цилиндра ЕО= r. Выразим через него все остальные элементы тел вращения.

Так как цилиндр равносторонний, то высота цилиндра равна h=СЕ=2r.

Так как сечение конуса ASB – прямоугольный треугольник и SO – его высота, то SO=OB. То есть высота конуса H равна радиусу R.

Образующая конуса равна L=SA=R .

∆SHD∆DKB∆OSB – прямоугольные равнобедренные треугольники.

Радиус конуса R=OB=OK+KB.

OK=r, KB=h=2r.

Поэтому R=3r, образующая конуса равна SA=3r .

Выразим площади полных поверхностей конуса и цилиндра.

S_п.п.ц. =2πr(r+h)= 2πr(r+2r)=6πr².

S_п.п.к. =πR(R+L)= π3r(3r+3r)=9πr²(1+ )

Теперь найдем отношение: .

Ответ: .

2. Усеченный конус вписан в цилиндр. Найдите площадь полной поверхности усеченного конуса, если радиус цилиндра равен 16, высота равна 6 а радиус меньшего основания усеченного конуса в два раза меньше радиуса цилиндра.

Решение:

Сделаем чертеж осевого сечения:

O₁B – радиус меньшего основания усеченного конуса.

OC- радиус большего основания усеченного конуса и радиус цилиндра.

BH – высота цилиндра и высота усеченного конуса

По условию OC=2O₁B, ОС=16, BH=6.

Так как OC=2O₁B и ОС=16, то O₁B=8.

Рассмотрим треугольник BHC.

В нем HC=OC-OH=8, BH=6. По теореме Пифагора BC=10.

Теперь нам известен радиус меньшего основания усеченного конуса: он равен 8, радиус большего основания усеченного конуса: он равен 16, образующая усеченного конуса: она равна 10.

Найдем площадь боковой поверхности:

S_б.п.у.к. =πL(r+R)

S_б.п.у.к. =10π(8+16)=240π

Площадь полной поверхности найдем, прибавив две площади оснований:

S_п.п.у.к. =240π+64π+256π=560π

Ответ: S_п.п.у.к. =560π

Источник

Задание 8. Математика ЕГЭ. Про конус, вписанный в цилиндр

Рассмотрим пример решения задания 8 из ЕГЭ по математике, когда цилиндр и конус имеют общее основание и высоту.

Задание

Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Высота цилиндра равна радиус основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 22√2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение

Площадь боковой поверхности конуса равна:

Sбок.к. = π·R·L

Найдем образующую конуса

По условию R = h, тогда по теореме Пифагора получим

L^2 = R^2 + h^2 = R^2 + R^2 = 2·R^2

L = R·√2

Sбок.к. = π·R^2·√2 (1)

Площадь боковой поверхности цилиндра равна:

Sбок.ц. = 2π·R·h = 2π·R^2

π·R^2 = Sбок.ц./2 = 11√2.

Подставим значение π·R^2 в формулу (1)

получим:

Sбок.к. = 11√2·√2 = 22

Ответ: 22

Источник

В любой конус можно вписать бесконечное множество цилиндров (радиусы цилиндров меньше радиуса конуса).

Чертится осевое сечение.

Центры оснований конуса и цилиндра совпадают, а высота и радиусы различаются.

Чтобы определить зависимость между радиусами или высотами конуса и цилиндра, в задаче должна присутствовать дополнительная информация.

Около конуса можно описать только такую пирамиду, у которой двугранные углы при основании равны (при условии, что основание высоты пирамиды не находится вне многоугольника в основании пирамиды).

Двугранные углы при основании равны у правильных пирамид и у таких пирамид, высота которых проецируется в центр вписанной окружности.

Радиус конуса — радиус окружности, вписанной в многоугольник основания пирамиды.

Любую правильную пирамиду можно описать около конуса.
Окружность основания конуса вписана в многоугольник основания пирамиды.

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. В любой треугольник можно вписать окружность.

Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. Окружность можно вписать только в такой четырёхугольник, у которого равны суммы длин противоположных сторон.

Центр окружности, вписанной в квадрат и в ромб, лежит на пересечении его диагоналей.

Пирамидой, вписанной в конус, называется такая пирамида, многоугольник основания которой вписан в окружность основания конуса, а вершиной является вершина конуса.

В конус можно вписать только такую пирамиду, боковые рёбра которой равны (совпадают с образующими конуса).

Боковые рёбра равны у любой правильной пирамиды и у таких пирамид, высота которых проецируется в центр описанной окружности.

Рисунки создаются в зависимости от содержания задачи, иногда достаточно изобразить только основания этих тел, т. к. высоты пирамиды и конуса равны.

Окружность основания конуса описана около многоугольника основания пирамиды.

Радиус конуса — радиус окружности, описанной около многоугольника основания пирамиды.

Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Окружность можно описать около любого треугольника.

Центром окружности, описанной около четырёхугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам четырёхугольника.

Окружность можно описать только около такого четырёхугольника, у которого суммы противоположных углов равны

180°

Окружность можно описать около всех равнобедренных трапеций, прямоугольников и квадратов.

Источник

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту.

Задание 8. Математика ЕГЭ. Про конус, вписанный в цилиндр

Задание

Решение

Площадь боковой поверхности конуса равна:

Найдем образующую конуса

Площадь боковой поверхности цилиндра равна:

Подставим значение π·R^2 в формулу (1)

Ответ: 22

Вам также может понравиться

Как найти продавца в пятерочке

Клавиатура автоматически переключает язык как исправить виндовс 10

Симс 3 как найти все камни

Добавить комментарий Отменить ответ