Как найти площадь длину круга формула

Сегодня мы говорим про окружность и круг, друзья мои. У многих шестиклассников, да и не только у них, возникают трудности с этой темой. А она-то как раз и есть ваш реальный шанс на получение хорошей отметки. Да, есть там одна заковырка. Вот она не нравится ребятам. Но я сейчас подробно всё расскажу. Давайте приступим)))

Длина окружности и площадь круга. Можете не понимать. Надо знать 3 формулы и 2 определения

Сначала дам несколько определений. Они очень лёгкие, просто посмотрите:

Есть окружность, а есть круг:

Определения, ребята, есть у вас в учебнике. Их надо знать наизусть, учителя это любят. Выучите их, пожалуйста. А я вам простыми словами расскажу, чтобы совсем понятно было.

Окружность – это линия на бумаге или ещё где-нибудь. На асфальте мелом, например.
Круг – это часть листа (плоскости).

Как отличить круг от окружности?

Круг я могу вырезать ножницами и у меня в руках будет круглый кусок бумаги. А линию я вам как вырежу?!

Окружность нельзя вырезать ножницами! Она же линия!

Дальше. У вас будут две формулы. Я знаю, что их три, на самом деле – две. Расскажу попозже. Сначала основные определения простыми словами дам:

Ребята! Это радиус! Он соединяет центр окружности (точку О) и любую точку на окружности.

А это диаметр. Присмотритесь: вам ничего не показалось?)))

АВ – это диаметр.

Вы молодцы, если вам показалось, что один диаметр – это ДВА РАДИУСА! Так и есть!

Значит, вот эти две формулы одинаковые.

d – диаметр, r – радиус

Запомните: один диаметр – это два радиуса! Один радиус – это половина диаметра! Если знаете диаметр – радиус тоже знаете!!! И наоборот!

Что такое C в этой формуле? Это длина окружности. Если я возьму окружность, мысленно её разрежу и разогну, то получится прямая. Тогда я смогу померить её длину. А можно и не разрезать. Возьмите сантиметровую ленту у бабушки или у мамы. Потом найдите чашку на кухне, отметьте точку (незаметно, чтобы потом смыть) и действуйте по схеме:

Так можно узнать длину окружности в домашних условиях)))

Есть ещё формула площади круга:

Число “ПИ” – это постоянная величина. Её надо просто запомнить наизусть: 3,14.

Тоже легко. В статье я уже не буду об этом писать. А вот видео, в нём я задачи разбираю для шестиклассников, именно на эту тему. Там про площадь круга рассказываю подробно. Для других классов тоже подойдёт, кто не понял, забыл или не успел)))

Подведём итог. Если вы будете знать наизусть определение диаметра и радиуса, если вы будете знать 2 формулы (а на самом деле одну!) длины окружности и одну формулу площади круга, то по этой теме у вас точно будет не ниже четвёрки, друзья мои школьники.

Если статья показалась вам полезной, поставьте, пожалуйста, оценку. Она поможет мне дальше помогать вам)))

Вот здесь кое-что про борьбу со списыванием с сайта ГДЗ

А вот здесь – как учить стихи

P. S.: Про число “ПИ” я ничего не говорила в этой статье. Но в видео я про него рассказываю. Это фантастическое, просто удивительное число!!!!! Но мне места не хватило, В другой раз…

Источник

Загрузить PDF

Окружность – это плоская замкнутая кривая, все точки которой равноудалены от центральной точки.^[1] Длина окружности (С) – это длина замкнутой кривой, которая и образует окружность.^[2] Площадь круга (А) – это величина пространства, которое ограничено окружностью.^[3] Площадь круга и длина окружности вычисляются по формулам, в которых присутствует радиус (или диаметр) окружности и число «пи».

1
Формула для вычисления длины окружности. Длину окружности можно вычислить по двум формулам: C = 2πr или C = πd, где π – число «пи» (математическая константа, приблизительно равная 3,14)^[4], r – радиус окружности, d – диаметр окружности.^[5]
- Приведенные формулы по сути одинаковые, так как диаметр равен удвоенному радиусу.
- Длина окружности измеряется в любых единицах измерения длины: в метрах, сантиметрах, миллиметрах и так далее.
2
Величины формулы. В формулу для нахождения длины окружности входят три величины: радиус, диаметр и число «пи». Радиус и диаметр связаны друг с другом: радиус равен половине диаметра, а диаметр равен удвоенному радиусу.
- Радиус окружности (r) – это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности.
- Диаметр окружности (d) – это отрезок, проходящий через центр окружности и соединяющий любые две точки, лежащие на окружности.^[6]
- Число «пи» (π) равно отношению длины окружности к ее диаметру; число «пи» представляет собой иррациональное число, которое примерно равно 3,14159265 и не имеет конечной цифры и повторяющихся сочетаний цифр.^[7] В большинстве математических вычислений число «пи» округляется до 3,14.
3
Измерьте радиус или диаметр окружности. Совместите начало линейки с любой точкой на окружности и сделайте так, чтобы линейка соприкасалась с центром окружности. Измерьте расстояние от точки до центра окружности, чтобы получить значение радиуса. Измерьте расстояние между двумя точками, лежащими на окружности, чтобы получить значение диаметра.
- В большинстве математических задач радиус или диаметр будет дан.
4
Подставьте значения величин в формулу. Найдя радиус и/или диаметр окружности, подставьте значение в соответствующую формулу. Если вы нашли радиус, воспользуйтесь формулой C = 2πr, а если диаметр, формулой C = πd.
- Пример: найдите длину окружности, радиус которой равен 3 см.
  - Напишите формулу: C = 2πr
  - Подставьте данное значение в формулу: C = 2π3
  - Перемножьте: C = (2*3*π) = 6π = 18,84 см
- Пример: найдите длину окружности, диаметр которой равен 9 м.
  - Напишите формулу: C = πd
  - Подставьте данное значение в формулу: C = 9π
  - Перемножьте: C = (9*π) = 28,26 м
5
Попрактикуйтесь на нескольких примерах. Теперь, когда вы знаете формулу, попробуйте решить несколько задач. Чем больше задач вы решите, тем быстрее научитесь справляться с ними.
- Найдите длину окружности с диаметром 5 м.
  - C = πd = 5π = 15,7 м
- Найдите длину окружности с радиусом 10 м.
  - C = 2πr = C = 2π10 = 2*10* π = 62,8 м
Реклама

1
Формула для вычисления площади круга. Площадь круга можно вычислить по двум формулам, включающим диаметр или радиус: A = πr² или A = π(d/2)²^[8], где π – число «пи» (математическая константа, приблизительно равная 3,14)^[9], r – радиус круга, d – диаметр круга.
- Приведенные формулы по сути одинаковые, так как диаметр равен удвоенному радиусу.
- Площадь круга измеряется в любых единицах измерения длины, возведенных в квадрат: в квадратных метрах (м²), в квадратных сантиметрах (см²), в квадратных миллиметрах (мм²) и так далее.
2
Величины формулы. В формулу для нахождения площади круга входят три величины: радиус, диаметр и число «пи». Радиус и диаметр связаны друг с другом: радиус равен половине диаметра, а диаметр равен удвоенному радиусу.
- Радиус круга (r) – это отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой, лежащей на окружности, которая ограничивает этот круг.
- Диаметр круга (d) – это отрезок, проходящий через центр круга и соединяющий любые две точки, лежащие на окружности, которая ограничивает этот круг.^[10]
- Число «пи» (π) равно отношению длины окружности к ее диаметру; число «пи» представляет собой иррациональное число, которое примерно равно 3,14159265 и не имеет конечной цифры и повторяющихся сочетаний цифр.^[11] В большинстве математических вычислений число «пи» округляется до 3,14.
3
Измерьте радиус или диаметр круга. Совместите начало линейки с любой точкой на окружности, ограничивающей круг, и сделайте так, чтобы линейка соприкасалась с центром круга. Измерьте расстояние от точки до центра круга, чтобы получить значение радиуса. Измерьте расстояние между двумя точками, лежащими на окружности, чтобы получить значение диаметра.
- В большинстве математических задач радиус или диаметр будет дан.
4
Подставьте значения величин в формулу. Найдя радиус и/или диаметр круга, подставьте значение в соответствующую формулу. Если вы нашли радиус, воспользуйтесь формулой A = πr², а если диаметр, формулой A = π(d/2)².
- Пример: найдите площадь круга с радиусом 3 м.
  - Напишите формулу: A = πr²
  - Подставьте данное значение: A = π3²
  - Возведите радиус в квадрат: r² = 3² = 9
  - Умножьте на число «пи»: A = 9π = 28,26 м²
- Пример: найдите площадь круга с диаметром 4 м.
  - Напишите формулу: A = π(d/2)²
  - Подставьте данное значение: A = π(4/2)²
  - Разделите диаметр на 2: d/2 = 4/2 = 2
  - Результат возведите в квадрат: 2² = 4
  - Умножьте на число «пи»: A = 4π = 12,56 м²
5
Попрактикуйтесь на нескольких примерах. Теперь, когда вы знаете формулу, попробуйте решить несколько задач. Чем больше задач вы решите, тем быстрее научитесь справляться с ними.
- Найдите площадь круга с диаметром 7 м.
  - A = π(d/2)² = π(7/2)² = π(3,5)² = 12,25 * π= 38,47 м².
- Найти площадь круга с радиусом 3 м.
  - A = πr² = π3² = 9 * π = 28,26 м²
Реклама

1
Найдите радиус или диаметр окружности. В некоторых задачах радиус или диаметр дается в виде выражения с участием переменной, например, г = (х + 7) или d = (х + 3). В этом случае вы можете найти площадь круга или длину окружности, но окончательный ответ будет также содержать переменную. Запишите радиус или диаметр так, как дается в задаче.
- Пример: вычислите длину окружности с радиусом (х + 1).
2
Напишите формулу с данным значением. Вычисляя площадь круга или длину окружности, вы подставляете данное значение в соответствующую формулу. Сначала запишите формулу для вычисления площадь круга или длину окружности, а затем подставьте в нее значение диаметра или радиуса, выраженное переменной.
- Пример: вычислите длину окружности с радиусом (х + 1).
- Напишите формулу: C = 2πr
- Подставьте данное значение: C = 2π(х + 1)
3
Вычислите длину окружности так, как если бы переменная была представлена числом. На данный момент решите задачу, рассматривая переменную в качестве обычного числа. Возможно, вам придется использовать свойство дистрибутивности для упрощения окончательного ответа.
- Пример: вычислите длину окружности с радиусом (х + 1).
- C = 2πr = 2π (х + 1) = 2πx + 2π1 = 2πx + 2π = 6,28x + 6,28
- Если вы знаете значение переменной «х», подставьте его в найденное выражение, чтобы получить численный ответ.
4
Попрактикуйтесь на нескольких примерах. Теперь, когда вы знаете формулу, попробуйте решить несколько задач. Чем больше задач вы решите, тем быстрее научитесь справляться с ними.
- Найдите площадь круга с радиусом 2х.
  - A = πr² = π(2x)² = π4x² = 12,56x²
- Найдите площадь круга с диаметром (х + 2).
  - A = π(d/2)² = π((x +2)/2)² = ((x +2)²/4)π
Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 212 638 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Для всех окружностей справедливо, что отношение длины окружности к её диаметру есть одно и то же число.

Это число принято обозначать греческой буквой

(«пи»). У этого числа за запятой бесконечное множество цифр, порядок которых не повторяется.

Такие числа называются иррациональными.

π≈3,14159265358979…

В наше время, когда вычислительные технологии очень развиты, можно вычислить очень много значащих цифр. Сколько цифр использовать в расчётах, нужно решать в зависимости от того, какая точность необходима. Иногда используется даже округление до целых

π≈3

, но чаще всего используется

π≈3,14

Интересно, что в марте (3 месяц) 14-го числа неофициально в мире отмечают день

, когда происходят математические конкурсы и другие интересные события.

Длина окружности обозначается через (C), диаметр и радиус (D = 2R), значит,

Так как длина всей окружности равна

C=2π⋅R

, то длина дуги в (1°) равна

2πR360°=πR180°

Если градусная мера дуги равна

градусам, то длина такой дуги

∪AB=l

выражается формулой

l=πR180°⋅α

Площадь круга определяется по формуле

S=π⋅R2

Площадь сектора, градусная мера дуги которого (1°), равна

πR2360°

Если градусная мера дуги равна

градусов, то площадь такого сектора выражается формулой

Sсект.=πR2360°⋅α

Источник

Формула (формулы) площади круга

Найти площадь круга можно разными способами, в зависимости от известных данных.

По радиусу

Если дан только радиус, то площадь составит произведение константы Пи на квадрат радиуса. Расчёт будет по формуле (где r – радиус, а π – константа, равная 3,1415…):

Например, если радиус равен 2 метра, то площадь круг можно вычислить так S = 3,14 × 2² = 3,14 × 4 = 12,56 м² (квадратных метров).

Через диаметр

Если известен диаметр, то площадь круга будет равняться одной четвёртой произведения Пи и квадрата диаметра. Формула площади круга будет такой (где d – диаметр, а π – константа, равная 3,1415…):

К примеру, если диаметр круга (площадь поверхности пиццы) составляет 35 сантиметров, то площадь такого круга будет равна S = ¼ × 3,14 × 35²= ¼ × 3,14 × 1225 = 962 см² (квадратных сантиметра).

Через длину окружности

Если мы знаем только длину окружности (периметр круга), то рассчитать площадь фигуры можно по формуле (где L – длина окружности, а π – константа, равная 3,1415…):

Например, если длинна окружности составляет 120 мм, тогда площадь круга будет равна S = 120² / (4 × 3,14) = 14 400 / (4 × 3,14) = 1146,5 мм² (квадратных миллиметров).

Какие термины используются для поиска площади круга?

Для вычисления площади круга, в формулах были использованы следующие термины, значение которых нужно знать, чтобы точно понимать принципы расчета.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии, не превышающем радиус.

Диаметр — отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности. Диаметр равен двум радиусам.

Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней.

Число π (пи) — математическая постоянная, равная отношению длины окружности к её диаметру. Пи равняется примерно 3,14.

Площадь круга и размеры пицц

Люди не всегда верно сопоставляют площадь круга и диаметры. К примеру, сможете ли вы ответить:

Что больше: 2 пиццы диаметром 25 см или 1 пицца диаметром 40 см?

Интуитивно кажется, что 2 пиццы, так как в сумме их радиусы дают 50 сантиметров, что больше, чем 40. Однако это неправильный вывод, так как сравнивать нужно не сумму диаметров, а сумму квадратов диаметров. То есть:

25² + 25² = 625 + 625 = 1250
40² = 1600

Так как ¼π является константой, то можно сравнивать только квадраты диаметров. Получается, что пицца 40 см больше, чем даже 2 пиццы размером 25 см. А вот если диаметр пиццы составляет 35 см, то 35² = 1225, и в этом случае 2 пиццы по 25 см будут иметь бОльшую площадь.

Площади усеченных частей круга

А также полезно знать следующие геометрические элементы, связанные с кругами и окружностями:

Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности.

Сектор — часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сектор является частью круга, а его площадь относится к площади круга так же, как и длина окружности сектора к длине всей окружности. Поэтому площадь сектора равна площади круга, умноженной на отношение длинны окружности сектора к длине окружности всего круга.

Но площадь сектора можно вычислить и по более простой формуле. Она равна длине дуги сектора, умноженной на половину радиуса:

S = sr/2

где S — площадь сектора, r — радиус круга.

Сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой.

Площадь сегмента можно найти по формулам:

S = r²sinα/ 2

где S — площадь сегмента, sinα — синус угла двух между радиусов до концов хорды, r — радиус круга.

Часто задаваемые вопросы о площади круга?

И конечно, стоит ответить на некоторые вопросы, которые возникают во время расчетов.

Входит ли окружность (периметр) в площадь круга?

Да, входит, ведь кругом являются все точки, удаленные от центра круга на расстояние, которое не превышает радиус.

Какие есть ещё калькуляторы для круга у вас на сайте?

У нас есть разнообразные калькуляторы, в частности калькуляторы: длины окружности, диаметра и площади круга. Для последней калькулятор находится на данной странице.

Хватит ли только диаметра, только радиуса или только длинны окружности для расчета площади круга?

Да, хватит чего-то одного, так как все 3 сущности можно вывести одну из другой, например, диаметр равен двум радиусам, а длина окружности – это диаметр, умноженный на число Пи.

Почему Пи равняется 3,1415926…, а не является «ровным» числом?

Число Пи – это отношение длины окружности к диаметру. После его вычисления математики выяснили, что оно является иррациональным числом: то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. На июнь 2022 года известны первые 100 триллионов знаков числа «пи» после запятой. И получается, что именно с такой точностью можно рассчитать площадь круга. Если у квадрата и треугольника площадь точная, то у круга всегда приблизительная.

Кто впервые научился вычислять площадь круга?

Гиппократ Хиосский (не тот, в честь которого назвали клятву) первым сформулировал, что площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра. Евдокс Книдский в IV веке до н. э. строго доказал это утверждение. А Архимед в III веке до н. э. нашёл число Пи и продемонстрировал, что оно чуть меньше, чем 3 и 1/7.

Окружность и круг – в чём отличие?

Часто понятия круг и окружность путают, хотя это разные вещи.

Окружность – это замкнутая линия, а круг – это плоская фигура, ограниченная окружностью. Таким образом, гимнастический обруч или колечко – это окружности, а монета или вкусный блин – это круги.

Круг – бесконечное множество точек на плоскости, которые удалены от заданной точки, называемой центром круга, на значение, не превышающее заданного неотрицательного числа, называемого радиусом этого круга.

Формула площади круга через радиус

S = pi r^2

r – радиус круга

Формула площади круга через диаметр

S = pi dfrac{d^2}{4}

d – диаметр круга

Формула площади круга через длину окружности

S = dfrac{L^2}{4pi}

L – длина окружности

Примеры задач на нахождение площади круга

Задача 1

Найдите площадь круга, радиус которого равен 4 см.

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой площади круга через радиус.

S = pi r^2 = pi cdot 4^2 = 16 pi : см^2 approx 50.26548 : см^2

Ответ: 16 pi : см^2 approx 50.26548 : см^2

Полученный ответ удобно проверить с помощью калькулятора .

Задача 2

Найдите площадь круга, радиус которого равен 7 см.

Решение

Задача похожа на предыдущую, поэтому решение будет выглядеть аналогично.

S = pi r^2 = pi cdot 7^2 = 49 pi : см^2 approx 153.93804 : см^2

Ответ: 49 pi : см^2 approx 153.93804 : см^2

Проверим ответ на калькуляторе .

Задача 3

Найдите площадь круга, радиус которого равен 9 см.

Решение

Еще одна типовая задача.

S = pi r^2 = pi cdot 9^2 = 81 pi : см^2 approx 254.469 : см^2

Ответ: 81 pi : см^2 approx 254.469 : см^2

Проверим ответ на калькуляторе .

Источник

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Оглавление: