поделиться знаниями или
запомнить страничку
- Все категории
-
экономические
43,655 -
гуманитарные
33,653 -
юридические
17,917 -
школьный раздел
611,944 -
разное
16,904
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Площадь правильного двенадцатиугольника
Какие правильные многоугольники, вписанные в единичную окружность, имеют рациональную площадь?
Оказывается, таких всего два — квадрат и правильный двенадцатиугольник.
Одно из красивых доказательств того, что площадь двенадцатиугольника равна трём квадратам радиуса
описанной окружности, принадлежит венгерскому математику Йожефу Кюршаку.
Четвертинка двенадцатиугольника разбивается на правильные треугольники и равнобедренные
с углами $15^circ$, $15^circ$ и $150^circ$. После перекладки получается фигура,
равная трём четвертям квадрата со стороной, равной диаметру описанной около двенадцатиугольника
окружности.
Если же известна длина стороны двенадцатиугольника, то вычислить его площадь позволяет разбиение
на 6 квадратов, 6 равносторонних треугольников между ними и центральный шестиугольник.
Площадь правильного $n$-угольника, вписанного в единичную окружность, равна $frac{n}{2} cdot sinfrac{360^circ }{n}$.
Синус принимает рациональное значение только при $n=4$ (квадрат, $90^circ$)
и $n=12$ (двенадцатиугольник, $30^circ$).
Другие модели раздела «Площади фигур и равносоставленность»
A polygon is any closed two-dimensional figure with 3 or more straight (not curved) sides, and a 12-sided polygon is known as a dodecagon. A regular dodecagon is one with equal sides and angles, and it’s possible to derive a formula for calculating its area. An irregular dodecagon has sides of different lengths and different angles. A six-pointed star is an example. There’s no easy way to calculate the area of an irregular 12-sided figure unless you happen to have it plotted on a graph and can read the coordinates of each of the vertices. If not, the best strategy is to divide the figure into regular shapes for which you can calculate the area.
Calculating the Area of a Regular 12-Sided Polygon
To calculate the area of a regular dodecagon, you have to find its center, and the best way to do that is to scribe a circle around it that just touches each of its vertices. The center of the circle is the center of the dodecagon, and the distance from the center of the figure to each of its vertices is simply the radius of the circle (r). Each of the 12 sides of the figure is the same length, so denote this by s.
You need one more measurement, and that’s the length of a perpendicular line drawn from the midpoint of each side to the center of the 12-sided shape. This line is known as the apothem. Denote its length by m. It divides each section formed by the radius lines into two right-angled triangles. You don’t know m, but you can find it using the Pythagorean theorem.
The 12 radius lines divide the circle you scribed around the dodecagon into 12 equal sections, so at the center of the figure, the angle each line makes with the one next to it is 30 degrees. Each of the 12 sections formed by the radius lines is made up of a pair of right-angled triangles with hypotenuse r and one angle of 15 degrees. The side adjacent to the angle is m, so you can find it using r and the sine of the angle.
sin(15) = frac{m}{r} , text{ and solve for }m \ m = r × sin(15)
You can now find the area of each of the isosceles triangles inscribed in the dodecagon, because you know the length of the base – which is s – and the height, m. The area of each triangle is
begin{aligned} text{area} &= frac{1}{2} × text{ base} × text{ height} \ &= frac{1}{2} × s × m \ &= 1/2 × (s × r × sin(15)) end{aligned}
There are 12 such sections, so multiply by 12 to find the total area of the regular 12-sided shape:
text{ Area of regular dodecagon} = 6 × (s × r × sin(15))
Finding the Area of an Irregular Dodecagon
There is no formula for finding the area of an irregular dodecagon, since the lengths of the sides and the angles aren’t the same. It’s even difficult to pinpoint the center. The best strategy is to divide the figure into regular shapes, calculate the area of each one, and add them.
If the shape is plotted on a graph, and you know the coordinates of the vertices, there is a formula you can use to calculate area. If each point (n) is defined by (xn, yn), and you go around the figure in order, either clockwise or counterclockwise, to get a series of 12 points, the area is:
text{Area} = frac{| (x_1y_2 – y_1x_2) + (x_2y_3 – y_2x_3)+ … + (x_{11}y_{12} – y_{11}x_{12}) +(x_{12}y_1 – y_{12}x_1)|}{2}
Как начертить двенадцатиугольник
Умение строить правильные многоугольники необходимо любому специалисту, по роду своей деятельности связанному с черчением или геометрией. Построить двенадцатиугольник с помощью обычных чертежных инструментов можно как минимум тремя способами. Компьютерные же программы позволяют это сделать за несколько минут.Вам понадобится
Первый «классический» способ заключается позволяет обойтись без циркуля. Поставьте на листе точку и проведите через нее произвольную прямую. Точку можно как-нибудь обозначить. Например, это может быть точка О. В одну из сторон отложите от нее отрезок любой длины. Обозначьте его как ОА.
Разделите 360° на 12. Полученную величину в 30° отложите от отрезка ОА, совместив нулевое деление транспортира с точкой О. На полученном луче отложите размер, равный длине отрезка ОА. Таким же образом отложите угол в 30° и от этого нового отрезка. Продолжите построение, откладывая размер угла от каждой новой линии. Соедините конечные точки всех отрезков прямыми.
Гораздо более точное построение можно выполнить с помощью циркуля. Начертите окружность с центром в точке О. Обозначьте на этой окружности какую-либо точку. Например, пусть это будет точка А. Проведите через нее радиус.
Разведите ножки циркуля на длину радиуса окружности. Иголку инструмента поставьте в точку А. На окружности сделайте отметку В. Переставьте циркуль в эту точку и сделайте на окружности еще одну отметку С. Повторяйте операцию до тех пор, пока не разделите окружность на 6 равных частей.
Отметки на окружности соедините отрезками. У вас получился правильный шестиугольник. Каждую его сторону разделите пополам и к полученной точке проведите перпендикуляр. Перпендикуляры необходимо продлить, чтобы они пересекли окружность. У вас получится еще 6 точек.
Гораздо более точное построение можно выполнить с помощью циркуля. Начертите окружность с центром в точке О. Обозначьте на этой окружности какую-либо точку. Например, пусть это будет точка А. Проведите через нее радиус.
Соедините полученные точки с соседними вершинами правильного шестиугольника. У вас получился правильный двенадцатиугольнрик. Лишние линии при необходимости можно убрать.
Построить правильный двенадцатиугольник с помощью циркуля можно и иначе. Начните с построения окружности. Начертите 2 диаметра перпендикулярно друг другу. Если вы сделаете конечные точки каждого центрами новых окружностей того же радиуса, то исходная окружность разделится на 12 равных частей. Вам останется только соединить соседние вершины отрезками.
Правильный двенадцатиугольник в программе AutoCAD строится с помощью команды «Многоугольник», он же polygon. Ее можно ввести в командную строку (латиницей, причем перед командой ставится значок «_»..Перед вами появится окошко, в которое нужно просто ввести число сторон. Соответствующий инструмент можно найти также в панели инструментов на рабочем столе или через вкладку «Рисование» в главном меню.
Программа предложит вам определить способ, по которому вы будете строить двенадцатиугольник. В AutoCAD любой многоугольник можно начертить по длине стороны, центру и радиусу вписанной или описанной окружности. Выберите нужное.
Если вы будете строить двенадцатиугольник по одному из радиусов, укажите центр фигуры. Это можно сделать, задав координаты или отметив нужную точку щелчком мыши. Укажите, радиус какой окружности вам задан, и введите нужное значение.
Длина стороны правильного многоугольника
Определение длины стороны правильного многоугольника по радиусу вписанной окружности
От нашего нового пользователя поступил вот такой запрос:
«Калькулятор должен вычислять длину стороны правильного многоугольника (шестиугольник, пятигольник) по указанному диаметру (или радиусу) описанной окружности».
Удовлетворяем запрос оперативно. Заметим, что для решения задачи нужно найти длину третьей стороны треугольника, исходящего из центра описанной окружности и опирающегося на две соседние вершины правильного многоугольника. Про этот треугольник известно многое: длины двух сторон — это радиусы описанной окружности, и угол, как нетрудно заметить, — это 360, деленное на число вершин правильного многоугольника. Далее используется соотношение из теоремы синусов — две стороны относятся друг к другу также как и синусы противолежащих им углов. Поскольку треугольник равнобедренный и сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, угол, противолежащий радиусу вычисляется тривиально. Результат — ниже.
Площадь правильного двенадцатиугольника
Какие правильные многоугольники, вписанные в единичную окружность, имеют рациональную площадь? Оказывается, таких всего два — квадрат и правильный двенадцатиугольник.
Одно из красивых доказательств того, что площадь двенадцатиугольника равна трём квадратам радиуса описанной окружности, принадлежит венгерскому математику Йожефу Кюршаку.
Четвертинка двенадцатиугольника разбивается на правильные треугольники и равнобедренные с углами $15^circ$, $15^circ$ и $150^circ$. После перекладки получается фигура, равная трём четвертям квадрата со стороной, равной диаметру описанной около двенадцатиугольника окружности.
Если же известна длина стороны двенадцатиугольника, то вычислить его площадь позволяет разбиение на 6 квадратов, 6 равносторонних треугольников между ними и центральный шестиугольник.
[spoiler title=”источники:”]
http://planetcalc.ru/92/
http://etudes.ru/models/dodecagon-area/
[/spoiler]
No Name
Знаток
(306),
на голосовании
9 лет назад
Голосование за лучший ответ
Яремченко Сергей
Профи
(607)
9 лет назад
Построим треугольник из двух соседних радиусов и стороны двенадцатиугольника. Угол между радиусами будет 360/12=30 градусов. Площадь этого треугольника будет равна половине квадрата радиуса на синус угла между радиусами, то есть 4*4/2/2=4 см^2(два раза делить, потому что половина и синус 30 – это 1/2). Всего в 12-угольнике 12 таких треугольников, значит его площадь 12*4=48 см^2.
