Как найти площадь если известна длина клетки

Площадь фигуры (треугольник, четырёхугольник, трапеция и др.) по клеточкам (клеткам). Какие есть формулы? Есть способ, при котором надо воспользоваться формулой, основой которой будет понятие узла, узла внутреннего и узла внешнего. Узел это пересечение линий, образующих эти самые клеточки. Внешние узлы, это узлы, находящиеся на сторонах и вершинах геометрических фигур, площади которых нам надо найти. А внутренние узлы, это узлы внутри этих фигур. Клеточки у нас со сторонами равными одному сантиметру (1 см). Формула, о которой идет речь, называется формула Пика. Выглядит она вот так: И по ней очень просто посчитать площадь фигуры S. В этой формуле M это количество внешних узлов, N – количество внутренних узлов. Приведем пример, возьмем геометрическую фигуру параллелограмм: Внутренние узлы – синие – N – их у нас 20. Внешние узлы – красные – М – их у нас 18 и их количество нам надо поделить на два, получится 18/2 = 9 узлов. Складываем 9 + 20 и вычитаем единицу: 20 + 9 – 1 = 28 см². Еще один пример: S = 14/2 + 43 – 1 = 49 см². система выбрала этот ответ лучшим Ксарф­акс [156K] 6 лет назад  Допустим, у нас есть произвольная фигура, построенная на листе в клетку. Необходимо вычислить её площадь. Площадь фигуры по клеточкам Для того, чтобы найти площадь любой фигуры по клеточкам, можно использовать формулу Пика. Данная формула основана на подсчёте количества узлов, лежащих внутри фигуры и на её границе. Узел – это точка, которая лежит на пересечении 2 линий данной сетки: вертикальных и горизонтальных. Площадь фигуры по клеточкам находится по формуле: N – количество узлов, которые находятся внутри фигуры. M – количество узлов, которые находятся на границах (на вершинах и сторонах). Примеры нахождения площади по клеточкам 1) Найдём площадь треугольника. Будем считать, что одна клетка – это 1 см. Отметим внутренние узлы и узлы, которые находятся на границах. N = 7 (внутренние). M = 8 (узлы на границах). Площадь треугольника S = 7 + 8/2 – 1 = 10 см². 2) Найдём площадь трапеции по клеточкам, одна клетка – это 1 см. Отметим все узлы и подсчитаем их количество. N = 11 (внутренние). M = 12 (узлы на границах). Площадь трапеции S = 11 + 12/2 – 1 = 16 см². 3) Найдём площадь произвольного многоугольника. Одна клетка – это 1 см. Отметим внутренние узлы и узлы, расположенные на границах фигуры. Подсчитаем их количество. N = 6 (внутренние узлы). M = 8 (узлы на границах). Площадь многоугольника S = 6 + 10/2 – 1 = 10 см². Марин­а Волог­да [295K] 3 года назад  Такие задачи очень часто встречаются, когда известен размер клеточки и дана фигура. Вот пример таких задач: Решение зависит от того, какая фигура дана и как именно она размещена относительно клеточек. Возьмем простой пример, необходимо вычислить площадь вот такого треугольника: Вспоминаем правило: Теперь считаем, сколько клеточек треугольник в длину и сколько в высоту. У нас получается 2 в высоту и 6 в длину. Подставляем к формуле: S = 1/2 х 2 х 6 = 6 см2. Считаем по клеточкам, подставляя формулу Пика: Целых клеточек у нас 3. Теперь считаем, сколько не целых: 6. Делим их на 2. S = 3 + 6:2 = 6 см2. А теперь высчитываем по формуле Пика: количество узлов сетки внутри – 2, количество узлов сетки, лежащих на границах – 10. Подставляем к формуле и получаем – 2 + 10:2 – 1 = 6 см2. Теперь давайте рассмотрим вот такой треугольник: Чтобы найти площадь, вспоминаем правило: Считаем клеточки и подставляем в формулу: S = 1/2 х 2 х 6 = 6 см2. А теперь находим по клеточкам: целых клеточек 2, не целых клеточек 8. Подставляем в формулу: 2 + 8:2 = 6 см2. Пробуем сделать по формуле Пика: количество узлов сетки внутри – 3, количество узлов сетки, лежащих на границах – 8. Подставляем к формуле и получаем – 3 + 8:2 – 1 = 6 см2. Enot-Nina [110K] 3 года назад  Найти площадь геометрической фигуры можно самыми разными способами: Самый простой вариант – это вручную посчитать клеточки – целые и половинки также поскладывать. Простой, хотя и не самый быстрый и может не самый точный способ, но он работает. Чтобы легче было считать, достаточно расчертить фигуру на более простые. Есть еще один способ – это использовать давно разработанную формулу. Это так называемая формула Пика. Для нее нужно посчитать количество узлов – точек пересечения клеточек, что окружены фигурой (находятся внутри нее), а также подсчитать количество пограничных узлов – по контуру фигуры. Вот на картинке наглядно показано, как ее можно применять, чтоб посчитать площадь любой фигуры по клеточкам: Барха­тные лапки [382K] 3 года назад  Площадь любого многоугольника можно посчитать по клеточкам. Для этого применяем формулу Пика. На нашем рисунке В – количество узловых клеточек внутри фигуры, Г – количество узлов на границе . Узлы – пересечение двух линий. многоугольника. Площадь равна S = В + Г/2 – 1 Считаем точки на рисунке и подставляем в формулу. – 10 + 7/2 -1 = 12,5. Таким образом можно посчитать площадь, если вершины фигуры лежат в узлах. Ann Luka [2.8K] 6 лет назад  Чтобы найти площадь фигуры по клеточкам, нужно посчитать сколько в фигуре целых клеточек. Потом нужно посчитать сколько не целых и поделить их количество на 2. Добавить к получившемуся числу количество целых клеточек – это и будет правильный ответ. Например. В треугольнике 3 целых клетки и 4 не целых. 3+4/2=5 пощадь треугольника 5 клеток. Outli­ne [18.3K] 3 года назад  Для того, чтобы определить площадь фигуры на бумаге в клеточку есть универсальная формула Пика, позволяющая вычислить площадь изображения, но в только в том случае, если вершины искомой фигуры имеют целые (натуральные числа) координаты. Называется эта формула, в честь Георга Пика: S=В + Г / 2 − 1 В этой формуле буквенные обозначения означают следующее: В — количество целочисленных точек внутри многоугольника; Г — количество целочисленных точек на границе (вершинах и сторонах) многоугольника; S – площадь фигуры. Здесь используется понятие “целочисленные” – это те, точки, которые расположены на пересечениях сетки (в ее узлах). Для примера, найдем площадь треугольника: Обозначим внутренние точки нашей фигуры красными кружками, а те, что на границах – синим цветом. Считаем красные и синие точки: В=12, Г=4. Исходя из подсчетов определяем площадь треугольника по формуле: S=В+Г/2-1=12+2-1=13. Можно убедиться в правильность проведенных выше расчетах. Рассчитываем площадь квадрата, обведенного красным, и вычитаем площади зеленого, синего и фиолетового треугольников: S квадрата равна 36, площади треугольников: синего – 6, зеленого – 2, фиолетового – 15. Исходя из полученных данных, S белого треугольника равна 13: S=36-6-15-2=13. Kriti­kSPb [93.7K] 3 года назад  Подсчет клеточек – дело полезное. С их помощью можно найти площадь геометрической фигуры. Достаточно воспользоваться формулой, доказанной Георгом Пиком в 1899 году. Подходит для расчета площади фигур с прямыми сторонами и целым количеством углов, чаще всего применяют для нахождения площади разносторонних треугольников и многоугольников с числом углов больше 4-х. На теорему Пика есть задания в ЕГЭ. 12777­1 [272K] 3 года назад  Сначала я подумал, что нужно будет фигуру, которая указана на рисунке в клеточку разбить по фигурам так, чтобы можно посчитать площадь каждой фигуры по-отдельности, но оказалось все намного проще. Существует для данной задачи специальная формула Пика, которая выглядит следующим образом: Площадь = В + Г/2 – 1, где: В – количество целочисленных точек внутри многоугольника. Г – количество целочисленных точек на границе многоугольника. Теперь разберемся на примере, у нас есть такой пример: Перед нами трапеция. Допустим площадь одной клетки 1 кв.см. Теперь можно воспользоваться формулой: 11+12/2-1=16 кв.см. Бекки Шарп [71.2K] 3 года назад  Найти площадь фигуры можно если вершины фигуры находятся в уголках клеточек, так называемые Целочисленные вершины или узловые точки. Решать задачу будем по формуле Пика, где В – количество внутренних узловых точек, Г – количество граничных узловых точек, Вот такая фигура у нас – Считаем точки и подставляем в формулу: S = 17 + 14/2 – 1 = 23 Ответ мы получаем в квадратных единицах, то есть клеточках. Знаете ответ?

Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.

Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.

Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.

Смотри также материал: Как быстро выучить формулы

В этой статье — основные типы заданий №1 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам 

1. На клетчатой бумаге с размером клетки  изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований: 

Ответ: 3.

2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна Тогда

Ответ: 45.

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на

Решение:

Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:

Осталось умножить найденное значение синуса на

Ответ: 1.

4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки  Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:

 , где и — диагонали.

Получим: 

Ответ: 12.

5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки  Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции

Ответ: 18.

Нахождение площадей многоугольников сложной формы

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.

6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

Ответ: .

7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Ответ: .

Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.

Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1

где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.

Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:

Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.

Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 – 1 = 10,5.

Выбирайте — какой способ вам больше нравится.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки  

Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.

Площадь каждого из больших треугольников равна

Площадь каждого из маленьких треугольников равна

Тогда площадь четырехугольника

9. Авторская задача.  Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 

Решение:

На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Площадь вырезанного квадрата равна 4.

Площадь фигуры равна 36 – 4 = 32.

Ответ: 32.

Площадь круга, длина окружности, площадь части круга 

Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в  раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в  раз меньше, чем площадь всего круга.

Ответ: .

11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще круга, то есть круга.

Значит, нам надо умножить площадь круга на . Получим:

Ответ: 1,05.

12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна , то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 – 9 = 7.

Ответ: 7.

Задачи на координатной плоскости 

13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).

Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда

Ответ: 20

14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты

На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.

Ответ: 16.

Здравствуйте.

Задание.

Как всегда, я предлагаю Вам самостоятельно решить задание. Чуть ниже представлены решение и ответ.

Удачи!

.

.

.

.

.

ОТВЕТ: 68

Если у Вас другой ответ, посмотрите и сравните с решением ниже.

ВАЖНО – верно соотнести название постройки и цифру, которой она обозначена (на самом деле, это вы уже сделайте в Задании №1 на настоящем экзамене).

ВАЖНО – найти длину стороны 1 клетки.

Внимательно читаем текст и соотносим название построек.

На плане же указана длина одной клетки:

Нам необходимо вычислить площадь, которую занимает жилой дом.

Друзья, очевидно, что найти площадь можно разными способами. Мы рассмотрим один из них.

Более интересный способ, по Вашему мнению, напишите мне в комментариях, обсудим.

Разобьём фигуру на 2 известные, площадь которых легко вычислить. В нашем случае, на 2 прямоугольника. И вычислим длину каждой стороны с учётом того, что длина 1 клетки=2м.

!!!! Вспомним формулу для нахождения площади прямоугольника.

Мы имеем 2 прямоугольника. НАШ ПЛАН:

1) находим площадь каждого прямоугольника отдельно.

2) складываем полученные результаты.

Выполняем:

1) Sбольшого пр.=10*6=60 квадратных метров.

Sмалень. пр.=2*4=8 квадратных метров.

2) Sдома = 60+8=68 квадратных метров.

Ответ: 68 (НАПОМНЮ!!! в бланк ответов на экзамене единицы измерения НЕ ПИШЕМ).

Всем хорошего дня!

Почему бы просто не считать клеточки?

Возможно, вы читаете всё это и думаете: зачем все эти сложности? Формулы запоминать. Дорисовывать. Тут ведь сразу видно, сколько клеточек в фигуре.

Вот, например, трапеция:

Посчитаем клеточки: их всего 46, верно?

Но стоп, там же некоторые из них только наполовину внутри фигуры. Отметим их – всего таких 10. Итого, 36 полных (красные точки) и 10 половинчатых, вместе ( 36+frac{10}{2} = 41)

Вроде бы всё верно. Но, если присмотреться, можно заметить ещё маленькие треугольнички, которые попали внутрь. А также, что «синие» клеточки слева на самом деле разрезаны не ровно пополам – какие-то чуть больше, какие-то меньше…

Как всё это учитывать?

Попробуем рассуждать так: заметно, что тот маленький розовый треугольник дополняет серый кусок клетки.

А жёлтые сколько занимают? Постарайтесь ответить сами.

Если всё сделать правильно, то увидите, что жёлтые кусочки можно сложить вместе в одну целую клетку.

Итак, 2 жёлтых куска = 1 клетка.

Розовый треугольник + серый кусок = 1 клетка. Всего у нас две таких пары (розовый+серый) – это 2 полных клетки. 

Всё остальное как было: 36 полных клеток и 6 половинок у правой стороны – это ( 36+frac{6}{2}=39) клетки.

Итого клеток: ( 1 + 2 + 39 = 42).

Проверим результат по формуле площади трапеции: нижнее основание 11, верхнее основание 3, высота 6. Полусумма оснований равна 7, умножаем на высоту – получилось 42. Всё совпало.

Но! Настолько ли проще был наш способ подсчёта клеточек? Не сказал бы. А если там будет несколько косых линий, то вообще можно замучиться собирать этот паззл (искать, какие кусочки друг друга дополняют).

Вычислите площадь простых фигур тремя способами

Стороны клеток равны 1. Вычислите самостоятельно площадь фигуры всеми тремя способами. Сравните результаты.

Вычислите площадь произвольных фигур по формуле Пика

Вычислите самостоятельно площади фигур с помощью формулы Пика:

Посчитайте площадь корабля и котика по формуле Пика

Посчитайте самостоятельно для тренировки и чтобы запомнить формулу Пика!

Фигуры с отверстиями — посчитайте площади двумя способами

Ну и напоследок фигуры с «дырками». Как думаешь, здесь придётся вычислять сначала площадь целой фигуры, а потом площадь дырки?

Или достаточно просто посчитать точки внутри закрашенной области и на её границах (в том числе, на границе с дыркой)?

Проверим на простом примере: это квадрат ( 4times 4), и в нём вырезан прямоугольник ( 1times 2), значит, его площадь ( 16-2=14).

А теперь по точкам. На границах (включая внутренние) ( Г = 22). Внутри ( В = 3). Тогда площадь по формуле Пика

Сосчитай сам и проверь.

Что получилось?

У меня снова на 1 меньше.

Так может быть просто формулу немного «подкрутить»? Нет!

Очень и очень не рекомендую вам запоминать несколько похожих формул для похожих случаев, потому что придёт время, и вы обязательно перепутаете формулу.

Даже если вы уверены, что не перепутаете, оно всё равно того не стоит. В общем, наилучший вариант – это запомнить одну формулу. А если попалась фигура с дыркой, вычислить всю фигуру, а потом дырку. И вычесть.

Площадь поверхности пирамиды

Для пирамиды тоже действует общее правило:

Площадь полной поверхности пирамиды – это сумма площадей всех граней.( displaystyle {{S}_{полн. пов. }}={{S}_{боков.пов. }}+{{S}_{основания }})

Теперь давай посчитаем площадь поверхности самых популярных пирамид.

Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна ( displaystyle a), а боковое ребро равно ( displaystyle b). Нужно найти ( displaystyle {{S}_{осн}}) и ( displaystyle {{S}_{ASB}}).

И тогда

( displaystyle {{S}_{осн}}) — это площадь правильного треугольника ( displaystyle ABC).

И еще вспомним, как искать эту площадь.

Используем формулу площади:

( displaystyle S=frac{1}{2}abcdot sin gamma ).

У нас «( displaystyle a)» — это ( displaystyle a), а «( displaystyle b)» — это тоже ( displaystyle a), а ( displaystyle sin gamma =sin 60{}^circ =frac{sqrt{3}}{2}).

Значит, ( displaystyle {{S}_{ABC}}=frac{1}{2}{{a}^{2}}frac{sqrt{3}}{2}=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}).

Теперь найдем ( displaystyle {{S}_{Delta ASB}}).

Пользуясь основной формулой площади и теоремой Пифагора, находим

( displaystyle S={{a}^{2}}sqrt{3}).

Рассмотрим задачи,в которых требуется найти площадь треугольника изображённого на клетчатой бумаге.

Начнем с прямоугольных треугольников.

Задача 1

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображен прямоугольный треугольник.

Найти его площадь.

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника будем искать с помощью формулы

   

где a и b — катеты.

Длину катетов считаем по клеточкам.

1) a=2, b=5,

   

2) a=6, b=3,

   

Задача 2

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найти его площадь.

Решение:

Чаще всего площадь произвольного треугольника, изображённого на клетчатой бумаге, ищут по формуле

   

где a — сторона треугольника, h_a — высота, проведённая к этой стороне.

a  и h_a вычисляем по клеточкам (одна из этих величин должна лежать на горизонтальной линии, другая — на вертикальной).

1) a=6, h_a=4,

   

2) a=3, h_a=5,

   

А как найти площадь, если ни одна из сторон треугольника не лежит на горизонтальной или вертикальной линии клеток?

Иногда площадь треугольника можно найти как разность площадей других фигур.

Задача 3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник.

Найдите его площадь.

Решение:

Обозначим вершины треугольника, площадь которого мы ищем, через A, B и C.

Площадь треугольника ABC можно найти как разность площадей прямоугольника AMNK и треугольников AKC, AMB и CBN:

   

Площадь прямоугольника найдём по формуле S=ab.

   

Площади прямоугольных треугольников найдём по формуле

   

где a и b — катеты.

   

   

   

Отсюда