Сегодня клоун Бим и дрессировщик Бом вместе с ребятами применяют на практике знания, как найти площадь для прямоугольника с разными сторонами.
Площадь фигуры — это размер куска плоскости внутри границ фигуры, измеренный в единицах измерения площади.
Единицы измерения площади — это площади квадратов, у которых стороны равны либо единице измерения длины, либо 10 м, либо 100 м: 1 кв.мм (квадрат со стороной 1 мм), 1 кв.см (квадрат со стороной 1 см), 1 кв.дм (квадрат со стороной 1 дм), 1 кв.м (квадрат со стороной 1 м), 1 кв.км (квадрат со стороной 1 км), 1 ар (квадрат со сторонами 10 м), 1 га (квадрат со стороной 100 м).
Определение. Площадь прямоугольника — это размер куска плоскости, лежащего внутри границ прямоугольника.
Правило. Для вычисления площади прямоугольника (с разными сторонами), если известны длины его сторон, достаточно перемножить длины двух прилежащих сторон. Результат записывается в единицах измерения площади. При необходимости результат укрупняют или раздробляют (см. Статью о переводе из одной единицы измерения площади в другую).
Содержание статьи:
Площадь — это?
Площадь любого куска плоскости (фигуры)— это размер этого куска плоскости (куска плоскости внутри границ фигуры), измеренный в единицах измерения площади.
Бим и Бом пришли на работу в цирк пораньше. Бим зашел к Бому в гримерку.
— Привет, Бим!
— Привет, Бом!
— У нашей Буфетчицы сегодня день рождения. Я купил очень вкусных конфет, только вот упаковка видишь какая длинная. У тебя есть какая-нибудь красивая коробка, куда мы можем сложить конфеты и подарить Буфетчице?
— У меня много разных красивых коробочек. Но как мы узнаем, какая из них подходит, чтобы вместились все конфеты и было красиво?
Бом и Бим задумались.
— Ура!!! Придумал, — нашелся Бим. — У каждой коробки есть плоское донышко. Давай вычислим площади донышек у каждой коробки, то есть измерим площадь донышек в единицах измерения площади — квадратных сантиметрах.
— Тогда найдем, какая коробка подходит больше всего, — подхватил Бом. — Начнем с упаковки, где лежат конфеты. У упаковки донышко в виде прямоугольника. Значит, достаточно измерить длины короткой и длинной стороны.
— А чем будем измерять? — задумался Бим.
— Сейчас поищу, — ответил Бом. — Вот у меня есть сантиметр, линейка и листочек в клеточку.
— Дай, пожалуйста, мне листочек в клеточку, — попросил Бом. — Я проверю, что донышко упаковки — прямоугольник.
Как найти площадь прямоугольника с разными сторонами. Площадь прямоугольника — это?
Определение. Площадь прямоугольника — это размер куска плоскости, лежащего внутри границ прямоугольника.
Правило. Для вычисления площади прямоугольника, если известны длины его сторон, достаточно перемножить длины двух прилежащих сторон. Результат записывается в единицах измерения площади. При необходимости результат можно укрупнить или раздробить (см. Статью о переводе из одной единицы измерения площади в другую).
Бим приложил листочек к углам донышка упаковки.
— Проверил: у упаковки четыре угла, и все они — прямые. Тогда донышко упаковки — прямоугольник.
Бом начал читать свои записи:
“Площадь прямоугольника — это размер куска плоскости, лежащего внутри границ прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника (с разными сторонами), если известны длины его сторон? Достаточно перемножить длины двух прилежащих сторон. Результат записывается в единицах измерения площади”.
— Теперь надо измерить длины двух сторон. Упаковка — длинная, тогда лучше взять сантиметр.
Бим измерил упаковку.
— Короткая сторона 8 см, длинная — 72 см. Вспоминаем, что для вычисления площади прямоугольника надо длину одной стороны умножить на длину прилежащей стороны. Умножаем:
72 х 8 =576 кв.см (см2).
— Сейчас принесу из подсобки коробки, которые у меня есть, — побежал Бом.
И — надо же! — по дороге Бом встретил Олю, Колю и Васю, которые пришли пораньше на представление.
— Ребята, как хорошо, что вы здесь! Идемте, поможете нам с Бимом подобрать Буфетчице на день рождения коробку.
Бом достал из подсобки коробки, и они все вместе вернулись к Биму.
— Ребята, мы с Бимом измерили площадь упаковки конфет, которые мы хотим переложить в более красивую коробку. Красиво сложим и подарим Буфетчице на день рождения, — объяснил Бим.
— Давайте вычислим площадь донышка каждой коробки, — предложил Вася. — В коробку, у которой площадь донышка равна площади донышка упаковки, мы переложим конфеты.
— Как здорово, что Бом принес все коробки, донышки у которых имеют вид прямоугольника! — обрадовался Коля. — Как найти площадь прямоугольника с разными сторонами? Надо измерить длины двух прилежащих сторон в одинаковых единицах измерения длины и их перемножить, — получим площадь прямоугольника в единицах измерения площади. Для коробок удобнее всего измерять длины сторон в сантиметрах, а площадь самих прямоугольников уже будет в квадратных сантиметрах. Оля, давай проверим, что донышки коробок — прямоугольники.
Коля и Оля взяли листочек в клеточку и с помощью него проверили, что у донышек все углы прямые.
Затем Коля, Вася и Оля вооружились листочком в клеточку, линейкой и сантиметровой лентой и измерили в сантиметрах длины прилежащих сторон донышек коробок.
Первым управился Коля:
— У меня большая сторона 36 сантиметров и короткая 16 сантиметров. Получаем площадь моей коробки
36 х 16 = 576 (кв.см).
Следующим был Вася:
— У меня длина коробки 30 см, а ширина — 20 см. Для вычисления площади коробки надо длину умножить на ширину прямоугольника. Получаем:
30 х 20 = 600 (кв.см)
Оля измеряла тщательнее всех, ведь у нее коробка была похожа на квадрат. Но надо было убедиться, точно ли у этой коробки равны обе стороны. Так и оказалось:
— У меня прилежащие стороны одинаковые по длине, обе равны 24 см. Перемножаем длины двух прилежащих сторон, получаем: 24 х 24 = 576 (кв.см).
— Тогда у нас выходят 3 коробки с одинаковыми площадями донышек — у упаковки, — подытожил Бом:
8 х 72 = 576 (кв.см), —
и еще у двух коробок
16 х 36 = 576 (кв.см),
24 х 24 = 576 (кв.см),
а также одна коробка площадью больше, чем у упаковки
30 х 20 = 600 (кв.см).
— Какую же коробку выбрать? — озадаченно спросил Бим.
— Давай возьмем в виде квадрата, посмотрите какая здесь красивая крышка! — решил Бом.
Ребята выложили конфеты из упаковки в коробку.
— Ага, — посмотрел Бом. — получились три ряда. Какая же площадь донышка одного ряда? Длина ряда 24 см, ширина — 8 см. Значит площадь донышка одного ряда равна:
24 х 8 = 192 (кв.см).
Всего три одинаковых ряда
192 х 3 = 576 (кв.см).
Ура! Все совпадает!
Бим, все же, спросил:
— Сейчас мы измеряли площадь в квадратных сантиметрах. А какие еще есть единицы измерения площади?
Единицы измерения площади
Единицы измерения площади — это площадь квадратов, у которых стороны равны либо единице измерения длины, либо 10 м, либо 100 м: 1 кв.мм (квадрат со стороной 1 мм), 1 кв.см (квадрат со стороной 1 см), 1 кв.дм (квадрат со стороной 1 дм), 1 кв.м (квадрат со стороной 1 м), 1 кв.км (квадрат со стороной 1 км), 1 ар (квадрат со сторонами 10 м), 1 га (квадрат со стороной 100 м). (См. статью “Единицы измерения площади”)
В каких единицах измерения площади мы можем записать площадь донышка одного ряда? — продолжил вопрос Бим.
Оля ответила сразу:
— Если мы будем укрупнять, то в дециметрах и сантиметрах.
576 кв.см = 5 кв.дм 76 кв.см
— А если мы будем раздроблять — в миллиметрах, — добавил Коля. —
576 кв.см =576 х 100 (кв.мм).
А еще единицы измерения площади 1 кв.м (квадрат со стороною 1 м), 1 кв.км (квадрат со стороной 1 км), 1 ар (квадрат со сторонами 10 м), 1 га (квадрат со стороной 100 м).
— Теперь я подпишу открытку. У меня красивый артистический почерк, — вызвался Бом.
— Хорошо, Бом. А мы с ребятами составим вопросы и ответы на них, — согласился Бим.
— Первый вопрос: Что называется площадью? — начал Вася.
— Второй вопрос: Дайте определение прямоугольника. — продолжил Коля. —
И третий вопрос: Что такое площадь прямоугольника?
— Четвертый вопрос: Как найти площадь прямоугольника (с разными сторонами)? — закончила Оля.
— И еще один, пятый, вопрос: Какие вы знаете единицы измерения площади? — добавил Бим.
Теперь я запишу ответы для проверки, — продолжил клоун:
1. Площадь — это размер куска плоскости внутри фигуры.
2. Прямоугольник — это фигура с 4-мя прямыми углами и с замкнутой границей из четырех отрезков.
3. Площадь прямоугольника — это площадь куска плоскости внутри границ прямоугольника.
4. Как найти площадь прямоугольника? Для нахождения площади прямоугольника перемножаются длины двух прилежащих сторон. Результат записывается в единицах измерения площади.
5. Единицы измерения площади — это площади квадратов, у которых стороны равны либо единице измерения длины, либо 10 м, либо 100 м: 1 кв.мм (квадрат со стороной 1 мм), 1 кв.см (квадрат со стороной 1 см), 1 кв.дм (квадрат со стороной 1 дм), 1 кв.м (квадрат со стороной 1 м), 1 кв.км (квадрат со стороной 1 км), 1 ар (квадрат со сторонами 10 м), 1 га (квадрат со стороной 100 м).
Итог подвел Бом:
— Мы сегодня узнали :
- что такое площадь
- что такое площадь прямоугольника
- как найти площадь прямоугольника
- единицы измерения площади.
Всем спасибо за помощь.
Заключение
Итак, теперь мы знаем ответ на вопрос: Как найти площадь прямоугольника с разными сторонами. А вам приходилось дарить конфеты в коробочках? Как видим, можно, в случае чего, упаковать подарок более изящно, а заодно — и математику повторить.
Идея необычной подачи материала принадлежит замечательному преподавателю математики Стуловой Лилии Валериевне.
Ждём Ваши оценки и комментарии!)))
Вы наверное имели ввиду произвольный четырёхугольник с разными сторонами. Ибо прямоугольник – четырёхугольник, все внутренние углы которого всегда равны 90 градусам, а противоположные стороны попарно равны и параллельны (если все стороны равны, то это уже квадрат).
Площадь произвольного треугольника можно вычислить двумя способами, в зависимости от начальных данных, которыми мы располагаем.
1) Для этого нам нужно знать длины диагоналей и размер острого угла между ними.
Формула: S=d¹d²sina/2 – площадь четырёхугольника равна половине произведения диагоналей и острого угла.
2) Если известны все стороны четырёхугольника, можно вычислить площадь через полупериметр.
Полупериметр четырёхугольника находим следующим образом: p=(a+b+c+d)/2- полупериметр четырёхугольника равен полусумме всех его сторон (a,b,c,d).
S=√(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) – площадь четырехугольника равна корню из произведения разности полупериметра с каждой из его сторон.
Как рассчитать площадь четырехугольника
На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь четырехугольника онлайн. Для расчета задайте длину сторон, длины диагоналей и угол между ними, противолежащие углы, радиус окружности.
Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.
Через диагонали и угол между ними
Формула для нахождения площади четырехугольников через диагонали и угол между ними:
Через стороны и противолежащие углы
Формула для нахождения площади четырехугольников через стороны и противолежащие углы:
Площадь вписанного четырехугольника в окружность
Формула Брахмагупты для нахождения площади вписанного четырехугольника в окружность:
Площадь описанного четырехугольника около окружности через радиус
Формула для нахождения площади описанного четырехугольника около окружности через радиус:
Калькулятор расчета площади четырехугольника
В публикации представлены онлайн-калькуляторы и формулы для расчета площади выпуклого четырехугольника по разным исходным данным: через диагонали и угол между ними, по всем сторонам (если вокруг можно описать окружность), по полупериметру и радиусу вписанной окружности.
Расчет площади
Инструкция по использованию: введите известные значения, затем нажмите кнопку “Рассчитать”. В результате будет вычислена площадь фигуры с учетом указанных данных.
1. Через диагонали и угол между ними
Формула расчета
2. По всем сторонам (формула Брахмагупты)
Примечание: Если вокруг четырехугольника можно описать окружность.
Формула расчета
p – полупериметр четырехугольника, равняется:
Площадь четырехугольника
Площадь произвольного четырехугольника, формулы и калькулятор для вычисления в режиме онлайн. Для вычисления площади произвольного четырехугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь произвольного четырехугольника или проверить уже выполненные вычисления.
В окончании статьи приведены ссылки для вычисления частных случаев четырехугольников: квадрата, трапеции, параллелограмма, прямоугольника, ромба.
Площадь четырехугольника по диагоналям и углу между ними
Площадь четырехугольника через стороны и углы между этими сторонами
При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:
Площадь четырехугольника вписанного в окружность, вычисляемая по Формуле Брахмагупты
Данная формула справедлива только для четырехугольников, вокруг которых можно описать окружность.
При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:
Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность
Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.
При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:
Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность, определяемая через стороны и углы между ними
Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.
Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°
Таблица с формулами площади четырехугольника
| исходные данные (активная ссылка для перехода к калькулятору) |
эскиз | формула | |
| 1 | диагональ и угол между ними | |
|
| 2 | стороны и углы между этими сторонами | |
|
| 3 | стороны (по Формуле Брахмагупты) |
|
|
| 4 | стороны и радиус вписанной окружности | |
|
| 5 | стороны и углы между ними | |
Площадь частных случаев четырехугольников
Для вычисления частных случаев четырехугольников можно воспользоваться формулами и калькуляторами, приведенными в других статьях сайта:
Определения
Четырехугольник – это геометрическая плоская фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками.
Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.
Площадь четырехугольника – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками.
Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км 2 , м 2 , см 2 , мм 2 и т.д.
[spoiler title=”источники:”]
http://doza.pro/art/math/geometry/area-tetragon
[/spoiler]
Выбирайте формулу, ориентируясь на известные величины.
1. Если известны две соседние стороны
Просто перемножьте две стороны прямоугольника.
- S — искомая площадь прямоугольника;
- a и b — соседние стороны.
2. Если известны любая сторона и диагональ
Найдите квадраты диагонали и любой стороны прямоугольника.
От первого числа отнимите второе и найдите корень из результата.
Умножьте длину известной стороны на полученное число.
- S — искомая площадь прямоугольника;
- a — известная сторона;
- d — любая диагональ (напомним: обе диагонали прямоугольника имеют одинаковую длину).
3. Если известны любая сторона и диаметр описанной окружности
Найдите квадраты диаметра и любой стороны прямоугольника.
От первого числа отнимите второе и найдите корень из результата.
Умножьте известную сторону на полученное число.
- S — искомая площадь прямоугольника;
- a — известная сторона;
- D — диаметр описанной окружности.
4. Если известны любая сторона и радиус описанной окружности
Найдите квадрат радиуса и умножьте результат на 4.
Отнимите от полученного числа квадрат известной стороны.
Найдите корень из результата и умножьте на него длину известной стороны.
- S — искомая площадь прямоугольника;
- a — известная сторона;
- R — радиус описанной окружности.
5. Если известны любая сторона и периметр
Умножьте периметр на длину известной стороны.
Найдите квадрат известной стороны и умножьте полученное число на 2.
От первого произведения отнимите второе и разделите результат на 2.
- S — искомая площадь прямоугольника;
- a — известная сторона;
- P — периметр прямоугольника (равен сумме всех сторон).
6. Если известны диагональ и угол между диагоналями
Найдите квадрат диагонали.
Разделите полученное число на 2.
Умножьте результат на синус угла между диагоналями.
- S — искомая площадь прямоугольника;
- d — любая диагональ прямоугольника;
- α — любой угол между диагоналями прямоугольника.
7. Если известны радиус описанной окружности и угол между диагоналями
Найдите квадрат радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.
Умножьте полученное число на 2, а потом на синус угла между диагоналями.
- S — искомая площадь прямоугольника;
- R — радиус описанной окружности;
- α — любой угол между диагоналями прямоугольника.
Читайте также 🎓❓📐
- ТЕСТ: Умеете ли вы считать в уме?
- Как легко и быстро считать проценты в уме
- Как найти площадь любого треугольника
- ТЕСТ: Сколько центнеров в тонне? А сантиметров в дециметре? Проверьте, умеете ли вы переводить единицы измерения
- Как освоить устный счёт школьникам и взрослым
В публикации представлены онлайн-калькуляторы и формулы для расчета площади выпуклого четырехугольника по разным исходным данным: через диагонали и угол между ними, по всем сторонам (если вокруг можно описать окружность), по полупериметру и радиусу вписанной окружности.
-
Расчет площади
- 1. Через диагонали и угол между ними
- 2. По всем сторонам (формула Брахмагупты)
-
3. Через полупериметр и радиус вписанной окружности
Расчет площади
Инструкция по использованию: введите известные значения, затем нажмите кнопку “Рассчитать”. В результате будет вычислена площадь фигуры с учетом указанных данных.
1. Через диагонали и угол между ними
Формула расчета
2. По всем сторонам (формула Брахмагупты)
Примечание: Если вокруг четырехугольника можно описать окружность.
Формула расчета
p – полупериметр четырехугольника, равняется:
3. Через полупериметр и радиус вписанной окружности
Формула расчета
S = p ⋅ r
