|
Площадь по заданным координатам. Как найти (вычислить) площадь фигуры (треугольник, четырехугольник, трапеция, многоугольник и др.) по координатам? Какие есть формулы и методы, позволяющие находить площадь через координаты? бонус за лучший ответ (выдан): 5 кредитов
Для вычисления площади простого многоугольника с любым количеством вершин, представленных в виде списка координат, при последовательном обходе которых, не образуются пересекающиеся линии, применяется формула Гаусса, иначе называемая “формулой землемера”, “формулой геодезиста”, “формулой шнурования”, “алгоритмом шнурования”, а так же “методом треугольников”.
Суть метода заключается в построении треугольников, состоящих из сторон многоугольника и лучей проведённых из начала координат к вершинам многоугольника, и сложении площадей треугольников, включающих внутреннюю часть многоугольника с вычитанием площадей треугольников, расположенных снаружи. Площадь, вычисленная по приведенной формуле, будет иметь отрицательное значение при обходе фигуры по часовой стрелке и положительное при обходе против часовой стрелки. Фигура многоугольника может иметь произвольную геометрию. Например:
Список координат многоугольника представлен в виде массива: (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3),…(xn, yn). Для многоугольника на первом рисунке он задан точками: (3,4), (5,11), (12,8), (9,5), (5,6). Его площадь будет равна:
Существует также метод трапеций, основанный на сложении и вычитании площадей трапеций, образованных каждой из сторон многоугольника, её проекцией на ось абсциссы и перпендикулярами, опущенных из вершин на абсциссу. При обходе вершин по часовой стрелке учитывается величина координаты вершин. Если первая вершина меньше второй, то площадь трапеции прибавляется, если нет, то отнимается. Для многоугольника ABCDE на левом нижнем рисунке существует 5 трапеций : ABJH, CBJF, CDIF, EDIG и EAHG. Так как X1<X2, X3<X4 и X5<X1, то площади трапеций ABJH, CDIF и EAHG складываются, а X3>X4 и X4<X5, следовательно, площади трапеций CBJF и EDIG вычитаются: S = S(ABJH) – S(CBJF) + S(CDIF) – S(EDIG) + S(EAHG) Площади трапеций рассчитываются по формуле; Sтрапеции = 1/2 *((a+b))*h, где a, b – основания трапеции, h – высота трапеции. Значения a, b и h вычисляются по координатам. В декартовых координатах круг может быть представлен двумя точками: центр А и любая точка В, лежащая на окружности. Для расчета площади круга необходимо вычислить его радиус по формуле:
автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Ксарфакс 5 лет назад Площадь фигуры по координатам вершинЕсли известны координаты всех вершин, то площадь заданной геометрической фигуры (треугольника, прямоугольника, трапеции, ромба и т.д) можно найти по стандартным формулам. Но предварительно нужно найти длину сторон, диагоналей и т.п. (всё зависит от фигуры) с помощью формулы нахождения длины отрезка по заданным координатам. Эта формула выглядит следующим образом:
Здесь: AB – отрезок, точка A имеет координаты (x1, y1), точка B имеет координаты (x2, y2). Рассмотрим несколько примеров. 1) Треугольник ABC имеет координаты A(2,3); B(6,7); C(5,0). Его площадь можно найти по формуле Герона:
Здесь: S – площадь треугольника, a, b, c – стороны, p – полупериметр, который равен половине суммы сторон a, b и c. Найдём, чему равны стороны треугольника по формуле нахождения длины отрезка по координатам: AB = √(4² + 4²) = √32 ≈ 5,66. AC = √(3² + (-3)²) = √18 ≈ 4,24. BC = √((-1)² + (-7)²) = √50 ≈ 7,07. Полупериметр треугольника будет равен (5,66 + 4,24 + 7,07) / 2 ≈ 16,97 / 2 ≈ 8,49. Отсюда площадь треугольника ABC ≈ √(8,49 * 2,83 * 4,25 * 1,42) ≈ √145 ≈ 12,04. 2) Ромб ABCD имеет координаты A(1,2); B(3,4); C(5,2); D(3,0). Площадь можно найти через диагонали:
Здесь: S – площадь ромба, d1 и d2 – диагонали. Таким образом, нам нужно найти диагонали AC и BD. AC = √(4² + 0) = √16 = 4. BD = √(0 + (-4)²) = √16 = 4. Отсюда площадь ромба ABCD = 0,5 * 4 * 4 = 8. 3) Трапеция ABCD имеет координаты A(1,1); B(3,4); C(5,4); D(6,1). Стандартная формула площади трапеции такая:
Здесь: S – площадь трапеции, a и b – основания, h – высота. Высота трапеции (пусть это будет BE) – это перпендикуляр, который был опущен из вершины трапеции (из точки B) на её основание (в нашем случае это AD). Определим координаты её отрезка:
Высота трапеции BE = √(0 + (-3)²) = √9 = 3. Теперь посчитаем длину оснований: BC = √(2² + 0) = √4 = 2. AD = √(5² + 0) = √25 = 5. Таким образом, площадь трапеции ABCD = 3 * 0,5 * (2 + 5) = 10,5.
Степан-16 5 лет назад Первоначально нужно вычислить длины сторон. В этом здесь будет основная задача. Получив стороны, вычисляем площади по стандартным формулам. Самый простой случай – для прямоугольника, когда его стороны параллельны осям координат. Тогда одна сторона будет равна разнице абсцисс, вторая ординат. Треугольник. Допустим, основание параллельно оси абсцисс. Вычисляем его длину, как разницу абсцисс. Далее нужно найти высоту. Она будет равна разнице ординат третьей вершины и ординаты любой из вершин основания. Затем – площадь по формуле: половина произведения основания на высоту. И т.д. Если же стороны фигуры не параллельны осям, то находить длины сторон придется уже более сложными расчетами. Допустим, прямоугольник. Первую сторону будем искать, как если бы она была гипотенузой в составе прямоугольного треугольника. Каждая сторона будет равна квадратному корню из суммы квадратов абсцисс и ординат концов отрезков стороны. Так и для любой фигуры. Вначале определяем длины сторон как гипотенузу треугольника. После чего применяем стандартные формулы площадей.
Эления 3 года назад Рассчитать площадь какой угодно геометрической фигуры, зная координаты, не составляет сложности. Каждая из точек, соответствующая вершинам искомой фигуры, будь это треугольник, четырех- или многоугольник, имеет определенную координату, а значит у нее есть значение, через которое можно рассчитать площадь. Координаты, как найти на графике, чтобы узнать площадь фигуры? Проецируем на оси абсцисс и ординат прямые, проведя перпендикуляр из каждой точки. Полученные значения будут исходной величиной. Каждая из сторон фигуры – это разница двух точек на горизонтальную и вертикальную оси. Разница между значениями означает длину стороны фигуры. А зная все стороны и их значение, по формуле находим площадь.
Пример 1. Ищем площадь треугольника.
Мы видим два отрезка зеленого цвета AB и BC, которые образуют стороны равнобедренного треугольника, а основание есть отрезок на оси абсцисс AC. Даны значения: AC основание в промежутке от “-4” до “+4”, то есть длина основания равна восьми. Будет лучше, если посчитать площадь этого треугольника, как сумму из образовавших его двух треугольников, которые являются прямыми, ABO и BOC, совпадающие прямым углом с координатой “0” на графике. Известна длина каждй из сторон, образующих прямой угол (AO или OC) х = 4 – 0 = 4 и y = 2 – 0 = 2 (BO). Зная длину двух сторон, образующих прямой угол (AO и BO), находим длину основания (AB или BC). Тогда уже знаем все длины каждой из сторон обоих прямых треугольников. Остается только найти площадь по формуле:
Зная площадь каждого из прямых треугольников, умножаем на два, получаем сумму заштрихованного треугольника на графике ABC. И еще математически можно записать решение следующим образом, исходя из того, что имеем изначально следующую систему неравенств:
Пример 2.
Пример 3. Есть парабола, ищем площадь фигуры, ограниченную кривой параболы. Чтобы посчитать, используем интеграл.
Бекки Шарп 3 года назад Рассмотрим простой случай, где буквально на пальцах можно посчитать площадь через обычную формулу, а затем применим к этой задаче формулу Гаусса. У нас есть трапеция, у которой известны координаты вершин. (3:2) (5:2) (9:6) (6:6). Мы знаем, что площадь трапеции равна сумме оснований, деленной на 2 и умноженной на высоту.
S = (a+b)/2 х h Считаем площадь: S = (3+2):2х4 = 10. Ответ – 10.
А теперь по теореме Гаусса.
Не смотря на страшный вид, формула очень простая. В квадратных скобках мы перемножаем абсциссу первой точки с ординатой второй, прибавляем абсциссу второй, умноженную на ординату третьей и так идем по кругу фигуры. Далее вычитаем ординату первой умноженную на абсциссу второй и т.д. В квадратных скобках у нас может получиться отрицательное число. S= 0,5 х [3х6+6х6+9х2+5х2 – 2х6-6х9-6х5-2х3] = 10 Таким образом можно найти площадь любой сложной фигуры, зная ее координаты.
dydySacha 5 лет назад Можно взять милиметровку и нанести точки с заданными координатами, согласно осей абсцис и ординат. Соединить эти точки между собой и замерить длины образовавшихся сторон, а с помощью формулы по определению площади образовавшейся фигуры узнать её значение подставив данные в эту формулу.
Алиса в Стране 3 года назад Существует специальная формула, называемая формулой Гаусса, она и позволит нам определить искомую площадь по координатам. Вот как эта формула выглядит:
Формула выглядит немного устрашающе, но давайте попробуем в ней разобраться. У нас есть многоугольник и есть его координаты, подсчитать n – количество сторон многоугольника несложно, а дальше просто нужно подставлять значения в эту формулу, нужно только быть внимательным и не перепутать какие координаты куда надо писать. Давайте теперь приведем пример нахождения такой площади через формулу Гаусса. Допустим, у нас есть вот такой пятиугольник:
Координаты его пяти вершин, как мы видим: (3, 4), (5, 11), (12, 8), (9, 5), (5, 6). Теперь нам остается только очень внимательно подставить эти координаты в нашу формулу, n = 5, координаты известны, вот что у нас получится:
Когда разбираешься в этой формуле, понимаешь, насколько она проста и даже легко запоминается, несмотря на то, что сначала кажется очень сложной.
duselldorf 5 лет назад Для вычисления площади геометрической фигуры по координатам ее вершин, нужно воспользоваться формулой Гаусса, иногда ее называют формулой землемера или формулой геодезиста, так как она применяется геодезистами для определения площади земельного участка, например, при межевании:
где А – площадь многоугольника с заданными координатам его вершин, n – количество сторон многоугольника, (xi, yi) – координаты вершин многоугольника, i = 1, 2,…, n — номер вершины многоугольника.
Бархатные лапки 3 года назад Находим площадь вот такого несложного четырехугольника. Координаты его вершин нам известны. Применяем формулу Гаусса, которая выглядит так:
S (площадь) = 0,5 [6х4 +9х7 + 10х6 + 7х3 – 3х9 – 4х10 – 7х7 – 6х6] = 8 (квадратных единиц)
Как видим если применять при решении формулу Гаусса то решить такую задачку несложно.
Не вижу здесь серьезных проблем. Мы, как я понял, имеем готовые точки координат, которые нужно проставить на координатной плоскости. Далее, соединяя эти точки, получаем фигуру, как в примере вопроса – квадрат, треугольник и т.п. Теперь вычисляем площадь любой из полученных фигур по формуле ей соответствующей. Знаете ответ? |
В предыдущем разделе, посвященном разбору геометрического смысла определенного интеграла, мы получили ряд формул для вычисления площади криволинейной трапеции:
S(G)=∫abf(x)dx для непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на отрезке [a;b],
S(G)=-∫abf(x)dx для непрерывной и неположительной функции y=f(x) на отрезке [a;b].
Эти формулы применимы для решения относительно простых задач. На деле же нам чаще придется работать с более сложными фигурами. В связи с этим, данный раздел мы посвятим разбору алгоритмов вычисления площади фигур, которые ограничены функциями в явном виде, т.е. как y=f(x) или x=g(y).
Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)
Пусть функции y=f1(x) и y=f2(x) определены и непрерывны на отрезке [a;b], причем f1(x)≤f2(x) для любого значения x из [a;b]. Тогда формула для вычисления площади фигуры G, ограниченной линиями x=a, x=b, y=f1(x) и y=f2(x) будет иметь вид S(G)=∫abf2(x)-f1(x)dx.
Похожая формула будет применима для площади фигуры, ограниченной линиями y=c, y=d, x=g1(y) и x=g2(y): S(G)=∫cd(g2(y)-g1(y)dy.
Разберем три случая, для которых формула будет справедлива.
В первом случае, учитывая свойство аддитивности площади, сумма площадей исходной фигуры G и криволинейной трапеции G1 равна площади фигуры G2. Это значит, что
Поэтому, S(G)=S(G2)-S(G1)=∫abf2(x)dx-∫abf1(x)dx=∫ab(f2(x)-f1(x))dx.
Выполнить последний переход мы можем с использованием третьего свойства определенного интеграла.
Во втором случае справедливо равенство: S(G)=S(G2)+S(G1)=∫abf2(x)dx+-∫abf1(x)dx=∫ab(f2(x)-f1(x))dx
Графическая иллюстрация будет иметь вид:
Если обе функции неположительные, получаем: S(G)=S(G2)-S(G1)=-∫abf2(x)dx–∫abf1(x)dx=∫ab(f2(x)-f1(x))dx . Графическая иллюстрация будет иметь вид:
Перейдем к рассмотрению общего случая, когда y=f1(x) и y=f2(x) пересекают ось Ox.
Точки пересечения мы обозначим как xi, i=1, 2,…, n-1. Эти точки разбивают отрезок [a; b] на n частей xi-1; xi, i=1, 2,…, n, где α=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b. Фигуру G можно представить объединением фигур Gi, i=1, 2,…, n. Очевидно, что на своем интервале Gi попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S(Gi)=∫xi-1xi(f2(x)-f1(x))dx, i=1, 2,…, n
Следовательно,
S(G)=∑i=1nS(Gi)=∑i=1n∫xixif2(x)-f1(x))dx==∫x0xn(f2(x)-f(x))dx=∫abf2(x)-f1(x)dx
Последний переход мы можем осуществить с использованием пятого свойства определенного интеграла.
Проиллюстрируем на графике общий случай.
Формулу S(G)=∫abf2(x)-f1(x)dx можно считать доказанной.
А теперь перейдем к разбору примеров вычисления площади фигур, которые ограничены линиями y=f(x) и x=g(y).
Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)
Рассмотрение любого из примеров мы будем начинать с построения графика. Изображение позволит нам представлять сложные фигуры как объединения более простых фигур. Если построение графиков и фигур на них вызывает у вас затруднения, можете изучить раздел об основных элементарных функциях, геометрическом преобразовании графиков функций, а также построению графиков во время исследования функции.
Необходимо определить площадь фигуры, которая ограничена параболой y=-x2+6x-5 и прямыми линиями y=-13x-12, x=1, x=4.
Решение
Изобразим линии на графике в декартовой системе координат.
На отрезке [1;4] график параболы y=-x2+6x-5 расположен выше прямой y=-13x-12. В связи с этим, для получения ответа используем формулу, полученную ранее, а также способ вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:
S(G)=∫14-x2+6x-5–13x-12dx==∫14-x2+193x-92dx=-13×3+196×2-92×14==-13·43+196·42-92·4–13·13+196·12-92·1==-643+1523-18+13-196+92=13
Ответ: S(G)=13
Рассмотрим более сложный пример.
Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y=x+2, y=x, x=7.
Решение
В данном случае мы имеем только одну прямую линию, расположенную параллельно оси абсцисс. Это x=7. Это требует от нас найти второй предел интегрирования самостоятельно.
Построим график и нанесем на него линии, данные в условии задачи.
Имея график перед глазами, мы легко можем определить, что нижним пределом интегрирования будет абсцисса точки пересечения графика прямой y=x и полу параболы y=x+2. Для нахождения абсциссы используем равенства:
y=x+2ОДЗ: x≥-2×2=x+22×2-x-2=0D=(-1)2-4·1·(-2)=9×1=1+92=2∈ОДЗx2=1-92=-1∉ОДЗ
Получается, что абсциссой точки пересечения является x=2.
Обращаем ваше внимание на тот факт, что в общем примере на чертеже линии y=x+2 , y=x пересекаются в точке (2;2), поэтому такие подробные вычисления могут показаться излишними. Мы привели здесь такое подробное решение только потому, что в более сложных случаях решение может быть не таким очевидным. Это значит, что координаты пересечения линий лучше всегда вычислять аналитически.
На интервале [2;7] график функции y=x расположен выше графика функции y=x+2 . Применим формулу для вычисления площади:
S(G)=∫27(x-x+2)dx=x22-23·(x+2)3227==722-23·(7+2)32-222-23·2+232==492-18-2+163=596
Ответ: S(G)=596
Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена графиками функций y=1x и y=-x2+4x-2.
Решение
Нанесем линии на график.
Определимся с пределами интегрирования. Для этого определим координаты точек пересечения линий, приравняв выражения 1x и -x2+4x-2. При условии, что x не равно нулю, равенство 1x=-x2+4x-2становится эквивалентным уравнению третьей степени -x3+4×2-2x-1=0 с целыми коэффициентами. Освежить в памяти алгоритм по решению таких уравнений мы можете, обратившись к разделу «Решение кубических уравнений».
Корнем этого уравнения является х=1: -13+4·12-2·1-1=0.
Разделив выражение -x3+4×2-2x-1 на двучлен x-1, получаем: -x3+4×2-2x-1⇔-(x-1)(x2-3x-1)=0
Оставшиеся корни мы можем найти из уравнения x2-3x-1=0:
x2-3x-1=0D=(-3)2-4·1·(-1)=13×1=3+132≈3.3 ; x2=3-132≈-0.3
Мы нашли интервал x∈1; 3+132, на котором фигура G заключена выше синей и ниже красной линии. Это помогает нам определить площадь фигуры:
S(G)=∫13+132-x2+4x-2-1xdx=-x33+2×2-2x-ln x13+132==-3+13233+2·3+1322-2·3+132-ln3+132—133+2·12-2·1-ln 1=7+133-ln3+132
Ответ: S(G)=7+133-ln3+132
Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена кривыми y=x3, y=-log2x+1 и осью абсцисс.
Решение
Нанесем все линии на график. Мы можем получить график функции y=-log2x+1 из графика y=log2x, если расположим его симметрично относительно оси абсцисс и поднимем на одну единицу вверх. Уравнение оси абсцисс у=0.
Обозначим точки пересечения линий.
Как видно из рисунка, графики функций y=x3 и y=0 пересекаются в точке (0;0). Так получается потому, что х=0 является единственным действительным корнем уравнения x3=0.
x=2 является единственным корнем уравнения -log2x+1=0, поэтому графики функций y=-log2x+1 и y=0 пересекаются в точке (2;0).
x=1 является единственным корнем уравнения x3=-log2x+1. В связи с этим графики функций y=x3 и y=-log2x+1 пересекаются в точке (1;1). Последнее утверждение может быть неочевидным, но уравнение x3=-log2x+1 не может иметь более одного корня, так как функция y=x3 является строго возрастающей, а функция y=-log2x+1 строго убывающей.
Дальнейшее решение предполагает несколько вариантов.
Вариант №1
Фигуру G мы можем представить как сумму двух криволинейных трапеций, расположенных выше оси абсцисс, первая из которых располагается ниже средней линии на отрезке x∈0; 1, а вторая ниже красной линии на отрезке x∈1;2. Это значит, что площадь будет равна S(G)=∫01x3dx+∫12(-log2x+1)dx.
Вариант №2
Фигуру G можно представить как разность двух фигур, первая из которых расположена выше оси абсцисс и ниже синей линии на отрезке x∈0; 2, а вторая между красной и синей линиями на отрезке x∈1; 2. Это позволяет нам найти площадь следующим образом:
S(G)=∫02x3dx-∫12×3-(-log2x+1)dx
В этом случае для нахождения площади придется использовать формулу вида S(G)=∫cd(g2(y)-g1(y))dy. Фактически, линии, которые ограничивают фигуру, можно представить в виде функций от аргумента y.
Разрешим уравнения y=x3 и -log2x+1 относительно x:
y=x3⇒x=y3y=-log2x+1⇒log2x=1-y⇒x=21-y
Получим искомую площадь:
S(G)=∫01(21-y-y3)dy=-21-yln 2-y4401==-21-1ln 2-144–21-0ln 2-044=-1ln 2-14+2ln 2=1ln 2-14
Ответ: S(G)=1ln 2-14
Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y=x, y=23x-3, y=-12x+4.
Решение
Красной линией нанесем на график линию, заданную функцией y=x. Синим цветом нанесем линию y=-12x+4, черным цветом обозначим линию y=23x-3.
Отметим точки пересечения.
Найдем точки пересечения графиков функций y=x и y=-12x+4 :
x=-12x+4ОДЗ: x≥0x=-12x+42⇒x=14×2-4x+16⇔x2-20x+64=0D=(-20)2-4·1·64=144×1=20+1442=16; x2=20-1442=4Проверка:x1=16=4, -12×1+4=-12·16+4=-4⇒x1=16 не является решением уравненияx2=4=2, -12×2+4=-12·4+4=2⇒x2=4 является решением уравниния ⇒(4; 2) точка пересечения y=x и y=-12x+4
Найдем точку пересечения графиков функций y=x и y=23x-3:
x=23x-3ОДЗ: x≥0x=23x-32⇔x=49×2-4x+9⇔4×2-45x+81=0D=(-45)2-4·4·81=729×1=45+7298=9, x245-7298=94Проверка:x1=9=3, 23×1-3=23·9-3=3⇒x1=9 является решением уравнения ⇒(9; 3) точка пересечания y=x и y=23x-3×2=94=32, 23×1-3=23·94-3=-32⇒x2=94 не является решением уравнения
Найдем точку пересечения линий y=-12x+4 и y=23x-3:
-12x+4=23x-3⇔-3x+24=4x-18⇔7x=42⇔x=6-12·6+4=23·6-3=1⇒(6; 1) точка пересечения y=-12x+4 и y=23x-3
Дальше мы можем продолжить вычисления двумя способами.
Способ №1
Представим площадь искомой фигуры как сумму площадей отдельных фигур.
Тогда площадь фигуры равна:
S(G)=∫46x–12x+4dx+∫69x-23x-3dx==23×32+x24-4×46+23×32-x23+3×69==23·632+624-4·6-23·432+424-4·4++23·932-923+3·9-23·632-623+3·6==-253+46+-46+12=113
Способ №2
Площадь исходной фигуры можно представить как сумму двух других фигур.
Тогда решим уравнение линии относительно x, а только после этого применим формулу вычисления площади фигуры.
y=x⇒x=y2 красная линияy=23x-3⇒x=32y+92 черная линияy=-12x+4⇒x=-2y+8 синяя линия
Таким образом, площадь равна:
S(G)=∫1232y+92–2y+8dy+∫2332y+92-y2dy==∫1272y-72dy+∫2332y+92-y2dy==74y2-74y12+-y33+3y24+92y23=74·22-74·2-74·12-74·1++-333+3·324+92·3–233+3·224+92·2==74+2312=113
Как видите, значения совпадают.
Ответ: S(G)=113
Итоги
Для нахождения площади фигуры, которая ограничена заданными линиями нам необходимо построить линии на плоскости, найти точки их пересечения, применить формулу для нахождения площади. В данном разделе мы рассмотрели наиболее часто встречающиеся варианты задач.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Задачка это школьная, но, несмотря на то, почти 100% встретится в вашем курсе высшей математики. Поэтому со всей серьёзностью отнесёмся ко ВСЕМ примерам, и первое, что нужно сделать – это ознакомиться с Приложением Графики функций, чтобы освежить в памяти технику построения элементарных графиков. …Есть? Отлично! Типовая формулировка задания звучит так:
Пример 10
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
.
И первый важнейший этап решения состоит как раз в построении чертежа. При этом я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций.
В нашей задаче: прямая 
определяет ось 
, прямые 
параллельны оси 
и парабола 
симметрична относительно оси 
, для неё находим несколько опорных точек:
Искомую фигуру желательно штриховать:
Второй этап состоит в том, чтобы правильно составить и правильно вычислить определённый интеграл. На отрезке 
график функции 
расположен над осью 
, поэтому искомая площадь:
Ответ: 
После того, как задание выполнено, полезно взглянуть на чертёж
и прикинуть, реалистичный ли получился ответ.
И мы «на глазок» подсчитываем количество заштрихованных клеточек – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получилось, скажем, 20 квадратных единиц, то, очевидно, где-то допущена ошибка – в построенную фигуру 20 клеток явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.
Пример 11
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
и осью 
Быстренько разминаемся (обязательно!) и рассматриваем «зеркальную» ситуацию – когда криволинейная трапеция расположена под осью 
:
Пример 12
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
, 
и координатными осями.
Решение: найдём несколько опорных точек для построения экспоненты:
и выполним чертёж, получая фигуру площадью около двух клеток:
Если криволинейная трапеция расположена не выше оси 
, то её площадь можно найти по формуле: 
.
В данном случае: 
Ответ: 
– ну что же, очень и очень похоже на правду.
На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому от простейших школьных задачек мы переходим к более содержательным примерам:
Пример 13
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями 
, 
.
Решение: сначала нужно выполнить чертеж, при этом нас особо интересуют точки пересечения параболы 
и прямой 
, поскольку здесь будут находиться пределы интегрирования. Найти их можно двумя способами. Первый способ – аналитический. Составим и решим уравнение:
таким образом:
Достоинство аналитического способа состоит в его точности, а недостаток – в длительности (и в этом примере нам ещё повезло). Поэтому во многих задачах бывает выгоднее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой».
С прямой 
всё понятно, а вот для построения параболы удобно найти её вершину, для этого возьмём производную и приравняем её к нулю:
– именно в этой точке и будет находиться вершина. И, в силу симметрии параболы, остальные опорные точки найдём по принципу «влево-вправо»:
Выполним чертеж:
А теперь рабочая формула: если на отрезке 
некоторая непрерывная функция 
больше либо равна непрерывной функции 
, то площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и отрезками прямых 
, можно найти по формуле:
Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а, грубо говоря, важно, какой из двух графиков ВЫШЕ.
В нашем примере очевидно, что на отрезке 
парабола располагается выше прямой, а поэтому из 
нужно вычесть 
Завершение решения может выглядеть так:
На отрезке 
: 
, по соответствующей формуле:
Ответ: 
Следует отметить, что простые формулы, рассмотренные в начале параграфа – это частные случаи формулы 
. Поскольку ось 
задаётся уравнением 
, то одна из функций будет нулевой, и в зависимости от того, выше или ниже лежит криволинейная трапеция, мы получим формулу 
либо 
А сейчас пара типовых задач для самостоятельного решения
Пример 14
Найти площадь фигур, ограниченных линиями:
а) 
, 
.
б) 
, 
, 
Решение с чертежами и краткими комментариями в конце книги
В ходе решения рассматриваемой задачи иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, интеграл решён правильно, но по невнимательности… найдена площадь не той фигуры, именно так несколько раз ошибался ваш покорный слуга. Вот реальный случай из жизни:
Пример 15
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
Решение: выполним бесхитростный чертёж,
хитрость которого состоит в том, что искомая площадь заштрихована зелёным цветом (внимательно смотрИте на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована серым цветом! Особое коварство состоит в том, что прямую 
можно недочертить до оси 
, и тогда мы вовсе не увидим нужную фигуру.
Этот пример ещё и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определённых интегралов. Действительно:
1) на отрезке 
над осью 
расположен график прямой 
;
2) на отрезке 
над осью 
расположен график гиперболы 
.
Совершенно понятно, что площади можно (и нужно) сложить:
Ответ: 
И познавательный пример для самостоятельного решения:
Пример 16
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
, 
, 
и координатными осями.
Итак, систематизируем важные моменты этой задачи:
На первом шаге ВНИМАТЕЛЬНО изучаем условие – КАКИЕ функции нам даны? Ошибки бывают даже здесь, в частности, арккотангенс 
зачастую принимают за арктангенс. Это, кстати, относится и к другим заданием, где встречается арккотангенс.
Далее следует ПРАВИЛЬНО выполнить чертёж. Сначала лучше построить прямые (если они есть), затем графики других функций (если они есть J). Последние во многих случаях выгоднее строить поточечно – найти несколько опорных точек и аккуратно соединить их линией.
Но здесь могут подстерегать следующие трудности. Во-первых, из чертежа не всегда понятны пределы интегрирования – так бывает, когда они дробные. На mathprofi.ru в соответствующей статье я рассмотрел пример с параболой 
и прямой 
, где из чертежа не понятна одна из точек их пересечения. В таких случаях следует использовать аналитический метод, составляем уравнение:
и находим его корни:
– нижний предел интегрирования, 
– верхний предел.
Во-вторых, не всегда понятен «внешний вид» линии, и функция 
(Пример 16) – яркий тому пример. Я и сам «с ходу» не представляю, как выглядит график этой функции. Здесь можно воспользоваться специализированными программами или онлайн сервисами (а-ля «построить график онлайн»), а в экстремальной ситуации найти побольше опорных точек (штук 10-15), чтобы поточнее провести «неизвестную» кривую.
Ну и, конечно, я призываю вас повышать свои знания и навыки в графиках, в частности, приведу прямую ссылку на особо полезную статью:
http://mathprofi.ru/kak_postroit_grafik_funkcii_s_pomoshyu_preobrazovanii.html
После того, как чертёж построен, анализируем полученную фигуру – ещё раз окидываем взглядом предложенные функции и перепроверяем, ТА ЛИ это фигура. Затем анализируем её форму и расположение, бывает, что площадь достаточно сложнА и тогда её следует разделить на две, а то и на три части.
Составляем определённый интеграл или несколько интегралов по формуле 
, все основные вариации мы разобрали выше.
Решаем определённый интеграл (ы). При этом он может оказаться достаточно сложным, и тогда применяем поэтапный алгоритм: 1) находим первообразную и проверяем её дифференцированием, 2) используем формулу Ньютона-Лейбница.
Результат полезно проверить с помощью программного обеспечения / онлайн сервисов или просто «прикинуть» по чертежу по клеточкам. Но и то, и другое не всегда осуществимо, поэтому крайне внимательно относимся к каждому этапу решения!
1.9. Объём тела вращения
1.7. Геометрический смысл определённого интеграла
| Оглавление |
Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.
Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!
С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин
Площади фигур по формуле Пика.
Как определить площадь сложной фигуры? Если она нарисована на клетчатой бумаге, и невырождена -площадь ее ненулевая, все вершины имеют целые координаты, а стороны не пересекают друг друга – то удобно воспользоваться формулой Пика.
Если обозначить: В – количество целочисленных точек внутри этой фигуры, Г – количество целочисленных точек на ее границе, S – площадь фигуры, то
S=В+Г/2-1
Рассмотрим следующую фигуру:
Формула Пика – определение числа узлов внутри и на границе фигуры.
Обозначим все внутренние целочисленные точки красными кружками, а те, что на границах – синими. Целочисленные – это те, что лежат на пересечениях сетки (в ее узлах). Считаем те и другие: В=12, Г=4. Определим теперь площадь по формуле: S=В+Г/2-1=12+2-1=13.
Давайте проверим правильность наших расчетов, тем более, что здесь это просто: рассчитаем площадь квадрата, обведенного красным, и вычтем площади цветных треугольников:
Вычисление площади при помощи отрезания “лишнего”
Тогда площадь квадрата Sкв=36, площадь голубого треугольника 6, площадь зеленого – 2, площадь фиолетового 15.
Площадь белого треугольника тогда: S=36-6-15-2=13.
Рассмотрим такую фигуру:
Еще один пример определения площади сложной фигуры с помощью формулы Пика
Для нее S=В+Г/2-1=4+3-1=6.
Проверим:
Отрежем лишнее
Тогда площадь прямоугольника Sпр=20, площадь голубого треугольника 5, площадь зеленого – 4, площадь фиолетового 5.
Площадь искомой фигуры тогда: S=20-5-4-5=6.
Третья фигура:
Еще один пример работы с формулой Пика
Для нее S=В+Г/2-1=4+4-1=7.
Проверим: площадь треугольников, составляющих нашу фигуру: голубого – 4, зеленого – 1, оранжевого – 2. Сумма их площадей S=4+1+2=7.
Расчет площади с помощью разрезания фигуры
Еще две фигуры:
Узлы решетки внутри и на границе фигуры
Площадь первой: S=10+2-1=11,
Узлы решетки внутри и на границе
второй – S=10+5-1=14.
Проверить правильность расчета их площадей вы можете самостоятельно.
У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Пика.
Формула Пи́ка (или теорема Пи́ка) — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел,
даёт выражение для площади многоугольника с целочисленными вершинами.
Названа в честь Георга Пика, доказавшего её в 1899 году.
Формулировка[править | править код]
В = 7, Г = 8,
В + Г/2 − 1 = 10
Площадь многоугольника с целочисленными вершинами[1] равна
,
где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.
Следствия[править | править код]
- Площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна 1/2.
- Этот факт даёт геометрическое доказательство формулы для разности подходящих дробей цепной дроби.
Вариации и обобщения[править | править код]
Контрпример к аналогу теоремы Пика в размерности 3.
- Многочлен Эрара даёт один из вариантов обобщения формулы Пика на старшие размерности.
- где суммирование ведётся по всем целочисленным точкам
и телесный угол при ; если лежит внутри , то считается что .[2]
-
- где обозначает площадь единичной сферы в .
-
Примечания[править | править код]
- ↑ Точка координатной плоскости называется целочисленной, если обе её координаты целые.
- ↑ Tabachnikov, Sergei, Pierre Deligne, and Sinai Robins. The Ice Cube Proof (англ.) // The Mathematical Intelligencer. — 2014. — Vol. 36, no. 4. — P. 1-3.
Литература[править | править код]
- В. В. Прасолов. Задачи по планиметрии. — М.: МЦНМО, 2001. — 584 с. — ISBN 5-900916-82-0.
- А. Кушниренко. Целые точки в многоугольниках и многогранниках // Квант. — 1977. — № 4. — С. 13—20.
