Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции
- Теорема о площади криволинейной трапеции
- Формула Ньютона-Лейбница
- Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем
- Площадь плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми
- Примеры
п.1. Теорема о площади криволинейной трапеции
Фигуру, ограниченную прямыми (x=a, x=b), осью абсцисс (y=0) и графиком функции (y=f(x)) называют криволинейной трапецией.
Теорема
Площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции (y=f(x)) на интервале [a;b], равна (F(b)-F(a)), где (F(x)) – первообразная функции (f(x)) на [a;b].
Доказательство:
Выберем на интервале (xin [a;b]). Площадь соответствующей криволинейной трапеции (S(x)) является функцией от (x). Дадим переменной (x) приращение (triangle x).
Площадь криволинейной трапеции на интервале (left[a;x+triangle xright]) равна сумме
(S(x+triangle x)=S(x)+S(triangle x)). Откуда приращение площади: $$ triangle S=S(triangle x)=S(x+triangle x)-S(x) $$ По теореме о среднем (см. ниже в этом параграфе) между (x) и (x+triangle x) всегда найдется такое (t), что приращение площади равно произведению: $$ triangle S=f(t)cdot (x+triangle x-x)=f(t)cdot triangle x $$ Если (triangle xrightarrow 0), то (trightarrow x), и в пределе получаем: begin{gather*} S'(x)=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle S}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0} frac{f(t)cdot triangle x}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}f(t)=f(x) end{gather*} Т.е. (S(x)) является первообразной для (f(x)) на [a;b]. В общем виде: $$ S(x)=F(x)+C $$ Найдем C. В точке a: $$ S(a)=0=F(a)+CRightarrow C=-F(a) $$ Тогда вся площадь: $$ S=S(b)=F(b)+C=F(b)-F(a) $$ Что и требовалось доказать.
п.2. Формула Ньютона-Лейбница
Площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции (y=f(x)) на интервале [a;b] записывают в виде определенного интеграла: $$ S=int_{a}^{b}f(x)dx $$ По формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл равен: $$ int_{a}^{b}f(x)dx=F(x)|_a^b=F(a)-F(b) $$
Например:
Найдем площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции $$ y=3-2x-x^2 $$
 |
Построим график (см. §28 справочника для 8 класса). Это парабола. (alt 0) – ветки вниз. Координаты вершины: begin{gather*} x_0=-frac{b}{2a}=-frac{-2}{2cdot (-1)}=-1,\ y_0=3+2-1=4 end{gather*} Точки пересечения с осью OX: begin{gather*} 3-2x-x^2=0Rightarrow x^2+2x-3=0\ (x+3)(x-1)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=-3,\ x=1 end{array} right. end{gather*} Точка пересечения с осью OY: $$ x=0, y=3 $$ |
Необходимо найти площадь заштрихованной фигуры.
Функция: (f(x)=3-2x-x^2)
Пределы интегрирования: (a=-3, b=1) begin{gather*} S=int_{-3}^{1}(3-2x-x^2)dx=left(3x-2cdotfrac{x^2}{2}-frac{x^3}{3}right)|_{1}^{-3}=left(3x-x^2-frac{x^3}{3}right)|_{1}^{-3}=\ =left(3-cdot 1-1^2-frac{1^3}{3}right)-left(3cdot(-3)-(-3)^2-frac{(-3)^3}{3}right)=2-frac13+9=10frac23 end{gather*} Ответ: (10frac23)
п.3. Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем
Теорема Лагранжа о среднем
Если функция (F(x)) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), то существует такая точка (muin(a;b)), что $$ F(b)-F(a)=F'(mu)(a-b) $$ Пусть (F'(x)=f(x)), т.е. функция (F(x)) является первообразной для (f(x)). Тогда: $$ F(b)-F(a)=int_{a}^{b}f(x)dx=f(mu)(b-a) $$
Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем в интегральной форме заключается в том, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием (d=b-a) и высотой (h=f(mu)), где (aleqmuleq b).
Теорема о среднем используется при доказательстве многих формул, связанных с использованием определенных интегралов (центра тяжести тела, площади поверхности и т.д.).
п.4. Площадь плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми
Площадь плоской фигуры, ограниченной прямыми (x=a, x=b, alt b) и кривыми (y=f(x), y=g(x)), причем (f(x)geq g(x)) для любого (xin [a;b]), равна: $$ S=int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx $$
Например:
Найдем площадь фигуры, ограниченной двумя параболами (y=x^2) и (y=4x-x^2).
Найдем точки пересечения парабол: $$ x^2=4x-x^2Rightarrow 2x^2-4x=0Rightarrow 2x(x-2)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ x=2 end{array} right. $$ Строим графики.
Необходимо найти площадь заштрихованной фигуры.
Функция сверху: (f(x)=4x-x^2)
Функция снизу: (g(x)=x^2)
Пределы интегрирования: (a=0, b=2) begin{gather*} S=int_{0}^{2}left((4x-x^2)-x^2right)dx=int_{0}^{2}(4x-2x^2)dx=left(4cdotfrac{x^2}{2}-2cdotfrac{x^3}{3}right)|_0^2=\ =left(2x^2-frac23 x^3right)|_0^2=2cdot 2^2-frac23cdot 2^3-0=8-frac{16}{3}=frac83=2frac23 end{gather*} Ответ: (2frac23)
п.5. Примеры
Пример 1. Найдите определенный интеграл:
a) (int_{-2}^{3}x^2dx) $$ int_{-2}^{3}x^2dx=frac{x^3}{3}|_{-2}^{3}=frac{3^3}{3}-frac{(-2)^3}{3}=9-frac83=frac{19}{3}=6frac13 $$
б) (int_{0}^{fracpi 3}sinxdx) $$ int_{0}^{fracpi 3}sinxdx=(-cosx)|_{0}^{fracpi 3}=-cosfracpi 3+cos0=-frac12+1=frac12 $$
в) (int_{1}^{2}left(e^x+frac 1xright)dx) $$ int_{1}^{2}left(e^x+frac 1xright)dx=(e^x+ln|x|)|_{1}^{2}=e^2+ln 2-e^1-underbrace{ln 1}_{=0}=e(e-1)+ln 2 $$
г) (int_{2}^{3}(2x-1)^2 dx) begin{gather*} int_{2}^{3}(2x-1)^2 dx=frac12cdotfrac{(2x-3)^3}{3}|_{2}^{3}=frac16((2cdot 3-1)^3)-(2cdot 2-1)^3)=frac{5^3-3^3}{6}=\ =frac{125-27}{6}=frac{98}{6}=frac{49}{3}=16frac13 end{gather*}
д) (int_{1}^{3}frac{dx}{3x-2}) begin{gather*} int_{1}^{3}frac{dx}{3x-2}=frac13cdot ln|3x-2| |_{1}^{3}=frac13left(ln 7-underbrace{ln 1}_{=0}right)=frac{ln 7}{3} end{gather*}
e) (int_{-1}^{4}frac{dx}{sqrt{3x+4}}) begin{gather*} int_{-1}^{4}frac{dx}{sqrt{3x+4}}=frac13cdotfrac{(3x+4)^{-frac12+1}}{-frac12+1}|_{-1}^{4}=frac23sqrt{3x+4}|_{-1}^{4}=\ =frac23left(sqrt{3cdot 4+4}-sqrt{3cdot(-1)+4}right)=frac23(4-1)=2 end{gather*}
Пример 2. Найдите площадь фигуры под кривой на заданном интервале:
a) (f(x)=x^3+3, xinleft[-1;1right])
$$ S=int_{-1}^{1}(x^3+3)dx=left(frac{x^4}{4}+3xright)|_{-1}^{1}=frac14+3-left(frac14-3right)=6 $$
б) (f(x)=sin2x, xinleft[0;fracpi 2right])
$$ S=int_{0}^{fracpi 2}sin2xdx=-frac12cos2x|_{0}^{fracpi 2}=-frac12left(cosleft(2cdotfracpi 2right)-cos0right)=-frac12(-1-1)=1 $$
в) (f(x)=frac4x+3, xinleft[2;6right])
(f(x)=frac4x+3) – гипербола с асимптотами (x=0, y=3)
Площадь под кривой: begin{gather*} S=int_{2}^{6}left(frac4x+3right)dx=(4cdot ln|x|+3x)|_{2}^{6}=(4ln 6+18)-(4ln 2+6)=\ =4(ln 6-ln 2)+12=4lnfrac62+12=4ln 3+12=4(ln 3+3) end{gather*}
г) (f(x)=frac{1}{sqrt{x}}, xinleft[1;4right])
$$ S=int_{1}^{4}frac{dx}{sqrt{x}}=frac{x^{-frac12+1}}{-frac12+1}|_{1}^{4}=2sqrt{x}|_{1}^{4}=2(sqrt{4}-sqrt{1})=2 $$
Пример 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
a) (y=x-2, y=x^2-4x+2)
Найдем точки пересечения прямой и параболы: $$ x-2=x^2-4x+2Rightarrow x^2-5x+4=0Rightarrow (x-1)(x-4)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=1,\ x=4 end{array} right. $$ 
Функция сверху: (f(x)=x-2)
Функция снизу: (g(x)=x^2-4x+2)
Пределы интегрирования: (a=1, b=4) begin{gather*} S=int_{1}^{4}left((x-2)-(x^2-4x+2)right)dx=int_{1}^{4}(-x^2+5x-4)dx=\ =left(-frac{x^3}{3}+frac{5x^2}{2}-4xright)|_{1}^{4}=left(-frac{64}{3}+5cdotfrac{16}{2}-4cdot 4right)-left(-frac13+frac52-4right)=\ =-frac{63}{3}+24+1,5=4,5 end{gather*} Ответ: 4,5
б) (y=e^{frac x2}, y=frac1x, x=2, x=3)
Функция сверху: (f(x)=e^{x/2})
Функция снизу: (g(x)=frac1x)
Пределы интегрирования: (a=2, b=3) begin{gather*} S=int_{2}^{3}left(e^{x/2}-frac1xright)dx=(2e^{x/2}-ln|x|)|_{2}^{3}=left(2e^{frac32}-ln 3right)-(2e-ln 2)=\ =2e^{frac32}-2e-ln 3+ln 2=2e(sqrt{e}-1)+lnfrac23 end{gather*} Ответ: (2e(sqrt{e}-1)+lnfrac23)
в*) (y=3-x^2, y=1+|x|)
Найдем точки пересечения ломаной и параболы: begin{gather*} 3-x^2=1+|x|Rightarrow x^2+|x|-2=0Rightarrow left[ begin{array}{l} begin{cases} xgeq 0\ x^2+x-2=0 end{cases} \ begin{cases} xlt 0\ x^2-x-2=0 end{cases} end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} begin{cases} xgeq 0\ (x+2)(x-1)=0 end{cases} \ begin{cases} xlt 0\ (x-2)(x+1)=0 end{cases} end{array} right. Rightarrow \ left[ begin{array}{l} begin{cases} xgeq 0\ left[ begin{array}{l} x=-2\ x=1 end{array} right. end{cases} \ begin{cases} xlt 0\ left[ begin{array}{l} x=2\ x=-1 end{array} right. end{cases} end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=1\ x=-1 end{array} right. end{gather*} 
Функция сверху: (f(x)=3-x^2)
Функция снизу: (g(x)=1+|x|)
Пределы интегрирования: (a=-1, b=1)
Чтобы не раскрывать модуль под интегралом, заметим, что площади на интервалах [-1;0] и [0;1] равны, т.к. обе функции четные и симметричные относительно оси OY. Поэтому можно рассматривать только положительные (xinleft[0;1right]), найти для них интеграл (площадь) и умножить на 2: begin{gather*} S=2int_{0}^{1}left((3-x^2)-(1+x)right)dx=2int_{0}^{1}(-x^2-x+2)dx=2left(-frac{x^3}{3}-frac{x^2}{2}+2xright)|_{0}^{1}=\ =2left(-frac13-frac12+2right)-0=frac73=2frac13 end{gather*} Ответ: (2frac13)
г*) (y=3sinx, y=cosx, x=-frac{5pi}{4}, x=fracpi 4)
На отрезке (left[-frac{5pi}{4};-frac{3pi}{4}right]) синус над косинусом, далее на (left[-frac{3pi}{4};frac{pi}{4}right]) – косинус над синусом.
Площадь фигуры, закрашенной голубым, в два раза больше площади фигуры, закрашенной сиреневым. Поэтому общая площадь будет равна трем площадям, закрашенным сиреневым: begin{gather*} S=3int_{-frac{5pi}{4}}^{-frac{3pi}{4}}(sinx-cosx)dx=3(-cosx-sinx)|_{-frac{5pi}{4}}^{-frac{3pi}{4}}=-3(cosx+sinx)|_{-frac{5pi}{4}}^{-frac{3pi}{4}} end{gather*} Прибавим полный период, он одинаков для обеих функций:
(-frac{3pi}{4}+2pi=frac{5pi}{4}; -frac{5pi}{4}+2pi=frac{3pi}{4}) begin{gather*} -3(cosx+sinx)|_{-frac{5pi}{4}}^{-frac{3pi}{4}}=-3left(cosleft(frac{5pi}{4}right)+sinleft(frac{5pi}{4}right)-cosleft(frac{3pi}{4}right)-sinleft(frac{3pi}{4}right)right)=\ =-3left(-frac{sqrt{2}}{2}-frac{sqrt{2}}{2}+frac{sqrt{2}}{2}-frac{sqrt{2}}{2}right)=3sqrt{2} end{gather*} Ответ: (3sqrt{2})
Пример 4*. Пусть (S(k)) – это площадь фигуры, образованной параболой (y=x^2+2x-3) и прямой (y=kx+1). Найдите (S(-1)) и вычислите наименьшее значение (S(k)).
1) Найдем (S(-1)).
(k=-1, y=-x+1 )
 |
Точки пересечения прямой и параболы: begin{gather*} -x+1=x^2+2x-3\ x^2+3x-4=0\ (x+4)(x-1)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=-4,\ x=1 end{array} right. end{gather*} Функция сверху: (y=-x+1) Функция снизу: (y=x^2+2x-3) Пределы интегрирования: (a=-4, b=1) |
begin{gather*} S(-1)=int_{-4}^{1}left((-x+1)-(x^2+2x-3)right)dx=int_{-4}^{1}(-x-3x+4)dx=\ =left(-frac{x^3}{3}-frac{3x^2}{2}+4xright)|_{-4}^{1}=left(-frac13-frac32+4right)-left(frac{64}{3}-24-16right)=-21frac23+42frac12=20frac56 end{gather*}
2) Решаем в общем виде.
Все прямые (y=kx+1) проходят через точку (0;1) и при образовании фигуры находятся над параболой.
Точки пересечения прямой и параболы: begin{gather*} kx+1=x^2+2x-3Rightarrow x^2+(2-k)x-4=0\ D=(2-k)^2-4cdot (-4)=(k-2)^2+16gt 0 end{gather*} Дискриминант (Dgt 0) при всех (k). Точки пересечения (пределы интегрирования): $$ x_{1,2}=frac{-(2-k)pmsqrt{D}}{2}=frac{k-2pmsqrt{D}}{2} $$ Разность корней: $$ x_2-x_1=sqrt{D}=sqrt{(k-2)^2+16} $$ Минимальное значение разности корней будет при (k=2).
Площадь: begin{gather*} S(k)=int_{x_1}^{x_2}left((kx+1)-(x^2+2x-3)right)dx=int_{x_1}^{x_2}(-x^2+(k-2)x+4)dx=\ =left(-frac{x^3}{3}+frac{(k-2)x^2}{2}+4xright)|_{x_1}^{x_2}=-frac13(x_2^3-x_1^3)+frac{k-2}{2}(x_2^2-x_1^2)+4(x_2-x_1) end{gather*}
 |
begin{gather*} S(k)_{min}=S(2)\ x_{1,2}=pm 2\ S(2)=-frac13cdot(2^3+2^3)+0+4sqrt{16}=\ =-frac{16}{3}+16=frac{32}{3}=10frac23 end{gather*} |
Ответ: 1) (S(-1)=20frac56); 2) (S(k)_{min}=S(2)=10frac23)
Пример 5*. Фигура ограничена линиями (y=(x+3)^2, y=0, x=0). Под каким углом к оси OX надо провести прямые через точку (0;9), чтобы они разбивали фигуру на три равновеликие части?
|
Площадь криволинейной трапеции AOB: begin{gather*} S_0=int_{-3}^{0}(x+3)^2dx=frac{(x+3)^3}{3}|_{-3}^{0}=\ =9-0=9 end{gather*} Площадь каждой части: (S_i=frac13 S_0=3) Точки (C(x_1; 0)) и (D(x_2; 0)) c (-3lt x_1lt x_2lt 0) такие, что прямые AC и AD отсекают по 1/3 от фигуры. Площадь прямоугольного треугольника (triangle AOD): begin{gather*} S_3=frac12|x_2|cdot 9=3Rightarrow |x_2|=frac69=frac23Rightarrow\ x_2=-frac23 end{gather*} Площадь прямоугольного треугольника (triangle AOC): begin{gather*} S_2+S_3=frac12|x_1|cdot 9=6Rightarrow |x_1|=frac{12}{9}=frac43Rightarrow\ x_1=-frac43 end{gather*} |
Находим углы соответствующих прямых.
Для (x_1: tgalpha=frac{9}{|x_1|}=frac{9}{4/3}=frac{27}{4}, alpha=arctgfrac{27}{4})
Для (x_x: tgbeta=frac{9}{|x_2|}=frac{9}{2/3}=frac{27}{2}, beta=arctgfrac{27}{2})
Ответ: (arctgfrac{27}{4}) и (arctgfrac{27}{2})
Криволинейная трапеция – именно так называется фигура на рисунке ниже. Она образована графиком некоторой неотрицательной непрерывной функции и ограничена им сверху.
Слева и справа фигура ограничена вертикальными линиями х=а и х=b, а снизу – осью абсцисс.
Чтобы найти площадь криволинейной трапеции придется вспомнить школу, а именно замечательную формулу Ньютона-Лейбница:
В этой формуле F(b) и F(a) – значение первообразной функции f(x) в точках а и b.
Если вдруг забыли, то первообразная от f(x) – это такая функция F(x), что верно равенство F'(x) = f(x). Надеюсь, воспоминания всколыхнет такая табличка:
Давайте уже перейдем к конкретному примеру, в результате которого Вы не только вспомните школьную математику, но и поймёте физический смысл формулы Ньютона-Лейбница:
Итак, имеем такой рисунок. Требуется найти площадь заштрихованной фигуры, которая по всем перечисленным в начале статье параметрам подходит под определение криволинейной трапеции.
Дело за малым – вычислить определенный интеграл:
Всё сходится!
А что же из себя представляет эта формула, почему она вообще работает?
Дело в том, что мы находим площадь, разбивая криволинейную трапецию на бесконечно малые прямоугольники, площадь которых легко вычислить. (см.рис).
Затем складываем эти прямоугольники, а интегрирование суть непрерывное сложение.
Вуаля! Результат, ставший одним из самых важных достижений математики в истории. обоснован “на пальцах”.
Однако, стоит сказать, что первое применение такого метода разбиений принадлежит еще древним грекам.
Да-да, именно Архимед может считаться отцом интегрального счисления – читайте мой материал про одну и его менее знаменитых теорем.
Читайте также:
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №23.Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его свойства.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) Нахождение определенного интеграла
2) Нахождение площади криволинейной трапеции с помощью формулы Ньютона – Лейбница
3) Решение задач, с помощью формулы Ньютона – Лейбница
Формула Ньютона – Лейбница
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
ОрловаЕ. А., СеврюковП. Ф., СидельниковВ. И., СмоляковА.Н.Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке [а;b] знака функции f(х), прямыми х=а, x=b и отрезком [а;b].
Отрезок [a;b] называют основанием этой криволинейной трапеции
формула Ньютона – Лейбница
Если в задаче требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, то ответ всегда будет положительный. Если требуется, используя чертеж, вычислить интеграл, то его значение может быть любым(зависит от расположения криволинейной трапеции).
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
№1.Найти площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке
Решение
Для вычисления площади криволинейной трапеции воспользуемся формулой Ньютона – Лейбница.
Ответ: 
№2. Вычислить определенный интеграл:
Решение: Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.
Сначала находим первообразную функцию F(x) . Далее подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b) .
Затем подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(а).
Рассчитываем разность F(b) – F(а), это и будет ответ.
№3. Найти площадь криволинейной трапеции (х-1)2, ограниченной линиями х=2 и х=1, осью 0х
Решение:
Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.
Сначала находим первообразную функцию F(x). Далее подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b) .
Затем подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(а).
Рассчитываем разность F(b) – F(а), это и будет ответ.
Содержание:
- Примеры с решением
Рассмотрим функцию 
, которая непрерывна на отрезке 
и принимает на этом промежутке неотрицательные значения. Фигуру, ограниченную графиком функции и прямыми 
, 
и 
, называют криволинейной трапецией.
На рисунке 26.1 приведены примеры криволинейных трапеций.
Рассмотрим теорему, которая позволяет вычислять площади криволинейных трапеций.
Теорема 26.1.
Площадь 
криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции 
и прямыми , и 
, можно вычислить по формуле
где 
— любая первообразная функции на отрезке .
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
Доказательство. Рассмотрим функцию 
, где 
, которая определена таким правилом.
Если , то 
; если 
, то 
— это площадь криволинейной трапеции, показанной штриховкой на рисунке 26.2.
Докажем, что 
для всех .
Пусть 
— произвольная точка отрезка и 
— приращение аргумента в точке 
, Ограничимся рассмотрением случая, когда 
(случай, когда 
, рассматривают аналогично).
Имеем: 
Получаем, что 
— это площадь криволинейной трапеции, заштрихованной на рисунке 26.3.
На отрезке 
как на стороне построим прямоугольник, площадь которого равна 
(рис. 26.4). Длины сторон этого прямоугольника равны 
и 
, где 
— некоторая точка промежутка 
. Тогда 
Отсюда 
Если 
, то 
.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Поскольку функция непрерывна в точке 
, то 
. Отсюда, если , то 
Имеем
Поскольку — произвольная точка области определения функции , то для любого выполняется равенство 
. Получили, что функция является одной из первообразных функции на отрезке .
Пусть — некоторая первообразная функции на отрезке . Тогда по основному свойству первообразной можно записать
где 
— некоторое число.
Имеем:
По определению функции искомая площадь криволинейной трапеции равна 
. Следовательно,
Примеры с решением
Пример 1.
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции 
и прямыми , 
и 
Решение:
На рисунке 26.5 изображена криволинейная трапеция, площадь которой требуется найти.
Одной из первообразных функции на отрезке 
является функция 
Тогда
Пример 2.
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции 
и прямой .
Решение:
График функции пересекает прямую в точках 
и 
(рис. 26.6). Тогда фигура, площадь которой требуется найти, является криволинейной трапецией, ограниченной графиком функции и прямыми 
Одной из первообразных функции на отрезке 
является функция 
Тогда
Определение. Пусть
, числа
и
, где
, принадлежат промежутку
называют определенным интегралом функции
Определенный интеграл функции на отрезке обозначают 
(читают: «интеграл от до 
эф от икс де икс»). Следовательно,
где — произвольная первообразная функции на промежутке .
Например, функция 
является первообразной функции 
на промежутке 
. Тогда для произвольных чисел и , где , можно записать:
Заметим, что значение разности не зависит от того, какую именно первообразную функции выбрали. Действительно, каждую первообразную 
функции на промежутке можно представить в виде 
, где 
— некоторая постоянная. Тогда
Равенство (1) называют формулой Ньютона—Лейбница. Следовательно, для вычисления определенного интеграла 
по формуле Ньютона-Лейбница надо:
- найти любую первообразную функции на отрезке ;
- вычислить значение первообразной в точках и ;
- найти разность .
При вычислении определенных интегралов разность обозначают 
Используя такое обозначение, вычислим, например, 
Имеем:
Пример 3.
Вычислите 
Решение:
Имеем:
Если функция имеет первообразную на отрезке и 
, то из формулы Ньютона-Лейбница следует такое свойство определенного интеграла:
Действительно,
Если каждая из функций и 
имеет первообразную на отрезке , то, используя теоремы 25.1 и 25.2, можно доказать (сделайте это самостоятельно) такие свойства определенного интеграла:
-
где 
— некоторое число.
Формула Ньютона-Лейбница позволяет установить связь между определенным интегралом и площадью криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми , и ().
Используя теорему 26.1, можно записать:
Заметим, что в этой формуле рассматриваются непрерывные функции , которые на отрезке принимают только неотрицательные значения. Однако определенный интеграл можно использовать для вычисления площадей более сложных фигур.
Рассмотрим непрерывные на отрезке функции и такие, что для всех выполняется неравенство 
Покажем, как найти площадь
, ограниченной графиками функций
Перенесем фигуру 
вверх на 
единиц так, чтобы полученная фигура 
находилась выше оси абсцисс (рис. 26.8). Фигура 
ограничена графиками функций 
и 
и прямыми , .
Поскольку фигуры и имеют равные площади, то искомая площадь равна разности 
где 
— площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми , и (рис. 26.9, а);
— площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми , и (рис. 26.9, б).
Таким образом, используя свойства определенного интеграла, можем записать:
Следовательно, если функции и непрерывны на отрезке и для всех выполняется неравенство 
то площадь фигуры, ограниченной графиками функций и и прямыми и , можно вычислить по формуле
Пример 4.
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций 
и 
Решение:
На рисунке 26.10 изображена фигура, площадь которой требуется найти.
Решив уравнение 
, устанавливаем, что графики функций и пересекаются в двух точках с абсциссами 
и 
.
Тогда искомая площадь
Лекции:
- Экспонента, натуральные логарифмы и гиперболические функции
- Непрерывная случайная величина
- Математическое ожидание и дисперсия случайной величины
- Исследование функции: пример решения
- Понятие функции. Теория пределов
- Элементарные функции комплексного переменного. Дробно-рациональные функции
- Равномерная сходимость функционального ряда
- Критерий Сильвестра
- Преобразования в пространстве и на плоскости
- Площадь поверхности подобных фигур
Ключевые слова: интеграл, криволинейная
трапеция, площадь фигур, ограниченных лилиями
Оборудование: маркерная доска, компьютер,
мультимедиа-проектор
Тип урока: урок-лекция
Цели урока:
- воспитательные: формировать культуру
умственного труда, создавать для каждого ученика
ситуацию успеха, формировать положительную
мотивацию к учению; развивать умение говорить и
слушать других. - развивающие: формирование
самостоятельности мышления ученика по
применению знаний в различных ситуациях, умения
анализировать и делать выводы, развитие логики,
развитие умения правильно ставить вопросы и
находить на них ответы. Совершенствование
формирования вычислительных, расчётных навыков,
развитие мышления учащихся в ходе выполнения
предложенных заданий, развитие алгоритмической
культуры. - образовательные: сформировать понятия о
криволинейной трапеции, об интеграле, овладеть
навыками вычисления площадей плоских фигур
Метод обучения: объяснительно-иллюстративный.
Ход урока
В предыдущих классах мы научились вычислять
площади фигур, границами которых являются
ломаные. В математике существуют методы,
позволяющие вычислять площади фигур,
ограниченных кривыми. Такие фигуры называются
криволинейными трапециями, и вычисляют их
площадь с помощью первообразных.
Криволинейная трапеция (слайд 1)
Криволинейной трапецией называется фигура,
ограниченная графиком функции 
, (щ.м.), прямыми x
= a и x = b и осью абсцисс
Различные виды криволинейных трапеций (слайд
2)
Рассматриваем различные виды криволинейных
трапеций и замечаем: одна из прямых вырождена в
точку, роль ограничивающей функции играет прямая
Площадь криволинейной трапеции (слайд 3)
Зафиксируем левый конец промежутка а, а
правый х будем менять, т. е., мы двигаем правую
стенку криволинейной трапеции и получаем
меняющуюся фигуру. Площадь переменной
криволинейной трапеции, ограниченной графиком
функции , является первообразной F для
функции f
И на отрезке [a; b] площадь криволинейной
трапеции, образованной функцией f, равна
приращению первообразной этой функции:
S к. т.
Задание 1:
Найти площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком функции: f(x) = х2 и
прямыми у = 0, х = 1, х = 2.
Решение: (по алгоритму слайд 3)
Начертим график функции и прямые
Найдём одну из первообразных функции f(x) = х2
:
F(x) =
, 
Значит 
Самопроверка по слайду
Интеграл
Рассмотрим криволинейную трапецию, заданную
функцией f на отрезке [a; b]. Разобьём этот
отрезок на несколько частей. Площадь всей
трапеции разобьётся на сумму площадей более
мелких криволинейных трапеций. (слайд 5).
Каждую такую трапецию можно приближённо считать
прямоугольником. Сумма площадей этих
прямоугольников даёт приближённое
представление о всей площади криволинейной
трапеции. Чем мельче мы разобьём отрезок [a; b],
тем точнее вычислим площадь.
Запишем эти рассуждения в виде формул.
Разделим отрезок [a; b] на n частей точками х0
=а, х1,… ,хn = b. Длину k-го обозначим через 
хk = xk – xk-1. Составим сумму 
Геометрически эта сумма представляет собой
площадь фигуры, заштрихованной на рисунке (щ.м.)
Суммы вида 
называются интегральными суммами для функции f.
(щ.м.)
Интегральные суммы дают приближённое значение
площади. Точное значение получается при помощи
предельного перехода. Представим, что мы
измельчаем разбиение отрезка [a; b] так, что
длины всех маленьких отрезков стремятся к нулю.
Тогда площадь составленной фигуры будет
приближаться к площади криволинейной трапеции.
Можно сказать, что площадь криволинейной
трапеции равна пределу интегральных сумм, Sк.т.
(щ.м.) или
интегралу, т. е.,
Определение:
Интегралом функции f (х) от a до b
называется предел интегральных сумм 
= 
(щ.м.)
Формула Ньютона- Лейбница.
Помним, что предел интегральных сумм равен
площади криволинейной трапеции, значит можно
записать:
Sк.т. =
(щ.м.)
С другой стороны, площадь криволинейной
трапеции вычисляется по формуле
S к. т. (щ.м.)
Сравнивая эти формулы, получим:
= 
(щ.м.)
Это равенство называется формулой Ньютона-
Лейбница.
Для удобства вычислений формулу записывают в
виде:
= 
= (щ.м.)
Задания: (щ.м.)
1. Вычислить интеграл по формуле Ньютона-
Лейбница:
(проверяем по слайду 5)
2. Составить интегралы по чертежу (проверяем
по слайду 6)
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у
= х3, у = 0, х = 1, х = 2. (Слайд 7)
Нахождение площадей плоских фигур (слайд 8)
Как найти площадь фигур, которые не являются
криволинейными трапециями?
Пусть даны две функции, графики которых вы
видите на слайде. (щ.м.) Необходимо найти
площадь закрашенной фигуры. (щ.м.). Фигура, о
которой идёт речь, является криволинейной
трапецией? А как можно найти её площадь,
пользуясь свойством аддитивности площади?
Рассмотреть две криволинейные трапеции и из
площади одной из них вычесть площадь другой (щ.м.)
Составим алгоритм нахождения площади по
анимации на слайде:
- Построить графики функций
- Спроецировать точки пересечения графиков на
ось абсцисс - Заштриховать фигуру, полученную при
пересечении графиков - Найти криволинейные трапеции, пересечение или
объединение которых есть данная фигура. - Вычислить площадь каждой из них
- Найти разность или сумму площадей
Устное задание: Как получить площадь
заштрихованной фигуры (рассказать при помощи
анимации, слайд 8 и 9)
Домашнее задание: Проработать
конспект, №353 (а), № 364 (а).
Список литературы
- Алгебра и начала анализа: учебник для 9-11 классов
вечерней (сменной) школы/ под ред. Г.Д. Глейзера. –
М: Просвещение, 1983. - Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: учебное
пособие для 10-11 кл.сред.шк./ Башмаков М.И. – М:
Просвещение, 1991. - Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений
нач. и сред. проф. образования/ М.И. Башмаков. – М:
Академия, 2010. - Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа:
учебник для 10-11 кл. общеобразовательных
учреждений/ А.Н.Колмогоров. – М: Просвещение, 2010. - Островский С.Л. Как сделать презентацию к уроку?/
C.Л. Островский. – М.: Первое сентября, 2010.
