Площадь кольца
Онлайн калькулятор
Площадь кольца по радиусам или диаметрам
Чему равна площадь кольца ограниченного двумя окружностями, если:
у внешней окружности
у внутренней окружности
Площадь кольца по толщине и любому другому параметру
Чему равна площадь кольца ограниченного двумя окружностями, если:
толщина кольца t =
Теория
Площадь кольца через радиусы
Чему равна площадь кольца S ограниченного двумя окружностями, если известны радиус внешней окружности R и радиус внутренней окружности r ?
Формула
Пример
К примеру, определим площадь кольца, у которого внешний радиус R = 3 см, а внутренний радиус r = 2 см:
S = 3.14 ⋅ (3² – 2²) = 3.14 ⋅ (9 – 4) = 3.14 ⋅ 5 = 15.7 см²
Ответ: S = 15.7 см²
Площадь кольца через диаметры
Чему равна площадь кольца S ограниченного двумя окружностями, если известны диаметр внешней окружности D и диаметр внутренней окружности d ?
Формула
Пример
К примеру, определим площадь шайбы, внешний диаметр которой D = 4 см, а внутренний – d = 2 см:
S = 3.14 / 4 ⋅ (4² – 2²) = 0.785 ⋅ (16 – 4) = 9.42 см²
Ответ: S = 9.42 см²
Площадь кольца через толщину
Чтобы посчитать площадь кольца S зная его толщину t, необходимо знать ещё какой-нибудь из следующих параметров:
- внешний диаметр D
- внутренний диаметр d
- радиус внешней окружности R
- радиус внутренней окружности r
Формулы
Пример
Для примера, найдём чему равна площадь кольца толщиной t = 2 см и внешним диаметром D = 5 см:
S = 3.14/4 ⋅ (5² – (5 – 2 ⋅ 2)²) = 0.785 ⋅ (25 – 1) = 18.84 см²
Расчет площади пересечения окружностей методом Монте-Карло
Эта статья родилась как логическое продолжение пятничного поста о методе Бутстрапа, а особенно, комментариев к нему. Не защищая метод Бутстрапа, стоит уделить внимание методам Монте-Карло. Здесь я хочу поделиться своим опытом применения Монте-Карло в одной из своих практических задач, а также обоснованием законности этого применения.
Итак, моя задача заключалась в необходимости вычисления площади фигуры, являющейся пересечением окружностей, с последующей реализацией на языке JavaScript. Площадь под графиком – это интеграл. Интегрирование методом Монте-Карло достаточно широко известно, но, как многие верно заметят, его применение требует некоторого обоснования. За подробностями прошу под кат.
Обоснование
Задача расчета площади пересечения двух окружностей является тривиальной геометрической задачей (координаты центров окружностей и их радиусы нам известны). Площадь пересечения двух окружностей – это сумма площадей соответствующих сегментов этих окружностей. Есть решения для расчета площади пересечения двух, трех, четырех окружностей в различных частных случаях.
А вот решения общего случая для пересечения даже трех окружностей уже далеко не так тривиальны. В процессе поиска я нашел даже исследования по расчету площади пересечения N окружностей, однако они настолько же интересны, насколько и сложны.
Здесь на сцену выходит метод Монте-Карло. Благодаря современным компьютерным мощностям этот метод позволяет провести большое количество статистических испытаний, на основе результатов которых делается обобщение.
Итак, алгоритм расчета площади любой фигуры методом Монте-Карло сводится к следующему:
- Фигура вписывается в прямоугольник. Координаты сторон прямоугольника известны, значит, известна его площадь.
- Псевдослучайным образом внутри прямоугольника генерируется большое количество точек. Для каждой точки определяется, попала ли точка внутрь исходной фигуры или нет.
- В результате площадь исходной фигуры вычисляется исходя из обычной пропорции: отношение количества точек, попавших в фигуру, к общему количеству сгенерированных точек равно отношению площади фигуры к площади ограничивающего ее прямоугольника.
Последняя проблема, которую надо решить, заключается в том, что каким-то образом необходимо определять, попала ли точка внутрь исходной фигуры. В моем случае данная задача решается достаточно просто, поскольку моя фигура состоит из окружностей, координаты центров и радиусы которых известны.
Реализация задачи на JavaScript
Пара гвоздей в метод Бутстрапа
Если говорить именно о методе Бутстрапа, то мое личное мнение заключается в том, что случайная генерация набора данных по имеющемуся набору в общем случае не может служить для оценки закономерностей, поскольку сгенерированная информация не является достоверной. В общем, это же, только более умными (и нередко более резкими) словами, говорят и многие авторы, например, Орлов в своем учебнике по Эконометрике.
Как найти площадь между двумя окружностями
Позволяет рассчитать площадь пересечения двух окружностей произвольных радиусов.
Используются достаточно простые формулы, которые элементарно доказываются.
Дополнительно есть калькулятор, который высчитывает координаты пересечения двух окружностей
Площадь пересечения двух окружностей состоит из двух сегментов FDG и FBG
Вывести формулу расчета площади пересечения двух окружностей можно из двух общеизвестных формул и знаний решения треугольника:
Формулы сектора окружности
и длина хорды окружности
По известным сторонам треугольника AFС определяем высоту на сторону AC.
Удвоением этой высоты мы получаем длину хорды, после этого узнаем угол альфа по второй формуле.
По известным сторонам треугольника AFG узнаем его площадь. Вычитаем её из площади сектора окружности, ведь угол альфа нам уже известен.
И получаем площадь сегмента FBG
Подобным образом вычисляем FDG
Это лишь один из способов решения задачи вычисления площади пересечения двух окружностей.
– радиус первой окружности
– радиус второй окружности
– расстояние между центрами окружностей
Пример
Хотим узнать площадь пересечения двух окружностей радиусом в 1 и расстоянием между центрами 0.8079455
Пишем okr 1 1 0.8079455
Площадь двух пересекающихся окружностей равна = 1.5707963388681
Первая окружность радиус 4, вторая окружность радиус 2, расстоянием между центрами 3
Пишем okr 4 2 3
Площадь двух пересекающихся окружностей равна = 9.5701994729833
Первая окружность радиус 4, вторая окружность радиус 2, расстоянием между центрами 0
[spoiler title=”источники:”]
http://habr.com/ru/post/192272/
http://abakbot.ru/online-2/73
[/spoiler]
Оглавление:
- 📝 Как это работает?
- 🤔 Частые вопросы и ответы
- 📋 Похожие материалы
- 📢 Поделиться и комментировать
Формула (формулы) площади круга
Найти площадь круга можно разными способами, в зависимости от известных данных.
По радиусу
Если дан только радиус, то площадь составит произведение константы Пи на квадрат радиуса. Расчёт будет по формуле (где r – радиус, а π – константа, равная 3,1415…):
Например, если радиус равен 2 метра, то площадь круг можно вычислить так S = 3,14 × 22 = 3,14 × 4 = 12,56 м2 (квадратных метров).
Через диаметр
Если известен диаметр, то площадь круга будет равняться одной четвёртой произведения Пи и квадрата диаметра. Формула площади круга будет такой (где d – диаметр, а π – константа, равная 3,1415…):
К примеру, если диаметр круга (площадь поверхности пиццы) составляет 35 сантиметров, то площадь такого круга будет равна S = ¼ × 3,14 × 352 = ¼ × 3,14 × 1225 = 962 см2 (квадратных сантиметра).
Через длину окружности
Если мы знаем только длину окружности (периметр круга), то рассчитать площадь фигуры можно по формуле (где L – длина окружности, а π – константа, равная 3,1415…):
Например, если длинна окружности составляет 120 мм, тогда площадь круга будет равна S = 1202 / (4 × 3,14) = 14 400 / (4 × 3,14) = 1146,5 мм2 (квадратных миллиметров).
Какие термины используются для поиска площади круга?
Для вычисления площади круга, в формулах были использованы следующие термины, значение которых нужно знать, чтобы точно понимать принципы расчета.
Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра.
Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии, не превышающем радиус.
Диаметр — отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности. Диаметр равен двум радиусам.
Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней.
Число π (пи) — математическая постоянная, равная отношению длины окружности к её диаметру. Пи равняется примерно 3,14.
Площадь круга и размеры пицц
Люди не всегда верно сопоставляют площадь круга и диаметры. К примеру, сможете ли вы ответить:
Что больше: 2 пиццы диаметром 25 см или 1 пицца диаметром 40 см?
Интуитивно кажется, что 2 пиццы, так как в сумме их радиусы дают 50 сантиметров, что больше, чем 40. Однако это неправильный вывод, так как сравнивать нужно не сумму диаметров, а сумму квадратов диаметров. То есть:
- 252 + 252 = 625 + 625 = 1250
- 402 = 1600
Так как ¼π является константой, то можно сравнивать только квадраты диаметров. Получается, что пицца 40 см больше, чем даже 2 пиццы размером 25 см. А вот если диаметр пиццы составляет 35 см, то 352 = 1225, и в этом случае 2 пиццы по 25 см будут иметь бОльшую площадь.
Площади усеченных частей круга
А также полезно знать следующие геометрические элементы, связанные с кругами и окружностями:
Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности.
Сектор — часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Сектор является частью круга, а его площадь относится к площади круга так же, как и длина окружности сектора к длине всей окружности. Поэтому площадь сектора равна площади круга, умноженной на отношение длинны окружности сектора к длине окружности всего круга.
Но площадь сектора можно вычислить и по более простой формуле. Она равна длине дуги сектора, умноженной на половину радиуса:
S = sr/2
где S — площадь сектора, r — радиус круга.
Сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой.
Площадь сегмента можно найти по формулам:
S = r2sinα/ 2
где S — площадь сегмента, sinα — синус угла двух между радиусов до концов хорды, r — радиус круга.
Часто задаваемые вопросы о площади круга?
И конечно, стоит ответить на некоторые вопросы, которые возникают во время расчетов.
Входит ли окружность (периметр) в площадь круга?
Да, входит, ведь кругом являются все точки, удаленные от центра круга на расстояние, которое не превышает радиус.
Какие есть ещё калькуляторы для круга у вас на сайте?
У нас есть разнообразные калькуляторы, в частности калькуляторы: длины окружности, диаметра и площади круга. Для последней калькулятор находится на данной странице.
Хватит ли только диаметра, только радиуса или только длинны окружности для расчета площади круга?
Да, хватит чего-то одного, так как все 3 сущности можно вывести одну из другой, например, диаметр равен двум радиусам, а длина окружности – это диаметр, умноженный на число Пи.
Почему Пи равняется 3,1415926…, а не является «ровным» числом?
Число Пи – это отношение длины окружности к диаметру. После его вычисления математики выяснили, что оно является иррациональным числом: то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. На июнь 2022 года известны первые 100 триллионов знаков числа «пи» после запятой. И получается, что именно с такой точностью можно рассчитать площадь круга. Если у квадрата и треугольника площадь точная, то у круга всегда приблизительная.
Кто впервые научился вычислять площадь круга?
Гиппократ Хиосский (не тот, в честь которого назвали клятву) первым сформулировал, что площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра. Евдокс Книдский в IV веке до н. э. строго доказал это утверждение. А Архимед в III веке до н. э. нашёл число Пи и продемонстрировал, что оно чуть меньше, чем 3 и 1/7.
Похожие калькуляторы
Возможно вам пригодятся ещё несколько калькуляторов по данной теме:
- Калькулятор площади шара (сферы). Рассчитайте онлайн площадь поверхности шарообразного объекта (сферы).
- Площадь правильного шестиугольника: калькулятор. Рассчитайте площадь правильного (равностороннего) шестиугольника с помощью онлайн-калькулятора.
- Калькулятор числа «e». Посмотрите онлайн нужное число знаков после запятой в числе «e» (Эйлера или Непера).
- Площадь поверхности куба: калькулятор. Рассчитайте онлайн площадь поверхности куба по длине ребер, диагонали куба или диагоналям его сторон.
- Калькулятор масштабов. Переведите онлайн именованный масштаб на чертеже в реальный и наоборот.
- Калькулятор числа Пи. Узнайте, чему равно число Пи с точностью до нужного количества знаков после запятой.
- Калькулятор объема параллелепипеда. Рассчитайте онлайн объем любого параллелепипеда по длинам его ребер и не только.
- Калькулятор объема куба. Рассчитайте онлайн объем любого кубического предмета по длине стороны или диагоналям.
- Калькулятор объема бака. Посчитайте объем цилиндрического, прямоугольного или автомобильного бака по габаритам (по расходу и пройденному расстоянию).
- Калькулятор объема помещения. Посчитайте объем комнаты или любого помещения в кв.метра или литрах.
Если понравилось, поделитесь калькулятором в своих социальных сетях: вам нетрудно, а проекту полезно для продвижения. Спасибо!
Есть что добавить?
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.
Показать комментарии
| Радиус первой окружности |
| Радиус второй окружности |
| Расстояние между двумя окружностями |
| Площадь пересечения двух окружностей по заданным параметрам равна: |
|
| Первые координаты пересечения | |
| Вторые координаты пересечения |
Позволяет рассчитать площадь пересечения двух окружностей произвольных радиусов.
Используются достаточно простые формулы, которые элементарно доказываются.
Дополнительно есть калькулятор, который высчитывает координаты пересечения двух окружностей
Площадь пересечения двух окружностей состоит из двух сегментов FDG и FBG
Вывести формулу расчета площади пересечения двух окружностей можно из двух общеизвестных формул и знаний решения треугольника:
Формулы сектора окружности
(S=cfrac{alpha(R^2)}{2})
и длина хорды окружности
(L=2Rsin(cfrac{alpha}{2}))
По известным сторонам треугольника AFС определяем высоту на сторону AC.
Удвоением этой высоты мы получаем длину хорды, после этого узнаем угол альфа по второй формуле.
По известным сторонам треугольника AFG узнаем его площадь. Вычитаем её из площади сектора окружности, ведь угол альфа нам уже известен.
И получаем площадь сегмента FBG
Подобным образом вычисляем FDG
Это лишь один из способов решения задачи вычисления площади пересечения двух окружностей.
(S=S_1+S_2)
(S_1=cfrac{R_1^2*(F_1-sin(F_1))}{2})
(S_2=cfrac{R_2^2*(F_2-sin(F_2))}{2})
где
(F_1=2*acos{cfrac{R_1^2-R_2^2+D^2}{2*R_1*D}})
(F_2=2*acos{cfrac{R_2^2-R_1^2+D^2}{2*R_2*D}})
где
– радиус первой окружности
– радиус второй окружности
– расстояние между центрами окружностей
Пример
Хотим узнать площадь пересечения двух окружностей радиусом в 1 и расстоянием между центрами 0.8079455
Пишем okr 1 1 0.8079455
Ответ
Площадь двух пересекающихся окружностей равна = 1.5707963388681~ (pi/2)
Первая окружность радиус 4, вторая окружность радиус 2, расстоянием между центрами 3
Пишем okr 4 2 3
Ответ
Площадь двух пересекающихся окружностей равна = 9.5701994729833
Первая окружность радиус 4, вторая окружность радиус 2, расстоянием между центрами 0
Пишем okr 4 2 0
Ответ
Окружности не пересекаются
Определение основных понятий
Прежде чем погрузиться в последовательность расчетов и узнать, чему равна площадь круга, важно выяснить разницу между понятиями окружности и круга.
Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра.
Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии, не превышающем радиус.
Если говорить простым языком, окружность — это замкнутая линия, как, например, кольцо и шина. Круг — плоская фигура, ограниченная окружностью, как монетка или крышка люка.
Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту
Реши домашку по математике на 5.
Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.
Формула вычисления площади круга
Давайте разберем несколько формул расчета площади круга. Поехали!
Площадь круга через радиус
S = π × r2, где r — это радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она приблизительно равна 3,14.
Площадь круга через диаметр
S = d2 : 4 × π, где d — это диаметр.
Площадь круга через длину окружности
S = L2 : (4 × π), где L — это длина окружности.
Важно!
Задачку не решить, если длина и ширина даны в разных единицах. Для правильного решения переведите все данные к одной единице измерения, и все получится.
Популярные единицы измерения площади:
- квадратный миллиметр (мм2);
- квадратный сантиметр (см2);
- квадратный дециметр (дм2);
- квадратный метр (м2);
- квадратный километр (км2);
- гектар (га).
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Задачи. Определить площадь круга
Мы разобрали три формулы для вычисления площади круга. А теперь тренироваться — поехали!
Задание 1. Как найти площадь круга по диаметру, если значение радиуса равно 6 см.
Как решаем:
-
Диаметр окружности равен двум радиусам.
-
Используем формулу: S = π × d2 : 4.
-
Подставим известные значения: S = 3,14 × 122 : 4.
S = 113,04 см2.
Ответ: 113,04 см2.
Задание 2. Найти площадь круга, если известен диаметр, равный 90 мм.
Как решаем:
-
Используем формулу: S = π × d2 : 4.
-
Подставим известные значения: S = 3,14 × 902 : 4.
S = 6358,5 мм2.
Ответ: 6358,5 мм2.
Задание 3. Найти длину окружности при радиусе 3 см.
Как решаем:
-
Отношение длины окружности к диаметру является постоянным числом.
π = L : d
-
Получается: L = d × π.
-
Так как диаметр равен двум радиусам, то формула длины окружности примет вид: L = 2 × π × r.
-
Подставим значение радиуса: L = 2 × 3,14 × 3.
L = 18,84 см2.
Ответ: 18,84 см2.
Площадь S криволинейного сектора, ограниченного непрерывной кривой r=r(f) и двумя лучами f=f1 и f=f2, где f1<f2 равняется половине определенного интегралу от квадрата радиуса кривой, проинтегрированного в пределах изменения угла
Задачи взяты из программы практикума для студентов мех-мата Львовского национального университета имени Ивана Франко. Первый номер в примерах отвечает номеру основного задания из сборника М. В. Заболоцький, Фединяк С.И., Филевич П.В. “Практикум из математического анализа” (рядом стоит номер из сборника Б. П. Демидовича).
Для запоминания основных моментов схема интегрирования и нахождения площадей из примера в пример будет повторяться. Сами ррешеня по возможности будут проиллюстрированы графиками исследуемых кривых.
Найти площади фигур, ограниченных кривыми, заданными в полярных координатах
Пример 2.106 (2418) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми r2=a2*cos(2f) (лемниската Бернулли).
Вычисление: Лемниската Бернулли – геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух фиксированных точек (фокусов) остается постоянным и равняется квадрату половины расстояния между фокусами.
Запишем подинтегральную функцию: r2=a2*cos(2f) (известна за условием).
Найдем пределы интегрирования:
задана кривая замкнутая, симметричная относительно прямых r*cos(f)=0 и r*sin(f)=0.
Наведем график лемнискаты Бернулли
Поскольку заданная функция осями координат делится на четыре равных части и достигает своих критических значений при f1=0 (r=a) и f2=p/4 (r=0), то площадь фигуры вычислим для одной части лемнискаты, а результат умножим на 4.
Найдем площадь фигуры интегрированиям по углу
Площадь измеряется в единицах квадратных, однако в этом и следующих примерах размерности наводить не будем, хотя о них помним.
Пример 2.107 (2419) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми r=a* (1+cos(f)) – кардиоида.
Вычисление: Кардиоида – плоская линия, которая описывается фиксированной точкой круга, который катится по неподвижному кругу с таким же радиусом a.
Записываем подинтегральную функцию: r2=a2*(1+cos(f))2.
Находим пределы интегрирования: кривая замкнутая, симметричная относительно прямой r*sin(f) =0.
Поскольку заданная функция осями координат делится на две равных части и достигает своих критических значений при f1=0 (r=2a) и f2=p (r=0), то площадь фигуры вычислим для половины кардиоиды, а результат умножим на 2.
График кардиоиды имеет вид
Вычислим площадь фигуры, которая ограничена заданной кривой, интегрированием:
Пример 2.108 (2420) Найти площадь фигуры, ограниченной кривой r=a*sin(f) -трилисник.
Вычисление: Подносим функцию к квадрату, чтобы получить подинтегральную функцию:
r2=a2*sin2(f).
График трилистника в полярной системе координат
Установим пределы интегрирования:
Поскольку заданный график функции делится на шесть равных частей (полупелюсток) и достигает своих критических значений при f1=0 (r=0) и f2=p/6 (r=a/2) то площадь фигуры вычислим для одной его части, а результат умножим на 6.
Находим площадь фигуры интегрированием по углу
Получили простую для вычислений формулу площади трилистника S=Pi*a2/4.
Пример 2.109 ( 2421) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой 
(парабола), f1=p/4, f2=p/2.
Вычисление: Подносим к квадрату уравнения кривой в полярной системе коринат (СК).
Пределы интегрирования известны f1=p/4, f2=p/2 за условием.
График фигуры, площадь которой нужно найти имеет вид
Интегрированием вычисляем площадь фигуры, которая ограничена параболой:
Для вычисления интеграла следует выполнить замену переменных, не забывая при этом , что изменяются пределы интегрирования.
Пример 2.110 ( 2422) Найти площадь фигуры, ограниченной кривой 
(эллипс)
Вычисление: Запишем подинтегральную функцию:
Пределы интегрирования: f1=0, f2=2p (начало и конец кривой эллипса).
График эллипса имеет вид
Находим площадь елипса, воспользовавшись следующей формулой интегрирования
При выведении этой формулы пользовались методом интегрирования частями!
Напоследок превращаем конечную формула с помощью известных формул.
Как видим, ответы задач 2.110 и 2.87 совпадают, то есть площадь эллипса S=Pi*a*b вычислена правильно.
Пример 2.111 (2422.1) Найти площадь фигуры, ограниченной кривой заданной в полярных координатах r=3+2*cos(f).
Вычисление: Сначала находим подинтегральную функцию: r2=(3+2*cos(f))2.
Дальше пределы интегрирования: задана кривая замкнутая, симметричная относительно прямой r*sin(f)=0.
Ее график приведен на рисунку ниже
Поскольку задана кривая осями координат делится на две равных части и достигает своих критических значений при углах f1=0 (r=5) и f2=p (r=1), то вычислим половину площади фигуры, а результат умножим на 2.
Находим площадь фигуры через определенный интеграл
Интеграл в данном случае не тяжелый и, возведя в квадрат подинтегральную функцию и понизив квадрат косинуса, в результате вычислений получим, что площадь равна S=11*Pi.
Пример 2.112 (2424.1) Найти площадь фигуры, ограниченной кривой заданной в полярных координатах r2+f2=1.
Вычисление: Выражаемый подинтегральную функцию: r2=1-f2 .
Найдем пределы интегрирования.
, поэтому 
, откуда 
.
Построим график кривой в математическом пакете Maple17.
Кривая состоит из двух веток корневой функции, поэтому для корректного ее отображения используем следующий код:
> restart;
> with (plots) :
> q1:=plot(sqrt(1-phi^2),phi=-1.1, color=blue, thickness=2, coords=polar):
q2:=plot(-sqrt(1-phi^2),phi=-1.1, color=blue, thickness=2, coords=polar):
> display (q1, q2);
Фрагмент программы Maple приведен ниже
Находим площадь фигуры, которая ограничена кривой:
Интеграл в этом задании простей всех, что рассматривались.
Пример 2.113 ( 2422.2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми 
.
Вычисление: Выписываем подинтегральные функции:
Поскольку на промежутке интегрирования 
между кривыми выполняется неравенство
, то для нахождения площади имеем r22-r12.
Найдем пределы интегрирования: f1=0 – особенная точка (функция направляется к безграничности) f1=p/2 (известны за условием).
Находим площадь фигуры через предел от интеграла:
Данный пример хорошо разберите, чтобы не иметь трудностей на экзамене или модуле с подобными.
Пример 2.114 ( 2424) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой 
Вычисление: Запишем подинтегральную функцию: r2.
Запишем пределы интегрирования:
(известны за условием).
График функций имеет вид
Вычислим площадь фигуры, что приведена на графике.
Для этого сначала находим дифференциал угла f и переходим к интегрированию по радиусу.
Для нахождения интеграла применяем интегрирование частями
Интеграл достаточно трудно находится, поэтому все что содержит формула внимательно проанализируйте.
Пример 2.116 (2424.4) Найти площадь фигуры, ограниченной полярными кривыми f=r-sin(r), f=p.
Вычисление: Подинтегральную функция следующая: r2.
Пределы интегрирования: f1=0, (r=0) начало; f1=p (известно за условием).
График функции имеет вид
Находим площадь фигуры, применяя дважды интегрирование частями
Интеграл не слишком сложен, все переходы просьба проанализировать самостоятельно.
Пример 2423 Вычислить площадь фигуры, ограниченной полярными кривыми r=a*cos(f), r=a(cos(f)+sin(f)), M (a/2;0)єS.
Вычисление: Для представления фигуры, площадь которой нужно найти предварительно выполняем построение графика заданных функций
Поскольку точка M (a/2;0)єS делит искомую площадь на две части, то имеем два интеграла
Записываем уравнение подинтегральных функций:
Определяем пределы интегрирования:
, где 
и 
где 
(точки пересечения линий).
Вычисляем площадь изображенной фигуры интегрированием
Здесь воспользовались известные тригонометрические формулы для понижения степени косинусов и синусов под интегралом. Все остальное сводятся к применению простых формул интегрирования, и нахождения их значений.
Пример 2424.2 Найти площадь фигуры, ограниченной полярными кривыми f=sin(p*r), r пренадлежит [0;1].
Вычисление: Запишем подинтегральную функцию: r2.
Запишем пределы интегрирования: При росте r от 0 к 1/2 угол f растет от 0 к 1, при росте r от 1/2 к 1 угол f спадает от 1 к 0, поэтому величина интеграла в пределах r пренадлежит [0;1] имеет знак “минус”.
Находим площадь фигуры, предварительно перейдя к новой переменной под интегралом:
Перед интегралом (после замены переменных) поставили знак “минус”, поскольку интеграл является отрицательным на этом промежутке, а площадь должна быть положительной.
Перейти к полярным координатам и найти площади фигур, ограниченных кривыми
Пример 2426 Перейти к полярным координатам и найти площадь фигуры x3+y3=3a*x*y (лист Декарта)
Вычисление: Перейдем от прямоугольной системы координат к полярной системе координат за формулами перехода:
При подстановке в уравнение получим
Поднесем к квадрату, чтобы получить подинтегральную функцию:
Выпишем пределы интегрирования:
, потому что 
при 
и при 
.
График функции имеет вид
Найдем площадь фигуры интегрированиям:
Для получения конечной формулы площади дважды применяли замену переменных под интегралом.
Внимательно разберите, как при этом изменяются пределы и эффективность методики.
Пример 2427 Перейти к полярным координатам и найти площадь фигуры x4+y4=3a2(x2+y2)
Вычисление: Переходим от прямоугольной к полярной системе координат:
Выражаемый подинтегральную функцию делением:
Запишем пределы интегрирования:
(функция парная).
Ее график изображен на рисунку
Оси прямоугольной системы координат являются осями симметрии для фигуры, которая ограничена заданной линией, поэтому площадь найдем для симметричной части и результат умножим на 4.
Находим площадь фигуры через интеграл:
Пример 2428 Перейти к полярным координатам и найти площадь фигуры (x2+y2)2=2a2*x*y (лемниската).
Вычисление: Выполняем переход от прямоугольной к полярной системе координат:
– подинтегральная функция.
График исследуемой кривой следующий
Запишем пределы интегрирования: учитывая симметрию точек лемнискаты относительно прямой r*sin(f) =r*cos (f) и относительно начала координат, то площадь фигуры будем искать в пределах 
и результат умножим на 4 (смотри пример 2.106).
Находим площадь фигуры интегрированием:
Вычислений в этом задании минимум.
В следующих публикациях Вы найдете больше примеров на применение определенного интеграла при вычислении длины дуги, объемов фигур вращения и площадей поверхностей.
