Как найти площадь фигуры неопределенной формы

Знаете ответ?



Задачка это школьная, но, несмотря на то, почти 100% встретится в вашем курсе высшей математики. Поэтому со всей серьёзностью отнесёмся ко ВСЕМ примерам, и первое, что нужно сделать – это ознакомиться с Приложением Графики функций, чтобы освежить в памяти технику построения элементарных графиков. …Есть? Отлично! Типовая формулировка задания звучит так:

Пример 10
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

И первый важнейший этап решения состоит как раз в построении чертежа. При этом я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций.

В нашей задаче: прямая  определяет ось , прямые  параллельны оси  и парабола  симметрична относительно оси , для неё находим несколько опорных точек:

Искомую фигуру желательно штриховать:

Второй этап состоит в том, чтобы правильно составить и правильно вычислить определённый интеграл. На отрезке   график функции  расположен над осью , поэтому искомая площадь:

Ответ:

После того, как задание выполнено, полезно взглянуть на чертёж
и прикинуть, реалистичный ли получился ответ.

И мы «на глазок» подсчитываем количество заштрихованных клеточек – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получилось, скажем, 20 квадратных единиц, то, очевидно, где-то допущена ошибка – в построенную фигуру 20 клеток явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 11
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и осью

Быстренько разминаемся (обязательно!) и рассматриваем «зеркальную» ситуацию – когда криволинейная трапеция расположена под осью :

Пример 12
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,  и координатными осями.

Решение: найдём несколько опорных точек для построения экспоненты:

и выполним чертёж, получая фигуру площадью около двух клеток:

Если криволинейная трапеция расположена не выше оси , то её площадь можно найти по формуле: .
В данном случае:

Ответ:  – ну что же, очень и очень похоже на правду.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому от простейших школьных задачек мы переходим к более содержательным примерам:

Пример 13
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Решение: сначала нужно выполнить чертеж, при этом нас особо интересуют точки пересечения параболы  и прямой , поскольку здесь будут находиться пределы интегрирования.  Найти их можно двумя способами. Первый способ – аналитический. Составим и решим уравнение:

таким образом:

Достоинство аналитического способа состоит в его точности, а недостаток – в длительности (и в этом примере нам ещё повезло). Поэтому во многих задачах бывает выгоднее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой».

С прямой  всё понятно, а вот для построения параболы удобно найти её вершину, для этого возьмём производную и приравняем её к нулю:
 – именно в этой точке и будет находиться вершина. И, в силу симметрии параболы, остальные опорные точки найдём по принципу «влево-вправо»:

Выполним чертеж:

А теперь рабочая формула: если на отрезке  некоторая непрерывная функция  больше либо равна непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и отрезками прямых , можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а, грубо говоря, важно, какой из двух графиков ВЫШЕ.

В нашем примере очевидно, что на отрезке  парабола располагается выше прямой, а поэтому из  нужно вычесть

Завершение решения может выглядеть так:

На отрезке : , по соответствующей формуле:

Ответ:

Следует отметить, что простые формулы, рассмотренные в начале параграфа – это частные случаи формулы . Поскольку ось  задаётся уравнением , то одна из функций будет нулевой, и в зависимости от того, выше или ниже лежит криволинейная трапеция, мы получим формулу  либо

А сейчас пара типовых задач для самостоятельного решения

Пример 14
Найти площадь фигур, ограниченных линиями:

а) , .

б) , ,

Решение с чертежами и краткими комментариями в конце книги

В ходе решения рассматриваемой задачи иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, интеграл решён правильно, но по невнимательности… найдена площадь не той фигуры, именно так несколько раз ошибался ваш покорный слуга. Вот реальный случай из жизни:

Пример 15
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: выполним бесхитростный чертёж,

хитрость которого состоит в том, что искомая площадь заштрихована зелёным цветом (внимательно смотрИте на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована серым цветом! Особое коварство состоит в том, что прямую  можно недочертить до оси , и тогда мы вовсе не увидим нужную фигуру.

Этот пример ещё и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определённых интегралов. Действительно:

1) на отрезке  над осью  расположен график прямой ;
2) на отрезке  над осью  расположен график гиперболы .

Совершенно понятно, что площади можно (и нужно) сложить:

Ответ:

И познавательный пример для самостоятельного решения:

Пример 16
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , ,  и координатными осями.

Итак, систематизируем важные моменты этой задачи:

На первом шаге ВНИМАТЕЛЬНО изучаем условие – КАКИЕ функции нам даны? Ошибки бывают даже здесь, в частности, арккотангенс  зачастую принимают за арктангенс. Это, кстати, относится и к другим заданием, где встречается арккотангенс.

Далее следует ПРАВИЛЬНО выполнить чертёж. Сначала лучше построить прямые (если они есть), затем графики других функций (если они есть J). Последние во многих случаях выгоднее строить поточечно – найти несколько опорных точек и аккуратно соединить их линией.

Но здесь могут подстерегать следующие трудности. Во-первых, из чертежа не всегда понятны пределы интегрирования – так бывает, когда они дробные. На mathprofi.ru в соответствующей статье я рассмотрел пример с параболой  и прямой , где из чертежа не понятна одна из точек их пересечения. В таких случаях следует использовать аналитический метод, составляем уравнение:

и находим его корни:
 – нижний предел интегрирования,  – верхний предел.

Во-вторых, не всегда понятен «внешний вид» линии, и функция  (Пример 16) – яркий тому пример. Я и сам «с ходу» не представляю, как выглядит график этой функции. Здесь можно воспользоваться специализированными программами или онлайн сервисами (а-ля «построить график онлайн»), а в экстремальной ситуации найти побольше опорных точек (штук 10-15), чтобы поточнее провести «неизвестную» кривую.
Ну и, конечно, я призываю вас повышать свои знания и навыки в графиках, в частности, приведу прямую ссылку на особо полезную статью:
http://mathprofi.ru/kak_postroit_grafik_funkcii_s_pomoshyu_preobrazovanii.html

После того, как чертёж построен, анализируем полученную фигуру – ещё раз окидываем взглядом предложенные функции и перепроверяем, ТА ЛИ это фигура. Затем анализируем её форму и расположение, бывает, что площадь достаточно сложнА и тогда её следует разделить на две, а то и на три части.

Составляем определённый интеграл или несколько интегралов по формуле , все основные вариации мы разобрали выше.

Решаем определённый интеграл (ы). При этом он может оказаться достаточно сложным, и тогда применяем поэтапный алгоритм: 1) находим первообразную и проверяем её дифференцированием, 2) используем формулу Ньютона-Лейбница.

Результат полезно проверить с помощью программного обеспечения / онлайн сервисов или просто «прикинуть» по чертежу по клеточкам. Но и то, и другое не всегда осуществимо, поэтому крайне внимательно относимся к каждому этапу решения!

1.9. Объём тела вращения

1.7. Геометрический смысл определённого интеграла

| Оглавление |



Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

КГУ ЧЕРНОРЕЦКАЯ СОШ № 1

ПАВЛОДАРСКАЯ ОБЛАСТЬ

ПАВЛОДАРСКИЙ РАЙОН

СЕЛО ЧЕРНОРЕЦК

ТЕМІРБУЛАТ НАЗЕРКЕ

8 КЛАСС

НАХОЖДЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ НЕСТАНДАРТНЫХ ФИГУР

НАПРАВЛЕНИЕ: Математическое моделирование экономических и социальных процессов

СЕКЦИЯ: Прикладная математика

Руководитель проекта: учитель математики, педагог-мастер

Середкин В. П.

Научный консультант: к.п.н. ассоциированный профессор (доцент) факультета Computer Science Торайгыров университета

Даниярова Ж.К.

Павлодар, 2022 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ЭССЕ

АННОТАЦИЯ

РЕЦЕНЗИЯ

ВВЕДЕНИЕ

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ЧАСТЬ

СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ ФИГУРЫ НА КЛЕТЧАТОЙ БУМАГЕ.

ТРИ СПОСОБА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ ВЫПУКЛОГО МНОГОУГОЛЬНИКА.

РАЗБИЕНИЕ.

ДОПОЛНЕНИЕ ДО ПРЯМОУГОЛЬНИКА.

ФОРМУЛА ПИКА.

ТРИ СПОСОБА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ НЕВЫПУКЛОГО МНОГОУГОЛЬНИКА.

ДОПОЛНЕНИЕ ДО ПРЯМОУГОЛЬНИКА.

ФОРМУЛА ПИКА.

МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО И ПЛОЩАДИ ФИГУР

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СПОСОБОВ НАХОЖДЕНИЯ ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКА НА КЛЕТЧАТОЙ БУМАГЕ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ЭССЕ

В своей работе я рассматриваю вопрос нахождения площадей нестандартных фигур. Все мы знаем определение площади. Площадь указывает размер плоскости, которую занимает фигура. Как мы можем ее найти? Для этого нам нужно знать линейные размеры фигуры и использование геометрические формулы для нахождения площадей. Как определить площадь фигуры неопределенной формы? Для этого можно использовать метод дополнения и разбиения, а можно воспользоваться основной формулой теории вероятности.

Способ разбиение заключается в том, что многоугольник разбивается на прямоугольники и прямоугольные прямоугольники. После нахождения площадей полученных прямоугольников и треугольников, площадь искомого многоугольника находиться путем сложения всех полученных площадей. Способ дополнения основывается на дополнении многоугольника до прямоугольника так, чтобы его стороны проходили через вершины четырехугольника, а затем вычитание лишних частей. Формула Пика позволяет найти площадь фигуры на клетчатой бумаге. Любая фигура изображенная на с листе бумаги делит его на внутреннюю область и внешнюю, а еще есть граничные точки многоугольника.

Так же площадь многоугольника можно найти, используя основную формулу теории вероятности: вероятность равновероятностного события равна отношению положительных исходов к общему числу исходов

Эта формула легла в основу метода Монте-Карло.

Суть метода Монте-Карло в том, что выбирается некоторая плоскость с известной площадью и на нее переноситься фигура нестандартной формы. Далее на эту плоскость вбрасывается некоторое количество точек и выясняется, сколько точек попало на искомую площадь. Эти данные позволяют воспользоваться формулой вероятности для вычисления искомой площади.

Я думаю что метод Монте-Карло более легкий и удобный ,он находит приближенную площадь. В школьном курсе математики я использую метод Монте-Карло , он позволяет более точно вычислять площадь фигур , только в тех случаях , когда будет задействовано больше количество точек.

АННОТАЦИЯ

В школьном курсе математики мы в основном имеем дело с многоугольниками. С проблемой вычисления площади фигур я столкнулась при решении различных задач, суть которых сводилась к тому, что требовалось найти площадь различных многоугольников, которые мы не рассматривали на уроках математики. При изучении математик до 6 класса мы знакомимся только с формулами для вычисления площади квадрата и прямоугольника. Между тем, на практике часто возникает необходимость найти площадь фигуры неправильной формы. Например, необходимость определить площадь территории по плану или карте. Но для площадей сложных фигур отсутствуют общие формулы, аналогичные формулам для многоугольников.

Гипотеза: площадь сложной фигуры может быть измерена приближенными методами с точностью, достаточной для практических целей.

Цель работы: исследовать различные способы вычисления площадей фигур.

Задачи исследования:

1. Изучить литературу по исследуемой теме;

2. Отобрать интересную и понятную информацию для исследования;

3. Найти способы вычисления площади не стандартных фигур.

Объектом исследования являются методы измерения площади фигур

произвольной формы:

1) способы нахождения площадей;

2) Метод Монте-Карло;

Предметом исследования является площадь фигур произвольной формы.

РЕЦЕНЗИЯ

ВВЕДЕНИЕ

В повседневной жизни мы часто встречаемся с понятием площади. Мы говорим: площадь квартиры, площадь садового участка и т.д. Необходимость в понятии «площадь» возникла из жизненных потребностей.

В древности люди использовали для измерения длин те измерительные приборы, которые всегда были при себе. Позже возникла потребность в измерении и сравнении разнообразных «фигур», например земельных участков. Было необходимо ввести величину, которая характеризовала бы величину той части плоскости, которую занимает фигура. Эту величину назвали площадью.

Измерение площадей является одним из самых древних разделов геометрии. В частности, название “геометрия” означает “землемерие”, т.е. связано именно с измерением площадей. Основы этой науки были заложены в Древнем Египте, где после каждого разлива Нила приходилось заново производить разметку участков, покрытых плодоносным илом, т. е. вычислять их площади. Вавилоняне, так же, как и египтяне измеряли большей частью простейшие фигуры, встречающиеся при межевании земель, возведении стен и насыпей, строительстве плотин и каналов и т.п. Сохранилось немало планов земельных угодий, разделенных на прямоугольники, трапеции и треугольники, а также планов различных строений, свидетельствующих, что вавилонский землемер или архитектор должен был хорошо чертить и проводить геометрические расчеты.

Многие ученые решали проблему вычисления площади фигуры. В историю с понятием площади вошли имена Евклида, Архимеда, Пифагора, Герона Александрийского, Рене Декарта, Пьера Ферма, Георга Пика и др. Ими открыто большое количество различных формул и способов для вычисления площади фигуры.

СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ ФИГУРЫ НА КЛЕТЧАТОЙ БУМАГЕ.

При изучении вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге я заметила, что все задачи строятся на понятии узла. Узел напоминает узел в рыболовной сетке – пересечение горизонтальных и вертикальных линий. Все задачи достаточно разнообразны и занимательны, они заставляют думать, размышлять, анализировать, искать аналогии.

Рассмотрим вычисление площади одной и той же фигуры тремя способами и сравним результат вычисления. [1, с.36]

ТРИ СПОСОБА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ ВЫПУКЛОГО МНОГОУГОЛЬНИКА.

РАЗБИЕНИЕ.

Смысл данного способа состоит в том, что многоугольник разрезается на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки. Тогда площадь фигуры можно сосчитать по формуле:

ДОПОЛНЕНИЕ ДО ПРЯМОУГОЛЬНИКА.

Смысл данного способа – это дополнение многоугольника до прямоугольника так, чтобы его стороны проходили через вершины четырехугольника, а затем вычитание лишних частей. Получим, что площадь фигуры равна:

ФОРМУЛА ПИКА.

Любая фигура, изображенная на листе бумаги делит его на внутреннюю область и внешнюю, а еще есть граничные точки многоугольника. Нас интересуют внутренние узлы и узлы, которые лежат на границе многоугольника. Тогда формула выглядит так

где В – количество внутренних узлов, а Г – количество узлов на границе многоугольника. Эта формула получила название формула Пика в честь австрийского математика Георга Пика которая появилась в его восьмистраничной работе 1899 года, опубликованной в Праге. Используя рисунок В= 17, Г = 14, получаем

Вычисляя площадь выпуклого многоугольника тремя способами, я получила один и тот же результат.

ТРИ СПОСОБА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ НЕВЫПУКЛОГО МНОГОУГОЛЬНИКА.

Способ разбиения не подходит для данной фигуры, т.к. невозможно разбить ее на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки.

ДОПОЛНЕНИЕ ДО ПРЯМОУГОЛЬНИКА.

Достраивая многоугольник до прямоугольника, и отсекая лишние части, найдем площадь фигуры

ФОРМУЛА ПИКА.

При подсчете внутренних узлов многоугольника и узлов, лежащих на границе, получим, что В = 5; Г = 4;

И опять я получила один и тот же результат.

Вычисление площади кольца по формуле Пика.

А если взять не многоугольник, а, например, кольцо и перенести его на клетчатую бумагу? Понятно, что первый и второй способы не удастся использовать. Применим формулу Пика и сравним полученный результат с результатом, полученным используя формулу для вычисления площади круга.

Возьмем кольцо, которое построим с помощью двух окружностей с радиусами R=4 и r = 2.

Вычислим площадь кольца с помощью формулы Пика: В=32, Г=8,

Вычислим площадь кольца по формуле площади круга, округлив число π до единиц.

Округлим теперь π до десятых:

А если округлить число π до сотых, то получим:

Сравнив результаты, можно сделать вывод, что существует погрешность в вычислении площади по формуле Пика и чем точнее число π, тем она больше. Следовательно, данную формулу можно применять только для вычисления площадей многоугольников. [2, с.17], [4]

МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО И ПЛОЩАДИ ФИГУР

Рассмотрим достаточно интересный метод, который применятся в программировании, алгоритмизации и математике.

Метод основан на применении теории вероятности к алгоритмическим процессам нахождения приближенных значений. Значение отыскиваются путем сравнения результатов равновероятностных событий на два множества, одно из которых полностью включает другое. Полностью включенное множество как раз объявляется как требуемое к отысканию. Более крупное множество, должно быть заведомо с известным значением.

Основная формула теории вероятности: вероятность равновероятного события равна отношению положительных исходов к общему числу исходов

М етод Монте-Карло основан на равновероятном распределении исходов по всему множеству, включающему в себя и неизвестное множество.

Возьмем множество А и множество В которое полностью принадлежит множеству А графически это можно представить в следующем виде рисунок 3.

Исходами в методе Монте-Карло являются выпадения точек в случайных координатах в общее множество часть из которых попадет и во включенное подмножество в формуле вероятности для метода Монте-Карло , N – это число всех выпавших точек в общее множество, в нашем примере это множество А, а n – это количество этих же точек попавших во множество В.

Если мы проведем подобное для нашей схемы с множествами, расположим на множестве А равновероятным случайные координаты точки то мы увидим что некоторые из них находятся в множестве В их мы и примем за n и можно подсчитать вероятность P это получиться вероятность попадания точек во внутреннее множество.

Как это может помочь при решении задач с площадями? Нам будет необходим следующий постулат – Отношение числа исходов с внутренним множеством которое требуется найти на число исходом с общим множеством приблизительно равно отношению сравниваемых параметром этих множеств в нашем примере отношение числа точек в указанных множествах будет примерно таким же, как и отношение площадей.

Далее по этой пропорции выражаем площадь В

В эту формулу можно будет подставлять числа для расчета.

Р ассмотрим пример: требуется найти площадь листа дерева.

Форма листа клена очень сложная рисунок 5. Вычислить площадь трудно. Но используя метод Монте-Карло данную площадь найти легко.

С формируем основные понятия для этой задачи.

Так как мы ищем площадь кленового листа то это будет искомая площадь В, а общую область нужно выбрать больше с известной площадью например лист А4 рисунок 6. Теперь сформируем общее множество и получим объединенное выражение.

Кладем на сканер лист клена сверху накрываем листом А4 таким образом и лист клена и лист А4 будут в одном разрешении сканируем и получаем изображение рисунок 7.

Используя метод Монте-Карло для нашего изображения. Прокинем на изображение 1000 точек. Из этого числа на лист клена выпало 480 точек. Площадь листа А4 равна 623,7 см². Тогда площадь листа мы сможем вычислить по формуле

Ниже приводится сравнительная таблица эксперементальных опытов представленной задачи. На основании результатов исследования можно сделать вывод: чем большее количество точек мы будем вбрасывать на плоскость тем точнее будет получаться результат нахождения площади.

СРАВНИТЕЛЬНАЯ ТАБЛИЦА РАСЧЕТОВ
№ опыта	N	n	S(A), кв. см.	S(B), кв. см.
1	1000	480	623,7	299,38
2	1500	700	623,7	291,06
3	2000	950	623,7	296,26
4	2500	1200	623,7	299,38
5	3000	1400	623,7	291,06
6	3500	1650	623,7	294,03
7	4000	1900	623,7	296,26
8	4500	2150	623,7	297,99
9	5000	2400	623,7	299,38
10	5500	2650	623,7	300,51

Р ассмотрим еще один пример применения метода Монте-Карло – задачу нахождения площади острова.

Задача: По аэрофотосъемки некоторой области океана с известной площадью найти приблизительно площадь острова на фото. Известно, что территория на снимке занимает площадь 27 кв.км рисунок 8.

Площадь острова из-за неровных краев и сложной не прямоугольной формы нам неизвестна как же можно, найти, площадь острова не зная функции кривых периметров. В данном случае найти площадь острова нам поможет метод Монте-Карло.

П редположим, что мы кинули на карте 30 случайных точек (рисунок 9) 12 из них попали в область острова также по условию нам известна площадь аэрофотосъемки 27 км² подставим числа в формулу и получаем приближенную площадь острова

В сравнительной таблице расчетов приводятся результаты экспериментальных опытов. И как в предыдущей задаче с кленовым листом мы приходим к выводу, что при увеличении количества вбрасываемых точек результаты становятся более точными

СРАВНИТЕЛЬНАЯ ТАБЛИЦА РАСЧЕТОВ
№ опыта	N	n	S(A) кв.км.	S(B)кв. км.
1	30	12	27	10,8
2	40	17	27	11,475
3	50	27	27	14,58
4	60	32	27	14,4
5	70	40	27	15,428571
6	80	51	27	17,2125
7	90	64	27	19,2
8	100	72	27	19,44
9	110	81	27	19,881818
10	120	91	27	20,475

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СПОСОБОВ НАХОЖДЕНИЯ ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКА НА КЛЕТЧАТОЙ БУМАГЕ.

Разбиение. Этот способ прост в подсчёте площадей фигур, которые разбиваются на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки. К ним относятся выпуклые многоугольники. К минусам можно отнести то, что в использовании этого способа приходится производить множество действий, а так же невозможность подсчёта площади фигур, которые не разбиваются на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки.

Дополнение до прямоугольника. Этот способ так же прост в подсчёте при вычислении площади при небольшом количестве фигур, площадь которых необходимо отнять. Минусы этого способа – сложность подсчёта площади многоугольников необычной формы, большое количество фигур, площадь которых необходимо отнять, а также невозможность подсчёта площади фигур, не относящихся к многоугольникам.

Формула Пика. К плюсам я отнесла то, что легко вычисляется площадь многоугольника с необычной формой, в отличие от предыдущих способов, краткость формулы, а также возможность вычисления приближенного значения площади местности по карте, представив ее в виде многоугольника, перенеся ее на клетку. Минусами этого способа считаю сложность вычисления площади фигуры с большим количеством узлов, а так же, если в фигуре есть «спорные» узлы (узлы, лежащие близко к стороне многоугольника). Вычисляя площадь фигур, не относящихся к многоугольникам, результат получается не точным.

Метод Монте-Карло. Позволяет более точно вычислять площадь фигур, только в тех случаях, когда будет задействовано большое количество точек.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изучив различные источники, выяснилось, что существует различные способы вычисления фигур по клеткам, но для меня были интересны и понятны три: разбиение, дополнение до прямоугольника и вычисления по формуле Пика. Также интересным способом нахождения площади произвольной фигуры является метод Монте-Карло.

Моя гипотеза – о том, что если геометрическая фигура изображена на клетчатой бумаге, то ее площадь можно вычислить различными способами и убедиться, что результаты вычислений будут одинаковыми, частично подтвердилась. Рассмотрев все три способа, я пришла к выводу, что не для всякой фигуры можно приметить каждый из них. У каждого из них есть свои плюсы и минусы.

Все три способа можно применить только для выпуклых многоугольников, перенеся их на клетчатую поверхность.

Формула Пика интересна своей простотой. И пусть она при вычислении площадей, не относящихся к многоугольникам, дает приближенное значение, можно легко оценить площадь той или иной территории на карте.

Как оказалось метод Монте-Карло является пригодным для приближенного нахождения площадей фигур сложной формы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.

2. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия, под редакцией Ю.П. Юшкевича., издательство Наука., М., 1970г

3. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия на клетчатой бумаге. – М.:

Чистые пруды, 2009.

На этой странице вы узнаете:

• Как связаны Ньютон и Лейбниц?
• Почему площадь криволинейной трапеции считается через интеграл?

Интеграл

В топ-5 страшилок по математике неизменно входит интеграл. Так ли он ужасен на самом деле? 

Если объяснять простыми словами, интеграл — это площадь фигуры под графиком функции. Например, в геометрии есть формулы, чтобы посчитать площадь прямоугольника или треугольника, а если нужно посчитать площадь фигуры с кривой стороной, заданной функцией, поможет интеграл.

Если у функции y = f(x) есть первообразная y = F(x), тогда множество значений первообразных у = F(x) + С называют неопределенным интегралом функции y = f(x)

Записывается это следующим образом:

(int f(x)dx = F(x) + C)

Какие бывают интегралы?

Интегралы бывают неопределенные и определенные.

Рассмотрим определенный интеграл. У такого интеграла в отличие от неопределенного есть предел интегрирования, то есть определённый отрезок.

Определенный интеграл функции на отрезке [a; b] – это приращение первообразных

Записывается это следующим образом:

(intlimits_a^b f(x)dx = F(b) — F(a))

Для данного интеграла пределом является отрезок от a до b

Формула Ньютона-Лейбница

Если функция f(x) непрерывна на промежутке [a; b], то 

где F(x) – первообразная для функции f(x),
a – нижний предел интегрирования, 
b – верхний предел интегрирования

Данная формула применяется для вычисления определенного интеграла

Пример вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона – Лейбница:

Интеграл для нахождения площади фигуры

Представим, что нам нужно посчитать расстояние, пройденное автомобилем с непостоянной скоростью в промежуток времени [a; b]. 

Нарисуем график.

Скорость автомобиля V изменяется с течением времени, как f(t). Тогда, чтобы её найти, нам нужно посчитать площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(t) на отрезке [a; b]. Такой фигурой будет являться криволинейная трапеция, а посчитать площадь можно с помощью интеграла. Далее мы подробно разберем, как это сделать.

Криволинейная трапеция – это фигура на плоскости, ограниченная графиком непрерывной функции на определенном отрезке, прямыми линиями и осью абсцисс.

На данном рисунке фигура ограничена y = f(x), x = a, x = b, y = 0

Как найти площадь фигуры, используя интеграл?

Площадь такой фигуры, расположенной над осью абсцисс, можно посчитать, вычислив определённый интеграл по уже известной формуле Ньютона-Лейбница.

(S = intlimits_a^b f(x)dx)

А если фигура расположена под осью абсцисс, для вычисления площади фигуры нужно добавить минус к изначальной формуле.

(S = -intlimits_a^b f(x)dx)

Если нужно найти площадь фигуры, ограниченной двумя функциями f(x) и g(x), то сначала данные функции приравниваются, так находится предел, а далее определяется функция, которая находится выше, и записывается формула

(S = intlimits_a^b (f(x) — g(x))dx)

где f(x) – функция находящаяся выше
g(x) – функция находящаяся ниже
a и b – границы предела

Пример:

Найти площадь фигуры ограниченной функциями y=x² — 2 и y = -x

Фактчек

• Интеграл — это площадь фигуры, находящейся под графиком функции.
• Неопределённый интеграл функции fx : (int f(x)dx = F(x) + C)
• Определенный интеграл функции fx на отрезке [a; b] : (intlimits_a^b f(x)dx = F(b) — F(a))
• Формула Ньютона-Лейбница (intlimits_a^b f(x)dx = F(x) |_a^b = F(b) — F(a))
• Формула для нахождения криволинейной трапеции над осью х 
  (S = intlimits_a^b f(x)dx)
• Формула для нахождения криволинейной трапеции под осью х
  (S = -intlimits_a^b f(x)dx)
• Формула для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя функциями
  (S = intlimits_a^b (f(x) — g(x))dx), где 
  f(x) – функция находящаяся выше
  g(x) – функция находящаяся ниже

Проверь себя

Задание 1.
Найдите значение интеграла (intlimits_1^5 3dx)

1. 3
2. 5
3. 12
4. 14

Задание 2.
Вычислите площадь фигуры ограниченной (y = sin x, x = 0,  x = frac{pi}{2})

1. 1
2. 0
3. 1,5
4. 2

Задание 3.
Вычислите площадь фигуры ограниченной y = 2x² — 5, x = -1,  x = 1

1. 9
2. (8frac{2}{3})
3. (frac{20}{3})
4. 8

Задание 4.
Вычислите площадь фигуры ограниченной y = x² — 3 и y = -2x² + 9

1. 32
2. 18
3. 24
4. 2

Ответы:  1. – 3; 2. – 1; 3. – 2; 4. – 1