Как найти площадь фигуры образованной параболой

Вычисление площади фигуры – это, пожалуй, одна из наиболее сложных задач теории площадей. В школьной геометрии учат находить площади основных геометрических фигур таких как, например, треугольник, ромб, прямоугольник, трапеция, круг и т.п. Однако зачастую приходится сталкиваться с вычислением площадей более сложных фигур. Именно при решении таких задач очень удобно использовать интегральное исчисление.

Определение.

Криволинейной трапецией называют некоторую фигуру G, ограниченную линиями y = f(x), у = 0, х = а и х = b, причем функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b] и не меняет на нем свой знак (рис. 1). Площадь криволинейной трапеции можно обозначить S(G).

Определенный интеграл ʃ_а^b f(x)dx для функции f(x), являющийся непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b], и есть площадь соответствующей криволинейной трапеции.

То есть, чтобы найти площадь фигуры G, ограниченной линиями y = f(x), у = 0, х = а и х = b, необходимо вычислить определенный интеграл  ʃ_а^b f(x)dx.

Таким образом, S(G) = ʃ_а^b f(x)dx.

В случае, если функция y = f(x) не положительна на [а; b], то площадь криволинейной трапеции может быть найдена по формуле S(G) = -ʃ_а^b f(x)dx.

Пример 1.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х³; у = 1; х = 2.

Решение.

Заданные линии образуют фигуру АВС, которая показана штриховкой на рис. 2.

Искомая площадь равна разности между площадями криволинейной трапеции DACE и квадрата DABE.

Используя формулу S = ʃ_а^b f(x)dx = S(b) – S(a), найдем пределы интегрирования. Для этого решим систему двух уравнений:

{у = х³,
{у = 1.

Таким образом, имеем х₁ = 1 – нижний предел и х = 2 – верхний предел.

Итак, S = S_DACE – S_DABE = ʃ₁² x³ dx – 1 = x⁴/4|₁² – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (кв. ед.).

Ответ: 11/4 кв. ед.

Пример 2.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = √х; у = 2; х = 9.

Решение.

Заданные линии образуют фигуру АВС, которая ограничена сверху графиком функции

у = √х, а снизу графиком функции у = 2. Полученная фигура показана штриховкой на рис. 3.

Искомая площадь равна S = ʃ_а^b(√x – 2). Найдем пределы интегрирования: b = 9, для нахождения а, решим систему двух уравнений:

{у = √х,
{у = 2.

Таким образом, имеем, что х = 4 = а – это нижний предел.

Итак, S = ∫₄⁹ (√x – 2)dx = ∫₄⁹ √x dx –∫₄⁹ 2dx = 2/3 x√х|₄⁹ – 2х|₄⁹ = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (кв. ед.).

Ответ: S = 2 2/3 кв. ед.

Пример 3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х³ – 4х; у = 0; х ≥ 0.

Решение.

Построим график функции у = х³ – 4х при х ≥ 0. Для этого найдем производную у’:

y’ = 3x² – 4, y’ = 0 при х = ±2/√3 ≈ 1,1 – критические точки.

Если изобразить критические точки на числовой оси и расставить знаки производной, то получим, что функция убывает от нуля до 2/√3 и возрастает от 2/√3 до плюс бесконечности. Тогда х = 2/√3 – точка минимума, минимальное значение функции у_min = -16/(3√3) ≈ -3.

Определим точки пересечения графика с осями координат:

если х = 0, то у = 0, а значит, А(0; 0) – точка пересечения с осью Оу;

если у = 0, то х³ – 4х = 0 или х(х² – 4) = 0, или х(х – 2)(х + 2) = 0, откуда х₁ = 0, х₂ = 2, х₃ = -2 (не подходит, т.к. х ≥ 0).

Точки А(0; 0) и В(2; 0) – точки пересечения графика с осью Ох.

Заданные линии образуют фигуру ОАВ, которая показана штриховкой на рис. 4.

Так как функция у = х³ – 4х принимает на (0; 2) отрицательное значение, то

S = |ʃ₀² (x³ – 4x)dx|.

Имеем: ʃ₀² (x³ – 4х)dx =(x⁴/4 – 4х²/2)|₀²= -4, откуда S = 4 кв. ед.

Ответ: S = 4 кв. ед.

Пример 4.

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 2х² – 2х + 1, прямыми  х = 0, у = 0 и касательной к данной параболе в точке с абсциссой х₀ = 2.

Решение.

Сначала составим уравнение касательной к параболе у = 2х² – 2х + 1 в точке с абсциссой х₀ = 2.

Так как производная y’ = 4x – 2, то при х₀ = 2 получим k = y’(2) = 6.

Найдем ординату точки касания: у₀ = 2 · 2² – 2 · 2 + 1 = 5.

Следовательно, уравнение касательной имеет вид: у – 5 = 6(х – 2) или у = 6х – 7.

Построим фигуру, ограниченную линиями:

у = 2х² – 2х + 1, у = 0, х = 0, у = 6х – 7.

Г_у =  2х² – 2х + 1 – парабола. Точки пересечения с осями координат: А(0; 1) – с осью Оу; с осью Ох – нет точек пересечения, т.к. уравнение  2х² – 2х + 1 = 0 не имеет решений (D < 0). Найдем вершину параболы:

x_b = -b/2a;

x_b = 2/4 = 1/2;

y_b = 1/2, то есть вершина параболы точка В имеет координаты В(1/2; 1/2).

Итак, фигура, площадь которой требуется определить, показана штриховкой на рис. 5.

Имеем: S_ОAВD = S_OABC – S_ADBC.

Найдем координаты точки D из условия:

6х – 7 = 0, т.е. х = 7/6, значит DC = 2 – 7/6 = 5/6.

Площадь треугольника DBC найдем по формуле S_ADBC = 1/2 · DC · BC. Таким образом,

S_ADBC = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 кв. ед.

Далее:

S_OABC = ʃ₀²(2x² – 2х + 1)dx = (2x³/3 – 2х²/2 + х)|₀² = 10/3 (кв. ед.).

Окончательно получим: S_ОAВD = S_OABC – S_ADBC = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (кв. ед).

Ответ: S = 1 1/4 кв. ед.

Мы разобрали примеры нахождения площадей фигур, ограниченных заданными линиями. Для успешного решения подобных задач нужно уметь строить на плоскости линии и графики функций, находить точки пересечения линий, применять формулу для нахождения площади, что подразумевает наличие умений и навыков вычисления определенных интегралов.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Вычислить
площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение.

Находим
точки пересечения заданных линий. Для
этого решаем систему уравнений:

Для
нахождения абсцисс точек пересечения
заданных линий решаем уравнение:

   
или
   .

Находим: x₁ =
-2, x₂ =
4.

Итак,
данные линии, представляющие собой
параболу и прямую, пересекаются в
точках A(-2;
0), B(4;
6).

Эти
линии образуют замкнутую фигуру, площадь
которой вычисляем по указанной выше
формуле:

По
формуле Ньютона-Лейбница находим:

Найти
площадь области, ограниченной эллипсом .

Решение.

Из
уравнения эллипса для I
квадранта имеем .
Отсюда
по формуле  получаем

Применим
подстановку x = a sin t, dx = a cos t
dt.
Новые пределы интегрирования t = α и t = β определяются
из уравнений 0 = a sin t, a = a sin t.
Можно положить α =
0 и β = π/2.

Находим
одну четвертую искомой площади

Отсюда S = πab.

Найти
площадь фигуры, ограниченной линиями y =
–x² + x +
4 и y =
–x +
1.

Решение.

Найдем
точки пересечения линий y =
–x² + x +
4, y =
–x +
1, приравнивая ординаты линий: –x² + x +
4 = –x +
1 или x² –
2x –
3 = 0. Находим корни x₁ =
-1, x₂ =
3 и соответствующие им ординаты y₁ =
2, y₂ =
-2.

По
формуле площади фигуры получаем

Определить
площадь, ограниченную параболой y = x² +
1 и прямой x + y =
3.

Решение.

Решая
систему уравнений

находим
абсциссы точек пересечения x₁ =
-2 и x₂ =
1.

Полагая y₂ =
3 – x и y₁ = x² +
1, на основании формулы  получаем

Вычислить
площадь, заключенную внутри лемнискаты
Бернулли r² = a²cos
2φ.

Решение.

В
полярной системе координат площадь
фигуры, ограниченной дугой кривой r = f(φ)
и двумя полярными радиусами φ₁ = ʅ и φ₂ = ʆ,
выразится интегралом

В
силу симметрии кривой определяем сначала
одну четвертую искомой площади

Следовательно,
вся площадь равна S = a².

Вычислить
длину дуги астроиды x^2/3 + y^2/3 = a^2/3.

Решение.

Запишем
уравнение астроиды в виде

(x^1/3)² +
(y^1/3)² =
(a^1/3)².

Положим x^1/3 = a^1/3cos t, y^1/3 = a^1/3sin t.

Отсюда
получаем параметрические уравнения
астроиды

x = a cos³t,     y = a sin³t,     (*)

где
0 ≤ t ≤
2π.

Ввиду
симметрии кривой (*) достаточно найти
одну четвертую часть длины дуги L,
соответствующую изменению параметра t от
0 до π/2.

Получаем

dx =
-3a cos²t sin t
dt,     dy =
3a sin²t cos t
dt.

Отсюда
находим

Интегрируя
полученное выражение в пределах от 0
до π/2,
получаем

Отсюда L =
6a.

Найти
площадь, ограниченную спиралью
Архимеда r = aφ и
двумя радиусами-векторами, которые
соответствуют полярным углам φ₁и φ₂ (φ₁ < φ₂).

Решение.

Площадь,
ограниченная кривой r = f(φ)
вычисляется по формуле ,
где α и β –
пределы изменения полярного угла.

Таким
образом, получаем

     (*)

Из
(*) следует, что площадь, ограниченная
полярной осью и первым витком спирали
Архимеда (φ₁ =
0; φ₂ =
2π):

Аналогичным
образом находим площадь, ограниченную
полярной осью и вторым витком спирали
Архимеда (φ₁ =
2π; φ₂ =
4π):

Искомая
площадь равна разности этих площадей

Вычислить
объем тела, полученного вращением вокруг
оси Ox фигуры,
ограниченной параболами y = x² и x = y².

Решение.

Решим
систему уравнений

и
получим x₁ =
0, x₂ =
1, y₁ =
0, y₂ =
1, откуда точки пересечения кривых O(0;
0), B(1;
1). Как видно на рисунке, искомый объем
тела вращения равен разности двух
объемов, образованных вращением вокруг
оси Ox криволинейных
трапеций OCBA и ODBA:

Вычислить
площадь, ограниченную осью Ox и
синусоидой y =
sin x на
отрезках: а) [0, π];
б) [0, 2π].

Решение.

а)
На отрезке [0, π]
функция sin x сохраняет
знак, и поэтому по формуле ,
полагая y =
sin x,
находим

б)
На отрезке [0, 2π],
функция sin x меняет
знак. Для корректного решения задачи,
необходимо отрезок [0, 2π]
разделить на два [0, π]
и [π,
2π],
в каждом из которых функция сохраняет
знак.

По
правилу знаков, на отрезке [π,
2π]
площадь берется со знаком минус.

В
итоге, искомая площадь равна

Определить
объем тела, ограниченного поверхностью,
полученной от вращения эллипса  вокруг
большой оси a.

Решение.

Учитывая,
что эллипс симметричен относительно
осей координат, то достаточно найти
объем, образованный вращением вокруг
оси Oxплощади OAB,
равной одной четверти площади эллипса,
и полученный результат удвоить.

Обозначим
объем тела вращения через V_x;
тогда на основании формулы  имеем ,
где 0 и a –
абсциссы точек B и A.
Из уравнения эллипса находим .
Отсюда

Таким
образом, искомый объем равен .
(При вращении эллипса вокруг малой
оси b,
объем тела равен )

Найти
площадь, ограниченную параболами y² =
2px и x² =
2py.

Решение.

Сначала
найдем координаты точек пересечения
парабол, чтобы определить отрезок
интегрирования. Преобразуя исходные
уравнения, получаем  и .
Приравнивая эти значения, получим  или x⁴ –
8p³x =
0.

Отсюда

x⁴ –
8p³x = x(x³ –
8p³)
= x(x –
2p)(x² +
2px +
4p²)
= 0.

Находим
корни уравнений:

Учитывая
то факт, что точка A пересечения
парабол находится в первой четверти,
то пределы интегрирования x =
0 и x =
2p.

Искомую
площадь находим по формуле

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Площадь фигуры ограниченной линиями

Что умеет?

• Находит точки пересечения указанных кривых линий
• Умный робот определяет области, где лежат фигуры, чтобы вычислить их площади. Она делает это, находя точки, где графики пересекаются.
• Помогает находить площади под графиками, вычисляя интегралы.

Примеры кривых

Указанные выше примеры содержат также:

• модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
• квадратные корни sqrt(x),
  кубические корни cbrt(x)
• тригонометрические функции:
  синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
• показательные функции и экспоненты exp(x)
• обратные тригонометрические функции:
  арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x),
  арккотангенс acot(x)
• натуральные логарифмы ln(x),
  десятичные логарифмы log(x)
• гиперболические функции:
  гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x),
  гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
• обратные гиперболические функции:
  гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x),
  гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x)
• другие тригонометрические и гиперболические функции:
  секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x),
  арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x),
  гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x),
  гиперболический арккосеканс acsch(x)
• функции округления:
  в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x)
• знак числа:
  sign(x)
• для теории вероятности:
  функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности),
  функция Лапласа laplace(x)
• Факториал от x:
  x! или factorial(x)
• Гамма-функция gamma(x)
• Функция Ламберта LambertW(x)
• Тригонометрические интегралы: Si(x),
  Ci(x),
  Shi(x),
  Chi(x)

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x

– умножение

3/x

– деление

x^2

– возведение в квадрат

x^3

– возведение в куб

x^5

– возведение в степень

x + 7

– сложение

x – 6

– вычитание

Действительные числа

вводить в виде 7.5, не 7,5

Постоянные

pi

– число Пи

e

– основание натурального логарифма

i

– комплексное число

oo

– символ бесконечности

1. Основная формула для вычисления площади плоских фигур с помощью определенного интеграла

Рассмотрим постановку задачи о площади криволинейной трапеции.

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями (рис. 1).

.

Рис. 1. Площадь криволинейной трапеции

Как мы пытались ее решить:

Первый способ.

Разбили отрезок на  одинаковых отрезков, заменили искомую площадь площадью поступенчастой линии, легко ее сосчитали и получили приближенное решение нашей задачи. Далее устремили  в пределе и

получили искомую площадь S. Ввели обозначение .

Это определенный интеграл. Вот таким образом мы пытались решить задачу. Мы знаем теперь, как приближенно ее решить, знаем обозначения для точного решения, но точного решения еще не знаем.

Затем мы получили точное решение задачи следующим образом: рис. 2:

Рис. 2. Функция S (x)

Ввели функцию . Каждому площадь под соответствующей частью кривой . Так, введенная функция удовлетворяет единственному закону, а именно:

Каждому  соответствует единственное значение .

Мы доказали, что производная этой же функции  и доказали, что точная площадь вычисляется следующим образом. Надо найти любую первообразную от функциии взять приращение этих первообразных. То есть взять первообразную в точке  и отнять первообразную в точке  И в результате мы получили формулу, которой мы будем пользоваться для вычисления площадей.

 .

2. Методика нахождения площади на примере

Методику нахождения площади рассмотрим сначала на относительно простом примере.

Пример 1.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Вот искомая площадь:

Рис. 3. Площадь

Вот формула:

Это общая формула. Конкретно к нашему случаю она применима так:

Пределы интегрирования .

=.

Вычислили площадь криволинейной фигуры.

Ответ:

В следующей задаче площадь искомой фигуры образовывается с помощью  А именно:

3. Пример 2

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Посмотрим, как выглядит фигура (рис. 4).

Рис. 4. Фигура, ограниченная линиями

Формула та же самая:

В нашем случае . Итак, надо найти определенный интеграл

=-(-1)+1=1+1=2.

Искомая площадь найдена, и ответ получен.

Ответ: 2

4. Пример 3

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Рис. 5. Площадь фигуры, ограниченной линиями

Формула для площади та же самая:

В нашем случае .

Ответ:

В следующем примере ищется площадь под параболой.

5. Пример 4

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Схематически изобразим параболу  Корни

Рис. 6. Парабола

Применим известную формулу

И применим ее для данной функции  и пределов интегрирования

 

Искомая площадь найдена.

Ответ:

В предыдущих задачах площадь образовывалась с помощью разных кривых, но эта площадь находилась над осью . В следующей задаче наоборот.

6. Пример 5. Случай, если фигура находится под осью

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

Решение.

Посмотрим, что это за фигура. График в пределах от Π до 2Π расположен под осью Ox (рис. 7).

Рис. 7. График в пределах от Π до 2Π

Ясно, что если возьмем определенный интеграл, то мы получим отрицательное число.

Вычисляем.

1. Сначала вычисляем определенный интеграл от π до 2π от подынтегральной функции

Надо найти первообразную.

По таблице первообразных: .

=-1-1=-2.

2. Для того чтобы найти площадь, надо взять модуль =2.

Ответ: 2.

7. Пример. Общий случай для нахождения площади плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми. Выводы

Следующее усложнение – искомая площадь расположена между двумя кривыми.

А именно:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (рис. 8)

Рис. 8. Площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Итак, площадь образуют 2 кривые, одна из них может находиться под осью .

Каким образом мы будем решать эту задачу?

Во-первых, мы можем сдвинуть фигуру на такое положительное , что площадь находится над осью . Рис. 9.

Рис. 9. Сдвиг фигуры

Затем мы возьмем соответствующий определенный интеграл и найдем площадь. Искомая площадь равна разности двух площадей.

Площадь под верхней кривой  минус площадь под нижней кривой .

Каждую из площадей мы умеем находить.

Таким образом, в общем виде была поставлена задача, в общем виде получен ответ.

Ответ:

Обсудим и постановку задачи, и полученный важный результат.

Нам надо было найти площадь фигуры, ограниченной линиями

 .

Мы использовали известный прием: эту площадь подняли на некоторое , и это  Так вот, эту площадь теперь можно считать без введения . Правило следующее:

Площадь фигуры, ограниченной прямыми линиями  непрерывных на отрезке  и таких, что для всех  из отрезка  вычисляется по формуле, которую мы вывели:

Рассмотрим первый конкретный пример на нахождение площади между двумя линиями.

8. Пример 6

Найти площадь фигуры, ограниченную линиями

 .

Решение. Для начала построим графики этих линий и поймем, где та площадь, которую нам надо искать.

График квадратичной функции – парабола. Корни – 0, 4, ветви вниз. График

 – биссектриса первого координатного угла. Вот площадь, которую надо найти:

Рис. 10. Искомая площадь

Но для этого сначала надо найти точки пересечения и решить стандартную задачу.

1. Находим точки пересечения. Для этого решаем систему: .

Отсюда получаем квадратное уравнение относительно :

Мы нашли , то есть, пределы интегрирования. Это первое важное действие.

Теперь стандартное действие:

2. =  =()

Искомая площадь равна 4,5

Ответ: 4,5

9. Пример 7. Случай, когда часть площади плоской фигуры лежит под осью

Во втором примере часть площади находится под осью , но на методику это не влияет.

Пример 6.

Итак, требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Сначала построим графики, посмотрим, какую площадь нам нужно найти. Рис. 11.

Первая функция – парабола, ветви вниз. График второй функции – прямая линия.

Есть две точки пересечения, их придется найти, а именно взять пределы интегрирования, и тогда будем решать задачу по знакомому нам плану.

Рис. 11. Площадь фигуры, ограниченной линиями

Первое действие – найти пределы интегрирования и второе – найти площадь.

Пределы интегрирования найдем из системы.

То есть, пределы интегрирования найдены.

= ()

Ответ:

Итак, мы показали, каким образом можно вычислять площади плоских фигур с помощью определенного интеграла.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Ru.scribd.com (Источник).
2. Math4you.ru (Источник).
3. Dok.opredelim.com (Источник).

Домашнее задание

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , ,
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
3. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 1030, 1033, 1037, 1038.